Chuyên đề bồi giỏi

I. PHƯƠNG TRÌNH
1. Không có tham số
Dạng 1: Biến đổi tương đương
Giải phương trình

Lời giải
+Biến đổi phương trình tương đương :



Giải phương trình

Lời giải
Điều kiện:

Nhận thấy
là một nghiệm của phương trình.
Xét
Khi đó phương trình đã cho tương đương với



Vì
nên
và
Suy ra
vì vậy


Do đó phương trình

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là
hoặc

[Đề thi hsg Bắc Sơn, Lạng Sơn] Giải phương trình sau :

Lời giải



Giải phương trình:
,với
.
Hướng dẫn giải.








Giải phương trình
.
Hướng dẫn giải.


Tìm được nghiệm duy nhất x=2/3
Tìm nghiệm nguyên của phương trình
.
Hướng dẫn giải
Ta có:






Vì 7 là số nguyên tố nên ta có các trường hợp sau:

;
;
;

Giải ba hệ phương trình trên ta được:
.

(THPT Quảng Xương 2 – Thanh Hóa, 2009-2010) Giải phương trình:


Hướng dẫn giải
Đặt
ta được

Giải ta được
suy ra


Dạng 2: Đặt ẩn phụ
Giải phương trình trên tập số thực:
(1).
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
.



không là nghiệm của phương trình.

.
Đặt
.
Phương trình trở thành:

.
Khi đó ta có:

. Vậy
.
Giải phương trình sau trên tập số thực:
.
Hướng dẫn giải
Phương trình (1)
.

Đặt
. Ta có phương trình:

(*).

.
Phương trình (*)






.
Vậy
.
Giải phương trình sau trên tập số thực:
.
Hướng dẫn giải
Đặt
. Điều kiện:

Ta có:

Thay vào phương trình ta được:




+)
: phương trình vô nghiệm do



Vậy
là nghiệm phương trình.

Giải phương trình sau


Lời giải
Nhận xét rằng
không là nghiệm của phương trình đã cho.
Suy ra
. Chia cả hai vế của phương trình cho
rồi đặt
, ta có phương trình


Xét hàm số
.
Ta có hàm số
liên tục trên
và
.
Suy ra hàm số
luôn đồng biến trên khoảng
.
Khi đó phương trình đã cho có dạng


(do
)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là
và
.
Giải phương trình sau :

Lời giải
Đặt
.





Điều kiện xác định:

Đặt
Ta có
.
Phương trình đã cho trở thành







(tm đk).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là


Giải phương trình:
(1)
Điều kiện:


và
do đó
và
.
(1) (

(

Đặt: a = 8 + 4
> 1, t = x2 – 2x -12. Điều kiện: t > 0.
Do đó: (1) ( lna + 1(t + 1) = lnat
Cách 1: (1) ( lna + 1(t + 1) = lnat
.
Từ (I) ta được:

y = 1: là nghiệm của (2).
y < 1:
, y < 1:
.
Nên (2) có nghiệm duy nhất: y = 1. Do đó: (1) t = a ( x2 – 2x – 12 = 8 + 4
( thỏa *)
( x2 – 2x – 20 - 4
= 0 ( x = 2 + 2
hoặc x = -2
.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2 + 2
hoặc x = -2
.
Cách 2: Xét hàm số y = f(t) = lna + 1(t + 1) - lnat (a >1
Ta được:
vì a > 1, nên hàm số giảm trên (0; +() và ta có f(t) = 0 có nghiệm t = a nên f(t) có nghiệm duy nhất t = a.
Vậy: (1) (1) ( lna + 1(t + 1) = lnat ( t = a x2 – 2x – 12 = 8 + 4
( thỏa *)
( x2 – 2x – 20 - 4
= 0 ( x = 2 + 2
hoặc x = -2
.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2 + 2
hoặc x = -2
.

Giải phương trình:
(1).

nên điều kiện là: x