PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

1. LÝ DO CHỌN GIẢI PHÁP

1.1.Cơ sở lí luận:

      Toán học là một môn khoa học nói chung, chiếm một vai trò rất quan trọng trong các trường học. Mục tiêu giáo dục THCS nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của tiểu học có trình độ học vấn  phổ thông cơ sở và những hiểu biết ban đầu. Quá trình học môn toán phải nhằm mục đích đào tạo con người mà xã hội cần. Đất nước ta đã và đang bước vào kỉ nguyên của khoa học thông tin, đòi hỏi mỗi chúng ta đều phải đầu tư và suy nghĩ để tìm ra những biện pháp tốt nhất làm cho học sinh nắm vững tri thức toán phổ thông, cơ bản thiết thực có kĩ năng thực hành toán, giúp cho học sinh phát triển năng lực tư duy lôgic, khả năng diễn đạt chính xác ý tưởng của mình, khả năng tưởng tượng và bước đầu hình thành nhân cách qua học môn toán. Hình thành ở học sinh các phẩm chất đạo đức và có năng lực cần thiết như giáo dục đề ra.

      Toán học là môn khoa học có từ lâu đời, nó nghiên cứu về nhiều thể loại, đa dạng và phong phú. Do đó trang bị cho học sinh những kiến thức toán học không chỉ là trang bị cho học sinh các khái niệm, định nghĩa, quy tắc, tổng quan, … Mà phải trang bị cho học sinh các kĩ năng và phương pháp giải bài tập, vận dụng toán học vào thực tế cuộc sống. Bắt đầu từ năm lớp 6, học sinh được làm quen với loại toán phân tích ra thừa số nguyên tố, loại toán này tiếp tục được dạy kĩ hơn và mở rộng thành phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp 8, lớp 9 và các cấp học tiếp theo. Nó có mặt hầu hết ở các đề thi học kì, thi học sinh giỏi, thi tốt nghiệp, tuyển sinh vào các trường THPT.

1.2.Cơ sở thực tiễn:

      Một số em chưa biết cách giải loại toán này, mà ta gọi là phương pháp. Đi theo kết quả của bài toán “ phân tích thành nhân tử ” còn có các dạng toán: Giải phương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức, tìm giá trị của biến x để biểu thức nhận giá trị nguyên …

      Vì vậy, phần trên mà không “ phân tích thành nhân tử ” được thì học sinh không thực hiện được các bước tiếp theo.

      Vậy cách trình bày một bài toán “ phân tích thành nhân tử ”  như thế nào, phương pháp giải bài toán đó ra sao. Để định hướng cho mỗi học sinh phát huy được khả năng của mình khám phá những kiến thức, nâng cao chất lượng giáo dục. Vì vậy mỗi giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán cần có giải pháp tích cực để nâng cao chất lượng giảng dạy phần phân tích đa thức thành nhân tử.

Với lí do trên nên tôi chọn giải pháp " Rèn kỹ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử". Giúp học sinh tiếp cận và thực hiện tốt hơn kiến thức của dạng toán này.

2. Mục đích nghiên cứu

      Nghiên cứu về phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những vấn đề cơ bản của phân môn đại số, đặc biệt là môn đai số lớp 8 nhằm giúp cho học sinh hiểu rõ phương pháp tiếp cận cách giải bài toán và rèn kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử . Trên cơ sở đó phát hiện những khó khăn đồng thời đề ra những giải pháp thực hiện đạt hiệu quả cao trong việc giảng dạy và học tập tại trường THCS Cao Răm

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Điều tra sơ bộ về việc dạy và học của các đồng nghiệp, các em học sinh trường THCS Cao Răm về việc dạy và học " kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử "

- Phát hiện những khó khăn, vướng mắc trong quá trình dạy và học

- Từ đó đề xuất một số biện pháp nhằm nâng cao chất lượng dạy và học

- Thực nghiệm những giải pháp đó ở trường và đáng giá kết quả đạt được.

 

4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu

  4.1.Thời gian thực hiện và phạm vi nghiên cứu.

1.                Thêi gian

        N¨m häc 2011 – 2012.

2.               Ph¹m vi thùc hiÖn

       Líp 8B ,C Tr­êng THCS Cao Răm - huyện Lương Sơn- tỉnh Hòa Bình.

   4.2. Khảo sát trước khi thực hiện giải pháp:

-khảo sát c¸c bµi to¸n ®¬n gi¶n trªn c¬ së mét vµi phÐp biÕn ®æi thuÇn tuý, ch­a cã kh¶ n¨ng ph¸n ®o¸n, ®Þnh h­íng ®óng cho viÖc gi¶i bµi to¸n.

-khảo sát c¸c bµi to¸n  khó dần.

- khảo sát vÒ mÆt ph­¬ng ph¸p  c¸c ph­¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung, dïng h»ng ®¼ng thøc vµ nhãm nhiều hạng tử.

- lµm bµi kiÓm tra kh¶o s¸t chÊt l­îng nh­ sau :

LÇn 1: (15phót)

Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:

1. A = 8x3 + 1
2. B = x + y + xy + y2

KÕt qu¶ nh­ sau:

LÇn 2: (20phót)

Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:

1. A = (x+2)2 - 6(x+2) + 9
2. B = x3 - 2x2 - x+2

KÕt qu¶ nh­ sau

-         So sánh hai bµi kiÓm tra  sau đó tìm giải pháp khắc phục.

 

PHẦN II: NỘI DUNG CỤ THỂ

      Việc dạy và học của giáo viên và học sinh trong thực tiễn ở địa phương là học sinh miền núi, trình độ nhận thức chậm, chưa nỗ lực trong học tập. Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án hoặc hướng dẫn giải để tham khảo, nên khi gặp bài tập có dạng khác các em thường lúng túng chưa tìm được hướng giải thích hợp, không biết sử dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào phù hợp nhất, hướng nào tốt nhất.

      Giáo viên chưa thật sự đổi mới phương pháp dạy học hoặc đổi mới chưa triệt để.

      Phụ huynh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở học tập ở nhà.

      Phương pháp chung để giải bài toán cần có những gợi ý để thầy hỗ trợ cho trò, để trò tự suy nghĩ tìm ra lời giải. Trước khi giải một bài toán phải tìm hiểu kĩ nội dung yêu cầu của đê bài: Đâu là cái cần tìm? Cái đã cho? Cài phải tìm thỏa mãn điều kiện cho trước hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? … Tìm ra cách giải hợp lí nhất.

      Việc rút gọn biểu thức là một trong những vấn đề cơ bản của phân môn đại số. Học sinh phải tìm hiểu kỹ các dạng biểu thức khi đưa ra nó ở dạng nào, tính giá trị của biểu thức hay chứng minh biểu thức, rút gọn biểu thức . . . Học sinh lúng túng khi rút gọn phải sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, sử dụng các phép toán và tính chất của cá phép toán, học sinh hay nhầm lẫn. Do vậy giáo viên cần rèn luyện cho học sinh có kĩ năng trình bày lời giải cho các dạng bài tập, để giúp phần nào giải quyết được các dạng bài tập và khắc phục những vướng mắc trên. Tôi đưa ra một số giải pháp về rèn kỹ năng giải các bài tập phân tích đa thức thành nhân tử mà tôi đã tìm hiểu, tập hợp được thông qua thực tế giảng dạy.

 

• Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• Nội dung giải pháp được trình bày thành ba chương.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CHƯƠNG 1

CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN

1. CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1. §Þnh nghÜa ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö

a) §Þnh nghÜa 1

+ NÕu mét ®a thøc ®­îc viÕt d­íi d¹ng tÝch cña hai hay nhiÒu ®a thøc th× ta nãi r»ng ®a thøc ®· cho ®­îc ph©n tÝch thµnh nh©n tö.

+ Víi bÊt k× ®a thøc ( kh¸c 0 ) nµo ta còng cã thÓ biÓu diÔn thµnh tÝch cña mét nh©n tö kh¸c 0 víi mét ®a thøc kh¸c. ThËt vËy:

anxn + an-1xn-1 + … + a0 = c( xn + xn – 1 + …..+ )  ( víi c0, c1 ).

b) §Þnh nghÜa 2

Gi¶ sö P(x)P lµ ®a thøc cã bËc lín h¬n 0. Ta nãi P(x) lµ bÊt kh¶ quy trªn tr­êng P nÕu nã kh«ng thÓ ph©n tÝch ®­îc thµnh tÝch cña hai ®a thøc bËc kh¸c 0 vµ nhá h¬n bËc cña P(x). Tr­êng hîp tr¸i l¹i th× P(x) ®­îc gäi lµ kh¶ quy hoÆc ph©n tÝch ®­îc trªn P.

1.2. C¸c ®Þnh lý c¬ b¶n vÒ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö

a)§Þnh lý 1

Mçi ®a thøc f(x) trªn tr­êng P ®Òu ph©n tÝch ®­îc thµnh tÝch c¸c ®a thøc bÊt kh¶ quy, vµ sù ph©n tÝch ®ã lµ duy nhÊt sai kh¸c thø tù c¸c nh©n tö vµ c¸c nh©n tö bËc 0.”

b) §Þnh lý 2

Trªn tr­êng sè thùc R, mét ®a thøc lµ bÊt kh¶ quy khi vµ chØ khi nã lµ bËc nhÊt hoÆc bËc hai víi biÖt thøc < 0. VËy  mäi ®a thøc trªn R cã bËc lín h¬n 0 ®Òu ph©n tÝch ®­îc thµnh tÝch cña c¸c ®a thøc bËc nhÊt hoÆc bËc hai víi < 0”.

c) §Þnh lý 3( Tiªu chuÈn Eisenten )

Gi¶ sö f(x) = a0 + a1x + ….. + anxn , n > 1, an 0, lµ mét ®a thøc hÖ sè nguyªn . NÕu tån t¹i mét sè nguyªn tè p sao cho p kh«ng ph¶i lµ ­íc cña an nh­ng p lµ ­íc cña c¸c hÖ sè cßn l¹i vµ p2 kh«ng ph¶i lµ ­íc cña c¸c sè h¹ng tù do a0. ThÕ th× ®a thøc f(x) lµ bÊt kh¶ quy trªn Q.

2. CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN

   2.1. Phương pháp đặt nhân tử chung

Khi ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph­¬ng ph¸p nµy th­êng lµm nh­ sau:

-T×m nh©n tö chung ( nếu có )                                                                            

-Ph©n tÝch mçi h¹ng tö thµnh tÝch cña nh©n tö chung, c¸c nh©n tö kh¸c.            -ViÕt nh©n tử chung ra ngoµi dÊu ngoÆc, viÕt c¸c nh©n tö cßn l¹i cña mçi h¹ng tö ë trong dÊu ngoÆc víi dÊu cña chóng.

VD1:  phân tích đa thức thành nhân tử

2x2- 4x = 2x.x – 2x.2 = 2x( x – 2 )

       *Chú ý:

-Khi ph©n tÝch b»ng ph­¬ng ph¸p nµy ta dùa vµo tÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n ®èi víi phÐp céng c¸c ®a thøc: A.B + A.C =A.(B +C) .

- Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử  ( lưu ý với tính chất A = -(-A)  ).

      2.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức

KiÕn thøc c¬ b¶n lµ : 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

1.              B×nh ph­¬ng cña mét tæng : ( A + B )2= A2+ 2AB +B2
2.              B×nh ph­¬ng cña mét hiÖu:  ( A - B )2= A2- 2AB +B2
3.              HiÖu hai b×nh ph­¬ng: A2- B2 =( A + B ).( A - B )
4.              LËp ph­¬ng cña mét tæng: ( A + B )3= A3+ 3A2B +3AB2+ B3
5.              LËp ph­¬ng cña mét hiÖu: ( A - B )3= A3- 3A2B + 3AB2- B3
6.              Tæng hai lËp ph­¬ng  : A3+ B3 =( A +B ).(A2 - AB + B2 )
7.              HiÖu hai lËp ph­¬ng : A3 - B3 =( A - B ).(A2 + AB + B2 )

VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : 8x3y6 -1 =(2xy2)3 - 13

Gi¶i

8x3y6 - 1 =(2xy2)3 - 13 = ( 2xy2 - 1 ).(4x2y4 + 2xy2 + 1)

VÝ dô 3: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö :

Gi¶i

25x4 +  10x2y + y2 = (5x2)2 + 2.5x2 .y + y2 = ( 5x2 + y)2

      2.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

Khi sö dông ph­¬ng ph¸p nµy ta cÇn nhËn xÐt ®Æc ®iÓm cña c¸c h¹ng tö råi kÕt hîp c¸c h¹ng tö thÝch hîp nh»m lµm xuÊt hiÖn d¹ng h»ng đ¼ng thøc hoÆc xuÊt hiÖn nh©n tö chung cña c¸c nhãm råi dïng c¸c ph­¬ng pháp ®· biÕt ®Ó ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.

VÝ dô 4:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : 4x2+8xy - 3x - 6y

Gi¶i

4x2+8xy - 3x - 6y = (4x2 + 8xy ) - (3x + 6y) = 4x.(x+2y) - 3(x+2y)   = (x+2y)(4x-3)

VÝ dô 5: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : x2 - y2+ 2xz + z2

Gi¶i

  x2 - y2+ 2xz + z2=( x2 + 2xz + z2) - y2=(x+z)2 - y2=(x+y+z)(x-y+z)

        2.4. Phương pháp tổng hợp các phương pháp

Th­êng ®­îc tiÕn hµnh theo c¸c tr×nh tù sau :

+ §Æt nh©n tö chung (nÕu cã) ®Ó biÓu thøc cßn l¹i ®¬n gi¶n h¬n dÔ nhËn xÐt h¬n

+ Nhãm h¹ng tö

+ Dïng h»ng ®¼ng thøc

VÝ dô 6:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : x2 + 2xy + y2- xz – yz

 Gi¶i

x2 + 2xy + y2- xz – yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x+y).(x+y-z)

VÝ dô 7:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : x2 + 4x- 2xy – 4y + y2

           Giải

      x2 + 4x- 2xy – 4y + y2 = ( x2 - 2xy  + y2 ) + ( 4x – 4y) = ( x- y)(x- y + 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CHƯƠNG 2

CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT

1 . ph­¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö

Trong mét sè tr­êng hîp b»ng c¸c ph­¬ng ph¸p ®· häc kh«ng thÓ gi¶i ®­îc mµ ta ph¶i nghÜ t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö ®Ó cã thÓ ¸p dông ®­îc c¸c ph­¬ng ph¸p ®· biÕt.

VÝ dô 1:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : x2- 6x + 8

 Gi¶i

C¸ch 1 : x2- 6x + 8 = x2 - 2x- 4x+8 =x(x-2)-4(x-2) =(x-2)(x-4)

C¸ch 2 : x2- 6x + 8 = x2 - 6x +9-1 = (x-3)2 -12=(x-3+1)(x-3-1)= (x-2)(x-4)

C¸ch 3 : x2- 6x + 8 = x2 - 4-6x +12 =(x+2)(x-2)-6(x-2)

              = (x-2)(x+2-6)= (x-2)(x-4)

C¸ch 4 : x2- 6x + 8 = x2 - 4x +4-2x+4=(x-2)2- 2(x-2)= (x-2)(x-4)

Cã nhiÒu c¸ch t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö khác trong ®ã cã 2 c¸ch th«ng dông lµ :

  C¸ch 1 : T¸ch h¹ng tö bËc nhÊt thµnh 2 h¹ng tö råi dïng ph­¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö vµ ®Æt nh©n tö chung.

C¸ch 2 : T¸ch h¹ng tö kh«ng ®æi thµnh hai h¹ng tö råi ®­a ®a thøc vÒ d¹ng hiÖu hai b×nh ph­¬ng

VÝ dô 2:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : 9x2+6x-8

Gi¶i

9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4)

HoÆc       =9x2-6x+1 – 9 =(3x+1)2-32 =(3x+1-3)(3x+1+3) =(3x -2)(3x+4)

 *Chó ý : Khi t¸ch h¹ng tö bËc nhÊt thµnh hai h¹ng tö ta cã thÓ dùa vµo h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí:  mpx2 + (mq +np)x +nq = (mx +n)(px +q)

Nh­ vËy trong tam thøc bËc hai :a x2+bx+c hÖ sè b = b1+ b2 sao cho b1. b2 = a.c. Trong  thùc hµnh ta lµm nh­ sau :

-                    T×m tÝch a.c

-                    Ph©n tÝch a.c ra thµnh tÝch hai thõa sè nguyªn b»ng mäi c¸ch

-                    Chän hai thõa sè mµ tæng b»ng b

VÝ dô 3: Khi ph©n tÝch ®a thøc  9x2+6x-8 thµnh nh©n tö

 Ta cã : a = 9 ; b = 6 ; c = -8

   +  TÝch a.c =9.(-8) =-72

+  Ph©n tÝch -72 thµnh tÝch hai thõa sè kh¸c dÊu sao cho thõa sè d­¬ng cã   gi¸ trÞ   tuyÖt ®èi lín h¬n (®Ó tæng hai thõa sè b»ng 6)

   -72 =(-1).72 =(-2).36 = (-3).24 = (-4).12 = (-6).12 = (-8).9

  +  Chän hai thõa sè cã tæng b»ng 6, ®ã lµ -6 vµ 12

  Tõ ®ã ta ph©n tÝch

 9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4)

VÝ dô 4 : Khi ph©n tÝch ®a thøc   x 2 –x -6 thµnh nh©n tö

 Ta cã : a = 1 ; b = -1 ; c = -6

  +  TÝch a.c =1.(-6) = -6

+  Ph©n tÝch -6 thµnh tÝch hai thõa sè kh¸c dÊu sao cho thõa sè ©m cã   gi¸ trÞ   tuyÖt ®èi lín h¬n v× b=-1 < 0 (®Ó tæng hai thõa sè b»ng -1)

-6 = 1.(-6) = 2.(-3)

  +  Chän hai thõa sè cã tæng b»ng -1, ®ã lµ : 2 vµ -3

 Tõ ®ã ta ph©n tÝch

  x2 -x -6 = x2 + 2x -3x -6 = x(x+2) -3(x+2) = (x+2)(x-3)

*Chó ý : Trong tr­êng hîp tam thøc bËc hai : ax2 + bx + c cã b lµ sè lÎ, hoÆc kh«ng lµ b×nh ph­¬ng cña mét sè nguyªn th× nªn gi¶i theo c¸ch mét gän h¬n so víi c¸ch hai.

2 . Ph­¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö

Khi ®a thøc ®· cho mµ c¸c h¹ng tö trong ®a thøc ®ã kh«ng chøa thõa sè chung, kh«ng cã d¹ng cña mét h»ng ®¼ng thøc nµo. còng nh­ kh«ng thÓ nhãm c¸c sè h¹ng  th× ta ph¶i biÕn ®æi h¹ng tö ®Ó cã thÓ vËn dông ®­îc c¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®· biÕt.

  VÝ dô 5 : Ph©n tÝch ®a thøc x4 + 4 thµnh nh©n tö

Ta thÊy x4 =(x2)2  ; 4 = 22  Do ®ã ta cã thÓ thªm bít vµo ®a thøc ®· cho cïng   h¹ng tö 4x2

x4 + 4 = (x4 + 4 + 4x2)– 4x2= (x2+2)2 – (2x)2 = (x2+ 2x +2)( x2- 2x +2)             

           VÝ dô 6 : Ph©n tÝch ®a thøc  64a2 + b4  thµnh nh©n tö

Ta thÊy 64a4 =(8a2)2  ;  b4 = (b2)2  Do ®ã ta cã thÓ thªm bít vµo ®a thøc ®· cho cïng       h¹ng tö  16a2b2

          64a2 + b4  = 64a2 + b4  +  16a2b2 -  16a2b2

       = (8a2 + b2)2 - (4ab)2  = (8a2 + b2-4ab)( 8a2 + b2+4ab)

3 . Ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn sè ( §Æt Èn phô)

 VÝ dô 7 : Ph©n tÝch ®a thøc  (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12   thµnh nh©n tö

  Ta cã : (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12  = (x2+x)2 + 4(x2 + x) - 12  

NhËn thÊy nÕu ®Æt  x2 + x = y th× cã ®a thøc ®¬n gi¶n h¬n y2 + 4y -12 lµ tam thøc bËc hai    cña biÕn y

Ta cã : y2 + 4y -12 = y2 +6y - 2y -12   = (y+6)(y-2) 

                                                        = (x2 + x+6)( x2 + x -2)

                                                      =(x2 + x+6)( x2 +2x-x -2)

                                                      =(x2 + x+6)[x ( x +2)- ( x +2) ]

          =(x2 + x+6)(x+2)(x-1)

*Chó ý : x2 + x+6 kh«ng ph©n tÝch ®­îc n÷a  trong ph¹m vi sè h÷u tØ (v× tÝch a.c = 6 = 1.6 =2.3 kh«ng cã hai thõa sè nµo cã tæng b»ng 1 - c¸ch 1 phÇn I)

 VÝ dô 8 : Ph©n tÝch ®a thøc (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- 6 thµnh nh©n tö

               Gi¶i  §Æt (x2+ 3x + 1)   = y 

 Ta cã : (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- 6 =y(y + 1 ) – 6

              = y2 + y - 6  = y2 + 3y - 2y - 6

   = (y + 3)(y - 2)  = (x2+ 3x + 1 +3)( x2+ 3x + 1 -2)

        =  (x2+ 3x + 4)( x2+ 3x -1)

4 . Ph­¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc ( ph­¬ng ph¸p h¹ bËc ®a thøc )

Tæng qu¸t : cho ®a thøc f(x); a lµ nghiÖm cña f(x) nÕu f(a) = 0 nh­ vËy nÕu f(x) chøa nh©n tö x - a th× a ph¶i lµ nghiÖm cña ®a thøc

-Trong ®a thøc víi hÖ sè nguyªn, nghiÖm nguyªn nÕu cã ph¶i lµ ­íc cña h¹ng tö kh«ng ®æi

-NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè b»ng 0 th× ®a thøc chøa nh©n tö x-1

- NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè cña h¹ng tö bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè bËc lÎ th× ®a thøc chøa nh©n tö x + 1

VÝ dô 9 : Ph©n tÝch ®a thøc x3 + 3x2 -4  thµnh nh©n

NÕu ®a thøc cã nghiÖm lµ a th× nh©n tö cßn l¹i cã d¹ng x2 + bx  +c.

Suy ra: a.c = -4, tøc lµ a ph¶i lµ ­íc cña -4 ( 1; 2; 4). KiÓm tra thÊy  1 lµ nghiÖn cña ®a thøc. Nh­ vËy ®a thøc chøa nh©n tö x – 1. Do ®ã ta t¸ch c¸c h¹ng tö cña ®a thøc  lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung x-1

C¸ch 1:  x3 + 3x2 -4  = x3 - x2+ 4x2 -4 = x2(x-1) +4(x-1) = (x-1)(x2 +4x+4)

     = (x-1)(x+2)2

C¸ch 2: x3 + 3x2 -4  = x3 -1+ 3x2 -3   =(x-1)(x2 + x +1) +3(x-1)(x+1)

         =(x-1)( x2 + x +1 +3x+3) =(x-1)(x2 +4x+4)

                               = (x-1)(x+2)2

ë vÝ dô trªn ta cµng nhËn thÊy tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc lµ 1+3-4 = 0 nªn ®a thøc chøa nh©n tö x-1. Do ®ã ta t¸ch c¸c h¹ng tö cña ®a thøc  lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung x-1

VÝ dô 10 : Ph©n tÝch ®a thøc 2x3 - 5x2+ 8x-3 thµnh nh©n tö

C¸c ­íc cña -3 lµ : 1 ;   3  mµ   1;   3 kh«ng lµ nghiÖm cña ®a thøc. Nh­ vËy ®a thøc kh«ng cã nghiÖm nguyªn. Nh­ng ®a thøc cã thÓ cã nghiÖm h÷u tØ.

*Chó ý :  Trong ®a thøc víi sè nguyªn, nghiÖm h÷u tû nÕu cã ph¶i cã d¹ng víi p lµ ­íc cña h¹ng tö kh«ng ®æi, q lµ ­íc d­¬ng cña h¹ng tö cao nhÊt.

 Nh­ vËy trong ®a thøc trªn nghiÖm h÷u tØ nÕu cã chØ cã thÓ lµ :

                        -1 ; - ;- 3 ;-

  KiÓm tra thÊy x= lµ mét nghiÖm cña ®a thøc nªn ®a thøc chøa nh©n tö 

                   x- hay 2x-1

Do ®ã ta t×m c¸ch t¸ch c¸c h¹ng tö cña ®a thøc ®Ó xuÊt hiÖn nh©n tö chung

                         2x-1

Ta cã:  2x3 - 5x2+ 8x-3 =2x3 - x2-4x2+2x+6x-3

                                     =x2(2x-1)-2x(2x-1)+3(2x-1) =(2x-1)(x2-2x-3)

5 . Ph­¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh

VÝ dô 11: Ph©n tÝch ®a thøc 2x3-5x2+8x-3  thµnh nh©n tö  

Gi¶i :  NÕu ®a thøc tiÖn ph©n tÝch ®­îc thµnh nh©n tö th× ph¶i cã d¹ng

 (ax+b)(cx2+dx+m)=acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm

 §ång nhÊt ®a thøc nµy víi ®a thøc ®· cho 2x3-5x2+8x-3  , ta ®­îc:

  2x3-5x2+8x-3  = acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm

 Suy ra :        a.c = 2 ; ad+bc =-5 ; am+bd = 8 ; b.m = -3

Cã thÓ gi¶ thiÕt a>0 (v× nÕu a<0 th× ta ®æi dÊu c¶ hai nh©n tö). Do ®ã a=2 hoÆc a=1

XÐt a=2 th× c=1 suy ra : 2d+b=-5 ; 2m+bd=8 ; bm=-3

                =>  b cã thÓ lµ 1 hoÆc 3

          XÐt  b=-1 th× m=3  => d=-2 tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn trªn.

                  =>  a=2 ; b=-1 ; c=1 ;d=-2 ; m=3

 VËy   2x3-5x2+8x-3  = (2x-1)(x2-2x+3).

6 . Ph­¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng

VÝ dô 12 : Ph©n tÝch ®a thøc P= ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a) thµnh nh©n tö

  Gi¶i

Sö dông ph­¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng ta cã. NÕu ta thay a bëi b th×  P= 0+ bc(b-c) + bc(c-b) =0 ,nªn p chia hÕt cho a-b. vai  trß cña a,b,c nh­ nhau trong ®a thøc nªn p chia hÕt cho (a-b)(b-c)(c-a)

Trong phÐp chia ®ã, ®a thøc bÞ chia P cã bËc 3 ®èi víi tËp hîp c¸c biÕn vµ ®a thøc chia (a-b)(b-c)(c-a) còng cã bËc 3 ®èi víi tËp hîp c¸c biÕn sè nªn th­¬ng lµ h»ng sè k

ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)=k(a-b)(b-c)(c-a)

Trong ®¼ng thøc trªn cho ta c¸c biÕn  nhËn gi¸ trÞ riªng a=2 ; b=1 ; c=0, ta ®­îc :

           2.1.1+0 +0 =k.1.1.(-2)

           2 = -2k  =>  k=-1

           VËy P = (a-b)(b-c)(c-a)  

VÝ dô 13 : Ph©n tÝch ®a thøc Q = (a+b+c)3-a3-b3-c3  thµnh nh©n tö

Gi¶i    Sö dông ph­¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng ta cã. NÕu ta thay a bëi -b th×  

Q= (0+c)3+b3-b3-c3=0. VËy Q chia hÕt cho (a+b). vai  trß cña a,b,c nh­ nhau trong ®a thøc nªn Q chia hÕt cho (a+b)(b+c)(c+a)

Trong phÐp chia ®ã, ®a thøc bÞ chia Q cã bËc 3 ®èi víi tËp hîp c¸c biÕn vµ ®a thøc chia (a+b)(b+c)(c+a)  còng cã bËc 3 ®èi víi tËp hîp c¸c biÕn sè nªn th­¬ng lµ h»ng sè k

               (a+b+c)3-a3-b3-c3  = k(a+b)(b+c)(c+a)

 Cho biÕn nhËn c¸c gi¸ trÞ riªng a=0; b=1; c=2 . ta cã :

 (0+1+2)3-0 -13-23 = k(0+1)(1+2)(2+0)

  18 = 6 k  =>  k=3

                     VËy : (a+b+c)3-a3-b3-c3  = 3(a+b)(b+c)(c+a)

*Chó ý : Khi ®a thøc cã nhiÒu biÕn sè vµ vai trß c¸c biÕn nh­ nhau trong ®a thøc th× ta sö dông ph­¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng nh­ trªn.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CHƯƠNG 3

 

BÀI TẬP RÈN KỸ NĂNG

“ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ”

1. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

     1.1. Phân tích bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Bµi 1 : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by)

Gi¶i: Ta cã :  A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by)

                         = 2x2 (ax + 2by + ax – by)

                        =2x2(2ax + by)

Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)

Gi¶i: Ta cã:      P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)

          = (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax))

                   = (5y + 2b)(- 4a2 + ax)

                   = (5y + 2b)(x – 4a)a

Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö

B = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2

Gi¶i: Ta thÊy c¸c h¹ng tö cã nh©n tö chung lµ y – 2z

Do ®ã :   B = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2

                  = 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z))

                  =3x(y – 2z)(x – 5y + 10z)

Bµi 4 : ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d)

Gi¶i: Ta cã: C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d)

                    = (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax)

                     = (5c + 2d)(ax – 4a2)

                     = a(5c + 2d)(x – 4a)

Bµi 5: ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy

Gi¶i:  Ta cã: Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy

     = 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1)

     = 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2))

     = 3xy((x – 1)2 – (y + z)2)

     = 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + 9 y+ z))

     = 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1)

Bµi 6 : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:

A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z)

Gi¶i:  Ta cã : A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z)

               = (y – 2z)(16x2 – 10y)

Bµi 7 : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

B = x3 + 3x2 + 2x + 6

Gi¶i:  Ta cã :   B = x3 + 3x2 + 2x + 6

    = x2(x + 3) + 2( x + 3)

    = (x2 + 2)(x + 3)

Bµi 8 : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

A = 6z3 + 3z2 + 2z +1

        Gi¶i: Ta cã : A = 6z3 + 3z2 + 2z +1

            = 3z2(2z + 1) + (2z + 1)

      = (2z + 1)(3z2 + 1)

    1.2 . Ph­¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö

Bµi 9: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2

Gi¶i: Ta cã :      B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2

     = (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2)

     = x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y)

     = x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z)

     = (y – z)((x(y + z) – yz – x2))

     = (y – z)((xy – x2) + (xz – yz)

     = (y – z)(x(y – x) + z(x – y))

     = (y – z)(x – y)(z – x)

Bµi 10 : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

A= 4x5 +6x3 +6x2 +9

Gi¶i: Ta cã : A= 4x5 +6x3 +6x2 +9

= 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3)

= (2x3 + 3)(2x2 + 3)

Bµi 11: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

B = x6 + x4 + x2 + 1

Gi¶: Ta cã :  B = x6 + x4 + x2 + 1

= x4(x2 + 1) + ( x2 + 1)

= (x2 + 1)(x4 + 1)

Bµi 12:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

B = x2 + 2x + 1 – y2

Gi¶i: Ta cã:  B = x2 + 2x + 1 – y2

= (x2 + 2x + 1) – y2

= (x + 1)2 – y2

=(x +1 – y)(x + 1 + y )

Bµi 13 :  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz

Gi¶i: Ta cã :  A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz

  = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz)

  = (x + y)2 – z(x + y)

  = (x + y)(x + y – z)

Bµi 14:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

P = 2xy + z + 2x + yz

Gi¶i:  Ta cã : P = 2xy + z + 2x + yz

 = (2xy + 2x) + (z  + yz)

= 2x(y + 1) + z(y + 1)

= (y + 1)(2x + z)

Bµi 15:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

A = xm + 4 + xm + 3 – x - 1

Gi¶i: Ta cã : A = xm + 4 + xm + 3 – x – 1

= xm + 3(x + 1) – ( x + 1)

= (x + 1)(xm + 3 – 1)

Bµi 16:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

P = x2(y – z) + y2(z - x) + z2(x – y)

Gi¶i: Khai triÓn hai sè h¹ng cuèi råi nhãm c¸c sè h¹ng lµm xuÊt hiÖn thõa sè chung y - z

Ta cã : P = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2

    = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2)

    = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z)

    = (y – z)((x2 + yz – x(y + z))

    = (y – z)(x2 + yz – xy – xz)

    = (y – z)(x(x – y) – z(x – y))

    = (y – z)(x – y)(x – z)

NhËn xÐt : dÔ thÊy  z – x = -((y – z) + (x – y)

nªn :   P = x2(y – z) -  y2((y – z) + (x – y)) + z2(x – y)

  =(y – z)(x2 – y2) – (x – y)(z2 – y2)

  = (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y)

  = (y – z) (x – y)(x + y – (z + y))

  = (y – z) (x – y)(x – z)

Bµi 17:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc

Gi¶i: Ta cã :      A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc

      = ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc

      = ( a + b)(bc + ca + ab) + bc2 + c2a + abc – abc

      = ( a + b)(bc + ca + ab) + c2( a + b)

      = ( a + b)(bc + ca + ab + c2)

      = ( a + b)( c(b + c) + a(b + c))

      = ( a + b)(b + c)(c + a)

 

Bµi 18:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc

Gi¶i: Ta cã :  Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc

  = (a2b + ab2 + abc) + (b2c +bc2 +abc) + (c2a + ca2 + abc)

  = ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c)

  = ( a + b + c)(ab + bc + ca)

Bµi 19:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc

Gi¶i: Ta cã :  A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc

= (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+ 2abc)

= 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b)

= (a + 2b)(2ab – ac + c2 – 2bc)

= (a + 2b)(a(2b – c) – c(2b –c))

= (a + 2b)(2b – c)(a – c)

Bµi 20:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z)

Gi¶i: Ta cã :   P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z)

         = 4x2y2(2x + y) + z2(y2(z – y) – 4x2(2x + z)

= 4x2y2(2x + y) + z2( y2z – y3 – 8x3 – 4x2z)

   = 4x2y2(2x + y) + z2(z(y2 – 4x2) – (y3 + 8x3))

= 4x2y2(2x + y) + z2(z(y – 2x)(y + 2x) – (y + 2x)(y2 – 2xy + 4x2))

= (2x + y)( 4x2y2 + z3 – 2xz3 – z2y2 + 2xyz2 – 4x2z2)

= (2x + y)(4x2(y2 – z2) – z2y (y – z) +2xz2( y – z))

= (2x + y)(y – z)(4x2y + 4x2z – z2y + 2xz2)

= (2x + y)( y – z)(y(4x2 – z2) + 2xz(2x + z))

= (2x + y)( y – z) (2x + z)(2xy – yz + 2xz)

      1.3. Ph­¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí

 Bµi 21:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

A = x4 + x2y2 + y4

Gi¶i: Ta cã : A = x4 + x2y2 + y4

        = (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2

       = (x2 + y2)2 - x2y2

           = (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 – xy)

Bµi 22:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 

Gi¶i: Ta cã :   B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 

     = (a6 – b6) + (a4 + a2b2 + b4 )

    = (a3 + b3) (a3 - b3) + (a4 + a2b2 + b4 )

          = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) + (a4 + 2a2b2 + b4) – a2b2

     = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 + b2 )2– a2b2

     = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )

     = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1))

     = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1)

Bµi 23:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2

Gi¶i: Ta cã :  M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2

         = (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2

         = (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2

         = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2

         = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1 + x2 – x + 1)

         = 2(x2 – x + 1)(x2 + 1)

Bµi 24:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2

Gi¶i: Ta cã:   A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2

        = (x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2 + 2y2z2) – 4y2z2

        = (x2 – y2 – z2)2 – 4y2z2

        = (x2 – y2 – z2 – 2yz) (x2 – y2 – z2 + 2yz)

        = (x2 – (y + z)2 )( x2 – (y - z)2 )

        = (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z)

Bµi 25:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

A = (x + y)3 +(x - y)3 

Gi¶i: Dùa vµo ®Æc ®iÓm cña vÕ tr¸i vµ ¸p dông h»ng ®¼ng thøc ta sÏ cã c¸ch kh¸c gi¶i nh­ sau :

C¸ch 1:    A = (x + y)3 +(x - y)3 

       = ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y)

       = 8x3 – 3.2x(x2 – y2)

       = 2x(4x2 – 3(x2 – y2))

       = 2x(x2 + 3y2)

C¸ch 2:    A = (x + y)3 +(x - y)3 

       = ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2

       = 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2))

       = 2x(x2 + 3y2)

Bµi 26:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

A = 16x2 + 40x + 25

Gi¶i: Ta cã:    A = 16x2 + 40x + 25

        = (4x)2 + 2.4.5.x + 52

        = (4x + 5)2

Bµi 26:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

B = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3 

Gi¶i:  DÔ thÊy : x – y =(x – z)  + (z – y)

Tõ ®ã ta cã : (x - y)3 = (x – z)3 + (z – y)3 + 3(x – z)(z – y)((x – z)  + (z – y))

                     = - (z - x)3 - (y - z)3 + 3(z – x)(y – z)(x – y)

         = 3(z – x)(y – z)(x – y)

Bµi 27:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

A = (a + b+ c) – (a3 + b3+ c3)

Gi¶i: Ta cã:    A = (a + b+ c) –(a3 + b3+ c3)

     = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3)

     = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3)

    = 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c)

     = 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc)

     = 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)

     = 3(b + c)(a + b)(a + c)

Bµi 28:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

P = x8 – 28 

Gi¶i: Ta cã :    P = x8 – 28 

        = (x4 + 24) (x4 - 24)

        = (x4 + 24)((x2)2 – (22)2 ) 

        = (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22) 

        = (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2)

Bµi 29:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3)

Gi¶i: Ta cã:    Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3)

        = (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1)

        = (x – 1)( x2 + x + 1 + 5x + 5 + 3)

        = (x – 1)( x2 + 6x + 9)

        = (x – 1)(x + 3)2

2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN TRÍ TUỆ

2.1.Bài toán chứng minh chia hết

VÝ dô 1 : Chøng minh r»ng : x3­ - x chia hÕt cho 3 víi mäi sè nguyªn x.

       Gi¶i : Ta cã P = x3­ - x =x(x2 -1) = x(x+1)(x-1)

                 V× x nguyªn nªn x+1,x-1 lµ sè nguyªn . Do ®ã:

                 P = (x+1). x .(x-1) lµ tÝch cña 3 sè nguyªn liªn tiÕp sÏ chia hÕt cho 3

                 VËy P 3 x Z.

VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: x5­ - 5x3 + 4x  chia hÕt cho 120 víi mäi sè nguyªn x.

 Gi¶i : Ta cã     M = x5­ -5x3 + 4x

  = x(x4-5x2+4)=x( x4-  x2-4x2+4)

  =x[ x2 (x2-1)-4(x2-1)]= x(x2-1) (x2-4)

  =(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)

 M Lµ tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp  nªn  M 2;3;4;5

V× M 2 vµ M 4 nªn  M 8 ( 8 lµ BCNN cña 2vµ 4)

VËy M 8.3.5 =120 ( v× 3;8;5nguyªn tè cïng nhau tõng ®«i mét )

VÝ dô 3 : Chøng minh ®a thøc x3- x2 +x -1 chia hÕt cho ®a thøc x-1

Gi¶i : Ta cã  P = x3- x2 +x -1= x2(x-1)+(x-1) = (x-1)(x2 +1)

§a thøc P chøa nh©n tö x-1 nªn P (x-1)

§Ó gi¶i c¸c bµi to¸n trªn t«i ®· ®i ph©n tÝch c¸c ®a thøc bÞ chia thµnh nh©n tö   ( sö dông viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ) ®Ó biÕn ®a thøc chia thµnh tÝch sau ®ã tiÕp tôc sö dông c¸c kiÕn thøc vÒ tÝnh chia hÕt suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.

  Khi chøng minh mét ®a thøc chia hÕt cho mét ®a thøc kh¸c ta cã nhiÒu c¸ch chøng minh. Ë vÝ dô 3 ta cã thÓ chøng minh b»ng c¸ch thùc hiÖn  phÐp chia, sè d­ b»ng 0 cã thÓ dïng l­îc ®å Hoocme t×m sè d­ ( d­ 0 ). HoÆc chøng minh nghiÖm cña ®a thøc chia lµ nghiÖm cña ®a thøc bÞ chia. Nh­ng c¸ch lµm ®ã dµi, hoÆc ®¬n ®iÖu hoÆc phøc t¹p h¬n so víi c¸ch lµm trªn ( ¸p dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ) biÕn ®æi ®a thøc thµnh tÝch khi ®ã biÓu thøc ®· cho chia hÕt cho nh©n tö cho tÝch ®ã ®· lµm cho phÐp gi¶i cña bµi to¸n nhanh h¬n vµ lêi gi¶i th«ng minh h¬n.

     2.2. Bài toán chứng minh biểu thức luôn dương,luôn âm, huặc không âm

 Bµi to¸n nµy kÝch thÝch t­ duy cña häc sinh ph¶i ®i t×m ®­êng lèi gi¶i vµ khi gi¶i ph¶i n¾m ®­îc kiÕn thøc:

- BiÓu thøc lu«n d­¬ng ( lín h¬n 0 ) khi tö thøc vµ mÉu thøc cïng dÊu

- BiÓu thøc kh«ng ©m ( lín h¬n 0 ) khi biÓu thøc cho b»ng luü thõa bËc ch½n cña biÓu thøc kh¸c.

- Bªn c¹nh ®ã cÇn chó ý víi tr­êng hîp biÓu thøc nguyªn ta xÐt sù lu«n lu«n d­¬ng hoÆc lu«n ©m cña biÓu thøc dùa vµo dÊu cña c¸c nh©n tö kÕt hîp víi qui t¾c nh©n dÊu trong dÊu nguyªn.

VÝ dô 1 :

Cho biÓu thøc P = 4x 2 - 12x + 9 . Chøng minh r»ng P kh«ng ©m víi mäi x

Gi¶i :  Ta cã  P = 4x 2 -12x + 9 = (2x)2-2.2x.3 +(-3)2 = (2x-3)2    0

VËy P 0 víi x . Hay biÓu thøc P kh«ng ©m víi x.

VÝ dô 2 :

Chøng minh r»ng biÓu thøc M =

kh«ng ©m víi mäi x

Gi¶i

Ta cã :  M =   = =

   = = 

V× x2 +x +1 = x2 +x + +=(x+)2 +>0 x

MÆt kh¸c (x-1)2 x vµ  x2 +2 > 0 x

VËy M 0 x . Hay M kh«ng ©m x.

Víi nh÷ng bµi to¸n nµy c¸c em ph¶i ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö hoÆc rót gän biÓu thøc. Qua ®ã kü n¨ng ph©n tÝch cña c¸c em ®­îc rÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn cïng víi nh÷ng kü n¨ng gi¶i to¸n kh¸c

    2.3. Bài toán rút gon và tính giá trị của biểu thức

§©y lµ bµi to¸n ¸p dông gÇn gòi nhÊt ®èi víi viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.  §­êng lèi gi¶i lµ vËn dông tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc ®¹i sè ®Ó   thu thµnh nh©n tö sau ®ã rót gän thµnh nh©n tö chung. ë ®©y c¬ b¶n lµ rÌn kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö bªn c¹nh ®ã sö dông mét sè tÝnh chÊt to¸n häc kh¸c ®Ó gi¶i. Sù kÕt hîp ®ã cã t¸c dông rÌn trÝ tuÖ cho häc sinh gióp c¸c em thÊy sù liªn hÖ chÆt chÏ gi÷a c¸c kiÕn thøc to¸n häc ph¸t triÓn trÝ tuÖ th«ng minh vµ t­ duy logickhoa häc ë c¸c em.

VÝ dô : Cho P =

a/ Rót gän P

         Gi¶i  P = ===

( víi x-1; x-7)

b/ TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x=2001

          Gi¶i     P == =

     2.4. Bài toán chứng minh đẳng thức

 Lo¹i to¸n nµy ®­êng lèi gi¶i lµ ta ph¶i ®i bÕn ®æi, rót gän biÓu thøc phøc t¹p ë vÕ nµy ®Õn kÕt qu¶ lµ biÓu thøc ®¬n gi¶n h¬n ë vÕ kia nh­ng còng cã bµi ta ph¶i biÕn ®æi rót gän ë c¶ hai vÕ ®Ó ®i ®Õn 1 kÕt qu¶ gièng nhau.

Thùc chÊt cña bµi to¸n nµy lµ bµi to¸n rót gän biÓu thøc.

VÝ dô 1: Chøng minh ®¼ng thøc sau : =

Gi¶i    BiÕn ®æi VT ta cã : VT == ==VP

VËy ®¼ng thøc ®­îc chøng minh .

VÝ dô 2: Chøng minh ®¼ng thøc sau = 

Gi¶i    BiÕn ®æi VP ta cã : VP =   = =

           BiÕn ®æi VT ta cã : VT == =

VT =VP VËy ®¼ng thøc ®­îc chøng minh.

Víi häc sinh c¸c em rÊt thÝch thó víi d¹ng bµi tËp nµy v× c¸c em cho r»ng ®©y lµ d¹ng to¸n ®· cho s½n kÕt qu¶.

2.5. Bài toán tìm giá trị của biến số để biểu thức có giá trị nguyên

§Ó gi¶i bµi to¸n nµy ®­êng lèi chung lµ t¸ch phÇn nguyªn ®Ó cßn xÐt phÇn ph©n thøc ë d¹ng ®¬n gi¶n h¬n ( PhÇn lín c¸c bµi to¸n sau khi rót gän kÕt qu¶ chØ cßn ph©n thøc ®¬n gi¶n h¬n ). TiÕp thea ta dïng gi¸ trÞ tö cña biÕn sè ®Ó ph©n thøc Êy cã gi¸ trÞ nguyªn. Muèn ®¹t ®­îc gi¸ trÞ nguyªn th× tö thøc ph¶i chia hÕt cho mÉu thøc hay nãi c¸ch kh¸c: Mẫu thóc ph¶i lµ ­íc cña tö thøc. Tõ ®ã ta t×m ®­îc gi¸ trÞ cña biÕn.

VÝ dô : Cho P =     T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc cã gi¸ trÞ nguyªn.

 Gi¶i:

ta cã: P= =

P ®¹t gi¸ trÞ nguyªn x+7 lµ ­íc cña 5 (1; 5)

Do ®ã     x+7 =-1 x=-8

  x+7 = 1 x=-6

  x+7 =-5 x=-12

  x+7 =  5 x=-2

VËy khi biÕn sè nhËn mét trong c¸c gi¸ trÞ { -12;-8;-6;-2} th× P ®¹t gi¸ trÞ nguyªn.

 

3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN CHO HỌC SINH 

Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö

a)     x2-6x+8

b)    9x2+6x-8

Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö

a)     -c2(a-b)+b2(a-c)-a2(b-c)

Gîi ý: t¸ch a-c=(a-b)+(b-c)

b)    (x-y)-x3(1-y)+y3(1-x)

Gîi ý: t¸ch 1-y=(x-y)+(1-x)

    Bµi 3: Dïng ph­¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh, ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö

a)     4x4+4x3+5x2+2x+1

b)    3x2+22xy+11x+37y+7y2+10

Bµi 4: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö

a)     M = x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)

b)    a(b+c-a)2+b(c+a-b)2+c(a+b-c)2+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)

Bµi 5: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö

c)     x3-x2+1

d)    2x3-2x2-x+1

e)     x2-4x+3

f)      2x2+3x-2

Bµi 6 : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö

a4+5a3+15a-9

Bµi 7 : TÝnh nhanh

a3-a2b-ab2+b3 víi a=5,75; b=4,25

Bµi 8 : T×m x biÕt

a)     x2+x=6

b)    6x3+x2=2x

      Bµi 9: Chøng minh r»ng

lµ sè nguyªn

Bµi  10: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö

x3+3x2-4

 

Bµi 11: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö

a)     x2+3x+2  

b)    x2-x+12  

      Bµi 12:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

P = (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3  

      Bµi 13 :  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3

       Bµi 14:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

A  = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10

      Bµi 15:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

M = a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2 + (a + b – c)(b +c – a)(c +a – b)

      Bµi 16:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

f(x) = x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + 8

      Bµi 17:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3)

      Bµi 18:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

P = 2xy + z + 2x + yz

      Bµi 19:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

A = xm + 4 + xm + 3 – x - 1

       Bµi 20:  Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

P = x2(y – z) + y2(z - x) + z2(x – y)

 

 

 

 

 

PHẦN III: KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM

1. KẾT QUẢ

Qua kết quả nghiên cứu và giảng dạy tôi nhận thấy :

-         Học sinh rèn được phương pháp tự học, tự phát hiện vấn đề, biết nhận dạng một số bài toán, nắm vững cách giải. Kĩ năng trình bày một bài toán khoa học, rõ ràng.

-         Đa số các em đã yêu thích giờ học Toán học, nhiều học sinh tích cực xây dựng bài.

-         Học sinh rất có hứng thú để giải bài tập phần phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng và Toán học nói chung.

   Trước đây kết quả giảng dạy trên lớp đạt 80% đến 85% trên trung bình, khi sử dụng các kinh nghiệm trên. kết quả giảng dạy tăng lên từ 96% đến 99% từ trung bình trở lên.

          Kết quả cụ thể

TT	Khối lớp	Số HS	Giỏi		Khá		TB		Yếu
			SL	%	SL	%	SL	%	SL	%
1	8B,C	50	10	20	18	36	22	44

 

2. Bài học kinh nghiệm

Trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn giải pháp b¶n th©n t«i lµ ng­êi trùc tiÕp thùc hiÖn giangr dạy trên lớp. T«i ®· rót ra mét sè bµi häc kinh nghiÖm vµ gi¶i ph¸p thùc hiÖn nh­ sau:

 - §Ó thùc hiÖn tèt c«ng t¸c dạy học, tr­íc hÕt gi¸o viªn cÇn ph¶i cã mét tr×nh ®é chuyªn m«n v÷ng vµng, n¾m v÷ng c¸c thuËt to¸n, gi¶i ®­îc c¸c bµi to¸n khã mét c¸ch thµnh th¹o. CÇn ph¶i cã mét ph­¬ng ph¸p gi¶ng d¹y phï hîp kÝch thÝch ®­îc sù tß mß, n¨ng ®éng, s¸ng t¹o, tÝch cùc cña häc sinh.

 - To¸n häc lµ mét bé m«n khã, c¸c vÊn ®Ò cña to¸n lµ rÊt réng. ChÝnh v× vËy, gi¸o viªn cÇn ph¶i biÕt ch¾t läc, x©y dùng thµnh mét gi¸o tr×nh «n tËp c¬ b¶n bao gåm tÊt c¶ c¸c chuyªn ®Ò. Víi mçi chuyªn ®Ò cÇn ph¶i chän läc ra nh÷ng bµi to¸n ®iÓn h×nh, c¬ b¶n nhÊt ®Ó häc sinh tõ ®ã ph¸t huy nh÷ng kh¶ n¨ng cña m×nh, vËn dông mét c¸ch s¸ng t¹o vµo gi¶i c¸c bµi to¸n kh¸c cïng thÓ lo¹i.

 - Trong qu¸ tr×nh giảng dạy cÇn th­êng xuyªn b¸m s¸t ®èi t­îng häc sinh, theo dâi vµ ®éng viªn kÞp thêi sù cè g¾ng, nç lùc cña tõng häc sinh. §ång thêi, kÝch thÝch c¸c em ph¸t huy tèi ®a kh¶ n¨ng cña m×nh trong qu¸ tr×nh «n luyÖn, häc tËp. Bªn c¹nh ®ã, cÇn theo dâi kiÓm tra, uèn n¾n kÞp thêi nh÷ng sai sãt mµ häc sinh cã thÓ m¾c ph¶i, gióp c¸c em cã niÒm tin, nghÞ lùc vµ quyÕt t©m v­ît qua nh÷ng khã kh¨n b­íc ®Çu khi häc tËp .

  + Đối với giáo viên:

-         Nghiên cứu SGK, SBT và các tài liệu tham khảo, nâng cao

-         Tránh một số sai lầm mà học sinh hay vướng mắc

-         Giúp học sinh suy nghĩ để giải bài tập là chủ yếu

-         Trong quá trình làm bài tập bao giờ cũng rèn luyện cho học sinh làm thành thạo các bài tập cơ bản ở SGK để các em nắm chắc lí thuyết, sau đó nâng dần bài tập lên giúp các em tư duy cao hơn.

-         Trước khi làm bài tập giáo viên phải nghiên cứu thật kĩ và giải bằng nhiều phương pháp

-         Khi đưa ra một bài toán bao giờ cũng yêu cầu học sinh giải bằng nhiều cách (nếu có thể) sau đó tìm ra lời giải hay nhất

+ Đối với học sinh:

-         Học sinh phải nắm chắc kiến thức cơ bản, bằng cách học lí thuyết trước khi làm bài tập

-         Rèn thói quen không phụ thuộc nhiều vào sách vở

-         Đứng trước một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử phải đọc kĩ đề bài, tìm hiểu xem vận dụng phương pháp nào đã học cho phù hợp

-         Với mỗi bài toán phải rút ra bài học cho bản thân

PHẦN IV. KẾT LUẬN

Việc hệ thống "phân tích đa thức thành nhân tử" không thể dạy một tiết, hai tiết, … mà là cả một quá trình dạy toán. Chẳng hạn các em học sinh ở lớp 8 các em mới được học về phân tích đa thức thành nhân tử, không thể một vài tiết đầu các em làm và hiểu thành thạo các phương pháp được. Vì vậy phải cần trải qua một quá trình rèn luyện mới có một kỹ năng giải. Do đó mỗi khi học dến vấn đề nào người giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh trong phạm vi đó, từ đó học sinh dần dần lĩnh hội kiến thức một cách có hệ thống và vận dụng hợp lí các dạng bài tập. Trong thực tế các dạng bài toán, mỗi vấn đề thường có nhiều phương án giải quyết, mỗi phương pháp có nhiều ưu điểm, nhược điểm riêng của nó. Đối với đối tượng học sinh khá giỏi giáo viên nên khuyến khích tìm tòi nhiều cách khác nhau để qua đó các em được củng cố kiến thức, rèn kĩ năng, phát triển tư duy toán học linh hoạt và sáng tạo, vận dụng kiến thức đã học vào việc phân tích. Với học sinh trung bình có thể làm được những bài tập điểm hình đơn giản. Với học sinh khá giỏi các em có thói quen tư duy sâu hơn. Tìm ra hướng suy nghĩ để giải bài tập, có kĩ năng đơn giản hoá các vấn đề phức tạp. Đặc biệt nhiều học sinh rất hứng thú học toán, có học sinh đã tìm các bài tập để làm và đề nghị giáo viên ra những bài tập khó hơn.

Trên đây là giải pháp tôi đưa ra với mục đích nghiên cứu hiểu sâu bản chất và rèn kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử là rất quan trọng trong quá trình học toán ở trường THCS. Do vậy khi nghiên cứu tôi đã có thêm những hiểu biết của mình, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của bản thân trong những năm tiếp theo

Giải pháp "rèn kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử " đối với chương trình THCS tương đối tổng hợp kiến thức, dễ nhầm lẫn. Ngoài SGK và SBT tôi còn tham khảo thêm bài tập nâng cao, bên cạnh đó tôi tham khảo thêm đồng nghiệp đã cùng tôi giảng dạy nghiên cứu về toán THCS. Tuy nhiên trong nội dung giải pháp này không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong sự góp ý kiến của thầy , cô giáo để giải pháp này được hoàn thiện hơn.

                                                       Lương Sơn, Ngày 10  tháng 05 năm 2012

                                                                                      Người thực hiện

 

 

                                                                               Giang Đức Tới

 

ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI GIẢI PHÁP CỦA HĐKH NHÀ TRƯỜNG

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI GIẢI PHÁP CỦA HĐKH CẤP HUYỆN

 

 

 

 

 

 

 

 

PHẦN V: TÀI LIỆU THAM KHẢO

 

1. Nâng cao và phát triển Toán 7- (Hai tập)        Vũ Hữu Bình - nhà xuất bản Giáo dục

2. Nâng cao và phát triển Toán 8- (Hai tập)     Vũ Hữu Bình - nhà xuất bản Giáo dục

3. Nâng cao và phát triển Toán 9- (Hai tập)            Vũ Hữu Bình  - nhà xuất bản

Giáo dục

4. Ôn tập Đại số 9                                                 Vũ Hữu Bình ( Chủ biên) - nhà xuất bản Giáo dục

5. Ôn tập và tự kiểm tra đánh giá Toán 9           Trần Phương Dung ( Chủ biên)

- nhà xuất bản Giáo dục

6. Luyện tập Đại số 9                                            Nguyễn Bá Hòa - nhà xuất bản Giáo dục

7. Toán cơ bản và nâng cao 9 –(Hai tập)                      TS. Vũ Thế Hựu - nhà xuất bản Giáo dục

8. 400 bài toán cơ bản và mở rộng lớp 7          Dương Đức Kim – Đỗ Duy Đồng - nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội

9. Toán nâng cao tự luận và trắc nghiệm Đại số 9           TS. Nguyễn Văn Lộc - nhà xuất bản Giáo dục

10. Tuyển tập các bài toán hay và khó Đại số 9       Nguyễn Đức Tấn - nhà xuất bản Giáo dục

11. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Đại số    Nguyễn Vũ Thanh - nhà xuất bản Giáo dục

12. Luyện giải và ôn tập Toán 7- (Hai tập)           Vũ Dương Thụy ( Chủ biên) - - nhà xuất bản Giáo dục

13. Luyện giải và ôn tập Toán 8- (Hai tập)        Vũ Dương Thụy ( Chủ biên) - nhà xuất bản Giáo dục

14. Sổ tay kiến thức Toán THCS                       Vũ Dương Thụy ( Chủ biên)

Tôn Thân - Vũ Hữu Bình - nhà xuất bản Giáo dục

15. Luyện giải và ôn tập Toán 8- (Hai tập)            Vũ Dương Thụy ( Chủ biên) - nhà xuất bản Giáo dục

16. Các dạng toán và phương pháp giải Toán 9 –(Hai tập)  Tôn Thân ( Chủ biên)- Vũ Hữu Bình- Nguyễn Vũ Thanh- Bùi Văn Tuyên - nhà xuất bản Giáo dục

17. Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8      Tôn Thân - Vũ Hữu Bình – Đỗ Quang Thiều - nhà xuất bản Giáo dục

18..Toán bồi dưỡng học sinh lớp 9      Tôn Thân - Vũ Hữu Bình – Đỗ Quang Thiều - nhà xuất bản Giáo dục

19. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8    Bùi Văn Tuyên - nhà xuất bản Giáo dục

20. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 9    Bùi Văn Tuyên - nhà xuất bản Giáo dục.