giải phương trình pt bpt pdf

Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình

A, Phương trình, bất phương trình cơ bản

1

. Phương trình bậc nhất: ax+b=0

b



Nếu a≠0, phương trình có nghiệm x =  .

a



Nếu a = 0, b = 0 phương trình có vô số nghiệm.

Nếu a = 0, b  0 phương trình vô nghiệm.

Ví dụ:

a, Giải và biện luân phương trình: (m-1)x = m+2

b, Giải và biện luân phương trình: mx+1 = mx+2

c, Giải và biện luân phương trình: 3x – 3m = m(x – m)

2

d, Giải và biện luân phương trình: (m-3)x = m - 9

2

e, Giải và biện luân phương trình: (m -4m+3)x=m-3

2

f, Giải và biện luân phương trình: m (x+1) – 1 = (2-m)x

(

ꢀꢁꢂꢃ)ꢄꢅꢀ

g, Giải và biện luận phương trình:

= m+1

ꢄꢂꢀ

h, Giải và biện luận phương trình: |2ꢆ + ꢇ| = |2ꢇ − 1 − 2ꢆ|

2

i, Tìm m để phương trình sau vô nghiệm:  (m+1) x+1 –m = (7m-5)x

ꢄꢅꢁ

ꢄꢂꢀ



+

= 2

ꢄꢂꢃ

ꢄ

k, Tìm m, a, b để phương trình sau có vô số nghiệm (có tập nghiệm là R)

2



m x = 9x + m +4m+3



(x-1)a + (2x+1)b = x+2

2

. Phương trình bậc 2: ax +bx+c=0

2

Có   b  4ac hoăc ('  b'  ac) trong đó b = 2b’.







b  

b' '



Nếu   0 phương trình có nghiệm x =

Nếu   0 phương trình vô nghiệm.

hoăc x 







2

a







b

a

x  x  

1

2



Nếu x và x là nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0 thì

1

2





c

x .x 

1

2





a



Dấu của các nghiệm:

Phương trình có 2 nghiệm trái dấu ⇔ < 0

ꢈ

(cùng dấu khi > 0)

ꢉ

∆

≥ 0

ꢈ

>

0

Phương trình có 2 nghiệm dương ⇔ꢊ ꢉ

ꢋ

ꢉ

−

> 0

∆

≥ 0

ꢈ

>

0

Phương trình có 2 nghiệm âm ⇔ꢊ ꢉ

ꢋ

ꢉ

−

< 0

Nguyễn Hoài Nam 0979160543

1

Dạy kèm học sinh từ L6 – L12



Biểu thức đối xứng của các nghiệm số:

ꢌ

c

Cho S = x + x = - , P = x x = , ta có:

1

2

1 2

ꢍ

a

2

-

(x -x ) = (x -x ) – 4x x = S - 4P

1

2

1

2

1 2

2

x +x = (x + x ) – 2x x = S – 2P

1

2

1

2

1 2

3

2

x +x = (x + x )[(x + x ) – 3x x ] = S(S - 3P)

1

2

1

2

1

2

1 2

ꢎ

ꢏꢎꢅꢏꢑ

ꢏꢎꢏꢑ

ꢑ

ꢒ

ꢓ

ꢑ

-

+ =

=

ꢏꢎꢐ

ꢏꢑ

ꢑ

ꢎ

ꢏꢎ ꢅꢏꢑ

ꢒ ꢂꢑꢓ

+

_ꢑ=

=

ꢑ

ꢏꢎ

ꢏꢑ

ꢏꢎ ꢏꢑ

ꢓ



Nếu hai số có tổng là S = u+v và tích là P=u.v thì chúng là nghiệm của phương trình :

X – SX + P = 0

2

Ví dụ:

2

1

. Cho phương trình: x - 2(m-1)x +m -3m+4 = 0

a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x , x và nghiệm này gấp đôi

1

2

nghiệm kia.

b) Xác định m để x + x = 20

2

1

2

c) Xác định m để biểu thức x + x đạt giá trị nhỏ nhất.

1

2

. Giải và biện luận phương trình: (m-2)x -2mx+m+1 = 0

2

3

2

. Giải và biện luận phương trình: 2x -2(a+1)x +a -2a+5 =0

ꢀ

4

. Tìm m để phương trình: √ꢇ(ꢇ − 3)ꢆ + 2(ꢇ − 3)ꢆ + 2√ꢇ = 0

a. Có nghiệm

b. Có nghiệm trái dấu

2

5

6

7

. Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm lớn hơn 1: x -x+m-4=0

2

. Tìm m để phương trình x +x+m+1=0 có 2 nghiệm thỏa mãn: x x +3(x +x ) +5 =0

1

2

1

2

. Tìm m để phương trình x -2(m+2x +4m+5 =0 có 2 nghiệm:

a. Đều dương

b. Đều âm

c. |x x | = 2

1 2

2

8

. Tìm m để phương trình 3x +4(m-1)x+m -4m+1 =0 có 2 nghiệm thỏa mãn:

ꢃ

= (x + x )

1 2

ꢀ

+

ꢄꢃ

ꢄꢀ

9

1

. Giải phương trình: (x+1)(x-3)(x+4)(x+8)=60

0.Tìm m để (-2) xem giữa các nghiệm của phương trình: (m+3)x -3(m-1)x+4m=0

2

Nguyễn Hoài Nam 0979160543

2

Dạy kèm học sinh từ L6 – L12

3

. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

B  0

ꢔ = ꢕ

|ꢔ| = |ꢕ|⇔ꢗ

ꢔ = −ꢕ



|ꢔ| = ꢕꢐ ⇔ ꢖA  B



A  B



ꢕ > 0

|ꢔ| > |ꢕ|⇔ (A-B)(A+B)>0

ꢕ < 0

|ꢔ| < ꢕ⇔ꢐꢘ ꢔ < ꢕ

ꢔ > −ꢕ

⎡

⎢

⎣

ꢙ

ꢔꢐꢚóꢐꢛꢜℎĩꢝ

ꢕ ≥ 0



|ꢔ| > ꢕ⇔

ꢞ ꢔ < −ꢕ

ꢗ

ꢔ > ꢕ



Lưu ý: Đối với những phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối không có dạng

chuẩn trên, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc phương pháp chia khoảng để giải.

Ví dụ:

ꢀ

a) Giải phương trình: |ꢆ − ꢆ| + |2ꢆ − 4| = 3

b) Giải phương trình: |3ꢆ + 4| = x+3

ꢀ

ꢟ

ꢀ

c) Giải phương trình: |ꢆ − 1|=|ꢆ − 5ꢆ − 2ꢆ + 4|

ꢀ

d) Giải phương trình: |ꢆ − 3ꢆ + 1|=2x-1

e) Giải phương trình: |2ꢆ − 1| = x+3

f) Giải phương trình: |4ꢆ + 7| = 4x+7

ꢀ

g) Giải phương trình: |2ꢆ − 3ꢆ − 5| = 5x+5

ꢀ

h) Giải phương trình: |ꢆ − 4ꢆ − 5| = 4x-17

ꢀ

i) Giải phương trình: √ꢆ + 6ꢆ + 9 = |2ꢆ − 1|

ꢀ

j) Giải phương trình: √4ꢆ − 12ꢆ + 9 = |3ꢆ − 2|

2

k) Giải phương trình: x - |ꢆ − 2| − 8 = 0

l) Giải phương trình: |ꢆ − 1| + |2 − ꢆ| = 2ꢆ

m) Giải phương trình: |3ꢆ + 1| = |2ꢆ + 3|

n) Giải phương trình: |ꢆ − 1| + |2ꢆ + 1| = |3ꢆ|

ꢀ

o) Giải phương trình: |ꢆ − ꢆ − 2| = |2ꢆ − 3ꢆ − 5|

4

. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

ꢜ(ꢆ) ≥ 0



ꢠꢡ(ꢆ) = ꢜ(ꢆ)ꢐ⇔ꢙ

ꢀ

ꢡ(ꢆ) = [ꢜ(ꢆ)]

ꢜ(ꢆ) ≥ 0ꢐ(ℎꢢặꢚꢐꢡ(ꢆ) ≥ 0)

ꢡ(ꢆ) = ꢜ(ꢆ)



ꢠꢡ(ꢆ) = ꢠꢜ(ꢆ)ꢐ⇔ꢙ

ꢣ = ꢐꢠꢡ(ꢆ), ꢣ ≥ 0

ꢝꢣ + ꢤꢣ + ꢚ = 0



ꢝꢡ(ꢆ) + bꢠꢡ(ꢆ) +c =0 ⇔ꢞ

ꢀ

Nguyễn Hoài Nam 0979160543

3

Dạy kèm học sinh từ L6 – L12

ꢡ(ꢆ) ≥ 0

ꢙ

ꢜ(ꢆ) < 0

ꢡ(ꢆ) > ꢜ(ꢆ)

ꢜ(ꢆ) ≥ 0

⎡

⎢

⎣



ꢠꢡ(ꢆ) > ꢜ(ꢆ)⇔

ꢀ

ꢙ

ꢜ(ꢆ) > 0

ꢠꢡ(ꢆ) < ꢜ(ꢆ)⇔ꢖ ꢡ(ꢆ) ≥ 0

ꢀ

ꢡ(ꢆ) < ꢜ(ꢆ)

ꢜ(ꢆ) ≥ 0

ꢠꢡ(ꢆ) > ꢠꢜ(ꢆ)⇔ꢙ

ꢡ(ꢆ) > ꢜ(ꢆ)

ꢠꢡ(ꢆ) + ꢠꢜ(ꢆ) = h(x)



Đặt u= f(x), v = g(x)

Đưa PT về hệ PT với 2 ẩn u,v



ꢠꢡ(ꢆ) + ꢠꢜ(ꢆ) +ꢠꢡ(ꢆ)ꢜ(ꢆ) = h(x)

Đặt t = ꢠꢡ(ꢆ) + ꢠꢜ(ꢆ), t≥0.

Khi đó ta biểu thị căn bậc 2 còn lại theo t, đưa về phương trình bậc 2 theo t, sau khi giải

được t, quay lại cách đặt để giải ẩn x.

ꢜ(ꢆ) = 0

⎡

⎢

⎣

ꢙ

ꢡ(ꢆ)ꢆáꢚꢐđịꢛℎ



ꢡ(ꢆ)ꢠꢜ(ꢆ) = 0 ≤>

ꢜ ꢆ > 0

( )

ꢙ

ꢡ(ꢆ) = 0

ꢐ



Nhân liên hợp:

Biểu thức

Biểu thức liên hợp

Tích

A - B

A+B

√

ꢔ ± √ꢕ

√ꢔ ∓ √ꢕ

ꢥ

ꢀ

√

ꢔ + √ꢕ

ꢠ

ꢔ − √ꢔꢕ + √ꢕ

ꢥ

ꢠ

ꢥ

ꢀ

A – B

√ꢔ − √ꢕ

ꢔ + √ꢔꢕ + √ꢕ



Lưu ý: Với những phương trình chứa ẩn dưới dấu căn không có dạng chuẩn

như trên, ta thường thực hiện theo các bước:

1

2

3

, Đặt điều kiện

, Chuyển vế sao cho 2 vế đều không âm

, Bình phương 2 vế để khử căn thức.

Ví dụ:

ꢀ

a) Giải phương trình: √−ꢆ + 4ꢆ − 3 = 2x-5

ꢀ

b) Giải phương trình: √4ꢆ + 2ꢆ + 10 = 3ꢆ + 1

c) Giải phương trình: √ꢆ + 1 − √ꢆ + 1 = 1

ꢠ

d) Giải phương trình: 2 ꢆ + 2 + 2√ꢆ + 1 − √ꢆ + 1 =4

ꢃ

ꢀ

ꢠ

e) Giải phương trình: 2 ꢆ + 2 + 2√ꢆ + 1 − √ꢆ + 1 − 2 = (ꢆ − ꢆ − 2)

ꢀ

Nguyễn Hoài Nam 0979160543

4

Dạy kèm học sinh từ L6 – L12

ꢃ

_ꢄꢧ

ꢀ

ꢄ

f) Giải phương trình: ꢦꢆ + _ꢄ_ꢧ+ ꢦꢆ −

=

ꢀ

g) Giải phương trình: √1 + 4ꢆ − ꢆ = x-1

ꢀ

h) Giải phương trình: √ꢆ − 6ꢆ + 6 = 2x-1

ꢀ

i) Giải phương trình: ꢆ + 5ꢆ + 4 − 5√ꢆ + 5ꢆ + 28 = 0

ꢃ

ꢀ

ꢠ

j) Giải phương trình: ꢦ ꢆ + ꢆ + 1 − 6 − 2√5 = 0

ꢨ

k) Giải phương trình: √ꢆ + 4 + √4 − ꢆ = 4

l) Giải phương trình: √5ꢆ − 1 − √3ꢆ − 2 − √ꢆ − 1 = 0

ꢀ

ꢠ

m) Giải phương trình: 7 − ꢆ + ꢆ√ꢆ + 5 = √3 − 2ꢆ − ꢆ

n) Giải phương trình: √3ꢆ − 2 −ꢐ√ꢆ + 7 = 1

o) Giải phương trình: √ꢆ + 8 − √ꢆ = √ꢆ + 3

ꢀ

p) Giải phương trình: ꢠꢆ(ꢆ − 1) + ꢠꢆ(ꢆ + 2) = 2√ꢆ

ꢄꢅꢟ

q) Giải phương trình: √4ꢆ + 1 − √3ꢆ − 2 =

ꢩ

ꢄꢅꢟ

ꢀ

ꢠ

r) Giải phương trình: ꢆ + 2√ꢆ − 1 + ꢆ − 2√ꢆ − 1 =

s) Giải phương trình: √3ꢆ + 4 − √2ꢆ + 1 = √ꢆ + 3

t) Giải phương trình: (√ꢆ + ꢆ + 1 + √4ꢆ + ꢆ + 1ꢐ)(√5ꢆ + 1 − √2ꢆ + 1) =3x

2

ꢀ

5

. Một số phương trình cơ bản thường gặp khác

Dạng 1:

ꢫ

ꢫ ꢫ

ꢪ + √ꢬ = √ꢭ (1)

ꢫ ꢫ

3

√

ꢫ ꢫ ꢫ

(1) ⇔ (√ꢪ + √ꢬ) = C ⇔ A+B + 3√ꢪꢬ(√ꢪ + √ꢬ) = C (2)

ꢫ ꢫ ꢫ ꢫ



Thay √ꢪ + √ꢬ = √ꢭvào (2) ta được : A+B +3√ꢪꢬꢭ = C

Dạng 2:

ꢮ(ꢏ) + ꢰ(ꢏ) = ꢯ(ꢏ) + ꢱ(ꢏ)

ꢠꢮ(ꢏ) + ꢠꢯ(ꢏ) = ꢠꢰ(ꢏ) + ꢠꢱ(ꢏ) với ꢲ

ꢮ(ꢏ). ꢰ(ꢏ) = ꢯ(ꢏ). ꢱ(ꢏ)

Biến đổi về dạng: ꢠꢮ(ꢏ) − ꢠꢰ(ꢏ) = ꢠꢱ(ꢏ) − ꢠꢯ(ꢏ)

Bình phương, giải phương trình hệ quả.





Lưu ý, phương pháp biến đổi trong 2 dạng này là đưa về phương trình hệ quả, vì

vậy ta nên thay kết quả vào phương trình đầu bài để loại nghiệm ngoại lai.

Ví dụ:

1

2

3

4

. Giải phương trình: √ꢆ + 3 + √3ꢆ + 1 = 2√ꢆ + √2ꢆ + 2

ꢥ

. Giải phương trình: √ꢆ + 34 − √ꢆ − 3 = 1

ꢥ

ꢀ

. Giải phương trình: √ꢆ + 1 + √ꢆ + 2 = 1+√ꢆ + 3ꢆ + 2

ꢥ

. Giải phương trình: √ꢆ + 1 + √ꢆ + 2 + √ꢆ + 3 =0

ꢥ

ꢠ

. Giải phương trình: 1 + √ꢆ + 1 − √ꢆ = 2

ꢥ ꢥ

ꢥ

ꢠ

5

6

. Giải phương trình: √2ꢆ − 1 + √ꢆ − 1 = √3ꢆ + 1

Nguyễn Hoài Nam 0979160543

5

Dạy kèm học sinh từ L6 – L12

ꢳ ꢑ

ꢍꢏ + ꢌꢏ + ꢴ = ꢵ (a≠0)

Dạng 3: Phương trình trùng phương:

2

Đặt t = x , t ≥ 0

-

Dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = K, với a+b = c+d

Đặt t = (x+a)(x+b) => (x+c)(x+d) = t – ab+cd

ꢳ ꢳ

(ꢏ + ꢍ) +(ꢏ + ꢌ) = K

-

Dạng:

ꢉꢅꢋ

ꢀ

ꢉꢂꢋ

ꢀ

ꢋꢂꢉ

ꢀ

Đặt t = x +

=>

x+a = t +

;

x+b = t +

ꢍꢂꢌ

ꢑ

ꢳ

ꢑ ꢑ

ꢳ



ꢑꢶ + ꢎꢑꢷ ꢶ + ꢑꢷ − ꢸ = ꢵꢐꢹớꢺꢐꢷ =

ꢳ ꢫ ꢑ

ꢍꢏ + ꢌꢏ + ꢴꢏ ± ꢌꢏ + ꢍ = ꢵ (a≠ ꢵ)

-

Dạng:

2

Vì x = 0 không là nghiệm, chia 2 vế của phương trình cho x , ta được:

ꢃ

2

a(x + )+ b(x ± ) + c = 0

ꢧ

ꢄ

ꢃ

(hay t = x - ) với |ꢣ| ꢐ≥ 2

ꢄ

Đặt t = x+ _ꢄ

ꢑ



ꢍꢶ + ꢌꢶ + ꢴ − ꢑꢍ = ꢵꢐ(|ꢶ| ≥ ꢑ)

Ví dụ: Giải phương trình

ꢨ

ꢀ

a) x − 3x − 4 = 0

g) (4x+1)((12x-1)(3x+2)(x+1) = 28

ꢨ ꢨ

ꢨ

ꢀ

b) x + 5x + 6 = 0

h) ꢆ +(ꢆ − 1) = 97

ꢨ ꢟ ꢀ

ꢨ

ꢀ

c) 3x + 5x − 2 = 0

i) ꢆ + ꢆ − 4ꢆ + ꢆ + 1 = 0

ꢨ ꢨ

ꢨ

ꢀ

d) x + 7x − 8 = 0

k) (ꢆ + 3) +(ꢆ + 5) = 2

e) x(x-1)(x+1)(x+2) = 3

f) (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 3

Dạng 4: (Phương trình đối xứng)

Tổng quát: √ꢍ + ꢴꢏ + √ꢌ − ꢴꢏ + ꢻꢠ(ꢍ + ꢴꢏ)(ꢌ − ꢴꢏ) = ꢼ

2

Đặt t = √ꢍ + ꢴꢏ + √ꢌ − ꢴꢏ, với t >0 => t = …

2

Tổng quát:m[f(x)+g(x)] + n(ꢠꢮ(ꢏ) ± ꢠꢯ(ꢏ))ꢐ± 2m(ꢠꢮ(ꢏ)ꢯ(ꢏ) + ꢱ = ꢵ với m +n >0

2

= …

2

Đặt t = ꢠꢮ(ꢏ) ± ꢠꢯ(ꢏ) => t

=>mt +kt +n = 0

ꢀ

a) Giải phương trình: √3 − x + √x − 1 − 4√4x − x − 3 = −2

ꢀ

b)Giải phương trình: √ꢆ − 2 − √ꢆ + 2 − 2√ꢆ − 4 = ꢐ−2ꢆ + 2

c) Giải phương trình: √ꢆ + 1 − √4 − ꢆ + ꢠ(ꢆ + 1)(4 − ꢆ) = ꢐ5

d)Giải phương trình √1 + ꢆ + √8 − ꢆ + ꢠ(1 + ꢆ)(8 − ꢆ) = ꢐ3

Nguyễn Hoài Nam 0979160543

6

Dạy kèm học sinh từ L6 – L12

Dạng 5: Phương trình đẳng cấp đối với ꢠꢓ(ꢏ)ꢐꢹàꢐꢠꢽ(ꢏ)

mP(x)+nQ(x) +k(ꢠꢓ(ꢏ)ꢽ(ꢏ) = ꢵ

ꢓ(ꢏ)

2

Đặt t = ꢦ_ꢽ=> mt +kt +n = 0

(ꢏ)

Ví dụ:

2

ꢀ

. Giải phương trình: 3(x-1) +2(x +x+1) = 7ꢠ(ꢆ − 1)(ꢆ + ꢆ + 1)

2 2

1

2

3

ꢀ

. Giải phương trình: 2(x -x+1) -(x +x+1) = ꢠ(ꢆ − ꢆ + 1)(ꢆ + ꢆ + 1)

2

ꢟ

. Giải phương trình: 2x +5x-1 = 7√ꢆ − 1

Giải phương trình:

ꢠ

1

2

. x+ 5 + √ꢆ − 1=6

( Đặt a= √ꢆ − 1, b= 5 + √ꢆ − 1)

ꢀ

2

ꢀ

. √1 − ꢆ = ( − √ꢆ)

(Đặt a= √ꢆ , b= − √ꢆ)

ꢟ

ꢥ

ꢟ

3

4

5

6

7

. x√35 − ꢆ (ꢆ + √35 − ꢆ ) = 30

(Đặt a = √35 − ꢆ )

2

ꢀ

. 10x +3x+1 = (1+6x)√x + 3

(Đặt a = √ꢆ + 3)

2

ꢀ

. x +3x+1 = (x+3)√x + 1

(Đặt a = √ꢆ + 1)

2

ꢀ

. (x+1)√ꢆ − 2ꢆ + 3 = x +1

(Đặt a = √ꢆ − 2ꢆ + 3)

ꢥ

. 2√3ꢆ − 2 + 3√6 − 5ꢆ − 8 = 0

(Đặt u = √3ꢆ − 2, v = √6 − 5ꢆ)

Nguyễn Hoài Nam 0979160543

7

Dạy kèm học sinh từ L6 – L12