Chương III. §3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Hoạt động của Giáo viên

Hoạt động của Học sinh

Nội dung

Hoạt động 1: Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc

của đường thẳng và mặt phẳng

Trong chương II, ta đã đề cập đến quan hệ song song giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng. Kết hợp với các tính chất đã được tìm hiểu ở tiết học trước ta có được một số tính chất nói về mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.

 Minh họa hình vẽ yêu cầu HS rút ra Tính chất 1.

 Yêu cầu HS tóm tắt nội dung Tính chất 1 bằng kí hiệu toán học.

 Nhắc lại Tính chất 1.

 Minh họa hình vẽ yêu cầu HS rút ra Tính chất 2.

 Yêu cầu HS tóm tắt nội dung Tính chất 2 bằng kí hiệu toán học.

 Nhắc lại Tính chất 2.

 Minh họa hình vẽ yêu cầu HS rút ra Tính chất 3.

 Yêu cầu HS tóm tắt nội dung Tính chất 3 bằng kí hiệu toán học.

 Nhắc lại Tính chất 3.

 Theo dõi.

 Theo dõi, thực hiện yêu cầu của GV.

 Thực hiện yêu cầu của GV.

 Theo dõi.

 Theo dõi, thực hiện yêu cầu của GV.

 Thực hiện yêu cầu của GV.

 Theo dõi.

 Theo dõi, thực hiện yêu cầu của GV.

 Thực hiện yêu cầu của GV.

 Theo dõi.

IV. LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Tính chất 1: (SGK)

Tóm tắt:

a)     ;

b)    

Tính chất 2: (SGK)

Tóm tắt:

a)    

b)    

Tính chất 3: (SGK)

Tóm tắt:

a)    

b)    

Hoạt động 2: Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc

 Nhắc lại định nghĩa phép chiếu song song, tính chất phép chiếu song song.

Đặt vấn đề: Thế nào là phép chiếu vuông góc, các tính chất của phép chiếu song song có còn đúng với phép chiếu vuông góc hay không?

Giải quyết vấn đề: Tìm hiểu phép chiếu vuông góc.

 Trình bày nội dung định nghĩa phép chiếu vuông góc.

H1: Đựa vào hình vẽ, hãy xác định hình chiếu vuông góc của AB trên ?

 Nhấn mạnh nội dung Nhận xét.

H2: Trong hình học phẳng có tồn tại ba đường thẳng đôi một vuông góc với nhau không?

Đặt vấn đề: Câu hỏi đặt ra, trong không gian có tồn tại ba đường thẳng đôi một vuông góc với nhau không?

Giải quyết vấn đề: Tìm hiểu nội dung định lí ba đường vuông góc.

 Trình bày nội dung định lí ba đường vuông góc.

  Yêu cầu HS nhắc lại nội dung định lí.

H3: Trong không gian có tồn tại ba đường thẳng vuông đôi một góc với nhau hay không?

H4: Hãy chỉ ra ba đường thẳng đôi một vuông góc với nhau trên hình vẽ.

 H5: Nêu cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc đã học ở những tiết học trước.

 Hướng dẫn HS chứng minh định lí.

 Hướng dẫn yêu cầu HS hoàn thành VD.a).

 Theo dõi.

 Theo dõi.

 Thực hiện yêu cầu của GV.

 Theo dõi.

Đ1: A’B’ là hình chiếu vuông góc của AB trên .

 Theo dõi.

Đ2: Không.

 Theo dõi.

 Theo dõi.

 Theo dõi.

 Thực hiện yêu cầu của GV.

Đ3: Có.

 Thực hiện yêu cầu của GV.

Đ5: Chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia. Hay chứng minh góc của chúng bằng 900.

 Theo dõi.

 Theo dõi, thực hiện yêu cầu của GV.

V. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ ĐỊNH LÍ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC

1. Phép chiếu vuông góc

Định nghĩa:

Cho đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng . Phép chiếu song song theo phương của ∆ lên mặt phẳng được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng .

Nhận xét: Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song.

2. Định lí ba đường vuông góc

Định lí:

Cho đường thẳng nằm trong mặt phẳng và là đường thẳng không thuộc đồng thời không vuông góc với . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Khi đó vuông góc với khi và chỉ khi vuông góc với .

Nhận xét: Các đường và

b’, BB’ đôi một vuông góc với nhau.

CM: (SGK).

VD: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B và có cạnh SA vuông với mặt phẳng (ABC).

a)  Áp dụng định lí ba đường vuông góc hãy chứng minh BC  SB.

Giải:

Ta có SA  AB (vì SA  (ABC)).

Do đó A là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC).

 AB là hình chiếu vuông góc của SB lên (ABC).

Mặt khác BC  AB (vì ∆ABC vuông tại B).

Áp dụng định lí ba đường vuông góc  BC  SB.          (đpcm)

Hoạt động 3: Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Đặt vấn đề: Vì SA  (ABC) do đó góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) là 900.

Dễ dàng thấy rằng SB không vuông góc với mặt phẳng (ABC), vậy thì làm thế nào để xác định và tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC)?

Giải quyết vấn đề: Tìm hiểu cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

 Phát biểu định nghĩa.

 Yêu cầu HS nhắc lại nội dung định nghĩa.

  Nêu cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .

 Nhấn mạnh Chú ý.

 Hướng dẫn, yêu cầu HS hoàn thiện VD.b).

 Theo dõi.

 Theo dõi.

 Theo dõi.

 Thực hiện yêu cầu của GV.

 Theo dõi.

 Theo dõi.

 Theo dõi, thực hiện yêu cầu của GV.

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa:

Cho đường thẳng và mặt phẳng .

+ Trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng 900.

+ Trong trường hợp mặt phẳng không vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa và hình chiếu của nó trên gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .

Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :

B1: Xác định giao điểm O của và .

B2: Trên lấy điểm A bất kì (A không trùng O). Tìm hình chiếu H của A trên . Đường thẳng OH là hình chiếu của trên .

B3: Kết luận: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng chính là góc giữa OH và . Do đó là góc cần tìm.

Chú ý: Nếu là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thì ta luôn có .

VD: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, cạnh SA vuông với mặt phẳng (ABC).

b) Biết AB = a, SA = , tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC).

Giải:

b) Ta có A là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC).

 AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC).

Do đó góc cần tìm là góc giữa hai đường thẳng SC và AC.

Suy ra góc là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC).

Lại có BC = AB = a ( vì ∆ABC vuông cân tại B).

 AC = .

Vì SA  AC (SA  (ABC))

 ∆SAC vuông tại A.

Do đó  

 .

Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là .

Hoạt động 4: Củng cố

 Yêu cầu HS nhắc lại: Định lí ba đường vuông góc, cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

H: Hãy trả lời các câu hỏi sau:

1) Hình chiếu vuông góc của một điểm lên mặt phẳng là gì?

2) Cho đường thẳng vuông góc với mặt phẳng , hỏi hình chiếu vuông góc của trên là gì?

3) Gọi , là hai mặt phẳng, trong đó là mặt phẳng chứa ∆ABC, hãy xác định hình chiếu vuông góc của ∆ABC trên mặt phẳng khi:

- .

- .

 Thực hiện yêu cầu của GV.

Đ:

1) Một điểm.

2) Một điểm.

3) : hình chiếu là tam giác bằng tam giác ban đầu.

: hình chiếu là đoạn thẳng.