A.Tóm tắt lý thuyết
I. Định Nghĩa.
II. Tính chất của bất đẳng thức.
1.
2. Tính chất bác cầu.
3. Tính chất đơn điệu của phép cộng (liên hệ giữa thứ tự và phép cộng).
4. Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều, ta được bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
5. Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều ta được bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ.
.
6. Tính chất đơn điệu của phép nhân (liên hệ giữa thứ tự và phép nhân)
Chú ý: Phép chia tương tự phép nhân .
7.Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều, mà các vế đều không âm
8. Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương.
9. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số.
Với thì
Chú ý: - Trong các bất đẳng thức trên, nhiều bất đẳng thức có thể thay bằng
Áp dụng cho các biểu thức.
III. Các tính chất của hằng bất đẳng thức.
1.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 0.
2. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 0.
3. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 0.
4. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
5. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Chú ý: Các tính chất trên áp dụng cho cả biểu thức.
6.
IV. Một số bất đẳng thức quen thuộc.
1.Bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm.
ta có.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai cặp số.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
3.
4. Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi .
6.
7.
8. Với : Nếu thì
9. Với cùng dấu ta có: Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi .
10. Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi
Hay: .
11. Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi .
12. Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi .
13. Với .Ta Có
.
14. . .
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi .
15. .
B. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
I.Phương pháp dùng Định nghĩa
Để chứng minh Ta chứng minh hoặc
Ví dụ1:
Cho và Chứng minh:
Lời giải:
Ta có: Vì , Mặy khác
Suy ra: vậy Với
Tương tự như trên ta có thể xét .
Ví dụ2:
Chứng minh:
a. .
b. .
Lời giải:
a. Ta chứng minh
Vậy . Đẳng thức xảy ra
. Ta chứng minh
Ta có
Vậy . Đẳng thức xảy ra
Vậy . Đẳng thức xảy ra
Ta có
Vậy Đẳng thức xảy ra
Ví dụ3:
Chứng minh: .
Lời giải:
Ta xét
Đặt
Ta có
Đẳng thức xảy ra
hay
Vậy
Đẳng thức xảy ra
Ví dụ4:
Cho Chứng minh .
Lời giải: Xét hiệu
Vì
Đẳng thức xảy ra
Vậy với thì
Đẳng thức xảy ra
Ví dụ5:
Chứng minh :
Lời giải: Xét hiệu
nguon VI OLET
