Dieu kien de co so nguyen to Mecxen

      ĐIỀU  KIỆN ĐỂ  CÓ  ĐƯỢC  MỘT

       SỐ  NGUYÊN  TỐ   MECXEN .

           (  Tặng đến các bạn  yêu môn số học  )            NGÔ  VĂN  PHƯƠNG                                    

Trường THCS Thạnh nhựt

Gò Công Tây- Tiền Giang

       I. Đặt vấn đề :

❶ Xét chuổi số sau :

U = { un \ n ∈ ℕ ; un = 2n – 1 } = { 0 ; 1 ; 3 ; 7 ; 15; 31; .....}

Ta thấy :   u2 =  3  ,   u3 = 7  ,   u5 = 31  .....thường là những số nguyên tố .

❷ Bằng nhận định như vậy ! Nhà toán học Mecxen đã đưa ra một giả thiết rằng : << Nếu  p∈ ℘  ( p là số nguyên tố )  thì  up = 2p- 1 là một số nguyên tố >>.

❸  Từ đó , giả thiết trên được mang tên ông . Sau đó người ta lại thấy rằng với  p = 11 thì  u11 = 211 – 1 = 2047 = 23 . 89  đây là một bằng chứng hùng hồn cho thấy giả  thiết về số nguyên tố  Mecxen  sai trong trường hợp p=11 .(  Nó còn sai trong nhiều trường hợp khác nữa ! ) .

❹  Người ta đã chứng minh được rằng  << Nếu   un ∈ ℘  thì  n ∈ ℘  >> .

Nếu  up là một số nguyên tố , người ta gọi  Up là số nguyên tố Mecxen .

❺  Vấn đề đặt ra cho chúng ta ở đây là  << Số nguyên  tố  p cần phải có điều kiện gì để cho  up  là một số nguyên tố  Mecxen ?  >>

               II. Một số bổ đề :

Chúng ta sẽ tìm hiểu một số tính chất của chuổi số  U .

❶  Bổ đề 1: << Với mỗi số  p∈ ℘ và  p> 2 , thì tồn tại một số nhỏ nhất  e ∈ℕ+

                       sao cho   ue  p  >> .            

 Ta nhận thấy rằng :

_ Theo định lí  Phec-ma nhỏ, ta có      2p-1  ≡ 1  ( mod  p )

         2p-1 – 1 ≡ 0  ( mod p )       u( p-1)    ≡ 0  ( mod  p )

       Nếu   k = p-1   thì     uk  p 

       Tồn tại  một tập hợp những số  k ∈ ℕ+ để   uk  p 

       Vì  tập hợp những số  k ∈ ℕ+ , k > 0 ( bị chặn dưới ) nên theo định lí

               Weiestrass thì   ∃ e∈ ℕ+, e là nhỏ nhất để    ue   p                đ.p.c.m.

_ Chú ý :  +  Dễ thấy rằng     2 <  e  ≤ ( p-1)

                +   << Nếu số nhỏ nhất  e ∈ ℕ+ và ue  p thì  uke    p >> ( ∀ k ∈ ℕ ).

                  Thật vậy ! ta dễ dàng chứng minh được điều nầy bằng hằng                     

                   đẳng thức : uke = 2ke – 1 =  ( 2e)k – 1k

               = ( 2e - 1) [( 2e)k-1+ ( 2e)k-2+ ... + (2e)  + 1 ]

                                           =  ue . [ (2e)k-1  + .......... +  1  ]   .

                         uke   ue   và     ue   p        uke    p                     đ.p.c.m.

     Ngược lại , ta có bổ đề sau :

❷  Bổ đề 2 : << Với mổi số nguyên tố p cho trước, với mọi số n∈ ℕ và e là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho   un  p  và   ue  p  thì ta có        n e  >>  .

 Giả sử    n   không chia hết cho số   e . Thế thì  ∃ k, m ∈ℕ ;  1 ≤  m  <  e  sao cho :   n = ke  +  m

            un =  2n  - 1 =  2ke+m  - 1         ( 2ke+m – 1)   p  và   (2e – 1 )  p

           {( 2ke+m – 1)  - ( 2e – 1 ) }    p    (2ke. 2m  - 2e )  p

           ( 2ke. 2m   - 2m   + 2m  - 2e )  p   {( 2ke. 2m – 2m) – (2e – 2m)}  p

           { 2m(2ke – 1 ) – 2m ( 2e-m – 1 )}  p   ( 2m.uke   - 2m .u(e-m) )   p

            Theo chú ý ở phần bổ đề 1, vì  ue  p nên   uke  p   2m uke  p

          2mu(e-m)  p   và   Ư CLN ( 2m ; p ) = 1     u(e-m)  p

Mà   0 <  e-m < e ; nên tồn tại  một số tự nhiên  (e-m) < e  sao cho u(e-m) chia hết  cho   p .Điều nầy trái với giả thiết rằng  e là số tự nhiên nhỏ nhất có tính chất   ue  p . Vậy bổ đề 2 đã được chứng minh . 

❸  Bổ đề 3 :<<  Với mỗi số nguyên tố p∈℘ cho trước, và với  ∀ p’ ∈ ℘ ; sao

      cho   p’ < p    thì    up  không chia hết cho  p’  >> .

Thật vậy !  Giả sử   up   p’   và  ∃ e’ ∈ ℕ+ là nhỏ nhất để cho  ue’  p’ ; theo bổ đề 2 ở trên  thì ta suy ra :     p  e’  mà  e’ ≤  p’-1 < p’ < p      e’  = 1   vô lí .Vậy bổ đề 3 đã được chứng minh .

           III. Tìm điều kiện cho số nguyên tố Mecxen :

Ở phần trên , ta đã biết rằng luôn  ∃ p ∈ ℘  mà  up ∉ ℘   ( thí dụ  p = 11 ).

Tức là   ∃ p’ ; p”  ∈  ℘   \       up =  p’ p”.  Theo bổ đề 3 , ta dễ thấy rằng  p  nhỏ hơn  p’ và  p”           p  <  p’ , p”  .

Theo bổ đề 1 và 3 , ta dễ thấy rằng số   p  chính là số nhỏ nhất có tính chất   up  p’   và   up  p” .

   up  p’  và   u(p’-1)  p’  ( Phec-ma  nhỏ )  theo bổ đề 2 thì   (p’ –1)  p .

           Bằng suy luận tương tự cho  p”  ta cũng có    ( p” – 1 )  p .

   ∃ m,n,k,l  ∈ ℕ+  và  k,l  là số lẽ để;

            p’  =  2m p k   + 1

            p”  =  2n p l    + 1           (  CT  1 )

Vậy ta có công thức sau :

            up   =  2p – 1 = (2m pk +1)( 2n pl +1 )        (  CT  2 )

❶  Xét các trường hợp sau :

                   a. Nếu   m = n = 1  thì  CT 2  trở thành :

up  =  ( 2pk +1 )( 2pl + 1) = 22 pkpl + 2pk + 2pl + 1

     =  ( 22pkpl + 2pk + 2pl +2 )  - 1 =  2p – 1 =  up

       ( 22 pkpl + 2pk +2pl + 2)       =  2p

     2(2pkpl + pk + pl + 1 )  =   2p  = 2{  2pkpl + p( k +l ) +1 }

     2p-1 =  2pkpl + p( k +l ) + 1(chú ý    k, l   là số lẻ )

               =   chẵn +  chẵn   + lẻ  

     2p-1 =  lẻ     vô lí . Vậy trường hợp  m = n = 1  không xảy ra .

  b. Nếu   m , n   ≥ 2 :  thì công thức 2 trở thành :

2p – 1 =  ( 2m pk +1 )( 2n pl + 1 ) =  ( 2m pk + 1 ){ (2n pl +2) –1}

          =  (2m pk +1 ){ 2( 2n-1 pl +1 ) -  1 }

          = 2m+1pk( 2n-1pl +1) – 2mpk + 2(2n-1pl +1)  - 1

  2p-1  =      = lẻ      ( vô lí )

Vậy trường hợp nầy   m, n ≥ 2  không xảy ra .

Căn cứ vào hai trường hợp trên ta suy ra : trong hai số  m,n thì có một

số bằng 1 , còn một số lớn hơn bằng 2.

  c. Giả sử  m =1  và  n ≥ 2 : CT 2 trở thành :

              2p – 1 = (2pk +1)( 2n pl +1)  với  n ≥ 2          (  CT 3 )

Ta biến đổi vế phải như sau :

                 2p – 1 = ( 2pk +1){  2( 2n-1 pl + 1) – 1 }

          =22pk(2n-1pl +1) + 2(2n-1pl +1) – 2pk –1

                   2p     = 22pk(2n-1pl +1) + 2(2n-1pl +1) – 2pk

                   2p-1 =  2pk(2n-1pl +1) + ( 2n-1pl +1) – pk

   2p-1 =  2pk(2n-1pl +1) +  2n-1pl  - ( pk – 1)

   2p-2 =  pk( 2n-1pl +1)  + 2n-2pl  -  {( pk – 1) :2}

         = pk2n-1 pl  + 2n-2pl + pk – {( pk –1): 2 }

         = 2n-1pkpl   + 2n-2pl  +  {( pk + 1) : 2}

   2p-2 =  2n-2pl( 2pk +1) + {( pk +1) : 2}          (  CT  4 )

Nhận xét :

*Hệ thức trên cho ta những nhận định sau :

~  { ( pk + 1) :2 } có dạng = 2n-2 a    ( với  a∈ ℕ+, a  lẻ ).Nếu không , thì sau khi rút gọn hai vế cho lũy thừa của 2; ta có vế phải của CT 4 là số lẽ , còn vế trái là số chẵn.Như vậy thì không thích hợp !Nên {( pk +1) : 2 } = 2 n- 2 a .

        pk +1  = 2 n-1a       (  CT  5 )

~ Từ CT4 ta suy ra:         2 ≤  n < p            (  CT 6 )

Theo nhận xét trên ,CT4  trở thành :

 2p-2  =  2n-2pl( 2pk +1) + 2n-2 a   2p-2  =  2n-2pl.(2n.a – 1) + 2n-2a

 2p-n  =  pl( 2na – 1)  + a   =  2na.pl – pl +a  =  2napl – (  pl – a)

Nhận xét : Tương tự như nhận xét vừa qua , ( pl – a) phải có dạng như sau :

 Pl – a  =  2  n .b            (  CT 7 )  Với b ∈ ℕ+ ; b   là số lẻ.       

Thế thì : 2p-n  =  2n apl – 2nb     2p-2n  =   apl  - b   =  a( 2nb + a) – b

   2p-2n  =  2nab  + ( a2 – b )             (  CT 8 )

Nhận xét :Tương tự như trên, ( a2 – b )  phải có dạng như sau :

  a2 - b  =  2 n c         (  CT 9 ) với  c ∈ ℕ+ ,c  là số lẻ.

Thế thì :

 2p-2n  =  2n.ab + 2n.c  =  2n.( ab + c )

 2p-3n  =   ab + c                (  CT 10 ) Với a,b,c ∈ ℕ+ và  a,b,c đều lẻ.

Nhận xét :Điều kiện của số  n  là      n ∈ ℕ+ và     2 ≤ n  <  ( p – 1) : 3            ( CT 11 )

                 Ta có thể chứng minh chiều ngược lại để có kết luận như dưới đây .

❷  KẾT LUẬN :

Nếu dùng CT5, CT7 để thay vào CT3 ; ta được kết quả sau :

<< Với mỗi số nguyên tố p, nếu  và chỉ nếu tồn tại bốn số  a,b,c,n ∈ ℕ +, trong đó a,b,c là các số lẻ thỏa mãn các điều kiện :    1/.  ab + c  =  2 p-3n

                                 2/.  a 2 – b =  2 n c

                       3/.   2 ≤ n  < ( p-1) : 3

thì  u p =  2 p - 1  là một hợp số có dạng   u p =  ( 2 n a – 1).{ 2n( 2 n.b +a) +1} >>.

Với điều kiện nầy, ta có thể phát biểu như sau :

 IV. ĐỊNH LÍ  NVP:

❶  Định lí :  <<  Với mổi số nguyên tố  p  cho trước, nếu không tồn tại bốn số  a,b,c,n

                                  ∈ ℕ +, trong đó  a,b,c  là các số lẻ thỏa mãn các điều kiện :

1.   ab + c =  2 p-3 n

2.    a 2 – b =  2 n c

3.    2  ≤  n  <  (p-1) : 3

                      thì  u p =  2p – 1     là một số nguyên tố  Mecxen >>.