Giai Phuong trinh chua can nhu the nao

ChuÈn bÞ thi vµo ®¹i häc

Gi¶i Ph­¬ng Tr×nh chøa c¨n nh­ thÕ nµo?

      Khi c¸c b¹n gi¶i ph­¬ng tr×nh (PT) d¹ng , chóng ta ®Òu biÕt b×nh ph­¬ng 2 vÕ ®Ó khö c¨n bËc hai, vËy víi PTcã gi¶i ®­îc b»ng ph­¬ng ph¸p ®ã ®­îc n÷a kh«ng? Xin tr¶ lêi trõ mét sè tr­êng hîp ®Æc biÖt. VËy th× cã ph­¬ng ph¸p gi¶i chung kh«ng ? §©y lµ c©u hái mµ nhiÒu b¹n ®äc ch­a tr¶ lêi ®­îc, VÝ dô khi gi¶i PT sau:

,ta ®Æt, råi khi gi¶i PT:, ta ®Æt .

  VËy b¹n ®· tù hái xem t¹i sao l¹i cã ®­îc phÐp ®Æt nh­ vËy( §· cã mét chuyªn ®Ò ®­îc ®¨ng trªn To¸n häc vµ tuæi trÎ nãi vÒ ph­¬ng ph¸p gi¶i). §Æc biÖt víi c¸c b¹n ®· häc vÒ ®¹o hµm th× ph­¬ng ph¸p sau sÏ gi¶i quyÕt b­íc chän ®Æt nhanh h¬n rÊt nhiÒu. Sau ®©y lµ néi dung ph­¬ng ph¸p cô thÓ:

D¹ng 1:vµ tháa m·n (*). XÐt hµm sè  =>, khi ®ã b»ng  phÐp ®Æt , ta sÏ ®­a PT d¹ng 1 vÒ hÖ ®èi xøng quen thuéc.

Chó ý: Khi bµi to¸n ®· cho th× ®iÒu kiÖn sÏ tháa m·n. Do vËy ta còng kh«ng ph¶i kiÓm tra ®iÒu kiÖn ®ã.

VÝ dô: Gi¶i PT sau: 

Lµm nh¸p:=>.

Gi¶i: §Æt , <=>

                   <=> 12x+61 = 36y2 +12y +1 <=> 3y2 + y = x +5 (1)

Mµ theo c¸ch ®Æt ta cã: <=> 3x2 + x = y +5 (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ: => 3(y2 – x2) + ( y – x) = x – y

<=> (x-y)(3y + 3x +2) = 0 <=> y = x hoÆc .

* Víi y = x => 3y2 = 5 =>y = x = ,().

* Víi => 3x2 + x = +5 <=> 9x2 +6x - 13 = 0

=> . Tõ ®©y ta t×m ®­îc y vµ kÕt luËn ®­îc nghiÖm cña PT ®· cho.

D¹ng 2:

XÐt f(x) = cx2 + dx + e => f’(x) = 2cx + d = 0 => , khi ®ã b»ng phÐp ®Æt .

VÝ dô1: Gi¶i PT sau:

Lµm nh¸p: f(x) = 3x2 + 2x + 3 =>f’(x) = 6x + 2 = 0 =>x = - 1/3.

Gi¶i: §Æt

=> 9x – 5 = 9y2 +6y + 1 <=> 9y2 + 6y = 9x – 6 <=> 3y2 + 2y = 3x – 2 (1)

MÆt kh¸c ta cã: 3x2 + 2x + 3 = 3y +1 <=> 3x2 + 2x = 3y – 2                  (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ®Õn ®©y xin dµnh cho b¹n ®äc tù gi¶i nh­ vÝ dô trªn.

VÝ dô 2: Gi¶i PT sau:

                                        (Thi chän HSG B¾c Giang n¨m häc 2003 – 2004).

Lµm nh¸p: XÐt hµm sè f(x) = x2 – x – 2004 => f’(x) = 2x – 1 = 0 <=> x =

Do , nªn ta sö dông ph­¬ng ph¸p ®Æt:

Gi¶i: §Æt => t2 – t = 4008x, (1)

MÆt kh¸c do tõ PT ta cã: x2 – x – 2004  = 2004( 2t – 1) => x2 – x = 4008t,(2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ PT sau:

=> (t2 – x2) – (t – x) = 4008(x – t)

<=> (t – x)[ t + x – 1 + 4008] = 0

<=> t = x hoÆc t = - x – 4007.

* Víi t = x ta cã: x2 – 4009x = 0 <=> x = 0 vµ x = 4009. Ta cã x = 0 kh«ng tháa m·n.

* Víi t = - x – 4007=> x2 – x = 4008(- x- 4007) <=> x2 +4007x – 4007.4008 = 0 => PT v« nghiÖm.

KL: PT ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt x = 4009.

D¹ng 3:

XÐt hµm sè f(x) = => f’(x) = 3cx2 + 2dx + e

=> f’’(x) = 6cx + 2d = 0 => , Khi ®ã b»ng phÐp ®Æt:

VÝ dô: Gi¶i PT sau:

Lµm nh¸p: XÐt hµm sè f(x) = => f’(x) = x2 - 3x +9/4 =>

f’’(x)  = 2x – 3 = 0 <=> .

Gi¶i: §Æt =>

              <=> <=> 12x – 18 = 4y3 – 18y2 + 27y, (1).

Tõ PT ®· cho vµ theo c¸ch ®Æt ta cã:

                                                            <=>12y – 18 = 4x3 – 18x2 + 27x, (2).

Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ:( viÖc gi¶i hÖ nµy xin dµnh cho ®éc gi¶)

D¹ng 4:

XÐt hµm sè f(x) = => f’(x) = 3cx2 + 2dx + e

=> f’’(x) = 6cx + 2d = 0 => , Khi ®ã b»ng phÐp ®Æt:

VÝ dô: ( To¸n häc vµ Tuæi trÎ Th¸ng 6 n¨m 2001) Gi¶i PT sau:

Lµm nh¸p: XÐt hµm sè f(x) = => f’(x) = 3x2 – 4x + 4/3

=> f’’(x) = 6x – 4 = 0 <=> do .

Gi¶i: §Æt  => 3x = y3 – 2y2 +,( BiÕn ®æi t­¬ng tù ta cã hÖ)

=> (x – y)( x2 + xy +y2 - 2x – 2y  + ) = 0(*),

Do x2 + xy +y2 - 2x – 2y  + = , nªn tõ (*) ta cã x = y => 3x = x3 – 2x2 + => x1= 0 ; x2,3 =

 Trªn ®©y chØ lµ mét sè vÝ dô ®iÓn h×nh.§Ó thµnh th¹o h¬n c¸c b¹n luyÖn tËp qua mét sè vÝ dô d­íi ®©y. Hy väng r»ng ph­¬ng ph¸p trªn ®em l¹i cho b¹n thµnh c«ng khi gi¶i ph­¬ng tr×nh chøa c¨n. Chóc c¸c b¹n ®¹t kÕt qu¶ cao trong häc tËp !

Bµi tËp tù luyÖn:

Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

                Phan Hoµng Ninh

GV Tr­êng THPT Lôc Ng¹n sè 1 – B¾c Giang