chuyên đề: Phương trình đường thẳng

Lớp

Ngày  dạy

Tiết

Sĩ số

Học sinh vắng

Hoạt động của giáo viên và học sinh

Nội dung

Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm vecto chỉ phương của đường thẳng

H1: Nhận xét về giá của các vecto so với đường thẳng?

D1: Giá của các vecto và giá của đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

H2: Nêu định nghĩa vecto chỉ phương của đường thắng?

D2: Vecto được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng Δ nếu ≠ và giá của u song song hoặc trùng Δ.

H3: Một đường thẳng có bao nhiêu vecto chỉ phương?

D3: Một đường thẳng có vô số vecto chỉ phương

H4: Một đường thẳng có thể xác định nếu biết một điểm thuộc đường thẳng và vecto chỉ phương của đường thẳng hay ko?

D4: Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vecto chỉ phương của nó

1. Vecto chỉ phương của đường thẳng

Vecto được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng Δ  khi giá của song song hoặc trùng .

Nhận xét:

+ là VTVP của vecto cũng là VTCP của

+ Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vecto chỉ phương của nó

Hoạt động 2: Tìm hiểu phương trình tham số của đường thẳng

*Bài toán: Cho đường thẳng Δ đi qua cho vecto chỉ phương (u1;u2).

H1:Tìm điều kiện để điểm M(x;y) nằm trên Δ?

D1:

Ta có

M   





(tR)    (I)

H2: Khi cho t một giá trị cụ thể ta được gì ?

D2: Ta xác định được một điểm trên đường thẳng Δ.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

*Bài toán: Cho đường thẳng Δ đi qua cho vecto chỉ phương (u1;u2).

Tìm điều kiện để điểm M(x;y) nằm trên Δ?

+Ta có

M   





(tR)    (I)

a)Định nghĩa

+ Hệ phương trình (I) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng Δ, trong đó t là tham số.

Ví dụ 1: Tìm một điểm có tọa độ xác định và một vecto chỉ phương của đường thẳng có phương trình tham số:

H3: Để viết được phương trình tham số ta cần xác định những yếu tố nào?

D3: Vecto chỉ phương và một điểm thuộc đường thẳng

*Phương trình chính tắc

+ biểu diễn t theo x,y ta có:

 

Giải

+ t = 2  M(4; –1)

    t = –1  N(1; 5)

+ vecto chỉ phương (1;-2)

Ví dụ 2: Lập phương trình tham số đường thẳng Δ đi qua  M(2; 1) và có VTCP = (3; 4).

Giải

Δ :

Ví dụ 3: lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A(3;2) và B(5;6).

Giải

Phương trình đường thẳng đi qua A(3;2) và có VTCP là:

Phương trình chính tắc của đường thẳng là:

Hoạt động 3: Tìm hiểu mối liên hệ giữa vecto chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng

* Đường thẳng Δ là đồ thị của hàm số y=ax+b và có vecto chỉ phương (u1;u2) với u2 ≠ 0.

Ta có hệ số góc: k = a =

Ví dụ: Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua hai điểm A(2; 3) và B(3;1). Tính hệ số góc của Δ.

b) Liên hệ giữa vecto chỉ phương và hệ số góc

Ví dụ: Vecto chỉ phương

  = (1; –2)

= (1; –2)

 :

  k = = –2

Hoạt động 4: Tìm hiểu khái niện vecto pháp tuyến của đường thẳng

H1: Cho đường thẳng Δ có phương trình tham số là và vecto

CMR: Vecto vuông góc với vecto chỉ phương của Δ

D1:

=0

H2: Nếu là vecto pháp tuyến của Δ thì có nhận xét gì về vecto (k ≠ 0)?

+ Vecto cũng là vecto pháp tuyến của Δ.

3. Vecto pháp tuyến của đường thẳng

+ Vecto được gọi là vecto pháp tuyến của đường thẳng Δ

Nhận xét:

+ Nếu là VTPT của Δ thì cũng làVTPT của

+ Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và vecto pháp tuyến của đường thẳng đó

H3: Có bao nhiêu đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước?

D3: Có một và chỉ một.

Hoạt động 5: Tìm hiểu phương trình tổng quát của đường thẳng

*Bài toán: Cho Δ đi qua M0(x0;y0) và có vecto pháp tuyến . Tìm điều kiện để điểm ?

Giải

với

Ví dụ 1  Giải

Ví dụ 2: Giải

a)Phương trình tổng quát

b)Vecto pháp tuyến

+

c)Ta có:

Vecto pháp tuyến

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua A(1;3) và có vecto pháp tuyến là:

Ví dụ 3: Giải

Gọi là trung điểm AB, ta có:

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua và có vecto pháp tuyến là:

4. Phương trình tổng quát cuat đường thẳng

*Bài toán: Cho Δ đi qua và có vecto pháp tuyến . Tìm điều kiện để điểm ?

a)Định nghĩa

Dạng: với Nhận xét:

+ Nếu thì Δ có:

VTPT

VTCP ,

Ví dụ 1: Đường thẳng có phương trình tham số:

a) Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng

b) Tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng

Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng Δ trong các trường hợp sau:

a)Đường thẳng đi qua M(3;5) và có vecto pháp tuyến

b) Đường thẳng đi qua M(3;5) và có vecto chỉ phương

c) Đường thẳng đi qua hai điểm A(1;3) và B(3;8)

Ví dụ 3: Cho hai điểm A(1;6) và B(5;4). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng trung trực đoạn AB.

Hoạt động 6: Tìm hiểu các trường hợp đặc biệt của phương trình tổng quát

Cho  (1)

+Nếu thì

tại

+Nếu thì

tại

+Nếu thì (1) trở thành 

Khi đó Δ đi qua gốc tọa độ.

+Nếu thì

Đặt ta có:

    (2)

(2) được gọi là đường thẳng theo đoạn chắn đi qua hai điểm ,

Ví dụ: Phương trình đường thẳng đi qua và là:

b)Các trường hợp đặc biệt

+       y

                                               Δ

            O                                      x    

+

               y   

                   O                                    x

+

                  y  

                                              Δ

                       O                               x

+

            y

                   N        

                              Δ

             O                         M                        x

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua và

Hoạt động 7: Tìm hiểu cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

H1: Có bao nhiêu vị trí tương đối của đường thẳng ?

D1: Có 3 vị trí tương đối củng đường thẳng là: cắt nhau, song song, trùng nhau.

H2: Cho hai đường thẳng

Tìm tọa độ giao điểm của chúng?

D2: Tọa độ giao điểm của và là nghiệm của hệ phương trình   (I)

Giải

a) d với

có nghiệm (1;2)

d cắt tại (1;2)

b)  d với

vô nghiệm

d //

c) d với

có vô số nghiệm

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng

Tọa độ giao điểm của và là nghiệm của hệ phương trình   (I)

+ cắt (I) có nghiệm

+ // (I) vô nghiệm

+ (I) có vô số nghiệm

Ví dụ1: Cho đường thẳng

Xét vị trí tương đối của d với các đường thẳng sau:

a)

b)

c)

Hoạt động 8: Tìm hiểu cách xét vị trí tương đối của đường thẳng dựa vào các hệ số của phương trình tổng quát

GV hướng dẫn HS nhận xét qua việc giải hệ phương trình ở trên.

H1: Khi nào hệ (I) có :

+ Một nghiệm

+ Vô nghiệm

+ Vô số nghiệm

D1: + Hệ (I) có nghiệm khi

+ Hệ (I) vô nghiệm khi

+ Hệ (I) có vô số nghiệm khi

*Nhận xét:

Giả sử

+ Hệ (I) có nghiệm khi cắt

+ Hệ (I) vô nghiệm khi

//

+ Hệ (I) có vô số nghiệm khi

Ví dụ 2: Thực hiện lại ví dụ 1 bằng cách xét tỉ số của các hệ số.

Hoạt động 9: Tìm hiểu cách tính góc giữa hai đường thẳng

GV giới thiệu về góc giữa hai đường thẳng

H1: So sánh góc giữa với góc giữa ?

D1:

GV vẽ hình minh họa

H2: Nhắc lại công thức tính cos góc giữa hai vecto?

D2:,

Ví dụ 1: Giải

a)

Vậy

b)

Vậy

6. Góc giữa hai đường thẳng

cắt tạo thành bốn góc ( không vuông góc với ) góc nhọn trong bốn góc được gọi là góc giữa hai đường thẳng.

Kí hiệu: hoặc

+

+

Cho

Đặt

Ví dụ 1: Tính góc giữa hai đường thẳng

a)

b)

H3: Cho nhận xét về các vecto và?

D3:

Chú ý:

+

+

Hoạt động 10: Tìm hiểu cách tính khoảng cách từ một điểm đến

một đường thẳng

GV đưa ra công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

Ví dụ 1: Giải

7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho và điểm . Khoảng cách từ đến Δ kí hiệu:

Chứng minh (Sgk-79)

Ví dụ 1: Tình khoảng cách từ điểm và đến đường thẳng