Giáo án học kì 1

CHỦ  ĐỀ 1:

 DÃY SỐ TỰ NHIÊN  VIẾT THEO QUY LUẬT

A.  KIẾN THỨC CƠ BẢN.

- Nắm được  khái niệm thế nào là dãy số viết theo quy luật ( các phần tử của dãy có mối liên hệ nào đó với nhau )

- Biết  nhận dạng  dãy số viết theo quy luật và phân tích để tìm ra quy luật đó

B.  DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT THƯỜNG  GẶP

1. Định nghĩa:  Dãy cộng là dãy mà mỗi phần tử  kể từ phần tử thứ 2  đều lớn hơn phần tử  liền trước đó cùng một số đơn vị.

TQ: Dãy  a1,   a2,   a3,   a4, …… an-1,  an

        là dãy cộng        

2. Ví dụ: Dãy số tự nhiên:  0, 1,  2, 3,  4……

       Dãy các số chia 7 có cùng số dư là 3 : 3, 10, 17, 24, 31……

3. Các loại bài tập  về dãy cộng:

VD: Xét dãy cộng:        a1,   a2,   a3,   a4, …… an-1,  an

a) Tìm phần tử thứ n trong dãy:

         an = a1 + (n - 1) d

b) Tính tổng của dãy

        Sn = a1 + a2 + a3 +  a4 +……+ an-1 + an =

c) Số các số hạng của dãy:

         n = +1 (Trong đó d  là khoảng cách giữa hai phần tử liên tiếp)

Bài tập áp dụng: 

Cho dãy: 1, 4, 7, 10, 13,……                                            (1)

 a./ Tìm phần tử thứ 102 của dãy?

 b./ Nếu viết  dãy trên liên tiếp thành một số thì chữ số thứ 302 của số tạo thành là số mấy?

Giải:

 a./ Phần tử thứ 102 của dãy là a102 =1 + (102 - 1). 3 = 304

 b./ Phân tích: Dãy số trên khi viết liền thành 1 số được chia thành các dãy sau

- Dãy các số có 1 chữ số chia 3 dư 1 là: 1, 4, 7 gồm 3 chữ số

 - Dãy các số có 2 chữ số chia 3 dư 1 là 10, 13, …, 97 gồm    số  nên có 30 . 2 = 60 chữ số

- Để viết tiếp dãy trên đến chữ số thứ 102 ta phải dùng các số có 3 chữ số kể từ 100… đảm bảo chia 3 dư 1. Vậy cần 302 - (3 + 60) = 239 chữ số nữa hay 79 số có 3 chữ số kể từ 100 và 2 chữ số nữa của số thứ 80 (là 2 chữ số đầu trong  trong số thứ 80  của dãy 100, 103, 106, ...   ). Mà số thứ 80 của dãy là: 100 + (80 - 1).3 = 337

     Vậy chữ số thứ 302 của số tạo bởi dãy (1) là 3 ( hàng chục trong số 337)

                  147101317……334337340…

                                         Chữ số thứ 302

Chú ý: Trong phần b./ khi chữ số thứ n phải tìm  là số quá lớn ta tiếp tục phân tích thành dãy các số có 3, có 4 … chữ số  và tiếp tục làm tương tự

II/ Mở rộng

1. VD: Cho các dãy sau:

   1, 3, 6, 10, 15…… (1)

   2, 5, 10, 17, 26 … (2)

Tìm phần tử thứ 108 của các dãy trên?

Giải:

- Dãy (1) chưa là dãy cộng nhưng có thể viết lại thành dãy sau:

Xét  dãy các thừa số thứ nhất trong các tử số:

     1, 2,  3,  4, … (1)’

Đây là dãy cộng, dễ thấy phần tử thứ 108 của dãy (1)’ là 108. Từ đó suy ra phần tử thứ 108 của dãy (1) là

- Dãy (2) viết thành dãy : 12 + 1,  22 +1,  32 + 1,  42+ 1,  52 +1…

Tương tự ta tính được phần tử thứ 108 của dãy (2) là 1082 + 1 = 11665

2. Dãy Fibonaci:

Dãy số Fibonaci là dãy bắt đầu bằng hai phần tử là  1, 1 và kể từ phần tử thứ 3 của dãy mỗi phần tử  là tổng của hai phần tử liền trước phần tử đó

    1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…

Dãy số Fibonaci có nhiều tính chất thú vị ta sẽ nghiên cứu trong các phần tiếp theo

C. CÁC BÀI TẬP

Bài 1: Cho các dãy sau:

1, 3, 5, 7, 9…… (1)

1, 10, 19, 28, 37, …. (2)

1, 3, 6, 10, 15,…. (3)

1, 7, 17, 31, 49, …. (4)

1, 5, 11, 19, 29, …. (5)

a) Tìm phần tử thứ 123 của các dãy  trên:

b) Giả sử dãy (1 ) có 500 phần tử, dãy (2) có 200 phần tử. Tìm dãy các phần tử giống nhau của  hai dãy?

Bài 2: Cho dãy : 2, 22, 222, 2222, …, 222…22

Bài 3:

Ta có:

Do đó:

CHỦ  ĐỀ 2:

CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LUỸ THỪA

 ĐỒNG DƯ _ SO SÁNH HAI LUỸ THỪA

A.  KIẾN THỨC CƠ BẢN.

- Nắm được cách tìm số tận cùng của một luỹ thừa với cơ số là số tự nhiên bất kỳ

- Hiểu thế nào là đồng dư, vận dụng tốt kiến thức của đồng dư thức vào làm các bài tập về tìm chữ số tận cùng hoặc chứng minh chia hết

- Nắm được các phương pháp cơ bản dùng để so sánh hai luỹ thừa với số mũ tự nhiên. Vận dụng tốt kiến thức để làm bài tập

B. PHƯƠNG PHÁP TÌM  SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LUỸ THỪA

 1. Chú ý:

a./ Các số có tận cùng là 0, 1, 5, 6 nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) thì đều có tận cùng là 0, 1, 5, 6

b./ Các số có tận cùng 2, 4, 8  nâng lên luỹ thừa 4 thì có tận cùng là 6

c./ Các số có tận cùng 3, 7, 9  nâng lên luỹ thừa 4 thì có tận cùng là 1

d./ Số a và a4n+1 có chữ số tận cùng giống nhau ()

CM: d./ Dùng phương pháp quy nạp:

Xét bài toán: CMR  a4n+1 – a 10 ()

-          Với n = 1 ta dễ dàng chứng minh  a5 – a 10

-          Giả sử bài toán đúng với n = k (a4k+1 – a 10 ())

-          Ta CM bài toán đúng với n = k + 1 a 4(k+1) +1 - a 10

-          Ta có: a 4(k+1) +1 – a = a4 . a4k+1 – a  a4. a4k+1 – a5 (Vì a5 và  a có cùng chữ số

tận cùng).

-          Mà a4. a4k+1 – a5 = a4 (a4k+1 – a) 10 a 4(k+1) +1 – a 10                     Đpcm.

2./ Phương pháp

Để giải bài toán tìm chữ  số tận cùng của một luỹ thừa ta tìm cách đưa cơ số  của luỹ thừa  về dạng đặc biệt hoặc đưa số mũ về dạng đặc biệt đã biết cách tính  theo phần chú ý trên

VD1: Tìm chữ số tận cùng của  6195 ;  5151 ; 21000 ; …

Giải:

- Tận cùng của   6195  là 6

- Tận cùng của  5151 là 1

- Ta có  21000 = 23. 24 . 249 +1 mà 23 có tận cùng là 8 và 24 . 249 +1 có tận cùng là 2

  ( Hoặc   ) nên 21000 có tận cùng là 6

- Ta có : = = 99. (….1) 49 có tận cùng là 9  nên = (…..9)108 = [(…..9)2]54 có tận cùng là 1

3./ Mở rộng

3.1/  Đồng dư:

a/  Khái niệm: Trong chú ý d./ ở phần 1 ta có thể nói  a  đồng dư  với   a4n+1 theo modun 10 (là  hai số có cùng số dư khi chia cho 10)

Tổng quát : Số tự nhiên a đồng dư với số tự nhiên b theo modun m (m 0) nếu a và b chia cho m có cùng một số dư.

Ký hiệu  với a, b, m N và m 0   (1)

Khi đó nếu a m ta có thể viết a 0 (mod  m )

Hệ thức (1 ) được gọi là một đồng dư thức

b/ Một số tính chất cơ bản của đồng dư thức

   Nếu và thì:

 1. và

 2.

3.

Các tính chất này có thể được áp dụng cho nhiều đồng dư thức cùng modun

c/ Ví dụ: 

VD1. Tìm số dư của 3100 cho 13.

        Tìm số dư trong phép chia trên nghĩa là tìm số tự nhiên nhỏ hơn 13 và đồng dư với  3100 theo modun 13

Ta có

Vì 33 = 27 = 13. 2 +1, nên 33 1(mod 13) do đó (33)33 133 (mod 13) 

hay    399 1(mod 13)

     và   3 3 (mod 13) 

nên 3100 3 (mod 13). Vậy 3100 chia cho 13 có số dư là 3

VD 2 .Chứng minh rằng  22008 – 8 chia hết cho 31

Để chứng minh 22008 – 8 chia hết cho 31 ta  chứng minh 22008 – 8 0 (mod 31)

Ta có : 22008 = 23. 22005 = 23. (25)401 mà 25 =32 1 (mod 31)

nên ta có (25)401 1401(mod 31) 23. 22005 23 . 1(mod 31)

  22008 8(mod 31)

    Mặt khác 8 8(mod 31) 

    Nên 22008 - 8 0 (mod 31). Vậy 22008 – 8 chia hết cho 31  Đpcm.

VD 3: CM rằng với mọi số tự nhiên n thì số 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133

Ta có: 122n+1 =12.122n = 12 .144n

Vỡ 14411(mod133) nên 144n 11n (mod 133)

suy ra 12 .144n 12 .11n (mod 133) (1)

Mặt khác:  11n+2 = 121. 11n

Mà 121 - 12 (mod 133) nên 121. 11n  - 12 . 11n (mod 133)    (2)

Cộng vế (1) và (2) ta được 122n+1 + 11n+2  0 (mod 133)

Vậy 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133  Đpcm

VD 4: CM

Ta có 58 =  254 mà 25 1(mod 24) nên   254 1(mod 24)

cũn 23 23(mod 24)

Suy ra  Vậy    Đpcm

3.2/ So sánh hai luỹ thừa

a/ Phương pháp: Để so sánh hai luỹ thừa ta dùng các tính chất sau:

-  Trong hai luỹ thừa cùng cơ số luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn thì lớn hơn

-  Trong hai luỹ thừa cùng số mũ luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn thì lớn hơn

-  Dùng luỹ thừa trung gian

b/ Ví dụ: So sánh

  1.   10200 và 99100         2.   648 và 1612 

  3.   6100 và 3170 

Giải: Xét VD 3:

Ta có:

6100= 2100.3100  và  3170= 370.3100

Để so sánh 6100 và 3170 ta chỉ cần so sánh 2100  và 370.

Vì 23 < 32 nên (23)34 < (32)34

hay 2102 < 368  mà  2100 < 2102 < 368 < 370

  2100 < 370

Vậy 6100 < 3170               

C. CÁC BÀI TẬP

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có:

a)  714n – 1 chia hết cho 5

b)  124n + 1 + 34n +1 chia hết cho 5

c) 92001n + 1 chia hết cho 10

d)  n2 +n + 12   5

Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của

a) 2008 2009 b)19216  c) (123412)34 d) (195)1979

e)   f) (3333)33 g)  357 735 h) (144)68

Bài 3: Cho A = 21 + 22+ 23 + …. + 220

                 B =  31 + 32 + 33 + …. + 3300

a) Tìm chữ số tận cùng của A

b) Chứng minh rằng B chia hết cho 2

b)  Chứng minh rằng B – A chia hết cho 5

Bài 4: Tìm số dư  trong các phép chia sau:

a) 3100 : 7 b) 9! : 11            c) (2100 + 3105) : 15            d) (15325 – 1) : 9

Bài 5: Chứng minh rằng:

a) 301293 – 1 9  b) 2093n – 803n – 464n – 261n 271

c) 62n + 3n+2 3n 11  d) 52n+1.2n+2 + 3n+2.22n+1 19                  (với nN)

Bài 6: Ngày 1 tháng 1 năm 2010 bạn Nam sẽ kỷ niệm ngày sinh lần thứ 15 của mình. Biết rằng ngày 1 tháng 1 năm 2008 là ngày thứ  3

a) Hãy tính xem bạn Nam sinh vào thứ ngày mấy

b) Bạn Nam sẽ tổ chức sinh nhật lần thứ 15 vào ngày thứ mấy?

Bài 7: Chứng minh rằng nếu a2 + b2 + c2 9 thỡ ớt nhất một trong cỏc hiệu a2 – b2 hoặc a2 – c2 hoặc b2 – c2 chia hết cho 9

Bài 8: So sánh các số sau:

a) 3281 và  3190

b) 11022009 – 11022008 và 11022008 - 11022007

c) A = (20082007 + 20072007)2008  và   B = (20082008 + 20072008)2007

D. HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 7: Nhận xét: Khi chia số nguyên tuỳ ý  n cho 9 thì số dư nhận được  sẽ là một trong các số  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Bởi vậy

Nếu n 0 (mod 9) thì n2 0 (mod 9)

Nếu n 1 (mod 9) thì n2 1 (mod 9)

Nếu n 2 (mod 9) thì n2 4 (mod 9)

Nếu n 3 (mod 9) thì n2 0 (mod 9)

Nếu n 4 (mod 9) thì n2 7 (mod 9)

Nếu n 5 (mod 9) thì n2 7 (mod 9)

Nếu n 6 (mod 9) thì n2 0 (mod 9)

Nếu n 7 (mod 9) thì n2 4 (mod 9)

Nếu n 8 (mod 9) thì n2 1 (mod 9)

Vậy dù với số nguyên  n  nào đi chăng nữa thì số n2 chia cho 9 cũng có số dư là một trong các số 0, 1, 4, 7.

Gọi số dư khi chia a2, b2, c2 cho 9 lần lượt là r1, r2, r3

Ta có: a2 + b2 + c2  r1 + r2 + r3 0 (mod 9) ( Vì a2 + b2 + c2 chia hết cho 9)                                              

Như vậy r1, r2, r3 chỉ có thể nhận các giá trị 0, 1, 4, 7  nên r1 + r2 + r3 chỉ có thể chia hết cho 9 trong các trường hợp sau

1) r1 = r2 = r3 = 0

2) Một trong các số r1, r2, r3 bằng 1 hai số còn lại đều bằng 4

3) Một trong các số r1, r2, r3 bằng 4 hai số còn lại đều bằng 7

4) Một trong các số r1, r2, r3 bằng 7 hai số còn lại đều bằng 1. Vậy trong mọi trường hợp đều có ít nhất hai trong các số r1, r2, r3 bằng nhau. Điều này có nghĩa ít nhất hai trong các số a2, b2, c2 có cùng số dư khi chia cho 9. Vậy có ít nhất một trong các hiệu  a2 – b2 hoặc a2 – c2 hoặc b2 – c2 chia hết cho 9               Đpcm.

Bài 8: Ta có

c) A = (20082007 + 20072007)2008

  = (20082007 + 20072007)1.(20082007 + 20072007)2007 > 20082007. (20082007 + 20072007)2007

 = (2008.20082007 + 2008.2007 2007)2007 > (2008.20082007 + 2007.20072007)2007

 = (20082008 + 20072008)2007  = B

Vậy  A > B

Mở rộng:

Ta có thể chứng minh bài toán tổng quát :

(an + bn)n + 1 > (an + 1 + bn + 1)n với a, b, n là các số nguyên dương.

Thật vậy, không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b.

Ta co (an + bn)n + 1 = (an + bn)n.(an + bn) > (an + bn)n.an = [(an + bn)a]n = (an.a + bn.a)n ≥ (an.a + bn.b)n = (an + 1 + bn + 1)n.

Trong ví dụ trên với a = 2008, b = n = 2007, ta có A > B.

CHỦ  ĐỀ 3

 CÁC VẤN ĐỀ NÂNG CAO VỀ TÍNH CHIA HẾT,

ƯỚC VÀ BỘI

A.  KIẾN THỨC CƠ BẢN.

- Nắm được các dấu hiệu chia hết, tính chất chia hết của một tổng

- Hiểu về mối quan hệ giữa ước và bội với tính chia hết

B. MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH VỀ TÍNH CHIA HẾT

I. Chú ý :

Nhắc lại về  ước và bội

- Nếu ta nói b là ước của a

                            a là bội của b

- Khi và ta nói d là ước chung của a và b. Khi d là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của a và b ta nói d là ước chung lớn nhất của a và b

Ký hiệu ƯCLN(a,b) = d hoặc (a,b) = d

- - Khi và ta nói m là bội chung của a và b. Khi m # 0 và m là số nhỏ nhất trong tập hợp các bội chung của a và b ta nói m là bội chung nhỏ nhất của a và b

Ký hiệu BCNN(a,b) = m hoặc [a,b] = m

Một số dấu hiệu chia hết cho

1. Dấu hiệu chia hết cho 11:

Một số chia hết cho 11 khi tổng  các chữ số ở vị trí lẻ bằng tổng các chữ số ở vị trí chẵn và chỉ những số đó mới chia hết cho 11

2. Dấu hiệu chia hết cho 4, 25

Những số có  hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 (hoặc 25) thì chia hết cho 4 (hoặc 25) và chỉ những số đó mới chia hết cho 4 (hoặc 25)

3. Dấu hiệu chia hết cho 8, 125

Những số có  ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 (hoặc 125) thì chia hết cho 8 (hoặc 125) và chỉ những số đó mới chia hết cho 8 (hoặc 125)

Một số tính chất:

- Nếu một tích chia hết cho số nguyên tố p thì trong tích chứa ít nhất một thừa số chia hết cho p

- Nếu tích a.b chia hết cho m trong đó b và m là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m

- Nếu a chia hết cho m và n thì a chia hết cho bội chung nhỏ nhất của m và n

Cách phát biểu khác: Nếu a chia hết cho 2 số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho tích hai số đó

- Nếu  A B thì  mA nB B

                               (m,n N, A và B là các biểu thức của số tự nhiên)

II. Các phương pháp chứng minh chia hết.

1. Sử dụng tính chất chia hết của một tổng.

Ví dụ:

a/ Cho A = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 … + 299

CMR:    A chia hết cho 31

Giải: Ta có     A  = 20 + 21+ 22+ 23+ 24+ 25 … + 299

 = (20+ 21+ 22+ 23+ 24) + 25.(20+ 21+ 22+ 23+ 24)+… + 295. (20+21+ 22+23+ 24)              = (20+ 21+ 22+ 23+ 24) . (1 + 25 + 210 + …. + 295)

 = 31. (1 + 25 + 210 + …. + 295) chia hết cho 31 Đpcm.

b/ Tìm số tự nhiên n để 3n + 4 chia hết cho n – 1.

Giải:  Để  hay n – 1 Ư(7)

  Vậy với n = 2 hoặc  n = 8 thì

2. Sử dụng đồng dư thức.

Ví dụ:  Chứng tỏ rằng:  175 + 244 - 1321 chia hết cho 10

Giải: Ta có

Hay 175 + 244 - 1321 0(mod 10). Vậy 175 + 244 - 1321 10            Đpcm.

3. Sử dụng tính chất của số nguyên tố cùng nhau

Ví dụ: CMR: n5 – n 30

Giải: Bài toán luôn đúng với n = 0 và n =1

Xét n 2:

Đặt A = n5 – n = n (n2 +1)(n+1)(n-1)

Ta có A 10 ( Vì n5 và  n có chữ số tận cùng giống nhau)

          A 3 (Vì trong A có tích của 3 số tự nhiên liên tiếp (n-1)n(n+1) )

         A chia hết cho cả 3 và 10.

          Mà ƯCLN(3, 10) = 1 nên A chia hết cho 3.10

Vậy A 30            Đpcm.

C. CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI VÀ SỐ NGUYÊN TỐ

Phương pháp chung để giải :

1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tỡm, liờn hệ với cỏc yếu tố đó cho để tỡm hai số.

2/ Trong một số trường hợp, có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN, BCNN và tích của hai số nguyên dương a, b, đó là : ab = (a, b).[a, b], trong đó    (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN của a và b.

Việc chứng minh hệ thức này không khó :

Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ;        (m, n) = 1 (*)

Từ (*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd
=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab
=> ab = (a, b).[a, b] . (**)

Chỳng ta hóy xột một số vớ dụ minh họa.