VECTƠ
Trong chương trình học lớp 10 sách giáo khoa học sinh bắt đầu là quen kiến thức vectơ và tọa độ. Đây là mô hình cụ thể của không gian vectơ, một cấu trúc đại số quan trọng được dùng trong nhiều ngành toán học. Học chủ đề vectơ là việc chuẩn bị cho học sinh công cụ nghiên cứu một số vấn đề trong hình học phẳng như hệ thức lượng trong tam giác, giải tam giác, nghiên cứu đường thẳng, đường tròn elip. Qua chủ đề này các em sẽ dễ dàng tiếp thu các kiến thức về cơ học trong chương trình THPT, đồng thời là cơ sở lý thuyết để mở rộng phương pháp tọa độ từ mặt phẳng sang không gian.
§1. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
A. Lý thuyết
1. Các định nghĩa
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là .
+ Ta còn sử dụng kí hiệu để biểu diễn vectơ.
Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.
Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, độ dài vủa vectơ kí hiệu là .
Hai vectơ và được gọi là cùng phương nếu giá của chúungsong song hoặc trùng nhau.
+ Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu .
+ Vectơ cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
+ Mọivectơ đều bằng nhau và .
+ Giá của vectơ-không là mọi đường thẳng đi qua nó.
Hai vectơ và được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu .
+ Khi cho trước vectơ và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho .
2. Các phép toán trên vectơ
a. Tổng của hai vectơ
Quy tắc cộng: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta có: .
+ Quy tắc mở rộng cho n điểm ta có:
+ Quy tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có:
.
Tính chất: với ba vectơ tùy ý
+ (tính chất giao hoán);
+ (tính chất kết hợp);
+ (tính chất vectơ – không).
b. Hiệu của hai vectơ
Vectơ đối: vectơ là vectơ đối của nếu và là hai vectơ ngược hướng. Kí hiệu .
+ Vectơ đối của là .
+ .
+.
Quy tắc trừ: Với ba điểm O, A, B tùy ý, ta có: .
c) Tích của một vectơ với một số
Cho vectơ và số . là một vectơ được xác định như sau:
+ cùng hướng với vectơ nếu , ngược hướng với vectơ nếu .
+.
Tính chất: Với các vectơ tùy ý và .
+
+
+
+
+ hoặc .
Điều kiện để hai vectơ cùng phương: Cho hai vectơ với cùng phương khi và chỉ khi
Điều kiện ba điểm thẳng hàng:A, B, C thẳng hàng
Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương và tùy ý. Khi đó tồn tại duy nhất cặp số .
*Chú ý:
Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: Với I là trung điểm của đoạn thẳng AB ta có:
(Mtùy ý).
Hệ thức trọng tâm tam giác: Với G là trọng tâm ta có:
(M tùy ý).
Tâm tỉ cự: Điểm I được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm gắn với hệ số mà khi
B. Các dạng toán điển hình
Các bài toán về khái niệm vectơ
Phương pháp:
- Sử dụng định nghĩa vectơ, vectơ-không, độ dài vectơ, hai vectơ bằng nhau…
- Xác định sự cùng phương, cùng hướng của các vectơ.
- Áp dụng tính chất hình học của các hình trong hình học phẳng để giải toán.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C?
A. 4 B.6 C.9 D.12
Lời giải
Ta có các vectơ:
Đáp án B.
Ví dụ 2: Cho hai vectơ không cùng phương và . Mệnh đề nào sau đây đúng
A. Không có vectơ nào cùng phương với cả hai vectơ và
B.Có vô số vectơ cùng phương với cả hai vectơ và
C.Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ và , đó là vectơ
D.Cả A
nguon VI OLET
