Cung và góc lượng giác

CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Trong chủ đề này chúng ta sẽ tìm hiểu các khái niệm về đường tròn định hướng, cung, góc lượng giác cũng như một số công thức lượng giác cơ bản để thực hiện các biến đổi lượng giác, chuẩn bị cho chủ đề hàm số và phương trình lượng giác sẽ được đề cập tới trong sách Công Phá Toán 2. Ngoài ra, kiến thức chủ đề này là công cụ rất quan trọng đối với việc học vật lí sau này.
(((
§1. Cung và góc lượng giác
A. Lý thuyết
1. Đơn vị đo góc và cung tròn
a. Độ
Đường tròn bán kính R có độ dài
và có số đo 360° chia đường tròn thành 360 phần, 1 phần có độ dài
và có số đo
(góc ở tâm chắn cung
).
Vậy cung
có độ dài
; cung
có độ dài
.
b. Radian
- Cung có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 radian (cung 1 radian).
- Góc ở tâm chắn cung radian gọi là góc có số đo 1 radian (góc 1 radian viết tắt là 1 rad)
Nhận xét:

+ Cung độ dài
có số đo 1 rad.
+ Đường tròn có độ dài
có số đo
rad.
+ Cung có số độ dài l có số đo
rad.
+ Cung có số đo
rad có độ dài


c. Liên hệ giữ độ và rad

(số đo đường tròn bán kính R)

rad



Bảng chuyển đổi một số góc lượng giác đặc biệt:
Độ

















Rad


















Ví dụ 1: Một đường tròn có bán kính
. Tìm số đo (rad) của cung có độ dài là 5cm.
A. 1 B. 3 C. 2 D. 0,5

Lời giải
Theo công thức tính độ dài cung tròn l ta có:

Đáp án D.
Ví dụ 2: Cho đường tròn
ngoại tiếp lục giác đều ABCDEF. Khi đó số sso cung của đường tròn có độ dài bằng chu vi lục giác theo độ và rad lần lượt là:
A.
và
B.
và
C.
và 6 D.
và


Lời giải
ABCDEF là lục giác đều


đều
Chu vi ABCDEF là


Cung có độ dài
có số đo 6 rad
6 rad

Đáp án C.
2. Cung lượng giác, góc lượng giác và số đo của chúng
a. Đường tròn định hướng
- Đường tròn định hướng là đường tròn mà trên đó ta đã chọn một chiều là dương, chiều ngược lại là chiều âm.
- Quy ước: Chiều ngược kim đồng hồ là chiều dương, chiều thuận kim đồng hồ là chiều âm.
b. Cung lượng giác
- Cho hai điểm A, B trên đường tròn định hướng. M chạy trên đường tròn treo một chiều (chiều dương hoặc chiều âm) từ A tới B, ta nói M tạo nên một cung lượng giác điểm đầu là A, điểm cuối là B. Kí hiệu

c. Góc lượng giác
- Khi M đi từ A tới B thì OM quay từ OA tới OB. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác có tia đầu là OA, tia cuối là OB.
Kí hiệu
.
- Số đo góc lượng giác
là số đo của cung lượng giác
.
- Số đo cung lượng giác: Cho cung tròn
. Nếu OM quay theo chiều dương từ OA tới OB tạo ra góc
thì cung
có số đo là
.
Kí hiệu: sđ
.
Vậy:
Khi OM quay từ OA đến OB theo chiều dương thì: sđ
.
Khi OM quay từ OA đến OB theo chiều âm thì: sđ

d. Đường tròn lượng giác
Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng tâm O bán kính
, cắt Ox tại
và
; cắt Oy tại
và
.
Ta lấy A là điểm gốc của đường tròn đó.
e. Biểu diện cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
- Để biểu diễn cung
, ta xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho sđ

+ Nếu
, ta chọn điểm M sao cho
(theo chiều dương).
+ Nếu
, ta viết
và ta chọn điểm M sao cho
.
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn lượng giác. M thuộc đường tròn sao cho
(M thuộc góc phần tư thứ tư). Số đo
có thể là giá trị nào sau đây?
A.
B.
C.
D.


Lời