Logich toán và cơ sở toán học
Cơ Sở Toán Học - là một bộ phận của toán học mà chỉ có khoảng 1% các nhà toán học trên thế giới quan tâm tới nó. Trước khi có câu hỏi "tại sao lại thế", nên chăng đặt câu hỏi "Cơ sở toán học là gì". Để phần nào tìm được câu trả lời cho những câu hỏi đó, MrMATH xin phép giới thiệu với các bạn bài viết của Giáo sư Phan Đình Diệu về lịch sử của môn khoa học này.
Phần I
Ta biết rằng Toán Học là một ngành khoa học lý thuyết được phát triển trên cơ sở tuân thủ nghiêm ngặt các qui luật của tư duy logich hình thức. Các qui luật cơ bản của logich hình thức đã được phát triển từ thời Aristote (384 - 322 trước Công Nguyên) và hệ tiên đề đầu tiên của hình học đã được xây dựng bởi Euclid cũng vào khoảng 300 năm trước Công Nguyên. Sau thời kì rực rỡ đó của nền văn minh cổ Hy Lạp, phải trải qua một giai đoạn ngưng trệ hàng nghìn năm, mãi cho đến thế kỉ 16,17 các nganh khoa học đặc biệt là Toán Học mới tìm lại được sự phát triển tiếp tục. Giai đoạn mới khởi đầu từ những phát minh của Newton, Leibnitz về phép tính vi phân và giải tích toán học đã đưa toán học từ phạm vi "bất biến, hữu hạn" sang địa hạt của "vận động, vô hạn, liên tục". Nhưng trong suốt mấy thế kỉ phát triển, bên cạnh những thành tựu to lớn, Toán Học vẫn chứa trong mình những "lỗ hổng" về cơ sở lý luận - cơ sở logich hình thức cho các khái niệm cơ bản như số thực, đại lượng vô cùng bé, giới hạn, biến thiên liên tục v.v... Cho đến cuối thế kỉ 19 bước sang đầu thế kỉ 20 lý thuyết tập hợp của Cantor ra đời đã đưa đến cho Toán Học niềm hy vọng giải quyết được cuộc "khủng hoảng" về cơ sở lý luận đó. Cái cốt lõi của lý thuyết tập hợp Cantor là sự hợp thức hóa phép trừu tượng về "vô hạn thực tại", xem rằng trong Toán Học có thể hình dung mọi tập hợp bất kì dưới dạng hoàn chỉnh, trong đó các phần tử tồn tại đồng thời, độc lập và bình đẳng với tư duy. Và cùng với việc thừa nhận quan niệm "thực tại" đó về các tập hợp vô hạn, người ta cũng đồng thời tuyệt đối hóa tính hợp lý của các qui luật logich hình thức: các qui luật của logich hình thức dù có thể đã được hình thành cho các suy luận trên cái hữu hạn thì này có thể dùng được cho cả các suy luận trên các tập hữu hạn hoặc vô hạn, không cần phân biệt. Lý thuyết tập hợp quả thực đã cung cấp một cơ cở tuyệt vời, không những cho việc giải quyết cuộc khủng hoảng của cơ sở giả tích toán học, mà rộng hơn còn cung cấp một nền tảng thống nhất cho việc xây dựng và phát triển hầu như toàn bộ các ngành toán học khác. Tuy nhiên, oái ăm thay, ngay trong những năm đầu của thế kỉ 20 người ta liên tiếp phát hiện trong lí thuyết "ngây thơ" về tập hợp có chứa đựng nhiều nghịch lý: nghịch lý Russell về "tập hợp của tất cả các tập hợp không là phần tử của chính mình", nghich lý do chính Cantor phất hiện về "tập hợp của tất cả các tập hợp", nghịch lý Bulari-Forti về "ordinal của tập sắp thứ tự hoàn toàn của tất cả các ordinal" v.v... . Việc phát hiện ra các nghịch lý như vật đã làm lung lay lòng tin của một số nhà toán học vào giá trị "nền tảng" của lý thuyết tập hợp. và khó khăn mới đó đã dẫn tới những đề nghị khác nhau về cách khắc phục. Cách khắc phục được nhiều người tán thành nhất là hạn chế ngoại diên của khái niệm "tập hợp" bằng cách xây dựng cho lý thuyết tập hợp một hệ tiên đề, tức tiên đề hóa lý thuyết tập hợp trong đó không thể có những tập hợp quá "tự do" như trong các nghịch lý kể trên. Cách này đã chứng tỏ là rất hợp lý, nhiều lý thuyết tiên đề về tập hợp đã ra đời và đáp ứng các yêu cầu hạn chế đó.
Cùng với tiên đề hóa lý thuyết tập hợp cũng như tiên đề hóa các lý thuyết toán học, người ta cũng nghĩ nhiều đến việc tiên đề hóa các lý thuyết cơ sở về logich - việc tiên đề hóa triệt để như vậy dẫn tới việc hình thức hóa, và ta được các hệ hình thức hóa của logich (mệnh đề và tân từ) rồi trên cơ sở đó, các hệ hình thức hóa của Toán Học. Khi toàn bộ một lý thuyết Toán Học (cùng với cơ sở logich của nó) đã được hình thức hóa, thì việc làm toán có thể đóng khung trong phạm vi lí thuyết hình thức đó và làm toán chỉ còn là việc thực
nguon VI OLET
