Dãy được gọi là tăng nếu
Dãy được gọi là giãm nếu
Dãy được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho
Dãy được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho
Dãy được gọi là bị chặn nếu tồn tại số M và m sao cho
Dãy đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.
Nếu xn ( yn ( zn với mọi n ( n0 và
Nếu
VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH BẬC NHẤT
Dạng 1: Tìm thỏa:
Giải phương trình đặc trưng
Dạng 2: Tìm thỏa: , là đa thức theo n.
Giải phương trình đặc trưng, trong đó
Và được xác định như sau: Gọi là đa thức cùng bậc với .
Nếu
Nếu
Thế riêng vào phương trình để tìm các hệ số của .
Từ hệ thức và ta tìm được cụ thể.
Dạng 3: Tìm thỏa:
Giải phương trình đặc trưng , trong đó
Và được xác định như sau:
Nếu
Nếu
Thế riêng vào phương trình để tìm các hệ số của .
Từ hệ thức và ta tìm được cụ thể.
Dạng 4: Tìm thỏa:
Giải phương trình đặc trưng , trong đó
là nghiệm riêng của phương trình đã biết cách giải.
là nghiệm riêng của phương trình đã biết cách giải.
Từ hệ thức và ta tìm được cụ thể.
Bài 1: Cho dãy hữu hạn như sau:
. Tìm số hạng tổng quát của dãy.
Giải bài toán bằng giá trị sai phân:
Lập bảng sai phân sau:
1
-1
-1
1
5
11
19
29
41
55
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
2
2
2
2
2
2
2
2
Ta thấy sai phân cấp hai không đổi. vậy dãy số đã cho có dạng:
Bài 2: Cho dãy
Tìm số hạng tổng quát của dãy.
Giải phương trình đặc trưng . Trong đó
Và thế vào phương trình ta được:
. Thế n = 1 và n = 2 vào
mà
Bài 3: Cho dãy như sau:
Tìm số hạng tổng quát của dãy.
Giải phương trình đặc trưng .
Trong đó , và
Thế vào phương trình ta có:
Với n = {1, 2, 3}
Thế vào (3).
.
Mà . Vậy
Bài 4: Cho dãy như sau:
Tìm số hạng tổng quát của dãy.
Giải phương trình đặc trưng . Trong đó và
Thế vào phương trình .
, mà. Vậy
Bài 5: Giải phương trình sai phân
Xét phương trình đặc trưng với và
Thế vào phương trình .
, mà. Vậy
Bài 6: Giải phương trình sai phân
Xét phương trình đặc trưng với và
Thế vào phương trình .
, mà . Vậy
Bài 7: Giải phương trình sai phân
Giải phương trình đặc trưng. Trong đó và
Thế vào phương trình .
, mà. Vậy
Bài 8: Giải phương trình sai phân
Giải phương trình đặc trưng . Trong đó và
Thế vào phương trình .
, mà. Vậy
Bài 9: Giải phương trình sai phân
Giải phương trình đặc trưng
Trong đó , và
Thế vào
Thế vào phương trình
Mà. Vậy
Bài 10: Tìm số hạng tổng quát của
Kết quả :
Bài 11: Tìm số hạng tổng quát của
Kết quả :
Bài 12: Tìm số hạng tổng quát của
Kết quả :
Bài 13: Tìm số hạng tổng quát của
. Đặt
Kết quả :
Bài 14: Trong một cuộc thi đấu thể thao có m huy chương, được phát trong n ngày thi đấu. Ngày thứ nhất phát một huy chương và số huy chương còn lại. Ngày thứ hai phát hai huy chương và số huy chương còn lại. Những ngày còn lại được tiếp tục tương tự như vậy. Ngày sau cùng còn lại n huy chương để phát. Hỏi có tất
nguon VI OLET
