Chương IV. §3. Hàm số liên tục

      Hoạt động của HS

   Hoạt động của GV

                    Nội dung

   HS nêu Định nghĩa về hàm số liên tục tại 1 điểm

TXĐ D = R\ {3}

  f(2) = -4

Hàm số liên tục tại x0 = 2

  + TXĐ: D = R

  + f(1) = a

  +

+hàm số liên tục tại x0 = 1

a = 2.

+ a thì hàm số gián đoạn tại x=1

TXĐ :  D = R

    f(0) = 0

Hàm số không liên tục tại x0= 0

HS định nghĩa tương tự         

TXĐ : D = R

Tổng,hiệu ,tích ,thương các hàm số liên tục tại 1 điểm.

TXĐ:D=R \{ 2; ,k }

hàm số liên tục tại mọi điểm x và x( k

+ x > 1 : f(x) = ax + 2

Hàm số liên tục trên (1 ; +

+ x< 1: f(x) = x

Hàm số liên tục trên (-

f(1) = a +2 .

.

a =-1thì hàm số liên tục trên R.

a -1 thì hàm số liên tục trên

( - .

  GV treo bảng phụ hình 59/ SGK và giải thích.

  GV nhấn mạnh ĐL 3 được áp dụng đẻ CM sự tồn tại nghiệm của phương trình trên 1khoảng.

a = -1 ; b = 1

hàm số f(x) = x + x -1  liên tục trên R nên liên tục trên đoạn [-1;1]

     f(-1) = -3

     f(1) = 1

f( -1) .f(1) = -3 < 0.

GV nêu câu hỏi:

Thế nào là hàm số liên tục tại 1 điểm?

   Tìm TXĐ của hàm số?

Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 2 ta kiểm tra điều gì?

Hãy tính  ?               f(2)=?

Kết luận gì về tính liên tục của hàm số tại x0 = 2?

+ Tìm TXĐ ?

+Tính f(1)?

+Tính

   + a = ? thì hàm số liên tục tại x0=1?

+ a = ? thì hàm số gián đoạn tại x0 = 1?

Tìm TXĐ?

Hàm số liên tục tại x0 = 0 khi nào?

Tính f(0)?

  Tính

Tính

Nhận xét và   

Kết luận gì?

   Hàm số liên tục trên  nửa khoảng (a ; b ] , [a ; + được định nghĩa như thế nào?

Các hàm đa thức có TXĐ là gì?

Các hàm đa thức liên tục trên R.

  Tìm TXĐ?

kết luận gì về tính liên tục của hàm số ?

+ x > 1 : f(x) = ?

kết luận gì về tính liên tục của hàm số?

+ x< 1 : f(x) = ?

kết luận gì về tính liên tục của hàm số?

+ Xét tính liên tục của hàm số tại x = 1?

Tính f(1)?

kết luận gì về tính liên tục của hàm số trên toàn trục số?

HS quan sát hình vẽ

a = ?,  b = ?

hàm số f(x) = x + x -1  liên tục ko?

Tính f (-1)?

         f(1) ?

Kết luận gì về  dấu  của          f(-1)f(1)?

I. Hàm số liên tục tại một điểm

Định nghĩa1:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0 .Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu

* Hàm số y = f(x) không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

Ví dụ:

1.Xét tính liên tục của hàm số:

        f(x)= tại x0 = 2

    TXĐ : D = R\{3}

f(2) =

Vậy hàm số liên tục tại x0 =2

2.Cho hàm số

f(x) =

Xét tính liên tục của hàm số tại x0= 1

                 TXĐ: D = R

f(1) = a

              =

+ a =2 thì

      Vậy hàm số liên tục tại x0 = 1

+ athì

       Vậy hàm số gián đoạn tại x0 = 1

3. Cho hàm số f(x) =

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0

      TXĐ: D = R

f(0) = 0

Vì

Nên  không tồn tại và do đó hàm số không liên tục tại x0 = 0.

II. Hàm số liên tục trên một khoảng.

Định nghĩa 2:

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên 1 khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

+ hàm số  y = f(x) được gọi là liên tục trên [a ; b] nếu nó liên tục trên

(a ;b)  và

Chú ý: đồ thị của 1 hàm số liên tục trên 1 khoảng  là 1 “đường liền”  trên khoảng đó.

III,Một số định lí cơ bản.

ĐL 1: SGK

ĐL 2: SGK.

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số

          y =

  TXĐ : D = R \{ 2; ,k }

Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm x và x( k

Ví dụ: Cho hàm số

f(x) =

Xét tính liên tục của hàm số trên toàn  trục số.

+x >1 : f(x) = ax + 2 nên hàm số liên tục.

+x < 1: f(x) = xnên hàm số liên tục.

+tại x = 1:

f(1) = a +2 .

.

a = -1 thì

nên hàm số liên tục tại x = 1.

a hàm số gián đoạn tại x = 1

Vậy:a = -1 thì hàm số liên tục trên R.

a -1 thì hàm số liên tục trên

( - .

ĐL 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [ a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất 1 điểm c ( a; b) sao cho f( c) = 0.

Nói cách khác:

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên

[a ; b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong (a ; b).

Ví dụ : Chứng minh rằng phương trình :x + x -1 có nghiệm trên(-1;1).

Giải: Hàm số f(x) = x + x -1 liên tục trên R nên f(x) liên tục trên [-1; 1] .

f(-1) = -3

f(1) = 1

do đó f( -1) .f(1) = -3 < 0.

Vậy phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc ( -1; 1).

Hoạt động của HS

Hoạt động của GV

Nội dung

TXD: D = R

g (2) = 5

Hàm số y = g(x) không liên tục tại 

Học sinh trả lời

- HS vẽ đồ thị

- Dựa vào đồ thị nêu các khoảng để hàm số y = f(x) liên tục

-Dựa vào định lí chứng minh hàm số liên tục trên các khoảng

và

-Xét tính liên tục của hàm số tại

-Tìm tập xác định của các hàm số

- Hàm số y = f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R

- Chon a = 0, b = 1

- Chọn c = -1, d = -2

-Hàm số: f(x) = cosx –x liên tục trên R

- Chọn a = 0, b = 1

HD: Tìm tập xác định?

Tính  và f ( 2)

rồi so sánh

HD: Thay số 5 bởi số nào để hàm số liên tục tại  

tức là để 

HD: - Vẽ đồ thị y = 3x + 2 khi

x < - 1 ( là đường thẳng)

  - Vẽ đồ thị  y = nếu  ( là đường parabol )

-Gọi HS chứng minh khẳng định ở câu a/ bằng định lí

- HD: Xét tính liên tục của hàm số y = f(x) trên TXD của nó

HD: Tìm TXD của các hàm số , áp dụnh tính chất của hàm số liên tục

HD: Xét tính liên tục của hàm số này và tìm các số a, b, c, d sao cho: f(a).f(b) < 0 và

f(c).f(d) < 0

Biến đổi pt: cosx = x   trở thành

  cosx – x = 0

Đặt f (x) = cosx – x

Gọi HS làm tương tự câu a/

Bài tập 2:

a/ Xét tính liên tục của hàm số

y = g (x) tại

KL: Hàm số y = g(x) không liên tục tại 

b/ Thay số 5 bởi số 12

Bài tập 3:

a/ Hàm số y = f(x) liên tục trên các khoảng  và

b/ -Hàm số liên tục trên các khoảng và

- Tại 

Hàm số không liên tục tại

Bài tập 4:

-Hàm số y = f(x) liên tục trên các khoảng

- Hàm số y = g(x) liên tục trên các khoảng

Bài tâp 6: CMR phương trình:

a/  có ít nhất hai nghiệm

b/ cosx = x   có nghiệm