de thi HSG toan 9

 

                            §Ò thi  häc sinh giái cÊp huyÖn líp 9

                                      N¨m häc 2011-2012  M«n : To¸n

Hä vµ tªn häc sinh :………………………………Líp………………………..Tr­êng THCS: ………………………………………………………………....

Gi¸o viªn coi thi sè 1………………………….

Gi¸o viªn coi thi sè 2………………………….

Sè ph¸ch

 

§iÓm b»ng sè…………

§iÓm b»ng ch÷………………

Gi¸o viªn chÊm………        ………..

Sè ph¸ch

Hä vµ tªn häc sinh :………………………………Líp………………………..Tr­êng THCS: ………………………………………………………………....

Gi¸o viªn coi thi sè 1………………………….

Gi¸o viªn coi thi sè 2………………………….

Sè ph¸ch

 

§iÓm b»ng sè…………

§iÓm b»ng ch÷………………

Gi¸o viªn chÊm………        ………..

Sè ph¸ch

Hä vµ tªn häc sinh :………………………………Líp………………………..Tr­êng THCS: ………………………………………………………………....

Gi¸o viªn coi thi sè 1………………………….

Gi¸o viªn coi thi sè 2………………………….

Sè ph¸ch

 

§iÓm b»ng sè…………

§iÓm b»ng ch÷………………

Gi¸o viªn chÊm………        ………..

Sè ph¸ch

Hä vµ tªn häc sinh :………………………………Líp………………………..Tr­êng THCS: ………………………………………………………………....

Gi¸o viªn coi thi sè 1………………………….

Gi¸o viªn coi thi sè 2………………………….

Sè ph¸ch

 

§iÓm b»ng sè…………

§iÓm b»ng ch÷………………

Gi¸o viªn chÊm………        ………..

Sè ph¸ch

Hä vµ tªn häc sinh :………………………………Líp………………………..Tr­êng THCS: ………………………………………………………………....

Gi¸o viªn coi thi sè 1………………………….

Gi¸o viªn coi thi sè 2………………………….

Sè ph¸ch

 

§iÓm b»ng sè…………

§iÓm b»ng ch÷………………

Gi¸o viªn chÊm………        ………..

Sè ph¸ch

Hä vµ tªn häc sinh :………………………………Líp………………………..Tr­êng THCS: ………………………………………………………………....

Gi¸o viªn coi thi sè 1………………………….

Gi¸o viªn coi thi sè 2………………………….

Sè ph¸ch

 

§iÓm b»ng sè…………

§iÓm b»ng ch÷………………

Gi¸o viªn chÊm………        ………..

Sè ph¸ch

Hä vµ tªn häc sinh :………………………………Líp………………………..Tr­êng THCS: ………………………………………………………………....

Gi¸o viªn coi thi sè 1………………………….

Gi¸o viªn coi thi sè 2………………………….

Sè ph¸ch

 

§iÓm b»ng sè…………

§iÓm b»ng ch÷………………

Gi¸o viªn chÊm………        ………..

Sè ph¸ch

Hä vµ tªn häc sinh :………………………………Líp………………………..Tr­êng THCS: ………………………………………………………………....

Gi¸o viªn coi thi sè 1………………………….

Gi¸o viªn coi thi sè 2………………………….

Sè ph¸ch

 

§iÓm b»ng sè…………

§iÓm b»ng ch÷………………

Gi¸o viªn chÊm………        ………..

Sè ph¸ch

Hä vµ tªn häc sinh :………………………………Líp………………………..Tr­êng THCS: ………………………………………………………………....

Gi¸o viªn coi thi sè 1………………………….

Gi¸o viªn coi thi sè 2………………………….

Sè ph¸ch

 

§iÓm b»ng sè…………

§iÓm b»ng ch÷………………

Gi¸o viªn chÊm………        ………..

Sè ph¸ch

Hä vµ tªn häc sinh :………………………………Líp………………………..Tr­êng THCS: ………………………………………………………………....

Gi¸o viªn coi thi sè 1………………………….

Gi¸o viªn coi thi sè 2………………………….

Sè ph¸ch

 

§iÓm b»ng sè…………

§iÓm b»ng ch÷………………

Gi¸o viªn chÊm………        ………..

Sè ph¸ch

Hä vµ tªn häc sinh :………………………………Líp………………………..Tr­êng THCS: ………………………………………………………………....

Gi¸o viªn coi thi sè 1………………………….

Gi¸o viªn coi thi sè 2………………………….

Sè ph¸ch

 

§iÓm b»ng sè…………

§iÓm b»ng ch÷………………

Gi¸o viªn chÊm………        ………..

Sè ph¸ch

Hä vµ tªn häc sinh :………………………………Líp………………………..Tr­êng THCS: ………………………………………………………………....

Gi¸o viªn coi thi sè 1………………………….

Gi¸o viªn coi thi sè 2………………………….

Sè ph¸ch

 

§iÓm b»ng sè…………

§iÓm b»ng ch÷………………

Gi¸o viªn chÊm………        ………..

Sè ph¸ch

Hä vµ tªn häc sinh :………………………………Líp………………………..Tr­êng THCS: ………………………………………………………………....

Gi¸o viªn coi thi sè 1………………………….

Gi¸o viªn coi thi sè 2………………………….

Sè ph¸ch

 

§iÓm b»ng sè…………

§iÓm b»ng ch÷………………

Gi¸o viªn chÊm………        ………..

Sè ph¸ch

Hä vµ tªn häc sinh :………………………………Líp………………………..Tr­êng THCS: ………………………………………………………………....

Gi¸o viªn coi thi sè 1………………………….

Gi¸o viªn coi thi sè 2………………………….

Sè ph¸ch

 

§iÓm b»ng sè…………

§iÓm b»ng ch÷………………

Gi¸o viªn chÊm………        ………..

Sè ph¸ch

Hä vµ tªn häc sinh :………………………………Líp………………………..Tr­êng THCS: ………………………………………………………………....

Gi¸o viªn coi thi sè 1………………………….

Gi¸o viªn coi thi sè 2………………………….

Sè ph¸ch

 

§iÓm b»ng sè…………

§iÓm b»ng ch÷………………

Gi¸o viªn chÊm………        ………..

Sè ph¸ch

Hä vµ tªn häc sinh :………………………………Líp………………………..Tr­êng THCS: ………………………………………………………………....

Gi¸o viªn coi thi sè 1………………………….

Gi¸o viªn coi thi sè 2………………………….

Sè ph¸ch

 

§iÓm b»ng sè…………

§iÓm b»ng ch÷………………

Gi¸o viªn chÊm………        ………..

Sè ph¸ch

Hä vµ tªn häc sinh :………………………………Líp………………………..Tr­êng THCS: ………………………………………………………………....

Gi¸o viªn coi thi sè 1………………………….

Gi¸o viªn coi thi sè 2………………………….

Sè ph¸ch

 

§iÓm b»ng sè…………

§iÓm b»ng ch÷………………

Gi¸o viªn chÊm………        ………..

Sè ph¸ch

Hä vµ tªn häc sinh :………………………………Líp………………………..Tr­êng THCS: ………………………………………………………………....

Gi¸o viªn coi thi sè 1………………………….

Gi¸o viªn coi thi sè 2………………………….

Sè ph¸ch

 

§iÓm b»ng sè…………

§iÓm b»ng ch÷………………

Gi¸o viªn chÊm………        ………..

Sè ph¸ch

Hä vµ tªn häc sinh :………………………………Líp………………………..Tr­êng THCS: ………………………………………………………………....

Gi¸o viªn coi thi sè 1………………………….

Gi¸o viªn coi thi sè 2………………………….

Sè ph¸ch

 

§iÓm b»ng sè…………

§iÓm b»ng ch÷………………

Gi¸o viªn chÊm………        ………..

Sè ph¸ch

C©u 1:

      Cho aZ , chøng minh r»ng  a5- a chia hÕt cho 30.

C©u 2 : Cho P =

a. Rót gän P

b.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P.

c. T×m x ®Ó biÓu thøc Q = nhËn gi¸ trÞ lµ sè nguyªn

C©u 3:    a. Gi¶i ph­¬ng tr×nh

               b. Cho a,b,c Z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

CMR  chia hÕt cho 3

C©u 4:  Cho h×nh vu«ng ABCD ( AB = a ), M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn c¹nh BC. Tia Ax vu«ng gãc víi AM c¾t ®­êng th¼ng CD t¹i K. Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng MK. Tia AI c¾t ®­êng th¼ng CD t¹i E. §­êng th¼ng qua M song song víi AB c¾t AI t¹i N.

 a/ Tø gi¸c MNKE lµ h×nh g× ? Chøng minh.

 b/ Chøng minh: AK2 = KC . KE.

 c/ Chøng minh r»ng khi ®iÓm M di chuyÓn trªn c¹nh BC th× tam gi¸c CME lu«n cã chu vi kh«ng ®æi.

 d/ Tia AM c¾t ®­êng th¼ng CD ë G. Chøng minh r»ng kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M.

 

     4/ Tia AM c¾t ®­êng th¼ng CD ë G. Chøng minh r»ng kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M.Bµi 4 ( 3,5 ®iÓm ):  Cho h×nh vu«ng ABCD ( AB = a ), M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn c¹nh BC. Tia Ax vu«ng gãc víi AM c¾t ®­êng th¼ng CD t¹i K. Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng MK. Tia AI c¾t ®­êng th¼ng CD t¹i E. §­êng th¼ng qua M song song víi AB c¾t AI t¹i N.              1/ Tø gi¸c MNKE lµ h×nh g× ? Chøng minh.              2/ Chøng minh: AK2 = KC . KE.              Bµi 4 ( 3,5 ®iÓm ):  Cho h×nh vu«ng ABCD ( AB = a ), M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn c¹nh BC. Tia Ax vu«ng gãc víi AM c¾t ®­êng th¼ng CD t¹i K. Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng MK. Tia AI c¾t ®­êng th¼ng CD t¹i E. §­êng th¼ng qua M song song víi AB c¾t AI t¹i N.Bµi 4 ( 3,5 ®iÓm ):  Cho h×nh vu«ng ABCD ( AB = a ), M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn c¹nh BC. Tia Ax vu«ng gãc víi AM c¾t ®­êng th¼ng CD t¹i K. Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng MK. Tia AI c¾t ®­êng th¼ng CD t¹i E. §­êng th¼ng qua M song song víi AB c¾t AI t¹i N.C©u 5:  Cho a,b,c > 0 vµ abc =1

Chøng minh r»ng:   

Bµi 4 ( 3,5 ®iÓm ):  Cho h×nh vu«ng ABCD ( AB = a ), M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn c¹nh BC. Tia Ax vu«ng gãc víi AM c¾t ®­êng th¼ng CD t¹i K. Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng MK. Tia AI c¾t ®­êng th¼ng CD t¹i E. §­êng th¼ng qua M song song víi AB c¾t AI t¹i N.              1/ Tø gi¸c MNKE lµ h×nh g× ? Chøng minh.              2/ Chøng minh: AK2 = KC . KE.             

 

 

 

Bµi 4 ( 3,5 ®iÓm ):  Cho h×nh vu«ng ABCD ( AB = a ), M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn c¹nh BC. Tia Ax vu«ng gãc víi AM c¾t ®­êng th¼ng CD t¹i K. Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng MK. Tia AI c¾t ®­êng th¼ng CD t¹i E. §­êng th¼ng qua M song song víi AB c¾t AI t¹i N.              1/ Tø gi¸c MNKE lµ h×nh g× ? Chøng minh.              2/ Chøng minh: AK2 = KC . KE.              §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm

C©u 1: (2 ®iÓm)

 a5-a = a(a4-1) = a(a2-1)(a2+1) = a(a-1)(a+1)(a2- 4+5)                      

       = a(a-1)(a+1)= a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1)            

H¹ng tö thø nhÊt chia hÕt cho 5 v× lµ tÝch cña n¨m sè nguyªn liªn tiÕp . H¹ng tö  thø hai còng chia hÕt cho 5 do ®ã : a5-a 5  Ta thÊy: a5-a = a(a-1)(a+1)(a2+1)

Do (a-1)a(a+1) lµ tÝch cña 3 sè nguyªn liªn tiÕp nªn nã chia hÕt cho 2 vµ 3 , tøc lµ chia hÕt cho 6 v× (2,3) = 1                                                                                         

a5-a võa chia hÕt cho 5 , võa chia hÕt cho 6 mµ (5,6) =1 nªn a5-a 30              

 C©u 2 (6 ®iÓm)

a) (2®) §iÒu kiÖn ®Ó P cã nghÜa lµ x > 0, x 1 

 P =                                                       

 P =                                        

   =                                                         

b)(2®) P = x- +1=                                                          

   P ®¹t GTNN lµ khi x=                                                                                 

c)(2®)  Q =                                                            

Víi x > 0 vµ x 1 .¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«Si cho hai sè d­¬ng

                    M =                                                        

T×m ®­îc Q nguyªn khi vµ chØ khi Q = 1                                      

 

C©u 3  (4®)

 a. (2®) 

       

=0

=0

=0

 

PT(1) v« nghiÖm

PT(2)

VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ x=

 

2. (2®) §K:a,b,c.Tõ gi¶ thiÕt suy ra  a+b+c=0 Mµ  chia hÕt cho 3 vµ a+b+c=0 chia hÕt cho 3 nªn chia hÕt cho 3

C©u 4: (7®) 

 

C©u a: 2 ®iÓm.

              + Tõ  MN // AB // CD vµ MI = IK ¸p dông ®Þnh lý Ta let ta cã  NI = IE

            + CM tam gi¸c AMK vu«ng c©n t¹i A ®Ó cã AE KM                

              + Tø gi¸c MNKE lµ h×nh b×nh hµnh cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc víi nhau nªn MNKE lµ h×nh thoi.                                                                                                       

C©u b: 1,5 ®iÓm.

              + Tõ tÝnh chÊt h×nh vu«ng cã  ACK = 45 0.                                     

              + Chøng minh hai tam gi¸c AKE vµ CKA ®ång d¹ng (g.g) . suy ra §PCM. 

C©u c: 1,5 ®iÓm.

              + Tõ hai tam gi¸c ABM vµ ADK b»ng nhau ta cã MB = DK nªn

EK = MB + ED.                                                                                                               

              + Tam gi¸c AMK vu«ng c©n t¹i A cã MI = IK nªn AI lµ trung trùc cña MK do ®ã ME = EK.                                                                                                 

              + Tõ ®ã ME = MB + ED, suy ra  ME + CM + CE = 2a. Suy ra ®pcm                    

                                                                                                                                                     

C©u d: 2 ®iÓm.

              + Tam gi¸c AMK vu«ng c©n t¹i A nªn AM = AK; do ®ã

               = .                                                       

              + Tam gi¸c AKG vu«ng t¹i A  ®­êng cao AD theo hÖ thøc l­îng ta cã:

  = =  Suy ra  ( ®pcm)

 

C©u 5   (1®)  ¸p dông B§T Cosi ta cã

T­¬ng tù råi céng vÕ theo vÕ ta ®­îc:

Mµ a+b+c suy ra ®pcm

DÊu “=” x¶y ra khi a=b=c=1

Bµi 4 ( 3,5 ®iÓm ):  Cho h×nh vu«ng ABCD ( AB = a ), M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn c¹nh BC. Tia Ax vu«ng gãc víi AM c¾t ®­êng th¼ng CD t¹i K. Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng MK. Tia AI c¾t ®­êng th¼ng CD t¹i E. §­êng th¼ng qua M song song víi AB c¾t AI t¹i N.              1/ Tø gi¸c MNKE lµ h×nh g× ? Chøng minh.              2/ Chøng minh: AK2 = KC . KE.