Chuyên đề bất đẳng thức

BẤT ĐẲNG THỨC
Bất đẳng thức là dạng toán thường gặp trong các kỳ thi, đòi hỏi mức độ tư duy, sự sáng tạo của người học. Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức nhưng trong khuôn khổ chủ đề này, tác giả chỉ giới thiệu một số phương pháp thường gặp như biến đổi tương đương, sử dụng các bất đẳng thức kinh điển (Cô-si, Bunhi-a-cốp-xki), sử dụng tính chất hình học, sử dụng phản chứng, sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình hoặc miền giá trị của hàm số, sử dụng tính chất của hàm số,…
Mỗi phương pháp được đề cập đều có những ví dụ điển hình và những lời bàn để bạn đọc hiểu sâu sắc hơn về phương pháp, kỹ thuật được sử dụng trong lời giải của ví dụ đó. Bên cạnh đó, có những ví dụ tác giả còn đề xuất thêm những câu hỏi trắc nghiệm khách quan ở các mức độ khác nhau giúp cho các em học sinh có cái nhìn tổng quát hơn trước mỗi câu hỏi trắc nghiệm. Từ đó, các em có thể tự mình đề xuất, phát triển hoặc sáng tạo các câu hỏi trắc nghiệm từ một câu hỏi tự luận hoặc câu hỏi trắc nghiệm khách quan khác.
(((
A. Lý thuyết
I. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
1. Bất đẳng thức
Giả sử a và b là hai số thực. Các mệnh đề “
”, “
”, “
”, “
” được gọi là những bất đẳng thức.
Một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai. Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.
2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Cho f là biểu thức chứa biến (chứa một biến hoặc nhiều biến), và biến số thỏa mãn điều kiện T.
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của biểu thúc f, viết là
, nếu:
(1)
M với mọi giá trị của biến thỏa mãn điều kiện T.
(2) Tồn tại bộ giá trị của các biến số thỏa mãn điều kiện T sao cho

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f, viết là
, nếu:
(1)
với mọi giá trị của biến thỏa mãn điều kiện T.
(2) Tồn tại bộ giá trị của các biến số thỏa mãn điều kiện T sao cho

Như vậy: Để tìm giá trị lớn nhất (tương tự đối với giá trị nhỏ nhất) của biểu thức f, ta có thể trình bày lời giải như sau:
- Bước 1:Chứng minh với mọi giá trị của biến số thỏa mãn điều kiện T đều xảy ra bất đẳng thức
, trong đó M là một hằng số không phụ thuộc vào các biến của f.
- Bước 2: Chứng minh hoặc chỉ ra tồn tại bộ giá trị của biến (không nhất thiết phải tìm ra tất cả) thỏa mãn điều kiện T sao cho
.
- Bước 3: Kết luận
.

II. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
Trong khi chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thúc chúng ta thường sử dụng các tính chất cơ bản sau đây của bất đẳng thức:
1.
và
.
2.
.
3. Nếu
thì
.
4. Nếu
thì
.
5.
và
.
6.
và
.
7.
và
.
8.

.
9.
.
10.
và
.
11.
.
12.
. Đẳng thức xảy ra khi
.
13.
, với mọi
.
14. Với
thì
.
15. Với
thì
hoặc
.
16. Với mọi
, ta có
.
Đẳng thức xảy ra ở (1) khi
; đẳng thức xảy ra ở (2) khi
.

III. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP
1. Sử dụng biến đổi tương đương và các bất đẳng thức đúng đã biết
a. Nội dung phương pháp
Để chứng minh bất đẳng thức
theo hướng này, chúng ta có thể làm theo một trong các cách sau đây:
- Cách 1:Lập hiệu
. Sử dụng biến đổi tương đương, các tính chất cơ bản của bất đẳng thức và các kết quả đã biết để chỉ ra
.
- Cách 2: Bằng kiến thức đã biết và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta đánh giá vế trái để được
.
- Cách 3: Bằng kiến thức đã biết và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta đánh giá vế phải để được
.

Chứng minh bất đẳng thức theo các cách nêu trên, ngoài sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta thường sử dụng các kết quả sau:
(1):
.
(2):
với mọi x sao cho
xác định.
Đặc biệt,
.
(3):
, với mọi a