A . §Æt vÊn ®Ò

  

------------------------------------

I - Lý do chän ®Ò tµi

Nh­ chóng ta ®· biÕt ph­¬ng tr×nh bËc hai lµ mét néi dung quan träng cña ch­¬ng tr×nh ®¹i sè líp 9, c¸c bµi to¸n liªn quan ®Õn ph­¬ng tr×nh bËc hai lµ v« cïng phong phó. Do vËy kh¶ n¨ng gÆp ph­¬ng tr×nh bËc hai trong c¸c k× thi  tuyÓn sinh vµo THPT, vµo c¸c tr­êng chuyªn, líp chän lµ rÊt cao. Mµ ®Æc biÖt lµ c¸c bµi to¸n liªn quan ®Õn ®Þnh lý Viet.

Tuy nhiªn ph©n phèi ch­¬ng tr×nh cho phÇn ®Þnh lý Viet lµ rÊt Ýt (1 tiÕt lý thuyÕt, 1 tiÕt bµi tËp), v× thÕ ®¹i ®a sè häc sinh th­êng lóng tóng khi ®øng tr­íc c¸c bµi to¸n cã liªn quan ®Õn ®Þnh lý Viet vµ øng dông mét sè øng dông cña ®Þnh lÝ nµy. Tr­íc thùc tÕ ®ã, nh»m gióp c¸c em n¾m ®­îc mét c¸ch cã hÖ thèng vµ cã kh¶ n¨ng gi¶i quyÕt ®­îc c¸c bµi tËp vÒ phÇn nµy mét c¸ch thµnh th¹o, nh»m ph¸t huy kh¶ n¨ng suy luËn, ãc ph¸n ®o¸n, tÝnh linh ho¹t cña häc sinh, chóng t«i  ®· nghiªn cøu vµ viÕt chuyªn ®Ò:

“Mét sè øng dông cña ®Þnh lý Viet”

II. Môc ®Ých nghiªn cøu

- Thø nhÊt: XuÊt ph¸t tõ nhu cÇu thùc tÕ vËn dông cña häc sinh, tr­íc nh÷ng thiªn h­íng tèt, ch­a tèt mµ t«i thÊy rÊt cÇn ph©n lo¹i vµ mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i cho c¸c em

- Thø hai: B¶n th©n ng­êi thÇy còng rÇt cÇn trau dåi tù häc vµ tham kh¶o lµm chñ kiÕn thøc

III. Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu

- Nghiªn cøu nh÷ng vÊn ®Ò lý thuyÕt vÒ phu¬ng tr×nh bËc hai, ®Þnh lý Viet trong ch­¬ng tr×nh ®¹i sè líp 9

- Nghiªn cøu qua nh÷ng tµi liÖu tham kh¶o, nh÷ng chuyªn ®Ò båi d­ìng häc sinh giái

- Qua thùc tÕ gi¶ng d¹y ®Æc biÖt lµ tõ kinh nghiÖm båi dùìng häc sinh giái, «n tËp cho häc sinh thi vµo THPT.

- Qua trao ®æi , häc hái kinh nghiÖm cña b¹n bÌ ®ång nghiÖp, nh÷ng ®ång chÝ cã nhiÒu n¨m c«ng t¸c, cã bÒ dµy kinh nghiÖm

IV. NhiÖm vô cña ®Ò tµi

§Ò cËp tíi mét sè øng dônh cña ®Þnh lý Viet. Rót ra mét sè nhËn xÐt vµ chó ý khi lµm tõng d¹ng , c¸ch gi¶i quyÕt tõng d¹ng. Tõ ®ã dÇn h×nh thµnh kh¶ n¨ng tæng hîp, kh¸i qu¸t vµ c¸c n¨ng lùc t­ duy kh¸c cho häc sinh.

V. Giíi h¹n nghiªn cøu

- Chuyªn ®Ò nµy ¸p dông ®­îc víi mäi ®èi t­îng häc sinh. Tuy nhiªn víi mçi ®èi t­îng th× gi¸o viªn cÇn lùa chän hÖ thèng bµi tËp víi møc ®é khã, dÔ phï hîp.

- Chuyªn ®Ò nµy ¸p dông tèt nhÊt trong viÖc «n luyÖn häc sinh giái, h­íng dÉn häc sinh «n thi vµo THPT, ®Æc biÖt lµ «n thi vµo c¸c tr­êng chuyªn, líp chän.

b. gi¶i quyÕt vÊn ®Ò

  

------------------------------------

I – cë së cña lý thuyÕt

1. §iÒu kiÖn vÒ nghiÖm cña ph­¬ng bËc hai mét Èn

Ph­¬ng tr×nh:    ax2 + bx + c = 0   (*).

a) NÕu < 0 th× (*) v« nghiÖm

b) NÕu = 0 th× (*) cã nghiÖm kÐp:

c) NÕu > 0 th× (*) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt ;

* NÕu (*) cã nghiÖm, gäi nghiÖm ®ã lµ x1, x2 th×: (Viet)

PhÇn I. Mét sè øng dông cña ®Þnh lÝ viÐt

D¹ng 1:

I. Ph­¬ng ph¸p gi¶i

XÐt ph­¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a 0) (*)

1. NÕu a + b + c = 0 th× (*) cã 2 nghiÖm 

2. NÕu a - b + c = 0 th× (*) cã 2 nghiÖm 

3. NÕu ; vµ th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm:

  hoÆc

II. Mét sè vÝ  dô

H­íng dÉn:

a. ë phÇn nµy HS dÔ nhËn thÊy a + b + c 0, a - b + c 0, nh­ng cã a.c = < 0. Do ®ã ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt . ¸p dông hÖ thøc ViÐt cã: VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ: vµ

b. §©y lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai cã: a + b + c

(Víi m 2; m 3). Nªn ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm ph©n biÖt

c. ë ph­¬ng tr×nh nµy kh«ng Ýt HS sai lÇm vµ véi vµng kÕt luËn ngay:

a – b + c = m – 3 + m + 1 – 2m + 2 = 0. Nªn ; mµ kh«ng thÊy ®­îc ph­¬ng tr×nh ®· cho ch­a ph¶i lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai.

V× vËy ta cÇn xÐt m – 3 = 0; m – 3 0, råi nhÈm nghiÖm.

Gi¶i:

+ NÕu m – 3 = 0 m = 3 th× ph­¬ng tr×nh (3) trë thµnh -4x – 4 = 0  x = -1

+ NÕu m – 3 0 m 3 ph­¬ng tr×nh (3) cã a – b + c = 0, nªn cã 2 nghiÖm .

KÕt luËn:

Nh­ vËy, khi ta ph¶i nhÈm nghiÖm cña PT d¹ng: ax2 + bx + c = 0 ( a 0) (*) th× ta cÇn

+ XÐt a = 0 sau ®ã nhÈm nghiÖm

+ XÐt a 0 kiÓm tra sau ®ã nhÈm nghiÖm

Trong thùc tÕ HS cã thÓ ph¶i nhÈm nghiÖm cña PT bËc ba hoÆc bËc 4 (d¹ng ®Æc biÖt). §Ó gi¶i quyÕt ®­îc tèt c¸c ®Þnh lÝ, khi ®ã ph¶i ®­a c¸c PT Êy vÒ d¹ng PT bËc 2 nhÈm ®­îc nghiÖm.

H­íng dÉn

PT (4) cã tæng c¸c hÖ sè lµ: 5 + 1 – 5 – 1 = 0, nªn PT (4) cã nghiÖm x = 1.

Khi ®ã ta ®­a PT (4) vÒ d¹ng: (x -1)(5x2 + 6x + 1) = 0, nhÈm tiÕp nghiÖm: 5x2 + 6x + 1 = 0

KÕt qu¶ ph­¬ng tr×nh (4) cã 3 nghiÖm: x1 = 1; x 2 = -1; x3 =

H­íng dÉn:   Ph­¬ng tr×nh trªn cã d¹ng 5x2 (x +1) – 6 ( x+ 1)2 = 0 (5)

NhËn thÊy x = -1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (5) nªn ta chia 2 vÕ cho ( x +1)2 ta ®­îc:

 + 5 - 6 = 0

§Æt ta ®­îc + 5 – 6 = 0

DÔ dµng nhËn ®­îc = 1 ; = -6

Sau ®ã gi¶i tiÕp t×m ®­îc x

D¹ng 2:

I. Ph­¬ng ph¸p gi¶i

§èi víi bÊt ph­¬ng tr×nh gi÷a c¸c nghiÖm cña mét ph­¬ng tr×nh.

ë d¹ng nµy biÓu thøc ta cã thÓ gÆp lµ biÓu thøc ®èi xøng hoÆc kh«ng ®èi xøng gi÷a c¸c nghiÖm.

Víi biÓu thøc ®èi xøng ta cã thÓ biÓu thÞ biÓu thøc ®ã theo S = x1 + x2 vµ P = x1 x2 nhê ®ã cã thÓ tÝnh ®­îc gi¸ trÞ cña biÓu thøc mµ kh«ng ph¶i gi¶i ph­¬ng tr×nh.

II. Mét sè vÝ dô

Gi¶i:  Theo ®Þnh lý viÐt ta cã:

S = + = =

S = =

Víi biÓu thøc kh«ng ®èi xøng 2 nghiÖm tr­íc hÕt ta còng ph¶i tÝnh S = x1 + x2 ; P = x1 . x2 Sau ®ã cÇn kÐo biÕn ®æi biÓu thøc ®ã nhiÒu xuÊt hiÖn S vµ P tõ ®ã ta tÝnh ®­îc gi¸ trÞ cña biÓu thøc.

H­íng dÉn: Ph­¬ng tr×nh (*) cã 0 Ph­¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 . Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t. Gi¶ sö x1 x2 .

¸p dông ®Þnh lý viÐt, ta cã S = x1 + x2 = vµ P = x1 . x2 =

ta cã = (x1 - x2 ) = (x1 - x2 )

Do x1 x2 nªn

x1 - x2 = = =

VËy = = = = 1

H­íng dÉn:

 a. ë ®©y kh«ng biÎu diÔn trùc tiÕp ®­îc d­íi d¹ng x1 + x2 vµ x1 . x2 . Tuy nhiªn ta cã thÓ biÓu diÔn S = =

Nh­ vËy ta ph¶i tÝnh ; theo a.

ThËt vËy kÝ hiÖu . Theo ViÐt ta cã:

Do ®ã

 =

VËy

b. §Ó t×m mét ®a thøc bËc 7 nhËn lµm nghiÖm nghÜa lµ ta ph¶i t×m mét ®a thøc bËc 7 mµ khi thay vµo thÕ gi¸ trÞ cña ®a thøc b»ng 0: Theo phÇn a  cã:

=

- (1)

Nh­ vËy tr­íc hÕt ta ph¶i lËp 1 ph­¬ng tr×nh bËc 2 cã lµ hÖ sè:

§Æt ; ta cã:

x1 + x2 = ;       x1 . x2 =

Do ®ã x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh

Theo (1)

15

VËy ®a thøc cÇn t×m lµ 15

Víi biÓu thøc cÇn tÝnh lµ biÓu thøc mµ kh«ng ®èi xøng gi÷a c¸c nghiÖm tr­íc hÕt ta t¸ch S =x1 + x2 ;  P= x1 . x2 sau ®ã cÇn cã sù nh×n nhËn mét c¸ch linh ho¹t khÐo lÐo ®Ó biÕn ®æi biÓu thøc ®· cho nh»m x hiÖu S; P tõ ®ã tÝnh ®­îc gi¸ trÞ cña biÓu thøc.

H­íng dÉn :   ë ®©y biÓu thøc A kh«ng ph¶i lµ biÓu thøc ®èi xøng gi÷a 2 vÕ nghiÖm x1 , x2 .Nh­ vËy nÕu ®Ó ý kü ta thÊy

(§Ò thi vµo líp 10 THPT NguyÔn Tr·i n¨m häc 2005-2006)

Cã x1 + x2 = 5;    x1 . x2 = 3   x1 ,  x2

V× x1 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh nªn

=

=

Khi ®ã A =

= 5+2 - 2

A = 1 ( v× A

* ë VD7 sau kh«ng cã mÆt nh­ng véi v»ng b×nh ph­¬ng 2 vÕ ngay khi ®ã gÆp bÕ t¾c. ThÕ nh­ng nÕu häc sinh khÐo thay thÕ bëi nh­ trªn víi b×nh ph­¬ng 2 vÕ th× gi¸ trÞ cña biÓu thøc A tÝnh ®­íc 1 c¸ch dÔ dµng . Víi nh÷ng biÓu thøc mµ cã chøa luü thõa bËc cao th× viÖc biÓu diÔn luü thõa bËc cao cña 1 nghiÖm qua luü thõa thÊp h¬n cña nghiÖm ®ã còng lµ 1 ph­¬ng ¸n ®«i khi gióp cho viÖc tÝnh to¸n thuËn lîi h¬n nhiÒu. Víi ph­¬ng tr×nh  acã 2 nghiÖm x1 , x2 vµ S = x1 + x2 ; P = x1 . x2 . Khi ®ã :

=

    =

    =

.

H­íng dÉn: Theo ®Þnh lÝ ViÐt cã S = 2; P = - 1. ¸p dông c¸c hÖ thøc trªn ta cã:

; 

     =

Ta cã :

A=

B =

    =

   =

    =

V× ph­¬ng tr×nh cã ac = -1 0 nªn , tr¸i dÊu mµ Khi ®ã

B = 3

B = 3

   = 3.2 -

*. §èi víi biÓu thøc gi÷a c¸c nghiÖm cña hai ph­¬ng tr×nh. Trong thùc tÕ nhiÒu khi ta ph¶i tÝnh biÓu thøc gi÷a c¸c nghiÖm cña hai ph­¬ng tr×nh . §Ó lµm ®­îc c¸c bµi tËp kiÓu nµy ta ph¶i t×m S,P trong tõng ph­¬ng tr×nh råi xem xÐt, thay thÕ 1 c¸ch hîp lý ( th­êng th× ph¶i thay thÕ nhiÒu lÇn ) ta sÏ t¸ch ®­îc gi¸ trÞ cña biÓu thøc ®ã.

H­íng dÉn: Theo hÖ thøc ViÐt ta cã:

vµ 

Do ®ã

        = 1 +

        =

vµ

            = 1 +

            =

   M =

M =

M =

M=

M=

M=

H­íng dÉn:   V× a,b lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh :

      b,c lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh : nªn theo  ®Þnh lý ViÐt ta cã : 

   ;  

Ta cã =

         =

        = b

       =

      =   ( §iÒu ph¶i chøng minh)

Bµi tËp ¸p dông :

BT1. Cho ph­¬ng tr×nh : Kh«ng tÝnh nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh. h·y tÝnh:

BT2. Cho ph­¬ng tr×nh : Kh«ng tÝnh nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh , h·y t×m gi¸ trÞ cña mçi biÓu thøc:

A=

B = -

C.

BT3.  Cho ph­¬ng tr×nh Kh«ng tÝnh nghiÖm vµ theo m, h·y tÝnh .

A =

B =

C =

4. Cho ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm TÝnh theo a,b,c c¸c biÓu thøc

 A=

 B=

5. cho ph­¬ng tr×nh gäi lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh trªn. TÝnh :

 A=

 B =

6. Cho ph­¬ng tr×nh gäi lµ 2 nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh. T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó.

   ( thi häc sinh giái n¨m 2002 -2003)

7. Cho ph­¬ng tr×nh   cã 2 nghiÖm . h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc

A =

 B=

8. Cho ph­¬ng tr×nh gäi lµ nghiÖm ©m cña ph­¬ng tr×nh. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc. C =

9. Cho ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm .tho¶ m·n

CMR :

10. Gi¶ sö ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm vµ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm

CMR 2

D¹ng 3: øng dông ®Þng lý ViÐt vµo viÖc t×m 2 sè biÕt tæng vµ tÝch cña chóng.

 NÕu hai sè v vµ V cã tæng v + V = S vµ tÝch u.v =p th× v vµ V lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh . (*) . §iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm lµ hay . §ã chÝnh lµ ®iÒu kiÖn tån t¹i hai sè v vµ V mµ tæng v + V  = S vµ v .V =P . Nh­ vËy khi biÕt tæng hai sè th× ta sÏ t×m ®­îc hai sè ®ã th«ng qua tÝch gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc hai.

H­íng dÉn: Gäi x,y lµ ®é dµi cña 2 c¹nh h×nh ch÷ nhËt ( ) .

Theo gi¶ thiÕt ta cã x+y= 2a

x.y=

Do ®ã x,y lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh

   (1)

Cã

V× a,b   a+b

*. NÕu ab Ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm lµ :

V× P. S    0. VËy hai c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt lµ:

  hoÆc        

NÕu a=b =0  (1) cã nghiÖm kÐp lµ    Khi  ®ã h×nh ch÷ nhËt lµ vu«ng c¹nh a.

NÕu ab 0 (1) v« nghiÖm . khi ®ã kh«ng cã h×nh ch÷ nhËt tho¶ m·n ®Çu bµi.

H­íng dÉn: ë VD nµy dÔ dµng ph¸t hiÖn ra ®Ó t×m a vµ b tr­íc hÕt ta ph¶i x¸c ®Þnh ®­îc a.b ( phÇn a) ; a+b ( ë phÇn b;c).

a. Cã

2ab = 12 ab =6

Nªn a,b lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh :

Gi¶i ph­¬ng tr×nh nµy ta ®­îc . VËy a= 3 vµ b = 2 hoÆc a= 2 vµ b= 3.

b. cã a- b = 2 a+ (-b) = 2

    a.b =80 a.(-b) = -80

a vµ -b lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh . Gi¶i ph­¬ng tr×nh ®­îc . vËy a= 10 vµ b= 8 hoÆc a = -8 vµ b = -10.

c. Cã  

  a+b = 7 vµ ab = 10 hoÆc a+b =-7 vµ ab = 10

*. NÕu a+b = 7 vµ ab = 10  a,b lµ 2 nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh

gi¶i ph­¬ng tr×nh  ®­îc

a= -2 vµ b = -5 hoÆc a= -5 vµ b = -2.

NhËn xÐt : §Ó gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh trªn ( phÇn a) ta biÕn ®æi ®Ó t×m ®­îc x+y vµ xy sau ®ã ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh bËc 2 ®· biÕt c¸ch gi¶i.

a.    

    (I) §Æt

 (I)     

Gi¶i (1) : Theo ®Þnh lý ViÐt, x,y lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh

VËy (1) cã 2 nghiÖm (1;2) ; (2;1)

Gi¶i (2): Theo ®Þnh lý ViÐt, x,y lµ  nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh

  v× ph­¬ng tr×nh  cã nªn tr­êng hîp nµy v« nghiÖm.

VËy c¸c nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho lµ ( x;y) = ( 2;1) vµ (1;2)