Chuyên đề bất đẳng thức

Ph­¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc

i/ dïng ®Þnh nghÜa vµ tÝnh chÊt

1/ §Þnh nghÜa:

Khi hai biÓu thøc A vµ B nèi víi nhau bëi mét trong c¸c quan hÖ “>”;  “”; ”<”;  “” th× ta b¶o cã mét bÊt ®¼ng thøc:

  A>B,  ,  A    

Khi ®ã ta viÕt:

• A>B A-B >0 (®äc lµ A lín h¬n B) A vµ B lµ hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc.
• (®äc lµ A lín h¬n hay b»ng B)

Ghi nhí:Mét B§T cã thÓ ®óng, cã thÓ sai nh­ng khi ph¶i cm mét B§T mµ kh«ng râ g× h¬n, th× ta hiÓu r»ng ®ã lµ mét B§T ®óng.

2/ C¸c tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc:

 1 TÝnh ph¶n x¹:

 2 TÝnh b¾c cÇu: vµ

 3 Céng, trõ hai vÕ cña mét B§T víi cïng mét sè thùc .

 HÖ qu¶:

  ChuyÓn vÕ ®æi dÊu:

  Céng hai B§T cïng chiÒu:

Ghi nhí:Kh«ng ®­îc trõ hai B§T cho nhau

 4 Nh©n, chia hai vÕ cña mét B§T víi cïng mét sè thùc

 5 NÕu a>b>0 hay 0>a>b (a vµ b cïng dÊu)

 6 Nh©n hai vÕ cña hai B§T cïng chiÒu

Ghi nhí: Kh«ng ®­îc chia hai B§T cho nhau.

HÖ qu¶:

3/ VÝ dô ¸p dông:

 Cho x,y,z lµ 3 sè tïy ý. Chøng minh r»ng

 Gi¶i:

 a/ Ta lu«n cã:

 Céng (1),(2),(3) theo vÕ vµ nhãm c¸c ®¬n thøc cã nh©n tö chung cho ta ®iÒu ph¶i chøng minh:

 b/ Ta cã:

      Ngoµi ra ta lu«n cã:

    Céng vÕ theo vÕ vµ rót gän cho ta:

    Do ®ã:

    VËy:

4/ Bµi tËp tù gi¶i:

 Bµi 1: Cho hai sè x vµ y mµ x+y=1. Chøng minh r»ng:

 Bµi 2: Cho x+y=2. Chøng minh r»ng

 Bµi 3: Chøng minh r»ng nÕu x+y+z=1 th×

 Bµi 4: Cho ba sè x,y,z tïy ý. Chøng minh r»ng:

 Bµi 5: Cho ba sè d­¬ng x,y,z vµ x+y+z=4. Chøng minh r»ng:

 Bµi 6: Cho hai sè d­¬ng x,y vµ .

  Chøng minh r»ng:

 Bµi 7: Cho ba sè d­¬ng x,y,z tháa m·n ®iÒu kiÖn .

  Chøng minh r»ng:

ii/ dïng phÐp biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng:

 1/ §­êng lèi chung:

 §Ó chøng minh ®¼ng thøc lµ ®óng b»ng ph­¬ng ph¸p biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng ta biÕn ®æi:

    (1)

  (2)

 Theo gi¶ thiÕt hay theo tÝnh chÊt c¬ b¶n ®· biÕt ta cã (2) cuèi cïng hiÓn nhiªn ®óng. Do ®ã kÕt luËn (1) lu«n ®óng.

 2/ VÝ dô ¸p dông:

 Cho hai sè x, y sao cho . Chøng minh r»ng:

 Gi¶i:

 Dïng phÐp biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng ®Ó chøng minh, ta lÇn l­ît cã:

 Do nªn bÊt ®¼ng thøc (2) hiÓn nhiªn ®óng. VËy (1) lu«n ®óng.

3/ C¸c bµi tËp tù gi¶i:

Bµi 1: Chøng minh r»ng víi mäi x,y ta cã bÊt ®¼ng thøc:

Bµi 2: Cho hai sè d­¬ng x,y.

 Chøng minh r»ng:

Bµi 3: Cho bèn sè a,b,c,d, bÊt kú.

 Chøng minh r»ng:

Bµi 4: Cho ba sè a,b,c sao cho

 Chøng minh r»ng:

Bµi 5: Chøng minh r»ng víi n¨m sè c,b.c,d,e bÊt kú, bao giê ta còng cã:

Bµi 6: Chøng minh r»ng nÕu a>0, b>0 th× ta cã:

Bµi 7: Cho

Chøng minh r»ng:

Iii/ dïng B§T trung gian:

1/ Ph­¬ng ph¸p chung: Dïng B§T C«si víi hai sè kh«ng ©m:

 Cho hai sè ta cã B§T C«si sau:

 DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi x=y.

 Ta cã thÓ cm nh­ sau:

 V× nªn:

 DÊu “=” x¶y ra

2/ VÝ dô ¸p dông:

 Cho ba sè x, y, z kh«ng ©m. Chøng minh r»ng:

 Gi¶i:

 V× nªn ¸p dông B§T C«si víi hai sè kh«ng ©m cho ta:

 Do ®ã céng vÕ theo vÕ ba B§T cïng chiÒu cho ta

 VËy:

3/ C¸c bµi tËp tù gi¶i:

 Bµi 1: Cho bèn sè a,b,c,d kh«ng ©m. Chøng minh r»ng:

Bµi 2: Víi . Chøng minh ®¼ng thøc:

 Bµi 3:Cho vµ . Chøng minh r»ng: 

iV/ dïng B§T vÒ ba c¹nh cña mét tam gi¸c:

1/ Ph­¬ng ph¸p chung:

Víi a,b,c lµ ba ®é dµi c¹nh cña mét tam gi¸c

 Tõ ba B§T vÒ tæng hai c¹nh cña mét tam gi¸c ta suy ra ®­îc ba bÊt ®¼ng thøc vÒ hiÖu hai c¹nh:

2/ VÝ dô ¸p dông:

 Chøng minh r»ng nÕu a,b,c lµ ®é dµi c¸c c¹nh cña mét tam gi¸c th× ta cã:

 Gi¶i:

 ¸p dông B§T vÒ ba c¹nh a,b,c cña mét tam gi¸c cho ta:

 Céng ba vÕ cña B§T cïng chiÒu (1), (2), (3) vÕ theo vÕ cho ta:

 VËy B§T ®· ®­îc chøng minh.

 3/ Bµi tËp tù gi¶i:

 Bµi 1: Chøng minh r»ng nÕu a,b,c lµ ®é dµi c¸c c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng: