CỰC TRỊ HÀM ĐA THỨC BẬC 3 VÀ BẬC 4

A. CỰC TRỊ HÀM ĐA THỨC BẬC 3

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Hàm số: y  f (x)   

2. Đạo hàm:

3. Điều kiện tồn tại cực trị

y  f (x) có cực trị  y  f (x) có cực đại và cực tiểu

  có 2 nghiệm phân biệt    b2  3ac > 0

4. Kỹ năng tính nhanh cực trị 

Giả sử   b2  3ac > 0, khi đó có 2 nghiệm phân biệt với

và hàm số đạt cực trị tại x1, x2.

Theo định nghĩa ta có các cực trị của hàm số là:

Trong trường hợp x1, x2 là số vô tỉ thì các cực trị f (x1), f (x2) nếu tính theo định nghĩa sẽ phức tạp hơn so với cách tính theo thuật toán sau đây:

Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:

              hay với bậc

Bước 2: Do

Hệ quả:

Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình là: y  r(x)
Đối với hàm số tổng quát : y  f (x) thì đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình:

II. BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

Giải: 

Để hàm số đạt cực tiểu tại x  2 thì

Giải: . Ta cần tìm a sao cho g(x) có 2 nghiệm phân biệt và f (x) có 2 nghiệm phân biệt sao cho  (*)

Ta có:

Giải: 

Hàm số có CĐ, CT  có 2 nghiệm phân biệt 

Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có:

Với m  3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số

y  f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: nên suy ra

 

 Đường thẳng đi qua CĐ, CT là ():

Ta có () song song với đường thẳng y  ax  b



Vậy nếu a < 0 thì ; nếu a  0 thì không tồn tại m thoả mãn.

Giải: Ta có:

 

Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt

Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có:

Với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số

y  f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: nên suy ra

 Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (): .

Để cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng (d): y  4x thì ()  (d)



Giải: Hàm số có CĐ, CT  có 2 nghiệm phân biệt  . Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:

Với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số y  f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: suy ra

 

 Đường thẳng đi qua CĐ, CT là ():

Ta có ()  y  3x  7 

Giải: Hàm số có CĐ, CT  có 2 nghiệm phân biệt

 . Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:

Với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số y  f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: nên

 Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (d): .

Các điểm cực trị đối xứng nhau qua

 (d)  () tại trung điểm I của AB (*) . Ta có suy ra

(*) 

Bài 7. Cho
1. CMR: Hàm số luôn có CĐ, CT.   
2. Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1, x2. CMR:

Giải: 1. Xét phương trình:

Ta có:

Nếu (vô lý)

Vậy  > 0 a  f (x)  0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số có CĐ, CT.

2. Theo Viet ta có:

Giải: Ta có:

1. Hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1 có 2 nghiệm phân biệt thoả mãn:

2. Do 

(do )

 .  Với thì

Giải: Do có nên f (x)  0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số đạt cực trị tại x1, x2 với các điểm cực trị là ; . Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:

. Do nên

Ta có:

 . Vậy xảy ra  m  0.

Giải:  Hàm số có CĐ, CT  có 2 nghiệm phân biệt     (*)

Với điều kiện (*) thì có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Theo định lý Viet ta có:

Ta có:

Cả 2 giá trị này đều thoả mãn điều kiện (*). Vậy

Giải: HS có CĐ, CT  có 2 nghiệm phân biệt

 (*)

Với điều kiện này thì có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Theo định lý Viet ta có: suy ra: (thoả mãn (*) )

Vậy để thì

B. CỰC TRỊ HÀM ĐA THỨC BẬC 4

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Hàm số: y  f (x)  

2. Đạo hàm:

3. Cực trị: Xét

4. Kỹ năng tính nhanh cực trị

Giả sử f (x) triệt tiêu và đổi dấu tại x  x0, khi đó f (x) đạt cực trị tại x0 với số cực trị là . Trong trường hợp x0 là số vô tỉ thì cực trị f (x0) được tính theo thuật toán:

Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:

Bước 2: Do f (x0)  0 nên f (x0)  r(x0)

Hệ quả: Các điểm cực trị của hàm bậc 4: y  f (x) nằm trên y  r(x)

II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

Giải: Ta có: ;

Do phương trình có 1 nghiệm đơn x  2 và 1 nghiệm kép x  1
nên hàm số có đúng 1 cực trị tại x  2. Mặt khác suy ra . Vậy hàm số có cực tiểu và không có cực đại.

Giải: ;

.  Xét các khả năng sau đây:

a) Nếu thì

 g(x)  0  .

Suy ra f (x) triệt tiêu và đổi dấu tại x  0 mà f (0)  6(m  1) > 0  mI  

 , tức là hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.

b) Nếu thì

 x  0 nghiệm kép, x  3.

Nhìn bảng biến thiên suy ra:

Hàm số y  f (x) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.

c) Nếu thì f (x) có 3 nghiệm phân biệt

Nhìn bảng biến thiên suy ra: 

Hàm số y  f (x) có cực đại nên không thoả mãn yêu cầu bài toán.

Kết luận:

Ta có: nên g(x)  0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

Theo định lý Viet ta có:

 PT có 3 nghiệm phân biệt

0, x1, x2. Xét 2 khả năng sau:

a) Nếu m < 1 thì

  Bảng biến thiên

Nhìn BBT suy ra

b) Nếu m > 1 thì

và 

 Bảng biến thiên.

Nhìn BBT suy ra

Kết luận:

Vậy m  1 hàm số luôn có

Giải. Yêu cầu bài toán có 3 nghiệm phân biệt

Bài 5. Tìm m để có CĐ, CT lập thành tam giác đều.

Giải. . Ta có: .
Để hàm số có CĐ, CT  có 3 nghiệm phân biệt  m > 0

 3 nghiệm là:   3 điểm CĐ, CT là:

 .

Để A, B, C lập thành tam giác đều
thì 

Bài 6. Chứng minh rằng: Hàm số không thể đồng thời có CĐ và CT

Giải. Xét

 . Xét hàm số có TXĐ:

;

Nghiệm của phương trình

cũng là hoành độ giao điểm của

đường thẳng y  m với đồ thị y  g(x).

Nhìn bảng biến thiên suy ra đường thẳng  y  m cắt y  g(x) tại đúng 1 điểm

 có đúng 1 nghiệm.

Vậy hàm số y  f (x) không thể đồng thời có cực đại và cực tiểu.

Bài 7. Chứng minh rằng: 

Giải. Ta có:  và nghiệm kép x  0

Do f (x) cùng dấu với (4x  3p) nên lập bảng biến thiên ta có:

f (x)  0 x   

Giải. Hàm số có 3 cực trị có 3 nghiệm phân biệt , khi đó đồ thị có 3 điểm cực trị là . Do là hàm chẵn nên YCBT

Bài 9. Chứng minh rằng: luôn có 3 cực trị đồng thời gốc toạ độ O là trọng tâm của tam giác tạo bởi 3 đỉnh là 3 cực trị

Bài 10. Chứng minh rằng: 

Bài 11. Cho . Tìm m để (x) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.