- Trang Chủ
- Giải tích 12 nâng cao
- Giáo án tổng hợp
Giáo án tổng hợp
HỘI CỰU SINH VIÊN KHOA TOÁN – TIN – KHÓA 22,23, 24 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM - --------------------------------------------- ẤN PHẨM ĐẶC BIỆT KỶ NIỆM 40 NĂM THÀNH LẬP KHOA TOÁN - TIN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI PHẦN I Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân Cựu sinh viên Khóa 24 (98 – 02) TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ TP.HCM, THÁNG 11/2016 Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ T
Thể loại Giáo án bài giảng Giải tích 12 nâng cao
Số trang 43
Ngày tạo 6/16/2017 12:15:12 PM +00:00
Loại tệp pdf
Kích thước 1.42 M
Tên tệp toanmathcom mot so phuong phap giai nhanh toan trac nghiem bang may tinh bo tui
HỘI CỰU SINH VIÊN KHOA TOÁN – TIN – KHÓA 22,23, 24
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
-
---------------------------------------------
ẤN PHẨM ĐẶC BIỆT KỶ NIỆM 40 NĂM THÀNH LẬP
KHOA TOÁN - TIN
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH TOÁN
TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
PHẦN I
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân
Cựu sinh viên Khóa 24 (98 – 02)
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ
TP.HCM, THÁNG 11/2016
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tác giả chân thành cảm ơn các Thầy Cô cộng tác viên: Bùi Quốc
Long – cựu Sv Khoa Vật lý; Đỗ Hồng Thắm – GV Toán Trường Hermann Gmeiner –
Bến Tre; Cao Văn Trọng Nghĩa – GV Toán Trường THPT Ten-lơ-man (Tp.HCM); Vũ
Đại Hội – GV Vật lý Trường THPT Võ Thị Sáu (Tp.HCM); Trần Trí Dũng – GV Khoa
ấn phẩm đặc biệt: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH TOÁN TRẮC NGHIỆM
BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI - PHẦN I: GIẢI TÍCH và SỐ PHỨC trong dịp kỷ niệm 40
năm thành lập khoa Toán – Tin – Trường ĐH Sư phạm Tp.HCM (10/1976 – 10/2016).
Bên cạnh đó, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô là cựu sinh viên
Khoa Toán – khóa 22, 23, 24 đã ủng hộ kinh phí để in 400 ấn phẩm đặc biệt (bản
đẹp) nhân dịp kỷ niệm 40 năm thành lập Khoa Toán - Tin để gửi đến các Thầy Cô
khóa 22, 23, 24 và các đại biểu về dự lễ kỷ niệm vào sáng ngày 12/11/2016 tại hội
trường B. Phần kinh phí còn dư (hoặc Quý Thầy Cô có nhã ý ủng hộ thêm), tác giả đề
nghị 2 hình thức như sau:
-
Hình thức 1: mua máy tính bỏ túi tặng cho các em học sinh có hoàn cảnh
gia đình khó khăn tại trường các Thầy Cô đang công tác với danh nghĩa Hội Cựu sinh
viên Khoa Toán – Tin trao tặng.
-
Hình thức 2: đóng góp cho quỹ Học bổng Vượt khó do các giảng viên trẻ
của Khoa Toán – Tin điều hành (từ năm 2014) để trao học bổng cho các em sinh viên
Khoa Toán gặp khó khăn trong cuộc sống.
Do thời gian có hạn, và là phiên bản đầu tiên nên chắc chắn không tránh khỏi
sai sót. Nếu Thầy Cô phát hiện những chỗ sai sót, hoặc muốn đóng góp thêm những
phương pháp hay nhằm giúp Học sinh có thể học và thi tốt trắc nghiệm môn Toán,
Mọi đóng góp quý báu của Quý Thầy Cô sẽ được tác giả tôn trọng bản quyền
và đính kèm Watermark tên (hoặc nickname) của Quý Thầy Cô trên bài viết khi trang
chia sẻ. Nếu không được Quý Thầy Cô đồng ý, tác giả sẽ không tự tiện chuyển giao
công nghệ cho đối tác thứ 3 (trung tâm phát triển kỹ năng sư phạm hoặc trường
THPT).
Xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô,
Tp.HCM, ngày 10/11/2016
Nguyễn Vũ Thụ Nhân
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
MỘT SỐ KỸ THUẬT CƠ BẢN CỦA MÁY TÍNH CASIO FX – 570 MS
(
và các loại tương đương)
1. Sử dụng ô nhớ:
Để gán một số vào ô nhớ A ta gõ:
SỐ CẦN GÁN → Shift → RCL (STO) → ( - ) [A]
Để truy xuất số trong ô nhớ A ta gõ:
ALPHA → (- ) A → =
Hàng phím thứ 6 và hàng phím thứ 5 từ dưới lên lưu các ô nhớ A, B,
C, D, E, F, X, Y, M tương ứng như sau:
2. Tính năng bảng giá trị: Mode 7
f(X) = Nhập hàm cần lập bảng giá trị trên đoạn [a; b]
Start? Nhập giá trị bắt đầu a
End? Nhập giá trị kết thúc b
풃−풂
풃−풂
ퟐ
Step? Nhập bước nhảy h: 풉풎풊풏 = ퟐퟓ ; 풉풎풂풙 =
3. Tính năng tính toán số phức: Mode 2
4. Tính năng giải phương trình bậc 2, bậc 3, hệ 2 phương trình 2 ẩn, hệ 3
phương trình 3 ẩn: Mode 5
5. Tính năng tính các bài toán vecto: Mode 8
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
Chủ đề 1: MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tìm giới hạn
1.1lim푥→푥0 푓(ꢀ). Tính 푓(ꢀ + ꢁ.ꢁꢁꢁ1), chọn kết quả gần nhất.
0
ퟐ
ퟐ
풙 −ퟒ풙ꢂퟑ
(ퟏ.ퟎퟎퟎퟏ) −ퟒ.(ퟏ.ퟎퟎퟎퟏ)ꢂퟑ
-
Ví dụ: 퐥퐢퐦풙→ퟏ √ퟒ풙ꢂퟓ−ퟑ. Ta tính
= ꢄퟐ. ퟗퟗퟗퟖퟖ. Chọn đáp án -
ꢃퟒ.(ퟏ.ퟎퟎퟎퟏ)ꢂퟓ−ퟑ
3.
6
6
1
.2 lim푥→∞ 푓(ꢀ) : Nếu là +∞ thì tính 푓(1ꢁ ), nếu là -∞ thì tính 푓(ꢄ1ꢁ ) chọn kết
quả gần nhất.
Dạng 2: Định a để hàm số liên tục tại x0. Tính 푓(ꢀꢁ + ꢁ.ꢁꢁꢁ1), chọn giá trị a gần
nhất.
Dạng 3: f(x) là Hàm số chẵn, hàm số lẻ? Tính f(-1) và f(1). So sánh dấu. Nếu f(-1) =
f(1) thì hàm số chẵn, nếu f(-1) = -f(1) là hàm lẻ.
Dạng 4: Định m để f(x) là hàm chẵn (hoặc lẻ). Giải f(-1) = f(1) (hoặc f(-1) = - f(1),
chọn m.
Dạng 5: tìm đạo hàm 풚′(풙ퟎ). Chỉ cần tính biểu thức:
푦(푥0ꢂ0.000ꢅ)−푦(푥0)
4
=
[ꢆ(ꢀ + ꢁ.ꢁꢁꢁ1) ꢄ ꢆ(ꢀ )]. 1ꢁ , chọn giá trị gần nhất.
0 0
0
.000ꢅ
ퟐ풙ꢂퟏ
Ví dụ: Cho hàm số: 풚 = 풙−ퟏ . Giá trị y’(0) bằng bao nhiêu? A. -1 B. -3 C. 0 D.3
ퟐ(ퟎ.ퟎퟎퟎퟏ)ꢂퟏ
ퟒ
Ta tính ꢇ ퟎ.ퟎퟎퟎퟏ−ퟏ ꢄ (ꢄퟏ)ꢈ . ퟏퟎ = -3.0003…. Chọn đáp án B.
-
Dạng 6: phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) y = f(x) tại M(x0; y0) thuộc
C). Kiểm tra biểu thức: y = y’(x0).(x – x0) + y0, Với hàm tính y’ phức tạp thì tính với
y’(x0) như dạng 5.
(
3
-
Ví dụ: Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y=x -2x tại điểm có
hoành độ x=-1 là: A. y = -x + 2. B. y = -x – 2 C. y = x – 2 D. y = x + 2
2
-
-
Bài này y’ đơn giản, Y’ = 3x – 2 => y’(-1) = 1. Loại A, B.
X = -1 thì Y = 1. Thế X, Y vào C, sai. Loại C, chọn D.
Dạng 6 : hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a ;b) ?
Dùng tính năng bảng giá trị TABLE, chọn điểm bắt đầu, điểm kết thúc, bước
nhảy thích hợp, sao cho phủ hết các phương án trả lời để xét dấu hàm F(X)
4
2
Ví dụ: Hàm số y = x – 2x + 2016 đồng biến trên các khoảng ?
A. (-∞; -1) và (0;1)
B. (-1;0) và (1;+∞)
C. (-∞; -1) và (1;+∞).
D. Cả 3 đáp án trên đều sai.
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
CHỦ ĐỀ 2. KIỂM TRA NHANH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Dạng 1 : Nghiệm phương trình lượng giác F(sin ; cos ; tan ; cot )=0
Để kiểm tra nghiệm của phương
trình lượng giác, chỉ cần máy tính có chức
năng tính bảng giá trị (TABLE) (hầu như
tất cả máy tính đều có tính năng này, chỉ
trừ mấy máy tính chỉ có 4 phép tính cơ bản
thì đành bó tay thôi). Kiểm tra máy có chức
năng TABLE bằng cách nhấn phím MODE.
Khi làm việc với hàm lượng giác,
máy tính phải để chế độ RAD (R) thay vì
DEG (D). (Shift -> Mode -> 4)
Phương pháp:
-
Khi dùng tính năng bảng giá trị thì có bước: Nhập hàm (Phương trình); Giá trị bắt
đầu (Start); Giá trị kết thúc (End?); Bước nhảy (step?)
-
-
Nhập hàm: chuyển hết phương trình sang vế trái, vế phải luôn bằng 0
Nhận xét trước các phương án đáp án để chọn khoảng xét:
+
+
+
Nếu các nghiệm đều dương thì chọn khoảng xét là: [0; 2]
Nếu có nghiệm âm thì chọn [- ; ]
Chọn 1 vòng đường tròn lượng giác là để xét (+ k2) hay (+ k) hay (+ k/2)
-
-
Nhận xét các giá trị nghiệm để chọn bước nhảy thích hợp.
Sau khi có bảng giá trị, nhìn vào cột F(X) nếu giá trị bằng 0, thì giá trị X bên trái là
nghiệm.
Ví dụ: Giải phương trình: sin3x + sinx = cos3x + cosx có
nghiệm là:
A./2 + 2k v /4 + k
C. /2 + k v /8 + k/2; D. k/ v /8 + k
Mode → 7
B. /2 + k v /4 + k
-
Nhập hàm: f(X) = sin(3X)+sin(X)-cos(3X)-cos(X). → =
Start? 0 (do nghiệm dương); End? 2; Step? /8 (do các
phương án là /8; /4; /2)
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
Nhìn vào cột F(X) có X2 = 0 + /8 là nghiệm; X5 = 0 + 4/8 = /2; X6 = 0 + 5/8 =
/8 + /2 là nghiệm. Ta nhanh chóng có đáp án: /8 + k/2 và /2 là nghiệm.
Chọn đáp án C
ퟔ
ퟔ
ퟒ
ퟒ
ퟐ
Ví dụ 2: Gpt: ퟒ(풔풊풏 풙 + 풄풐풔 풙) + ퟐ(풔풊풏 풙 + 풄풐풔 풙) = ퟖ ꢄ ퟒ풄풐풔 ퟐ풙
A.±/3 + k/2 B. ±/24 + k/2 C.±/12 + k/2; D. ±/6 + k/2
ퟐ
Nhập hàm: ퟒ ∗ (풔풊풏(푿) + 풄풐풔(푿) ) + ퟐ ∗ (풔풊풏(푿) + 풄풐풔(푿) ) ꢄ ퟖ + ퟒ ∗ 풄풐풔(ퟐ ∗ 푿)
ퟔ
ퟔ
ퟒ
ퟒ
Do nghiệm đối xứng và nghiệm dương nằm trong khoảng (0;/2) và các nghiệm cách
đều nên chọn Start = 0 ; End = /2; Step = /24 (nếu nhận xét nhanh hơn thì có thể
chọn Start = /24; End = /3 và Step = /24. Như vậy sẽ rút ngắn thời gian). Ta có
đáp án C
Dạng 2: Giải bất phương trình lượng giác
Để giải bất phương trình lượng giác ta đưa về dạng F(sinx;cosx;tanx) ≤ 0
(
hoặc ≥ 0). Tức chuyển tất cả biểu thức sang vế trái.
Ứng dụng tính năng bảng giá trị TABLE của máy tính để xét dấu hàm F. Từ đó,
suy ra khoảng nghiệm của bất phương trình.
Phương pháp: Chuyển máy tính sang chế độ RAD: rồi sang tính năng TABLE Mode
7
(hoặc 4). F(x) =. Nhập phương trình vào (nhớ chuyển hết phương trình sang vế trái,
để vế phải bằng 0).
Do bộ nhớ của Casio fx570 không đủ nên chạy 2 lần cho 2 đoạn [0;] và [;2]
Start? 0 () End? (2*) Step? /24
Có thể phân tích trước các phương án trả lời để chọn bước nhảy tốt hơn (hoặc
thu gọn khoảng xét nghiệm), để máy tính tính nhanh hơn. (Nên tham khảo thêm
phương pháp giải nhanh phương trình lượng giác, để tham khảo cách chọn
khoảng xét và bước nhảy thích hợp)
-
Nhìn vào cột F(X), lựa khoảng F(x) < 0 (hoặc > 0) và so với phương án trả
lời để chọn phương án đúng.
-
Chú ý: X1 = 0 (); Xi = X1+(i-1)./24 =X1+(i-1).step
Ví dụ 1: Xét bất phương trình: 푠ꢉ푛ꢀ + 푠ꢉ푛3ꢀ < 푠ꢉ푛2ꢀ
Nhấn Shift -> Mode -> 4, chuyển sang RAD. Nhấn Mode -> 7, chọn TABLE
Nhập hàm f(X) = 푠ꢉ푛(ꢀ) + 푠ꢉ푛(3 ∗ ꢀ) ꢄ 푠ꢉ푛(2 ∗ ꢀ)
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
Lần 1: Start? 0; End? ; Step? /24
Dựa vào bảng giá trị:
(
9−ꢅ)
(ꢅꢋ−ꢅ)
+
F(X9) = F(X13) = 0; F(Xi) < 0, I = 10,11,12. Vậy F <0 :
< 푋 <
ꢊ4
ꢊ4
Lần 2 (nhấn AC): Start? ; End? 2; Step? /24
(ꢅꢋ−ꢅ)
ꢋꢍ
) ≡ ꢌ휋; ꢎ
ꢊ
+
+
F(X1) = F(X13) = 0; F(Xi) <0 .Nghĩa là: từ ( ; +
ꢊ4
(
ꢅ7−ꢅ)
(ꢊ5−ꢅ)
5ꢍ
F(X17) = F(X25) = 0; F(Xi) <0. Nghĩa là: ꢌ +
; +
ꢎ ≡ ꢌ ꢋ ; 2휋ꢎ
ꢊ4
ꢊ4
Ví dụ 2 : Giải bất phương trình : cosx – sinx – cos2x >0
Nhập hàm f(X) = 푐표푠(ꢀ) ꢄ 푠ꢉ푛(ꢀ) ꢄ 푐표푠(2 ∗ ꢀ). Xét dấu >0
Lần 1: Start? 0; End? ; Step? /24
(
7−ꢅ)ꢍ (ꢅꢋ−ꢅ)ꢍ
ꢎ
Dựa vào bảng giá trị: F(X7) = F(X13) = 0; F(Xi) >0. Vậy: 푋 ∈ ꢌ
;
ꢊ4
ꢊ4
ꢍ
Lần 2: Start? ; End? 2; Step? /24 ta cũng sẽ có: 푋 ∈ ꢌ휋 + ; 2휋ꢎ
4
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
Chủ đề 3. Kiểm tra nhanh biểu thức nào là đạo hàm của f(x)
Bài toán: Đạo hàm của biểu thức f(x) là: A. g(x) B. h(x)
C. k(x)
D. l(x)
ꢏ
Kiến thức toán học: y(x) là đạo hàm của f(x) nếu: 푓 (ꢀ) = ꢆ(ꢀ), ∀ꢀ ∈ 퐷. Vậy phải
đúng với x bất kỳ thuộc D.
0
Phương pháp:
풇(풙 ꢂퟎ.ퟎퟎퟎퟏ)−풇(풙 )
ꢏ
ퟎ
ퟎ
−ퟒ
ퟒ
Cần nhớ: 풇 (풙 ) ≅
= [풇(풙 + ퟏퟎ ) ꢄ 풇(풙 )]. ퟏퟎ
ퟎ
ퟎ
ퟎ
ퟎ.ퟎퟎퟎퟏ
ꢏ
(
)
Vậy chỉ cần bấm máy để tính 풇 풙 và kiểm tra g(x ), h(x ), k(x ), l(x ). Đáp án nào
ퟎ
0
0
0
0
ꢏ
gần 푓 (ꢀ ) thì đó là đáp án cần tìm.
0
Thường chọn x là 1 trong 4 giá trị: 0; 1; 2; 3 (tùy bài để chọn và phải đảm bảo các giá
0
trị đó thuộc miền xác định). Nếu hàm lượng giác thì thường chọn 0; /4 ; /2 (rad)
Lưu ý:
1. chỉ dùng khi hàm f(x) quá phức tạp thôi nha. Vẫn khuyến khích các bạn làm
theo phương pháp chính thống, không phụ thuộc máy tính.
2
. Nếu thử x mà có 2 kết quả gần giống nhau thì chọn thêm x khác nhé
0
0
Ví dụ: Đạo hàm của (x – 1).lnx là:
(
푥−ꢅ)
푥
(푥−ꢅ)
푥
(푥−ꢅ)
+ 푙푛ꢀ
푥
A. lnx
B.
C.
ꢄ 푙푛ꢀ
D.
Hàm này không kiểm tra với x = 0 (vì không xác định). X = 1 thì tất cả đều bằng 0.
푦(ꢊ.000ꢅ)−푦(ꢊ)
(ꢅ.000ꢅ).ꢐn(ꢊ.000ꢅ)−ꢑꢒꢊ
ꢏ
Kiểm tra x = 2: ꢆ (2) ≈
=
. Bấm máy: 1.19318468
C. -0.193147 D. 1.1931471
0
.000ꢅ
0.000ꢅ
Kết quả các đáp án: A. ln2 = 0.693 B. 0.5
Vậy đáp án D
ꢊꢓ푖ꢒ푥ꢂꢔꢕꢓ푥
Ví dụ: Đạo hàm của ꢆ = ꢊꢔꢕꢓ푥−ꢓ푖ꢒ푥 là:
ꢖ
ꢖ
ꢓ푖ꢒ푥ꢂꢔꢕꢓ푥
ꢊꢔꢕꢓ푥−ꢓ푖ꢒ푥)ꢖ
−ꢓ푖ꢒ푥ꢂꢋꢔꢕꢓ푥
(ꢊꢔꢕꢓ푥−ꢓ푖ꢒ푥)ꢖ
5
5(ꢓ푖ꢒ푥) −5(ꢔꢕꢓ푥)
A. (
B.
C.
(ꢊꢔꢕꢓ푥−ꢓ푖ꢒ푥)ꢖ
D.
(ꢊꢔꢕꢓ푥−ꢓ푖ꢒ푥)ꢖ
Kiểm tra với x = 0 (rad).
0
Lưu ý: hàm lượng giác thì máy tính phải để chế độ Rad thay vì Deg.
ꢖ sꢗꢘ(ꢙ.ꢙꢙꢙꢚ)ꢛcos(ꢙ.ꢙꢙꢙꢚ) ꢖꢝꢞꢟꢙꢛꢠꢡꢝꢙ
ꢖ cos(ꢙ.ꢙꢙꢙꢚ)ꢜsꢗꢘ(ꢙ.ꢙꢙꢙꢚ) ꢖꢠꢡꢝꢙꢜꢝꢞꢟꢙ
−
푦(0.000ꢅ)−푦(0)
ꢏ
ꢆ (ꢁ) ≈
=
.Bấm máy:1.250062507
C. 5/4 = 1.25 D. -5/4
0
.000ꢅ
0.000ꢅ
Kết quả các đáp án: A. ¼
Vậy đáp án C
B. ¾
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
3
2
Chủ đề 4. NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ HÀM BẬC 3 (y = aX + bX + cX + d)
Đồ thị có dạng:
Trong đó : x là hoành độ điểm uốn ; x , x là hoành độ điểm cực trị :
I
1
2
a > 0 ; x = x < x = x ; a < 0 : x = x xCĐ = x2
CT <
1
CĐ
CT
2
1
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
푎 > ꢁ
푎 < ꢁ
-
Hàm số đồng biến trên R: { ꢊ
nghịch biến trên R: { ꢊ
푏 ꢄ 3푎푐 ≤ ꢁ
푏 ꢄ 3푎푐 ≤ ꢁ
2
-
-
Hàm số có cực đại và cực tiểu: b – 3ac > 0
ꢋ
ꢊ
Phương trình bậc 3: 푎ꢀ + 푏ꢀ + 푐ꢀ + 푑 = ꢁ; 푎 ≠ ꢁ (1)
o Nếu a + b + c + d = 0 thì (1) có nghiệm x = 1
o Nếu a – b + c – d = 0 thì (1) có nghiệm x = -1
푝
o Nếu a, b, c, d nguyên và (1) có nghiệm hữu tỉ 푞 thì p là ước số của d và q
là ước số của a.
-
Hàm số bậc 3 luôn nhận điểm uốn I (x; y(x)) làm tâm đối xứng: x thỏa:
I
I
I
ꢋ
푥
ꢂ 푥
푦
ꢂ 푦
ꢢ
ꢢ
ꢢ
퐶Đ
퐶푇
퐶Đ
퐶푇
y’’(x) = 0 và ꢀ =
; ꢆ =
; ꢀ = ꢄ ; ꢆ = 푑 + 푐 ꢌꢄ ꢎ ꢄ 2푎 ꢌꢄ ꢎ
I
퐼
퐼
퐼
퐼
ꢊ
ꢊ
ꢋꢣ
ꢋꢣ
ꢋꢣ
-
-
Đường thẳng nối 2 điểm CĐ và CT luôn đi qua điểm uốn I.
Phương trình đường thẳng nối 2 điểm CĐ và CT:
o lấy y chia y’. Phần dư của phép chia chính là đường thẳng cần tìm.
o phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị :
2
푏
푏푐
ꢨ푎
ꢆ = ꢤ푐 + 푏 ꢥꢄ ꢦꢧ ꢀ + 푑 ꢄ
3푎
(1)
3
-
-
Chỉ có duy nhất điểm uốn I(x; y(x)) là từ đó kẻ được duy nhất 1 tiếp tuyến
I I
với đồ thị. Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm uốn:
ꢋ
ꢢ
ꢢ
ꢆ = ꢇ푐 + 푏 ꢌꢄ ꢎꢈ ꢀ + ꢩ푑 + 푎 ꢌꢄ ꢎ ꢪ (2)
ꢋꢣ
ꢋꢣ
Tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị có: hệ số góc nhỏ nhất (a > 0); hệ số góc
풃
lớn nhất (a < 0). Khi đó hệ số góc tiếp tuyến: 풌 = 풄 + 풃 ꢌꢄ ꢎ (3)
ퟑ풂
-
-
Tiếp tuyến tại điểm cực trị song song với trục hoành.
3
2
Cho (C): ax + bx + cx + d = 0. Điểm A trên (C) có hoành độ x = x . Tiếp tuyến
0
풃
của (C) tại A lại cắt (C) tại A’. Hoành độ của A’ là: ꢄퟐ풙 ꢄ (4)
ퟎ
풂
3
2
-
-
Định m để phương trình f(x) = a(m)*x + b(m)*x + c(m)*x + d(m) = 0 có 3
nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng (3 điểm cách đều nhau). Bài toán
tương đương với việc định m để điểm uốn nằm trên trục hoành hay:
ꢢ(푚)
푓 ꢌꢄ
ꢎ = ꢁ
ꢫ
ꢋꢣ(푚)
(5) (gặp câu này nếu 4 hệ số phức tạp, thế 4
푏ꢊ(ꢬ) ꢄ 3. 푎(ꢬ). 푐(ꢬ) > ꢁ
phương án vào kiểm tra bằng máy tính nhanh hơn)
Định m để điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số đối xứng nhau qua
đường thẳng (d): y = kx + e: Do điểm uốn I là tâm đối xứng của hàm số nên
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
ta chỉ cần định m để: điểm uốn I thuộc (d) và phương trình đường thẳng nối 2
điểm cực trị vuông góc với (d). Hay: định m để:
ꢆ = 푘ꢀ + 푒
퐼
퐼
ꢭ2
3
푏
1
푘
ꢤ푐 + 푏 ꢥꢄ ꢦꢧ = ꢄ
3푎
3
2
3
Ví dụ: Định m để hàm số y = x – 3mx + 4m có các điểm cực đại và cực tiểu đối
xứng nhau qua đường thẳng y = x.
ꢢ
ꢋ
ꢊ
ꢋ
ꢋ
Ta có: tọa độ điểm uốn: ꢀ = ꢄ ꢋꢣ = ꢬ → ꢆ = ꢬ ꢄ 3ꢬꢬ + ꢮꢬ = 2ꢬ
퐼
퐼
2
3
푏
2
ꢄ3ꢬ
3
ꢤ푐 + 푏 ꢥꢄ ꢦꢧ = ꢯꢁ + (ꢄ3ꢬ) ꢥꢄ
ꢦꢰ = ꢄ2ꢬꢊ
3푎
3
ꢋ
ꢅ
ꢊ
2
ꢬ = ꢬ
ꢊ
Vậy ta tìm m để: {
↔ ꢬ =
ꢊ
ꢄ2ꢬ = ꢄ1
KỸ THUẬT KIỂM TRA NHANH PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3 CÓ 3 NGHIỆM LẬP
THÀNH CẤP SỐ CỘNG BẰNG MÁY TÍNH
Kiến thức Toán học:
3
2
Để phương trình ax + b*x + c*x + d = 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành
cấp số cộng (3 điểm cách đều nhau). Bài toán tương đương với việc điểm uốn
nằm trên trục hoành hay x = -b/3a là nghiệm phương trình.
Dùng máy tính: máy tính CASIO fx-570 ES có tính năng giải phương trình bậc 3.
Ta chỉ cần cho máy tính giải :
-
-
Nếu X1, X2 là nghiệm phức thì loại;
X1, X2 là nghiệm thực và khác X3, X3 = -b/3a thì phương trình đó có 3 nghiệm
lập thành cấp số cộng.
Ví dụ: Trong các phương trình sau, phương trình nào có 3 nghiệm lập thành cấp số
3
2
3
2
3
cộng: a.x – 6x + 11x – 6 = 0 b. x – 3x – 6x + 8 = 0 c. x + x = 0
Dùng chức năng giải phương trình bậc 3: Mode -> 5 -> 4
Kiểm tra pt a: Nhập a = 1, b = -6, c = 11, d = -6. X1 = 1,X2 = 3, X3 = 2 (nhận)
Kiểm tra pt b: Nhập a = 1, b = -3, c = -6, d = 8,푋1 = ꢄ2; 푋2 = ꢮ; 푋3 = 1 (nhận)
Kiểm tra pt b: Nhập a = 1, b = 0, c = 1, d = 0,푋1 = ꢉ; 푋2 = ꢄꢉ; 푋3 = ꢁ (loại)
3
2
Dạng 2: Định giá trị tham số m để phương trình f(x) = a(m)x + b(m)*x + c(m)*x +
d(m) = 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
ꢢ(푚)
푓 ꢌꢄ
ꢎ = ꢁ
Việc giải điều kiện: ꢫ ꢊ
ꢋꢣ(푚)
tốn nhiều thời gian.
푏 (ꢬ) ꢄ 3. 푎(ꢬ). 푐(ꢬ) > ꢁ
Đề cho 4 phương án ứng với các giá trị m, chỉ cần thay m vào và kiểm tra phương
trình có nghiệm x3 = -b/3a như ở dạng trên không?
ꢋ
ꢊ
ꢊ
Ví dụ: với giá trị nào của m thì pt: x – ꢱm(2 ꢄ m )x + 11ꢬ(2 ꢄ ꢬ)ꢀ ꢄ ꢱ = ꢁ có 3
nghiệm phân biệt cách đều nhau (lập thành CSC): A. m = -1 B. 0 C. 1 D. 2
-
Lần lượt gán các giá trị -1, 1, 0, 2 cho các phím A, B, C, D trên máy tính: -1 Shift
STO A; 1 Shift STO B; 0 Shift STO C; 2 Shift STO D
-
-
-
-
Giải A: Mode -> 5 -> 4: 1 -> -6*(1-A^2) -> 11*A*(A-1) -> -6 (loại)
Giải B: Mode -> 5 -> 4: 1 -> -6*(1-B^2) -> 11*B*(B-1) -> -6 (loại)
Giải C: Mode -> 5 -> 4: 1 -> -6*(1-C^2) -> 11*C*(C-1) -> -6 (nhận)
Giải D : Mode -> 5 -> 4: 1 -> -6*(1-D^2) -> 11*D*(D-1) -> -6 (loại)
@
Thay vì gán giá trị m cho 4 biến A, B, C, D có thể thế trực tiếp m vô phương trình
để giải.
Dạng toán tương đương : thay vì định m để phương trình có 3 nghiệm cách đều (3
nghiệm lập thành CSC) thì có thể cho như sau : Định giá trị m để trục hoành cắt đồ thị
tại 3 điểm phân biệt sao cho diện tích giới hạn bởi (C) và phía trên trục hoàng bằng
phần diện tích giới hạn bởi (C ) và phía dưới trục hoành.
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
Chủ đề 5. NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ HÀM BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG
4
2
y = f(X) = aX + bX + c
f(X) là hàm chẵn. Đồ thị đối xứng qua trục Oy.
Đồ thị có dạng:
Khi nào hàm số có 1 điểm cực trị? Khi ab > 0
-
-
Hàm số có cực tiểu, không có cực đại: a > 0, b > 0
Hàm số có cực đại, không có cực tiểu: a < 0, b < 0
Khi nào có 3 điểm cực trị?
ꢢ
2
Y’ = 2X(2aX + b) = 0 có 3 nghiệm < ꢁ ↔ 풂풃 < ퟎ
ꢊꢣ
3
điểm cực trị lần lượt là A, B, C thì :
-
-
a > 0, b < 0 : x , x là 2 điểm cực tiểu ; x = 0 là điểm cực đại.
A C B
a < 0, b > 0 : x , x là 2 điểm cực đại ; x = 0 là điểm cực tiểu.
A
C
B
ꢖ
ꢖ
ꢢ
−ꢢ ꢂ4ꢣꢔ
ꢢ
−ꢢ ꢂ4ꢣꢔ
Tọa độ 3 điểm A, B, C : 퐴 ꢯꢄꢲꢄ
;
ꢰ; B(ꢁ; 푐); ꢳ ꢯꢲꢄ
;
ꢰ
ꢊꢣ
4ꢣ
ꢊꢣ
4ꢣ
ꢢ
Tổng bình phương các hoành độ của 3 điểm cực trị: ꢄ ꢣ
ꢖ
ꢖ
ꢢ
ꢢ
ꢢ
ꢢ
Luôn có ABC cân tại B. ⃗푩⃗ ⃗ ⃗⃗푨⃗ ꢴ = ꢯꢲꢄ ; ꢰ; 푩⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗푪⃗ ꢴ = ꢯꢲꢄ ; ꢄ ꢰ
ꢊꢣ 4ꢣ
ꢊꢣ
4ꢣ
ꢖ
ꢢ −4ꢣꢔ
ꢢ
A, C luôn nằm trên đường thẳng: ꢆ = ꢄ
và độ dài |퐴ꢳ| = 2ꢲꢄ
4
ꢣ
ꢊꢣ
ퟑ
ABC vuông cân thì chỉ có vuông tại B. Khi đó: 퐵⃗ ⃗⃗ ⃗퐴⃗ ꢴ. ⃗퐵⃗ ⃗ ⃗ꢳ⃗ ꢴ = ꢁ ↔ 풃 + ퟖ풂 = ퟎ
ퟑ
ABC đều thì |퐴ꢳ| = |퐴퐵| ↔ 풃 + ퟐퟒ풂 = ퟎ
3
3
ꢀ = ꢀ + ꢀ + ꢀ
푂 ꢶ ꢷ ꢸ
↔ 풃 = ퟔ풂풄
ퟐ
ABC nhận O(0;0) làm trọng tâm tam giác ꢵ
ꢆ = ꢆ + ꢆ + ꢆ
ꢸ
푂
ꢶ
ꢷ
ퟖ
0
ퟎ
ퟑ
ABC có 1 góc bằng 120 thì 퐵̂ = ퟏퟐퟎ ↔ 풃 + 풂 = ퟎ
ퟑ
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
4
2
Bài toán 1: Định tham số để hàm số ax + bx + c cắt trục Ox tại 4 điểm phân
4
2
biệt lập thành cấp số cộng. Tức là: pt ax + bx + c = 0 có 4 nghiệm phân biệt lập
ퟏퟎퟎ
ퟐ
thành cấp số cộng:ꢳℎỉ 푐ầ푛 đị푛ℎ 푡ℎ푎ꢬ 푠ố 푡ℎỏ푎 풃 =
풂풄
ퟗ
Bài toán 2: Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi đồ thi (C) và trục hoành có
diện tích phần phía trên và phần phía dưới bằng nhau.
ퟑퟔ
ퟐ
Để giải bài toán này ta chỉ cần định tham số sao cho: 풃 = 풂풄
ퟓ
Bài toán 3: Tìm những điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được 1 hoặc 3 tiếp tuyến
đến đồ thị.
Chỉ có điểm (0;c) là mới có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị và hệ số
góc tiếp tuyến được xác định bởi:
x = ꢁ → k = ꢁ ;
ꢼ
푏
2b
푏
ꢺ
x = ꢄꢽꢄ
→ k = ꢄ . ꢽꢄ
3
;
3푎
3푎
ꢻ
푏
2b
3
푏
. ꢄ
ꢺ
ꢹ
ꢽ
ꢽ
3푎
ꢀ
=
ꢄ
→ 푘 =
3푎
ퟐ
−
풃 ꢂퟒ풂풄
ퟒ풂
Chỉ có điểm (0;
) là mới có thể kẻ được 1 tiếp tuyến đến đồ thị và tiếp
ꢖ
−
ꢢ ꢂ4ꢣꢔ
tuyến là: y =
4
ꢣ
PHƯƠNG PHÁP QUI ĐỔI TRONG TRƯỜNG HỢP HỆ SỐ a = ± 1.
Kiến thức Toán học :
Nếu a = 1 :
4
2
Thực hiện phép tịnh tiến : theo trục (OY) : Y = y – c = x + bx (ngắt bỏ hệ số tự do)
2
Khi đó : để có 3 điểm cực trị thì b < 0 nên luôn viết được b dưới dạng : - 2d (d > 0)
4
2
Nếu a = -1 : Y = c - y = x - bx
2
Khi đó : để có 3 điểm cực trị thì - b < 0 nên luôn viết được - b dưới dạng : - 2d (d > 0)
4
2 2
Vậy hàm số viết được dưới dạng : Y = x – 2d x
-
Phép tịnh tiến không làm thay đổi hình dáng và
tính chất của các hình.
4
Khi đó, 3 điểm cực trị lần lượt có tọa độ là A(-d ; -d ) ;
4
B(0 ;0) ; C (d ; -d )
ABC cân tại B.
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
4
5
Cạnh đáy AC = 2d ; Chiều cao BH = d . S
= d .
ABC
ꢿ
ꢅꢂꢾ
= ꢊꢾꢖ
ꢶ
ꢷ.ꢷꢸ.ꢸꢶ
Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC : 푟 =
4
푆
Khi đó, việc tính toán sẽ khá đơn giản và nhanh chóng hơn.
4
2
4
2
Ví dụ 1: Tìm giá trị m để hàm số y = x – 4(m-1)x + m + m + 2 có 3 điểm cực trị tạo
thành tam giác đều.
3
3
3
Cách 1 : ABC đều b + 24 a = 0 -64(m-1) + 24 = 0 (m- 1) = 3/8. ꢬ = 1 +
ꣀ
√
ꢋ
ꢊ
2
Cách 2 : Qui đổi: - 4(m-1) = -2d^2 m = 1 + d /2 (d >0) (1)
√
ꢋ
√ꢋ
4
ꢋ
ABC đều khi: 퐵퐻 = ꢊ . 퐴ꢳ ↔ 푑 = 2. 푑 ↔ 푑 = √3 (2)
ꢊ
ꣀ
√
ꢋ
Từ (1) và (2) ta có : ꢬ = 1 + ꢊ
4
2
Ví dụ 2: Tìm giá trị m để hàm số y = x – 2mx + m - 3 có 3 điểm cực trị tạo thành tam
giác vuông.
3
3
Cách 1 : ABC vuông khi và chỉ khi b + 8a = 0 (-2m) + 8 = 0 m = 1
2
2
Cách 2 : Qui đổi : - 2m = -2d m = d (d >0) (*)
ꢅ
ꢅ
4
ꢋ
ABC vuông (thì chỉ vuông tại B) khi: 퐵퐻 = . 퐴ꢳ ↔ 푑 = 2. 푑 ↔ 푑 = 1 ↔ 푑 = 1(∗∗
ꢊ
ꢊ
)
Từ (*), (**) ta có : m = 1
4
2
4
Ví dụ 3 : Cho hàm số y = x – 2mx + m + m + 10. Tìm giá trị m để bán kính đường
tròn ngoại tiếp của tam giác (có 3 đỉnh là 3 điểm cực trị) bằng 1 ?
2
2
Qui đổi : -2m = -2d m = d (d >0)
ꢿ
ꢅꢂꢾ
ꢶ
ꢷ.ꢷꢸ.ꢸꢶ
6
ꢊ
Bán kính đường tròn ngoại tiếp: r =
= ꢊꢾꢖ = 1 ↔ 푑 ꢄ 2푑 + 1 = ꢁ
4
푆
−
ꢅ−√5
ꢊ
−ꢅꢂ√5
(3)
ꢊ
ꢊ
ꢊ
ꢊ
Từ đó : 푑 = 1; 푑 =
( loại) ; 푑 =
Cách 2 : Vì ABC cân tại B(0 ;0) và r = 1 nên tâm đường tròn ngoại tiếp sẽ là : I(0 ;-1)
4
2
4 2
Vậy : IA = IB = IC = 1, mà C (d;-d ) nên: d + (1-d ) = 1 (*). Giải (*) ta cũng có kq (3)
Bằng phương pháp này, ta sẽ giải nhanh được các kết quả. Tuy nhiên, phương pháp
này có điểm hạn chế là, nếu hệ số a ≠ ± 1 sẽ không giải quyết được.
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
Chủ đề 6. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ
BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT (HÀM PHÂN THỨC BẬC NHẤT)
ꢣ푥ꢂꢢ
ꢾ
(
H): ꢆ = ꢔ푥ꢂꢾ ; (푐 ≠ ꢁ; 푎푑 ꢄ 푏푐 ≠ ꢁ). Miền xác định: 퐷 = 푅\ {ꢄ }
ꢔ
ꢣꢾ−ꢢꢔ
Đạo hàm: ꢆ′ = (ꢔ푥ꢂꢾ)ꢖ.
-
-
ad – bc > 0: hàm đồng biến trên D; ad – bc < 0: hàm nghịch biến trên D.
ꢣ
ꢾ
ꢆ = : là tiệm cận ngang; ꢀ = ꢄ là tiệm cận đứng
ꢔ
ꢔ
-
-
Đồ thị (H) nhận giao điểm 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng. Tâm đối xứng I
ꢾ
ꢣ
có tọa độ ꣁ ꢌꢄ ; ꢎ
ꢔ
ꢔ
ꢣ(푚)푥ꢂꢢ(푚)
Quỹ tích tâm đối xứng của : ꢆ = ꢔ(푚)푥ꢂꢾ(푚)
.
o Điều kiện : a(m).d(m) – b(m).c(m) ≠ 0.(*)
ꢾ
(푚)
= ꢄ ꢔ(푚)
ꢀ
o Tâm đối xứng là giao điểm 2 đường tiệm cận: ꣂ
(∗∗)
ꢣ(푚)
ꢆ = ꢔ(푚)
o Khử mất m từ hệ (**), có phương trình quỹ tích (trừ những điểm ở điều
kiện (*))
-
-
Không có bất kỳ đường tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số (H) đi qua tâm đối
xứng I.
Giả sử M là điểm tùy ý thuộc (H). Nếu tiếp tuyến tại M(x ; y ) cắt tiệm cận đứng
0
0
và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B thì:
ꢖ
ꢣꢔ푥 ꢂꢊꢢꢔ푥 ꢂꢢꢾ
ꢙ ꢙ
ꢣꢾ−ꢢꢔ
o Phương trình tiếp tuyến: ꢆ = (
ꢀ +
ꢖ
ꢖ
ꢔ푥 ꢂꢾ)
(ꢔ푥 ꢂꢾ)
ꢙ
ꢙ
ꢾ
ꢣ
ꢾ
ꢣ
o M là trung điểm A, B: 퐴 ꢌꢄ ; 2ꢆ ꢄ ꢎ ; 퐵 ꢌ2ꢀ + ; ꢎ
0
0
ꢔ
ꢔ
ꢔ ꢔ
ꢅ
ꢊ
o Tam giác IAB có diện tích không đổi: ꣃ∆ꢶꢷꢸ = ꣁ퐴. ꣁ퐵 = |푎푑 ꢄ 푏푐|
ꢖ
ꢔ
ꢊ
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
o Tích khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là hằng số:
1
1
1
1
푐ꢊ
푑 = 푑(푀, ꣄ꢳĐ) = ꣁ퐵 ; 푑 = 푑(푀, ꣄ꢳ푁) = ꣁ퐴 → 푑 .푑 = ꣁ퐴. ꣁ퐵 = |푎푑 ꢄ 푏푐|
ꢅ
ꢊ
ꢅ
ꢊ
2
2
ꢮ
-
-
Hai tiếp tuyến của (H) không bao giờ vuông góc nhau.
Hai tiếp tuyến song song của (H) có các tiếp điểm đối xứng nhau qua tâm I của
H).
Chỉ có 2 điểm 퐴 ꢌꢁ; ꢎ 푣à 퐵 ꢌꢁ; ꢎ trên trục tung mà từ mỗi điểm đó chỉ kẻ được
(
ꢢ
ꢣ
-
ꢾ
ꢔ
ꢣꢾ−ꢢꢔ
ꢢ
đúng một tiếp tuyến tới đồ thị. Tt qua A: ꢆ = (ꢔ푥ꢂꢾ)ꢖ ꢀ + ; TT qua B: ꢆ =
ꢾ
ꢣꢾ−ꢢꢔ
ꢣ
+ ꢔ
ꢀ
(
ꢔ푥ꢂꢾ)ꢖ
-
-
Nếu đồ thị hàm số (H) cắt trục hoành tại x = x thì hệ số góc của tiếp tuyến tại x
0
ꢖ
ꢣ
=
x0 là : 푘 = ꢣꢾ−ꢢꢔ
Nếu một đường tròn (C) cắt (H) tại 4 điểm sao cho 2 trong 4 điểm đó là các đầu
mút đường kính đường tròn, thì 2 điểm còn lại đối xứng qua tâm I của (H).
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
Chủ đề 7. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ
BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT
ꢖ
ꢣ푥 ꢂꢢ푥ꢂꢔ
ꣅ
ꢊ
ꢊ
(
H): ꢆ =
; (푑 ≠ ꢁ; 푎푒 + 푐푑 ꢄ 푏푑푒 ≠ ꢁ). Miền xác định: 퐷 = 푅\ {ꢄ }
ꢾ
푥ꢂꣅ
ꢾ
ꢊ
ꢊ
Đại lượng rất quan trọng của hàm bậc hai trên bậc nhất : 퐻 = 푎푒 + 푐푑 ꢄ 푏푑푒
Câu nhảm nhảm để nhớ: Anh Em Ế (+) Có Đi Đâu Trừ Bộ Đôi Ẻm
ꢣ
ꢢꢾ−ꢣꣅ
Viết lại: ꢆ = ꢌ ꢀ +
ꢎ +
(chỉ cần thực hiện phép chia đa thức, khỏi nhớ)
ꢖ
ꢾ (ꢾ푥ꢂꣅ)
ꢖ
ꢾ
ꢾ
ꢖ
(
ꢾ푥ꢂꣅ) −
(ꢾ푥ꢂꣅ)ꢖ
ꢣ
ꢏ
ꢅ ꢣ
ꢊ
= (ꢾ푥ꢂꣅ)ꢖ . . ꢇ(푑ꢀ + 푒) ꢄ ꢈ
ꢾ ꢣ
Đạo hàm: ꢆ = ꢄ
=
(ꢾ푥ꢂꣅ)ꢖ
ꢾ
ꢣ
ꢊ
Dấu của y’ phụ thuộc dấu của tam thức 푔(ꢀ) = ꢇ(푑ꢀ + 푒) ꢄ ꢈ.
ꢾ ꢣ
-
ꢊ
ꢊ
o Do 푎푒 + 푐푑 ꢄ 푏푑푒 ≠ ꢁ nên y’ = 0 hoặc vô nghiệm, hoặc có 2 nghiệm phân
biệt.
ꣅ
ꢅ
o ꢣ > ꢁ: Hàm số có 2 cực trị: ꢀꢸ = ꢄ ± ꢲ (ad > 0: x < x ad < 0: x <
CD
CT;
CT
ꢾ
ꢾ
ꢣ
x )
CD
o ꢣ < ꢁ: Hàm số không có cực trị: ad > 0: luôn đồng biến; ad < 0: luôn nghịch
biến
ꣅ
ꢣ
ꢢꢾ−ꢣꣅ
-
ꢀ = ꢄ là tiệm cận đứng; ꢆ = ꢀ +
: là tiệm cận xiên.
ꢖ
ꢾ
ꢾ
ꢾ
y’
ad > 0
ad < 0
y’ = 0
có 2
nghiệm
phân
biệt
ꢊꢣ푥 ꢂꢢ
ꢊꢣ푥 ꢂꢢ
퐶
퐶푇
ꢀꢸ
+ ꢀ = 2ꢀ ; ꢆ + ꢆ = 2ꢆ ; ꢆ =
ꢸ
; ꢆꢸ
=
ꢸ
퐼
ꢸ
ꢸ
퐼
ꢾ
ꢾ
y’ = 0
vô
nghiệm
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
ꢅ
-
-
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị có dạng : ꢆ = (2푎ꢀ + 푏)
ꢾ
Đồ thị (H) nhận giao điểm 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng. Tâm đối xứng I
ꣅ
có tọa độ ꣁ ꢌꢄ ;
ꢾ
ꢢꢾ−ꢊꢣꣅ
ꢎ
ꢖ
ꢾ
-
Giả sử M(x ;y ) là điểm tùy ý thuộc (H).
0 0
|
|
o Tích khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là hằng số: ꢾꢖ
= ꣄
ꢖ
ꢖ
.√ꢣ ꢂꢾ
푑ꢀ + 푒
퐻
0
푑ꢅ = 푑(푀, ꣄ꢳĐ) =
; 푑 = 푑(푀, ꣄ꢳ푋) = ꣎
꣎ → 푑 . 푑 = ꣄
ꢊ
ꢊ
ꢅ
ꢊ
ꢊ
푑
푑(푑ꢀ + 푒)√푎 + 푑
0
o Phương trình tiếp tuyến tại M:
ꢊ
0
ꢊ
푎푑ꢀ + 2푎푒ꢀ + (푏푒 ꢄ 푐푑)
(푏푑 ꢄ 푎푒)ꢀ + 2푐푑ꢀ + 푐푒
0
0
0
ꢆ =
ꢀ +
ꢊ
ꢊ
(
푑ꢀ + 푒)
(푑ꢀ + 푒)
0
0
o Nếu tiếp tuyến tại M(x ; y ) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên lần lượt
0
0
tại A, B thì:
ꣅ
ꢢꢾ−ꢊꢣꣅ
ꢊ.
ꣅ
ꢊꢣ푥 ꢂꢢ
ꢙ
.
M là trung điểm A,B: 퐴 ꢌꢄ ;
+
ꢎ ; 퐵 ꢌ2ꢀ + ;
ꢎ
ꢖ
ꢖ
0
ꢾ
ꢾ
ꢾ (ꢾ푥 ꢂꣅ)
ꢾ
ꢾ
ꢙ
Diện tích IAB không đổi: ꣃ퐼ꢶꢷ = 2 ꣏ ꣏
ꣀ
ꢾ
.
.
.
|
|
ꢊ
IAB có chu vi nhỏ nhất khi: ꣁ퐴 = ꣁ퐵 ↔ (푑ꢀ + 푒) =
0
ꢖ
ꢅꢂꢾ
√
|
ꢣ|
Góc tạo bởi 2 đường tiệm cận: 푐표푠ꣁ = √ꢅꢂꢾꢖ
-
-
-
Tại các cặp điểm đối xứng nhau qua I thì các tiếp tuyến tại đó song song với
nhau
ꢣ
ꢣ
= ꢄ
ꢾ
ꢏ
ꢏ
o Thật vậy: ꢆ (ꢀ ) = ꢆ (ꢀ ) ↔ ꢄ
ꢅ
ꢊ
ꢖ
ꢖ
ꢾ
ꢾ(ꢾ푥 ꢂꣅ)
ꢾ(ꢾ푥 ꢂꣅ)
ꢚ
ꢖ
ꢊꣅ
ꢊ
ꢊ
o ↔ (푑ꢀ + 푒) = (푑ꢀ + 푒) . Vậy: ꢀ + ꢀ = ꢄ = 2ꢀ퐼
ꢅ
ꢊ
ꢅ
ꢊ
ꢾ
Tìm hoành độ 2 điểm C, D thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị để khoảng cách
CD là nhỏ nhất:
ꣅ
ꣅ
o ꢀ = ꢄ ꢄ ꢀ ;ꢀ = ꢄ + ꢀ (ꢀ , ꢀ > ꢁ)
ꢸ
ꢅ
ꢊ
ꢅ
ꢊ
ꢾ
ꢾ
8
ꢅ
ꢊ
ꢊ
o ꢳ퐷 ꢬꢉ푛 = ꢾꢖ ꣐푎. 퐻 + |퐻|. √푎 + 푑 ꣑ ↔ ꢀ = ꢀ =
. ꢃ|푑. 퐻|
ꢅ
ꢊ
꣒
ꢖ
ꢖ
√ꢣ ꢂꢾ
Điều kiện để tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x vuông góc với tiệm
0
cận:
ꢣ
ꢏ
o Hệ số góc tiếp tuyến tại x : ꢆ (ꢀ ) = ꢄ
0
0
ꢖ
ꢾ
(ꢾ푥 ꢂꣅ)
ꢙ
ꣅ
ꢅ
ꢏ
o Vuông góc với TCĐ: ꢆ (ꢀ ) = ꢁ ↔ ꢀ = ꢄ ± ꢲ (푎퐻 > ꢁ) (x là điểm
0
0
0
ꢾ
ꢾ
ꢣ
cực trị)
o Vuông góc với TCX: . ꢆ (ꢀ ) = ꢄ1 ↔ ꢀ = ꢄ ±
ꢣ
ꣅ
ꢅ
ꢏ
√푎퐻 (푎퐻 > ꢁ)
ꢖ
ꢾ.√ꢣ ꢂꢾ
0
0
ꢖ
ꢾ
ꢾ
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
ꢖ
−
ꢋ푥 ꢂ푚푥ꢂ4
Ví dụ: với giá trị nào của m thì tiếp tuyến của ꢆ =
tại điểm có hoành độ x =
4
푥ꢂ푚
0
vuông góc với tiệm cận?
2
2
2
2
2
o Có: H = ae + cd – bde = -3m + 4.4 – m.4.m = - 7m + 64
ꢖ
푚
ꢅ
−7푚 ꢂ64
ꢊ
→ ꢮꢬ = ꢱꢮ → ꢬ = ±ꢮ
o Vuông góc TCĐ: ꢁ = ꢄ ± ꢲ
4
4
−ꢋ
ꢅ
푚
ꢅ
ꢊ
ꢊ
o Vuông gócTCX: ꢁ = ꢄ ± .
ꢖ
4
ꢃ(−ꢋ) ꢂ4
ꢃꢄ3(ꢄ꣓ꢬ + ꢱꢮ) → ꢬ = ꢄꢮ꣔ (VN)
ꢖ
4
푥ꢖꢂ(푚−ꢊ)푥ꢂ푚ꢂꢅ
Ví dụ: với giá trị nào của m thì tiếp tuyến của ꢆ =
x = 0 vuông góc với tiệm cận?
tại điểm có hoành độ
푥ꢂꢅ
2
2
-
-
Có: H = ae + cd – bde = 1 + (m+1) – (m-2) = 4
4
ꢅ
Vuông góc TCĐ: ꢁ = ꢄ1 ± ꢲ (loại); Vuông góc TCX: ꢁ = ꢄ1 ± √ꢮ (loại).
ꢅ
√ꢊ
-
-
Vậy không có m.
Tại các điểm có hoành độ: ꢀ = ꢄ3; 1; ꢄ1 ꢄ √2; ꢄ1 + √2 thì tiếp tuyến vuông
0
góc với 2 TC
ꢖ
푥 ꢂꢊ푥ꢂꢊ
Ví dụ: Tìm trên (C) ꢆ =
cận xiên.
các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với tiệm
푥ꢂꢅ
2
2
2
2
o Có: H = ae + cd – bde = 1.1 + 2.1 – 2.1.1 = 1
ꢅ
√ꢊ
o Vuông góc TCX: x = ꢄ1 ± ꢅ.√ꢊ √1.1 = ꢄ1 ± ꢊ
-
Điều kiện để tiếp tuyến tại M(x ;y ) vuông góc với đường thẳng nối điểm M với
0
0
|
|
ꢊ
tâm đối xứng I: (푑ꢀ + 푒) =
(coi chừng lộn với điều kiện IAB có chu vi
ꢖ
ꢣ ꢂꢾ
0
ꢖ
√
nhỏ nhất)
ꣅ
ꢢꢔ−ꢊꢣꣅ
Thật vậy: phương trình đường thẳng nối điểm M(x ;y ) với ꣁ ꢌꢄ ;
ꢎ là:
0
0
ꢖ
ꢾ
ꢾ
푎
ꢆ = ꢩ +
푑
퐻
푏푑 ꢄ 푎푒
푒퐻
ꢊꢪ ꢀ +
+
푑ꢊ
ꢊ
ꢊ
푑(푑ꢀ + 푒)
푑 (푑ꢀ + 푒)
0
0
ꢣ
ꢏ
(
)
Hệ số góc tiếp tuyến tại M: ꢆ ꢀ = ꢄ
0
ꢖ
ꢾ
ꢾ(ꢾ푥 ꢂꣅ)
ꢙ
ꢣ
ꢣ
ꢈ . ꢇ ꢄ ꢖꢈ = ꢄ1
ꢾ
ꢾ(ꢾ푥 ꢂꣅ)
ꢙ
Để thỏa điều kiện thì: ꢇ +
ꢖ
ꢾ
ꢾ(ꢾ푥 ꢂꣅ)
ꢙ
ꢖ
ꢖ
ꢖ
ꢅ
ꢊ
ꢊ
ꢊ
ꢊ
ꢊ
Hay: ꢾꢖ . ꢇ푎 ꢄ
ꢈ = ꢄ1 → 푎 ꢄ
= ꢄ푑 → 푎 + 푑 =
꣒
꣒
꣒
(ꢾ푥 ꢂꣅ)
(ꢾ푥 ꢂꣅ)
(ꢾ푥 ꢂꣅ)
ꢙ
ꢙ
ꢙ
ꢖ
||
4
ꢊ
Tức là: (푑ꢀ + 푒) =
→ (푑ꢀ + 푒) =
0
ꢖ
ꢖ
0
ꢖ
ꢖ
ꢣ ꢂꢾ
√ꢣ ꢂꢾ
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
Chủ đề 8. PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH CÁC BÀI
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – NHỎ NHẤT TRÊN ĐOẠN [a;b]
Kiến thức Toán học: Hàm f(x) liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trong (a;b):
1
2
3
. Giải phương trình f’(x) = 0 để tìm các nghiệm x , x , …., x thuộc [a;b]
1 2 n
. Tính f(a), f(x ), f(x ),…. , f(x ), f(b)
1
2
n
. Số lớn nhất trong các số trên là GTLN (max) trên [a;b]. Số nhỏ nhất trong
các số trên là GTNN (min) trên [a;b]
Dùng máy tính : Ta sẽ sử dụng tính năng bảng giá trị TABLE của máy tính để nghiên
cứu nhanh dáng điệu của đồ thị trên đoạn [a ;b]. Từ đó, chọn giá trị thích hợp.
Phương pháp (với CASIO fx-570) : 1 Nhấn Mode -> 7
2. f(X) = . Nhập hàm
3. Start ? Nhập giá trị a 4. End ? Nhập giá trị b 5. Step? Nhập giá trị (b-a)/25
Máy tính sẽ tính bảng giá trị. Ta ghi nhanh giá trị đầu tiên, ghi nhận giá trị F(X) tăng
hay giảm đến bao nhiêu cho đến F(X) cuối cùng. Từ đó có nhanh kết quả.
ꢖ
푥 ꢂꢋ
Ví dụ 1: Tìm GTNN của ꢆ = 푥−ꢅ trên đoạn [2;4]: A. 6 B. -2 C. -3
D. 19/3
Nhấn Mode 7. F(X) = (X^2+3)/(X-1). Start ? 2 End ? 4 Step ? (4-2)/25
Từ bảng giá trị ta có F(X1) = 7 giảm dần về 6.0008 rồi lại tăng dần đến F(X26) = 19/3
6.3333
=
Vậy GTNN trong 4 phương án trả lời sẽ là 6 gần với 6.0008 nhất. Chọn A. Nếu đề hỏi
GTLN thì có ngay max = 7 tại X1= 2.
ꣀ
ꢊ
Ví dụ 2 : Tìm GTNN, GTLN của ꢆ = ꢃ(2ꢀ ꢄ 1)(1 ꢄ ꢀ) trên đoạn [0;3]
ꣀ
ꢊ
Nhấn Mode 7. F(X) = ꢃ(2 ∗ 푋 ꢄ 1) ∗ (1 ꢄ 푋) . Start ? 0 End ? 3 Step ? 3/24 (không
nên máy móc lấy (b-a)/25 lấy 3/24 = 1/8 cho đẹp)
Từ bảng giá trị F(X1) = -1 tăng dần đến 0.3275 rồi giảm dần đến 0 rồi lại tăng dần đến
F(X25) = 2.7144
ꣀ
Vậy min = F(X1) = y(0) = -1 và max = F(X25) = y(3) = √2ꢁ. Từ đó chọn phương án
thích hợp.
Ví dụ 3 : Tìm GTNN, GTLN của ꢆ = 푐표푠ꢀ(1 + 푠ꢉ푛ꢀ) trên đoạn [0;2]
Hàm lượng giác nên máy tính chuyển sang chế độ RAD (shift-> mode -> 4)
Nhấn Mode 7. F(X) = ꣕꣖꣗(푋) ∗ (1 + ꣗i꣘(푋)). Start ? 0 End ? 2* Step ? 2*/24 = /12
(
hàm lượng giác luôn chia 24 cho cung đẹp)
Từ bảng giá trị F(X1) = 1 tăng dần đến F(X3) = 1.299 rồi giảm dần đến F(X11) = -
.299 rồi tăng dần đến F(X25) = 1.
1
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
Vậy trong 4 phương án, phương án nào gần -1.299 nhất (tại X11 = 0 + 10/12 = 5/6)
là GTNN và phương án nào gần 1.299 nhất (tại X3 = 0 + 2/12 = /6) là GTLN
Chủ đề 9. PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH CÁC BÀI
ĐỊNH THAM SỐ m ĐỂ HÀM F(x) ĐẠT CỰC TRỊ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – NHỎ NHẤT
Dạng 1: Định tham số m để hàm số đạt GTLN – GTNN trên đoạn [a;b]
Bài toán thường cho 4 giá trị m. Tận dụng việc máy tính CASIO – FX 570 ES
có thể tính bảng giá trị của 2 hàm F(x) và G(x) cùng lúc, ta sẽ giải bằng cách thế 2
tham số vào đề bài được 2 hàm F(X) và G(X) và dùng phương pháp ở bài trước để
giải nhanh. Ở đây có thêm kỹ thuật gán số cho các biến trên máy tính CASIO –
fx570ES.
ퟒ
4
2
2
Ví dụ: Tìm tham số m để hàm số y = x – 6mx + m có 퐦퐚퐱
풚(풙) =
ퟐ꣙풙꣙ퟏ
−
ퟗ
A. 0
Ta gán lần lượt gán giá trị 0; 2/3; 1; 4/3 cho các biến A, B, C, D trên máy tính
như sau:
B. 2/3
C.1
D. 4/3
Nhấn 0; nhấn Shift; nhấn STO; nhấn A (lưu ý không nhấn Shift). Nhấn đúng
trên màn hình sẽ hiện 0 → A
Tương tự: 2/3 Shift STO B; 1 Shift STO C; 4/3 Shift STO D
Giờ kiểm tra 2 phương án A, B trước.
Nhấn Mode 7.
F(x) = X^4 – 6* Alpha A *X^2 + (Alpha A)^2
G(x) = X^4 – 6* Alpha B *X^2 + (Alpha B)^2
Start? -2
End? 1
Step? 1-(-2)/12
Phương án A, max = 9 (loại); phương án B: max = 0.444444 4/9 (nhận)
Nếu sai thì chỉ cần kiểm tra thêm phương án C để có kết quả.
Nhận xét:
Bài này mà tính trực tiếp thì khá khó khăn, mất khoảng gần 10 phút để giải.
Nếu máy chỉ nhập được 1 hàm F(X) thì làm lần lượt 3 lần sẽ có kết quả (trong
trường hợp xui nhất. Nếu may mắn thì chỉ 1 hoặc 2 lần kiểm tra).
Dạng 2: Định m để hàm số f(X) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0
Kiến thức Toán học: Hàm f(x) đạt cực đại tại x nếu:푓(ꢀ + ∆ꢀ) < 푓(ꢀ ), ∀ ∆ꢀ (1)
0
0
0
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
Hàm f(x) đạt cực tiểu x nếu:푓(ꢀ + ∆ꢀ) > 푓(ꢀ ), ∀ ∆ꢀ (2)
0
0
0
Dùng máy tính : Ta sẽ sử dụng tính năng bảng giá trị TABLE của máy tính để nghiên
cứu nhanh dáng điệu của đồ thị trên đoạn [x – 0.5 ;x + 0.5] với 4 giá trị tham số m
0
0
mà đề cho.
ꣀ
푥
ꢊ
ꢊ
Ví dụ 1: Với giá trị nào của m thì hàm số ꢆ = ꢋ ꢄ 2ꢬꢀ + 3ꢬ ꢀ ꢄ 3ꢬ đạt cực tiểu tại
x = -1: A. m = -1 B. m = 1 C. m= 1/3 D. m = -1/3
Lần lượt gán 4 giá trị -1, 1, 1/3, -1/3 cho 4 biến A, B, C, D. Ta kiểm tra biểu thức (2)
1 Shift STO A 1 Shift STO B; 1/3 Shift STO C; -1/3 Shift STO D
-
Nhấn Mode 7.
ퟑ
푿
ퟐ
ퟐ
Gán F(X) = ퟑ ꢄ ퟐ ∗ 푨풍풑풉풂 푨 ∗ 푿 + ퟑ ∗ 푨풍풑풉풂 푨 ∗ 푿 ꢄ ퟑ ∗ 푨풍풑풉풂 푨
Start? -1-0.5
End? -1 + 0.5 Step 1/20
-
> F(-1) = 1.66666 nhỏ hơn tất cả các giá trị còn lại. (2) thỏa. Nhận A.
Quá may mắn vì chỉ 1 lần nhấn máy là nhận được kết quả
ꢋ
Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì hàm số ꢆ = ꢀ ꢄ 3ꢬꢀ + 2ꢬ đạt cực đại tại x = 2
A. m = 4
B. m = -4
C. m= 0
D. không có giá trị m
Lần lượt gán 3 giá trị 4, -4, 0 cho 3 biến A, B, C. Ta kiểm tra biểu thức (1)
Shift STO A -4 Shift STO B 0 Shift STO C
4
Nhấn Mode 7.
ꢋ
Gán F(X) = 푋 ꢄ 3 ∗ 퐴푙ℎ푎 퐴 ∗ 푋 + 2 ∗ 퐴푙ℎ푎 퐴
Start? 2-0.5 End? 2 + 0.5 Step 1/20. F(2) < F(2.05). Loại A
ꢋ
Nhấn AC, thay A bằng B.Gán F(X) = 푋 ꢄ 3 ∗ 퐴푙ℎ푎 퐵 ∗ 푋 + 2 ∗ 퐴푙ℎ푎 퐵
Start? 2-0.5 End? 2 + 0.5 Step 1/20. F(2) < F(2.05).. Loại B
ꢋ
Nhấn AC, thay B bằng C.Gán F(X) = 푋 ꢄ 3 ∗ 퐴푙ℎ푎 ꢳ ∗ 푋 + 2 ∗ 퐴푙ℎ푎 ꢳ
Start? 2-0.5 End? 2 + 0.5 Step 1/20. F(2) < F(2.05).. Loại C
Vậy đáp án là D
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
Chủ đề 10. NHỚ NHANH CÔNG THỨC HÀM LOGARIT KHÔNG CẦN MÁY TÍNH
BẰNG NHỮNG CÂU VUI VUI
ꢢ
Kiến thức Toán học: Với (푎 > ꢁ, ≠ 1) l꣖g ꢀ = 푏 ↔ ꢀ = 푎
a
훽
-
l꣖g (ꢀ ) = . l꣖g ꢀ (loga x mũ beta bằng loga x nhân beta lần)
a
ꢣ
ꢣ
ꢄ 푎 = l꣖g (푏 ) (lốc bê bê mũ a bằng a)
ꢄ l꣖g (ꢀꢆ) = l꣖g ꢀ + l꣖g ꢆ (lốc của tích bằng tổng lốc)
a
ꢣ
ꢣ
푥
ꢄ l꣖g ꢌ ꢎ = l꣖g ꢀ ꢄ l꣖g ꢆ (lốc của thương bằng hiệu lốc)
a
ꢣ
ꢣ
푦
ꢅ
ꢄ l꣖g ꢌ ꢎ = ꢄ l꣖g ꢀ (lốc của nghịch đảo bằng trừ lốc)
a
a
푥
ꢐ ꢢ
c
ꢄ l꣖g 푏 =
(qui tắc hiệu vecto: AB = CB – CA)
ꢣ
ꢐ ꢣ
c
ꢄ l꣖g 푏 = l꣖g 푐 . l꣖g 푏 (qui tắc đường chéo ; hay qui tắc tổng vecto)
ꢣ
a
ꢅ
ꢄ l꣖g 푐 =
(lốc anh của chị bằng nghịch đảo lốc chị của anh)
ꢣ
ꢐ ꢣ
c
ꢐ ꢔ
ꢐ ꢣ
꣠
(anh đội mũ lốc bê cô giống cô đội mũ lốc bê anh)
꣠
ꢄ 푎
= 푐
꣣
꣢
ꢄ l꣖gꢣ
꣡
푏 = l꣖g 푏 (lốc a mũ em của b mũ anh bằng anh chia em nhân lốc a bê)
a
꣢
Qui tắc so sánh 2 logarit cùng cơ số:
“
Cơ số lớn hơn 1 thì cùng chiều, cơ số nhỏ hơn 1 thì ngược chiều”
ꢚ
ꢊ
5
Ví dụ 1: 2l꣖g 3 + ½ l꣖g1ꢱ – ꣤l꣖g2 = l꣖g3 + l꣖g1ꢱ
ꢖ
ꢄ l꣖g2
3
ꢱ
ꢨ
=
l꣖gꢨ + l꣖gꢮ ꢄ l꣖g32 = l꣖g ꢨ.ꢮ ꢄ l꣖g 32 = l꣖g3ꢱ ꢄ l꣖g32 = l꣖g ꢥ ꢦ = l꣖g ꢥ ꢦ
32
꣔
꣒
꣥
ꢚ
9
4
4
Ví dụ 2 : l꣖g ꢥ ꢦ = l꣖g (ꢨx ) ꢄ l꣖g ꣐ꢃ꣦꣑ = l꣖g ꢨ + l꣖g x ꢄ l꣖g ꣦
ꢖ
ꢋ
ꢋ
ꢋ
ꢋ
ꢋ
ꢋ
ꢃy
1 1
ꢊ
l꣖g 3 + ꢮl꣖g x ꢄ l꣖g ꣦ = 2 + ꢮl꣖g x ꢄ l꣖g ꣦
ꢋ ꢋ ꢋ ꢋ ꢋ
2 2
=
ꢊ
Ví dụ 3 : Giải phương trình : l꣖g (ꢀ ꢄ ꢱꢀ) = 3 + l꣖g (1 ꢄ ꢀ) .
ꢊ
ꢊ
2
Đk : x – 6x > 0 ; 1 – x >0
ꢊ
ꢋ
ꢣ
l꣖g (ꢀ ꢄ ꢱꢀ) = l꣖g 2 + l꣖g (1 ꢄ ꢀ) = l꣖g ꣔(1 ꢄ ꢀ) (dùng công thức : 푎 = l꣖g 푏 )
ꢊ
ꢊ
ꢊ
ꢊ
2
2
Suy ra: x – 6x = 8 – 8x → x + 2x – 8 = 0 → x = 2 (loại); x = - 4 (nhận)
Ví dụ 4: Cho log 3 = a; log 3 = b. Tìm log 45
2
5
6
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
1
1
ꢊ
2 +
2
+
l꣖g ꢮ꣤ l꣖g3(3 . ꣤) 2 + l꣖g ꣤
l꣖g 3
(2푏 + 1)푎
=
푏(푎 + 1)
ꢋ
ꢋ
5
푏
1
푎
l꣖gꢱ ꢮ꣤ =
=
=
=
=
1
l꣖g ꢱ
l꣖g (3.2)
1 + l꣖g 2
ꢋ
ꢋ
ꢋ
1
+
1 +
l꣖g 3
ꢊ
Chủ đề 11. PHƯƠNG PHÁP KIỂM TRA NHANH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔ-GA-RÍT BẰNG MÁY CASIO fx – 570ES
NHẤN MẠNH: CHỈ DÙNG ĐỂ TRỊ NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG
TRÌNH BIẾN ĐỔI PHỨC TẠP THÔI NHA. KHÔNG LẠM DỤNG VỚI NHỮNG
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN.
Ví dụ: Phương trình này mà bấm máy tính thì quá phí: 푙표푔 (3ꢀ + 1ꢮ) ꢄ 푙표푔 ꣤ =
6
6
푙표푔 2ꢀ
6
Câu này giải bình thường trong vòng 4 nốt nhạc:
푙표푔 (3ꢀ + 1ꢮ) = 푙표푔 ꣤ + 푙표푔 2ꢀ = l꣖g 1ꢁꢀ . ꣃ푢ꢆ 푟푎: 3ꢀ + 1ꢮ = 1ꢁꢀ → ꣓ꢀ = 1ꢮ → ꢀ = 2
6
6
6
6
푥
푥 −ꢋ
푥
푥−ꢋ
(
Tương tự, pt: ꢱ = 2
giải tay vẫn nhanh hơn: l꣘ ꢱ = l꣘ 2
→ ꢀ푙푛ꢱ = ꢀ ꢄ
ꢊ
ꢑꢒ8
3
)푙푛2 → ꢀ푙푛2 ꢄ ꢀ푙푛ꢱ = 3푙푛2 → ꢀ푙푛 ꢌ ꢎ = 푙푛꣔ → ꢄꢀ푙푛3 = 푙푛꣔ → ꢀ = ꢄ
= ꢄ l꣖g ꣔ =
ꢋ
6
ꢑꢒꢋ
ꢅ
l꣖g ꢌ ꢎ
ꢋ
8
Trong trường hợp, biểu thức khá phức tạp thì ta dùng máy tính để trị:
Dạng 1: tìm nghiệm của phương trình mũ, phương trình log:
-
Nhận xét các nghiệm được cung cấp trong đáp án để chọn khoảng nghiệm,
bước nhảy thích hợp.
-
-
Chuyển hết phương trình sang vế trái. Vế phải bằng 0.
Dùng tính năng bảng giá trị của CASIO – fx 570 ES để kiểm tra.
ퟐ
ퟐ
풙 −풙ꢂퟏ
= ퟑ
풙 −풙
Ví dụ: Nghiệm của phương trình: ퟒ
+ ퟐ
C. x = 0; x = 1
A.x = 1; x = 2
B. x = -1; x = 1
D. x = -1; x = 0
Nhận xét: các phương án nghiệm là -1; 0; 1; 2. Bắt đầu -1; Kết thúc: 2. Bước nhảy 1.
Máy tính chuyển sang chế độ TABLE: Mode 7
Nhập hàm f(X) = 4^(X^2-X) + 2^(X^2-X+1) – 3. Start: -1; End: 2; Step: 1. Sau 5 giây
có ngay x = 0; x = 1 là nghiệm. Đáp án C
ꢊꢂ꣥
ꢊ−꣥
= 3ꢁ là: A. 0
Ví dụ: Nghiệm của phương trình: 3
+ 3
B. PTVN
C. 3 D.
±1
Nhận xét: phương án nghiệm: -1, 0, 1, 3. Bắt đầu: -1; Kết thúc: 3. Step: 1
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
Máy tính chuyển sang chế độ TABLE: Mode 7
Nhập hàm f(X) = 3^(2+X) + 3^(2-X) – 30. Start: -1; End: 3; Step: 1. Sau 5 giây có ngay
không có F(X) nào bằng 0. Vậy Đáp án B.
ꢖ꣧ꢜꢖ
꣥
−ꢅ
Ví dụ: Nghiệm phương trình: 3 . ꣤
꣧
= 1꣤ là: A. 1
B. 2; -log 5 C. 4; -log 5 D. 2;
2 2
log35
Có 3 phương án chứa -log 5 và log 5 nhưng ta sẽ kiểm tra sau.
2
3
Các phương án nghiệm 1; 2; 4. Vậy Bắt đầu: 1; Kết thúc: 4; Step:1
Tương tự 2 ví dụ trên, nhập dữ kiện, sau 5 giây có ngay F(2) = 0. Vậy đáp án B hoặc
D
Chỉ cần kiểm tra 1 trong 2 thằng bằng cách: (Giả sử kiểm tra log 5)
3
Nhấn AC. Giữ nguyên f(X) bằng cách nhấn dấu =. Nhập Start = log 5 ; End = 2*log 5;
3
3
Step = 1. Nếu máy không có tính năng nhập log b thì thay bằng log(b)/log(a). Sau 5’
a
thì log 5 không là nghiệm. Vậy đáp án B
3
Lưu ý: không nhập Start = a; End = a; Step = 0. Máy sẽ báo Error.
Ví dụ: nghiệm của phương trình: 풍풐품 (풍풐품 풙) + 풍풐품 (풍풐품 풙) = ퟐ là: A.2 B. 4. C. 8
ퟒ
ퟐ
ퟐ
ퟒ
D.16
Máy tính chuyển sang chế độ TABLE: Mode 7
Nhập hàm f(X) = 풍풐품 (풍풐품 푿) + 풍풐품 (풍풐품 푿) ꢄ ퟐ. Start: 2; End: 16; Step: 2. Sau 10
ퟒ
ퟐ
ퟐ
ퟒ
giây có ngay F(16) = 0. Vậy Đáp án D.
ퟐ
ퟐ
Ví dụ: nghiệm của phương trình: 풍풐품 (풙 + ퟑ풙 + ퟐ) + 풍풐품 (풙 + ퟕ풙 + ퟏퟐ) = ퟑ +
ퟐ
ퟐ
풍풐품 ퟑ là:
ퟐ
A.0 ; -3
B. – 4 ; - 3 C. – 5 ; - 4 D. 0; - 5
Máy tính chuyển sang chế độ TABLE: Mode 7
ퟐ
ퟐ
Nhập hàm f(X) = 풍풐품 (푿 + ퟑ ∗ 푿 + ퟐ) + 풍풐품 (푿 + ퟕ ∗ 풙 + ퟏퟐ) ꢄ ퟑ ꢄ 풍풐품 ퟑ. Start: -5;
ퟐ
ퟐ
ퟐ
End: 0; Step: 1. Sau 10 giây có ngay F(-5) = 0; F(0) = 0. Vậy Đáp án D.
ퟑ
Ví dụ: nghiệm của phương trình: 풍풐품 (풙 + ퟏ) = 풍풐품 ꢌ ꢎ là: A.VN B.1/2 C.2 D. 3
풙
ퟐ
Máy tính chuyển sang chế độ TABLE: Mode 7
Nhập hàm f(X) = 풍풐품 (푿 + ퟏ) ꢄ 풍풐품 (ퟑ/ퟐ). Start: 1/2; End: 3; Step: 1/2. Sau 5 giây
풙
ퟏퟎ
có ngay không có F(X) nào bằng 0. Vậy Đáp án A
풙
풙−ퟏ
= ퟒ là:
Ví dụ: nghiệm của phương trình: ퟐ + ퟐ
A.0 ; -3 B. – 4 ; - 3 C. – 5 ; - 4 D. 0; - 5
Máy tính chuyển sang chế độ TABLE: Mode 7
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
ퟐ
ퟐ
Nhập hàm f(X) = 풍풐품 (푿 + ퟑ ∗ 푿 + ퟐ) + 풍풐품 (푿 + ퟕ ∗ 풙 + ퟏퟐ) ꢄ ퟑ ꢄ 풍풐품 ퟑ. Start: -5;
ퟐ
ퟐ
ퟐ
End: 0; Step: 1. Sau 10 giây có ngay F(-5) = 0; F(0) = 0. Vậy Đáp án D.
Ví dụ: nghiệm của phương trình: ퟒ풍풐품 풙 + 풍풐품 ퟓ = ퟑ là: A. ퟓ; √ퟓ
B.1; 1/2
ퟐퟓ
풙
C.1/5; 5
D. 1/5; √ퟓ
Máy tính chuyển sang chế độ TABLE: Mode 7
Nhập hàm f(X) = ꢮ ∗ 풍풐품 푿 ꢄ 풍풐품 ퟓ ꢄ ퟑ.
ퟐퟓ
풙
Do có √꣤ và khoảng chia lớn, còn bộ nhớ máy tính chỉ tính được 25 giá trị nên ta
kiểm tra trước 1/5; ½; 1 với bước nhảy 1/10. Nghiệm 5 và √꣤ kiểm tra sau
Start: 1/5; End: 1; Step: 1/10. Sau 5 giây có ngay không có F(X) nào bằng 0. Vậy loại
các phương án chứa 1/5 ; ½ ; 1. Đáp án A
Nếu cẩn thận thì Kiểm tra 5 với √ퟓ
Nhấn AC. Giữ nguyên f(X) bằng cách nhấn dấu =. Nhập Start = √ퟓ ; End = 5; Step =
(
5+√꣤)/2. Sau 5 giây, cả hai đều có F(X) = 0.
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức: Cứ nhập biểu thức vào máy tính, sau 5 – 10 giây, sẽ có
ngay đáp án.
Dạng 3: Cho l꣖g 푏 = 퐴; l꣖g 푑 = 퐵; ꣄í푛ℎ l꣖g 푓 푡ℎ푒표 퐴, 퐵
ꢣ
ꢔ
ꣅ
Dạng này nếu không thuộc tính chất hàm log và nếu không biết kỹ thuật thì cực
khó. Nhiều khi sẽ khá rối. Nhưng chỉ cần bấm máy là trong 1 phút 30 giây sẽ xử nó dễ
dàng với kỹ thuật gán giá trị cho các biến.
-
-
Máy tính ở chế độ tính toán bình thường: Mode 1
Đầu tiên gán giá trị log b cho phím A: log b -> Shift -> STO -> A (không nhấn
a
a
Alpha nhé)
Gán giá trị log d cho phím B: log d -> Shift -> STO -> B
-
-
-
c
c
Gán giá trị log f cho phím C: log f -> Shift -> STO ->
e
e
Chỉ cần lần lượt kiểm tra C trừ cho 3 biểu thức ở 3 phương án A, B, C. Nếu
bằng 0 thì đó là đáp án. Nếu may mắn thì chỉ 1 lần kiểm tra,nếu xui lắm thì
cũng chỉ 3 lần kiểm tra. Đảm bảo trong 1 phút 30 giây, có ngay đáp án.
ꢣ
ꢣ
ꢣ
ꢣ
Ví dụ: Cho a = log 15. Khi đó log 15 là: A.
B. ꢣ−ꢅ
C. ꢊ(ꢣꢂꢅ)
D. ꢣꢂꢅ
3
25
ꢊ(ꢣ−ꢅ)
-
-
Log 15 -> Shift -> STO -> A
Log 15 -> Shift -> STO -> B
25
3
Alpha B – (Alpha A)/2*(Alpha A – 1) = 0. Đáp án A. Quá hên !!!
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
Bài này mà giải tay thì là như sau : Do A liên quan đến cơ số 3 nên chèn 3 vào
ꢐ ꢅ5
ꢣ
ꢣ
ꢣ
ꣀ
log 15 theo qui tắc trừ vecto :l꣖g 1꣤ =
=
=
ꢚ꣨
ꣀ
=
=
25
ꢊ5
ꢐ ꢊ5
ꢊ ꢐ 5
ꢊ ꢐ ꢌ
ꢎ
ꢊ (ꢐ ꢅ5−ꢐ ꢋ)
ꣀ
ꣀ
ꣀ
ꣀ
ꣀ
ꢣ
ꢊ(ꢣ−ꢅ)
ꢣ
ꢣ
ꢣ
Ví dụ: Cho a = log 6; b = log 7. Khi đó log 7 là: A.
B. ꢣ−ꢅ
C. ꢢꢂꢅ
D.
12
12
2
ꢅ−ꢢ
ꢢ
ꢄ ꢣ−ꢅ
Log 6 -> Shift -> STO -> A
Log 7 -> Shift -> STO -> B
Log 7 -> Shift -> STO -
2
12
12
>
C
-
Alpha C – (Alpha A)/(1 – Alpha B) = -0.5…… Loại A.
Alpha C – (Alpha A)/(1 + Alpha B) = 2.4…. Loại C
-
-
Alpha C – (Alpha A)/(Alpha A -1) = 5.39…. Loại B. Vậy đáp án D
Bài này mà giải tay thì là như sau : Do a, b liên quan đến cơ số 12 nên chèn 12 vào
ꢐ
7
ꢢ
ꢢ
ꢢ ꢢ
= ꢅ−ꢣ) = ꢄ ꢣ−ꢅ
6
ꢚꢖ
log 7 theo qui tắc trừ vecto :l꣖g ꣓ =
= ꢐ ꢚꢖ = ꢐ
2
ꢊ
ꢐ
ꢊ
ꢌ
ꢎ
ꢅꢊ−ꢑꢕ꣩
ꢚꢖ
ꢚꢖ
ꢚꢖ
ꢚꢖ
ꢿ
ꢅ
Ví dụ: Cho a = log 5. Khi đó log 1250 là: A. (1 + ꢮ푎) B.2(1 + ꢮ푎)
C. 1 + ꢮ푎
2
4
ꢊ
D. 2+4a
Log 5 -> Shift -> STO -> A
-
-
Log 1250 -> Shift -> STO -> B
4
2
Alpha B – 0.5*(1+4*Alpha A) = 0. Đáp án A. Quá hên !!!
ꢅ
4
4
4
Bài này thì ta có: l꣖g 12꣤ꢁ = l꣖g
ꢖ
(2.꣤ ) = l꣖g
ꢖ
2 + l꣖gꢊ
ꢖ
꣤ = l꣖g 2 + l꣖g ꣤ =
4
ꢊ
ꢊ
ꢊ
ꢊ
ꢊ
ꢊ
ꢅ
(1 + ꢮ푎)
ꢊ
Ví dụ: Cho a = log 5; b = log 7; c= log 3. Khi đó log 35 là: A.
27
8
2
12
ꢋꢢꢂꢊꢣꢔ
ꢋꢢꢂꢋꢣꢔ
ꢋꢢꢂꢊꢣꢔ ꢋꢢꢂꢋꢣꢔ
D.
ꢔꢂꢋ ꢔꢂꢅ
B.
C.
ꢔꢂꢊ
ꢔꢂꢊ
-
-
-
-
Log 5 -> Shift -> STO -> A
Log 7 -> Shift -> STO -> B
27
8
Log 3 -> Shift -> STO -> C
Log 35 -> Shift -> STO -> D
2
12
Alpha D – (3*Alpha B+2*Alpha A*Alpha C)/(Alpha C + 2) = 0.21…… Loại A.
Alpha D – (3*Alpha B+3*Alpha A*Alpha C)/(Alpha C + 2) = 0. Đáp án B
Bài này mà giải tay thì là như sau : Do mẫu số liên quan c nên chèn cơ số 2 vào
ꢐ ꢋ5
ꢐ (5.7)
ꢐ 5 ꢂꢐ 7
ꢖ
ꢖ
ꢖ
ꢖ
log 35 theo qui tắc trừ vecto : l꣖g 3꣤ =
=
=
=
12
ꢅꢊ
ꢖ
ꢐ (ꢋ.ꢊ )
ꢖ
ꢐ ꢅꢊ
ꢐ ꢋꢂꢊꢑꢕ꣩ ꢊ
ꢖ
ꢖ
ꢖ
ꢚ
ꣀ
ꢐ 5ꢂꢋ ꢐ 7
ꢐꢖ 5ꢂꢋ ꢐ ꣀ 7
꣐ꢖ ꣑
ꢋꢢꢂꢐ 5
ꢋꢢꢂꢐ ꢊ7.ꢐ
5
ꢋꢢꢂꢐ ꢋ .ꢐ
5
ꢋꢢꢂꢋ.ꢔꢣ
ꢔꢂꢊ
ꢖ
ꢖ
ꢖ
ꢖ
ꢖ꣪
ꢖ
ꢖ꣪
ꣀ
=
=
=
(∗) =
=
ꢔꢂꢊ
ꢔꢂꢊ
ꢔꢂꢊ
ꢔꢂꢊ
ꢔꢂꢊ
(
*): áp dụng qui tắc đường chéo
Dạng 4: Phương pháp tìm nghiệm của bất phương trình mũ – log: F(X) > 0 ( < 0)
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
Thường khi giải bất phương trình mũ, log thì kết quả sẽ là 1 khoảng giá trị thỏa
bất phương trình. Ta sẽ xét các phương án để chọn các khoảng đánh giá và bước
nhảy thích hợp để tận dụng tính năng bảng giá trị TABLE của máy tính để xét dấu
của F(X). Từ đó, chọn phương án thích hợp. Lưu ý: chuyển hết bpt sang vế trái, VP
luôn là 0
Quan trọng nhất ở đây là kỹ năng đánh giá các phương án để chọn khoảng xét
dấu và bước nhảy thích hợp. Cái này cần tập luyện nhiều để có nhãn quan chiến
thuật tốt.
NHẤN MẠNH: CHỈ DÙNG ĐỂ TRỊ NHỮNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN ĐỔI PHỨC
TẠP THÔI NHA. KHÔNG LẠM DỤNG VỚI NHỮNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH CƠ
BẢN.
푥
푥
Ví dụ: Nghiệm bpt: 32. ꢮ ꢄ 1꣔. 2 + 1 < ꢁ là:
A.1 < x < 4 B. 1/16 < x < ½ C. 2 < x < 4
D. – 4 < x < - 1
Ta có các khoảng (-4; 1); (2; 4); (1;4). Nếu xét luôn khoảng (1/16; ½) thì bước
nhảy sẽ khá nhỏ, vượt quá bộ nhớ máy tính nên khoảng (1/16; ½ ) để xét riêng.
Với 3 khoảng trên thì ta chọn Start = -4; End = 4; Step = [4-(-4)]/25 (vì bộ nhớ máy
tính tính được tối đa 25 giá trị khác nhau)
푥
푥
Nhấn Mode 7. Nhập hàm 32. ꢮ ꢄ 1꣔. 2 + 1. Start = -4 ; End = 4 ; Step = 8/25
F(-4) = 0 và giá trị F(X) <0 cho tới F(-1.12) và từ F(-0.8) thì giá trị luôn > 0 cho tới
F(4).
Vậy đáp án D (khỏi cần kiểm tra B).
Ví dụ 2: Nghiệm bpt log0,4 (x-4) + 1 > 0 là:
A.(4; 13/2]
B. (-∞; 13/2)
C. [13/2; +∞)
D. (4; + ∞)
Do có 4 khoảng (-∞; 13/2); [13/2; +∞); (4; 13/2); (4; +∞). Nên ta chọn điểm bắt
đầu trong khoảng (-∞; 13/2) và điểm kết thúc trong [13/2; +∞). Bước nhảy đi qua 4 và
6.5 -> Step 0.5. Vậy có thể chọn Start = 0; End = 10. Step = 0.5 (20 giá trị cần tính)
Nhấn Mode 7. Nhập hàm log0,4 (x-4) + 1. Start = 0 ; End = 10 ; Step = 0.5
Hàm ERROR từ 0 đến 4. F(4.5) đến F(6) > 0.F(6.5) = 0. Từ F(6.5) đến F(10) thì
F(X)<0.
Vậy đáp án A.
꣧
ꢋ −ꢅ
ꢋ
푥
Ví dụ 3: Nghiệm bpt l꣖g (3 ꢄ 1) . 푙표푔
ꢚ
꣒
ꢌ ꢅ6 ꢎ ≤ là:
4
4
A.(-∞;1] [2; + ∞)B. [1;2] C. (0; 1] D. (0;1] [2;+∞)
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
Như vậy, cần chọn điểm bắt đầu thuộc (-∞;1] và điểm kết thúc thuộc [2; +∞).
Bước nhảy đi qua 0; 1; 2. Vậy chọn Start = -2; End = 4.Step = 0.25 (24 giá trị cần tính
để xét dấu cho đẹp, bước nhảy càng nhỏ vì việc xét dấu càng chính xác).
꣧
ꢋ −ꢅ
ꢋ
푥
Nhấn Mode 7. Nhập hàm l꣖g (3 ꢄ 1) . 푙표푔
ꢚ
꣒
ꢌ ꢅ6 ꢎ ꢄ . Start = -2 ; End = 4 ; Step =
4
4
0.25
Giá trị F(X) ERROR từ F(-2) đến F(0). Giá trị âm từ F(0.25) đến F(0.75); F(1) =
0
. F(X) > 0 từ F(1.25) đến F(1.75); F(2) = 0 và F(X) < 0 từ F(2.25) đến F(4)
Vậy đáp án D
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
Chủ đề 12. Kiểm tra biểu thức nào là nguyên hàm của f(x)
(
dùng cho máy tính không có chức năng tính nguyên hàm, tích phân)
Bài toán: Nguyên hàm của biểu thức f(x) là: (hoặc ∫ 푓(ꢀ)푑ꢀ là)
A. g(x) + C B. h(x) + C C. k(x) + C D. l(x) + C
Kiến thức toán học: F(x) là nguyên hàm của f(x) (퐹(ꢀ) + ꢳ = ∫ 푓(ꢀ)푑ꢀ) nếu:
ꢏ
퐹 (ꢀ) = 푓(ꢀ), ∀ꢀ ∈ 퐷. Vậy phải đúng với x bất kỳ thuộc D.
0
Phương pháp:
품(풙 ꢂퟎ.ퟎퟎퟎퟏ)−품(풙 )
ꢏ
ퟎ
ퟎ
ퟒ
= ퟏퟎ . [품(풙 + ퟎ. ퟎퟎퟎퟏ) ꢄ 품(풙 )]
ퟎ ퟎ
Cần nhớ: 품 (풙 ) ≅
ퟎ
ퟎ.ퟎퟎퟎퟏ
Vậy chỉ cần bấm máy để tính lần lượt g’(x ), h’(x ), k’(x ), l’(x ). Đáp án nào
0
0
0
0
gần 푓(ꢀ ) thì đó là đáp án cần tìm.
0
Thường chọn x là 1 trong 3 giá trị: 1; 2; 3 (tùy bài để chọn và phải đảm bảo
0
các giá trị đó thuộc miền xác định của các hàm). Nếu hàm lượng giác thì thường
chọn 0; /4 ; /2 (rad)
Lưu ý: 1. Chỉ dùng khi việc tính tích phân ∫ 푓(ꢀ)푑ꢀ quá phức tạp thôi nha. Vẫn
khuyến khích các bạn làm theo phương pháp chính thống, không phụ thuộc máy tính.
2. Cũng có thể thế cận a, b bất kỳ (sao cho f(x) xác định) vào để thành tích
ꢢ
phân xác định ∫ 푓(ꢀ)푑ꢀ và dùng phương pháp tính gần đúng tích phân xác định
ꢣ
bằng cách bấm máy (đã có bài hướng dẫn) rồi kiểm tra g(b) – g(a); h(b) – h(a); k(b) –
k(a); l(b) – l(a) để chọn kết quả
ꢖ
푥
Ví dụ: (Nguồn :Collegeboard) ∫
ꣀ
푑ꢀ là (đã bỏ bớt phương án E)
꣧
ꣅ
ꣀ
꣧
ꣀ
푥
ꢅ
ꣀ
ꣅ
ꢅ
푥
A. ꢄ 푙푛푒 + ꢳ
B. ꢄ ꢋ + ꢳ
C. ꢄ ꢋꣅ꣧
ꣀ
+ ꢳ
ꣀ
D. ꢋꣅ꣧ + ꢳ
ꢋ
ꢖ
ꢅ
ꢅ
Kiểm tra với x = 1: 푓(1) = ꣅ
= = ퟎ. ퟑퟔퟕퟖퟕퟗퟒퟒퟏퟏퟕ
ꣀ
ꢚ
ꣅ
ꢅ
(ꢅ.000ꢅ)ꣀ
ꢅ
ꢏ
4
ꢅ
4
A: ꢆ (1) ≈ [ꢆ(1.ꢁꢁꢁ1) ꢄ ꢆ(1)] ∗ 1ꢁ = ꢇꢄ 푙푛푒
ꢄ (ꢄ 푙푛푒 )ꢈ 1ꢁ = -1.0001
ꢋ
ꢋ
ꢅ
(ꢅ.000ꢅ)ꣀ
ꢅ
ꢏ
4
ꢅꢎꢈ
4
(
)
[ (
)
( )]
ꢇ
ꢌ
B: ꢆ 1 ≈ ꢆ 1.ꢁꢁꢁ1 ꢄ ꢆ 1 ∗ 1ꢁ = ꢄ 푒
ꢄ ꢄ 푒
1ꢁ = -2.71896
ꢋ
ꢋ
ꢅ
ꢅ
ꢏ
4
4
C: ꢆ (1) ≈ [ꢆ(1.ꢁꢁꢁ1) ꢄ ꢆ(1)] ∗ 1ꢁ = ꢇꢄ
ꢄ ꢌꢄ ꢎꢈ 1ꢁ = 0.36786 (nhận)
(
ꢚ.ꢙꢙꢙꢚ)
ꣀ
ꢚ
ꢋꣅ
ꢋꣅ
(
ra C rồi thì khỏi tính D cho đỡ tốn thời gian)
Việc bấm máy tính kiểm tra 4 phương án dạng này cũng không dễ phải không
nào. Trong khi bài này tính trực tiếp thì đơn giản vô cùng. Này nhé:
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
ꢖ
푥
ꣀ
ꢅ
ꣀ
ꢅ
ꢅ
ꢊ
−푥
−푥
ꢊ
−꣫
−꣫
3
∫
ꣀ
푑ꢀ = ∫ ꢀ 푒 푑ꢀ = ∫ 푒 (3ꢀ 푑ꢀ) = ∫ 푒 (푑푡) = ꢄ 푒 , với t = x . Đáp án C.
꣧
ꣅ
ꢋ
ꢋ
ꢋ
Nói chung đối đế lắm mới dùng cách bấm máy tính cho dạng này nhé. Chỉ
dùng trong trường hợp hàm lấy tích phân bất định quá lắt léo, không thể giải ra
đáp số trong 1 phút 30 giây thôi, kẻo gậy ông đập lưng ông nghen.
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
Chủ đề 13. Tìm nhanh kết quả tích phân không cần biết cách tính tích phân.
Dạng này chỉ áp dụng cho những bài tính tích phân phức tạp.
Công thức Simpson:
풃
풉
풃−풂
ퟖ
∫
풇(풙)풅풙 ≈ [(풚 + 풚 ) + ퟒ(풚 + 풚 + 풚 + 풚 ) + ퟐ(풚 + 풚 + 풚 )], Với 풉 =
(1)
ퟎ
ퟖ
ퟏ
ퟑ
ퟓ
ퟕ
ퟐ
ퟒ
ퟔ
풂
ퟑ
Với y = f(a) y = f(a+h) y = f(a+2h), … , y = f(a+ih), y = f(a + 8h) = f(b)
0
,
1
2
i
8
Với đề thi trắc nghiệm thì chỉ cần tính :
풃
풉
풃−풂
ퟒ
∫
풇(풙)풅풙 ≈ [(풚 + 풚 ) + ퟒ(풚 + 풚 ) + ퟐ풚 ], Với 풉 =
(2)
ퟎ
ퟒ
ퟏ
ퟑ
ퟐ
풂
ퟑ
Với câu tích phân thì cần dùng tính năng tính bảng giá trị của máy tính cầm tay. Với
Casio fx-570ES, ta chọn Mode -> 7 (Table).
Màn hình hiện f(X) =
Màn hình hiện Start ?
Màn hình hiện End ?
Màn hình hiện Step ?
. Ta nhập hàm tính tích phân f(x) vào. Xong nhấn dấu =.
Nhập giá trị a. Nhấn =
Nhập giá trị b. Nhấn =
Nhập giá trị h. Nhấn =
Màn hình hiện bảng tính. Ghi các giá trị f(x) ở cột phải , thế vào biểu thức (1) hoặc (2)
i
để tìm kết quả.
ퟐ
ퟓ풙ꢂퟕ
풅풙 có giá trị bằng :
Ví dụ : (đề thi năng lực VNU HN) Tích phân ∫
ퟐ
ퟎ 풙 ꢂퟑ풙ꢂퟐ
A. 2ln2 + ln3
Tính trước giá trị đáp án : A. 2.48490665 B. 4.682131227 C. 4.276666119 D.
.583518938
B. 2ln2 + 3ln3
C. 2ln3 + 3ln2
D. 2ln3 + ln4
3
h = (2 – 0)/4 = 0.5
Nhấp Mode -> 4 (Table). Nhập (5.X+7)/(X^2+3.X+2). = Start ? 0, End ? 2 ; Step ? 0.5
Có y0 = 3.5 ; y1= 2.5333; y2 = 2; y3 = 1.6571; y4 = 1.4166
Nhấn Mode 1
Lấy ((y0 + y4) + 4 (y1+y3) + 2y2)x h/3 = 4.2797. Chọn đáp án C.
ퟐ
ퟐ
Ví dụ : (đề thi năng lực VNU HN) Tích phân ∫ 풙 . 풍풏풙풅풙 có giá trị bằng :
ퟏ
ퟖ
ퟕ
ퟖ
ퟕ
ퟑ
푨. 풍풏ퟐ ꢄ B. 8ln2 - 7/3
C. 24ln2 – 7
D. 풍풏ퟐ ꢄ
ퟑ
ퟗ
ퟑ
Tính trước giá trị đáp án : A. 1.070… B. 3.211… C. 9.63… D.-0.4849…
Dùng (2), với start = 1 ; end = 2, h = 0.25
Có y0 = 0 ; y1= 0.3486; y2 = 0.9122; y3 = 1.7138; y4 = 2.7725
Nhấn Mode -> 1. Lấy ((y0 + y4) + 4 (y1+y3) + 2y2)x h/3 =1.070541. Chọn đáp án A.
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
Chủ đề 14. MẸO TÍNH NHANH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 1
Trước tiên, ta nhắc lại một chút về kiến thức của phép lấy tích phân theo từng
phần: Giả sử u và v là hai hàm số khả vi của x. Khi đó, như ta đã biết, vi phân của
tích uv được tính theo công thức: 푑(푢푣) = 푢푑푣 + 푣푑푢
Từ đó, lấy tích phân ta được: 푢푣 = ∫ 푢푑푣 + ∫ 푣푑푢. Hay là: ∫ 푢푑푣 = 푢푣 ꢄ ∫ 푣푑푢 (1)
Công thức này gọi là công thức lấy tích phân từng phần. Công thức này
thường được dùng để lấy tích phân các biểu thức có thể biểu diễn dưới dạng tích của
hai nhân tử u và dv, sao cho việc tìm hàm số v theo vi phân dv của nó và việc tính
tích phân ∫ 푣푑푢 là những bài toán đơn giản hơn so với việc tính trực tiếp tích
phân ∫ 푢푑푣. Ý nghĩa tách biểu thức dưới dấu tích phân thành các thừa số u và dv
thường xảy ra trong quá trình giải các bài toán có dạng sau:
ꢣ푥
푃 (ꢀ). 푠ꢉ푛푎ꢀ. 푑ꢀ , ∫ 푃 (ꢀ). 푐표푠푎ꢀ. 푑ꢀ , ∫ 푃 (ꢀ). 푒 . 푑ꢀ (*), trong đó P là đa thức bậc n.
ꢒ ꢒ ꢒ
n
∫
Với các dạng trên, thì thông thường vai trò của u luôn là đa thức P , và dv là phần
n
còn lại. Như vậy, ta có sơ đồ sau:
Khi được tích phân mới, ta lại được một tích phân lại là
một trong các dạng, và phần đa thức mới lại đóng vai trò là u,
còn phần còn lại tiếp tục đóng vai trò là v….
Cứ thế cho đến khi bậc của đa thức là bậc 0 thì sẽ có
kết quả. \
Như vậy, các đa thức luôn đóng vai trò u (nghĩa là lấy
đạo hàm), còn phần còn lại luôn là dv (lấy tích phân), nên ta
sẽ xây dựng thuật toán gồm 2 cột:
-
Cột trái chuyên lấy đạo hàm của đa thức cho đến khi giá
trị bằng 0;
-
-
Cột phải luôn lấy tích phân tương ứng với cột kia.
Sau đó, ghép các giá trị uv lại ta sẽ có kết quả. Hay ta
có sơ đồ như hình bên phải.
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
ꢊ
(
)
Ví dụ: Tính: ∫ ꢀ + ꣓ꢀ ꢄ ꣤ . 푐표푠2ꢀ. 푑ꢀ
Ta lập sơ đồ như sau:
ꢓ푖ꢒꢊ푥
ꢊ
ꢔꢕꢓꢊ푥 ꢓ푖ꢒꢊ푥
ꢄ
4 4
ꢊ
Khi đó, kết quả của tích phân này sẽ là:(ꢀ + ꣓ꢀ ꢄ ꣤).
+ (2ꢀ + ꣓).
ꢋ
ꢊ
−푥
Ví dụ 2: Cần tính: ∫(ꢀ + ꢮꢀ ꢄ ꣤ꢀ + ꢱ). 푒 . 푑ꢀ
Ta có sơ đồ sau:
Vậy, dựa vào sơ đồ trên, ta có kết quả của bài toán là:
ꢄ(ꢀ + ꢮꢀ ꢄ ꣤ꢀ + ꢱ)푒 ꢄ (3ꢀ + ꣔ꢀ ꢄ ꣤)푒 ꢄ (ꢱꢀ + ꣔)푒−푥 ꢄ ꢱ푒 + ꢳ
ꢋ
ꢊ
−푥
ꢊ
−푥
−푥
ꢋ
ꢊ
−푥
Hay: ꢄ(ꢀ + ꣓ꢀ + ꢨꢀ + 1꣤)푒 + ꢳ
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
Chủ đề 15. KỸ THUẬT VIẾT NHANH PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG QUA 2
ĐIỂM A(a;b); B(c;d) và PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG QUA 3 ĐIỂM A, B, C
Phương pháp bấm máy:
Dạng1: Phương trình đường thẳng qua 2 điểm A(a;b) và B(c;d):
푎ꢀ + 푏ꢆ = ꢄ1
푐ꢀ + 푑ꢆ = ꢄ1
-
Chỉ cần dùng máy tính giải hệ 2 phương trình, 2 ẩn:ꢵ
o Mode -> 5 -> 1
o Nhập a, b, -1 vào dòng 1; Nhập c, d -1 vào dòng 2. Nhấn =
o Được nghiệm hpt. Giả sử X = M; Y = N
-
Phương trình đường thẳng (AB) có dạng: Mx + Ny + 1 = 0
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm A(1; 2); B(3;4)
1
3
ꢀ + 2ꢆ = ꢄ1
được X = 1; Y = -1
ꢀ + ꢮꢆ = ꢄ1
-
-
Giải hệ phương trình: ꢵ
Vậy phương trình (AB): X – Y + 1 = 0
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm A(1; 2); B(4;3)
1ꢀ + 2ꢆ = ꢄ1
Giải hệ phương trình: ꢵ
được X = 1/5 ; Y = -3/5
ꢮꢀ + 3ꢆ = ꢄ1
-
-
Vậy phương trình (AB): X/5 – 3Y/5 + 1 = 0. Hay (AB): X – 3Y + 5 = 0
Lưu ý: một số máy tính giải hệ 2 phương trình, 2 ẩn dạng: a X + b Y + c = 0. Khi đó
n
n
n
푎ꢀ + 푏ꢆ + 1 = ꢁ
푐ꢀ + 푑ꢆ + 1 = ꢁ
nhớ chuyển hệ phương trình thành: ꢵ
Dạng 2: Phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A(a;b;c) và B(d;e;f) và C(g;h;i)
푎ꢀ + 푏ꢆ + 푐푧 = ꢄ1
-
Chỉ cần dùng máy tính giải hệ 3 phương trình, 3 ẩn:ꢫ푑ꢀ + 푒ꢆ + 푓푧 = ꢄ1
푔ꢀ + ℎꢆ + ꢉ푧 = ꢄ1
o Mode -> 5 -> 2
o Nhập a, b, c; -1 vào dòng 1; Nhập d, e, f, -1 vào dòng 2; Nhập g, h, I, -1
vào dòng 3. Nhấn =
o Được nghiệm hpt. Giả sử X = M; Y = N; Z = P
Phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng: Mx + Ny + Pz + 1 = 0
-
Vén màn bí mật:
Kiến thức Toán học: Phương trình đường thẳng qua 2 điểm A(a; b); B(c;d) có dạng:
푥−ꢣ
푦−ꢢ
= ꢾ−ꢢ
→ (푑 ꢄ 푏)(ꢀ ꢄ 푎) = (ꢆ ꢄ 푏)(푐 ꢄ 푎) → (푑 ꢄ 푏)ꢀ + (푎 ꢄ 푐)ꢆ + 푏푐 ꢄ 푎푑 = ꢁ
ꢔ−ꢣ
ꢾ
−ꢢ
ꢣ−ꢔ
Hay: ꢢꢔ−ꢣꢾ ꢀ + ꢢꢔ−ꢣꢾ ꢆ + 1 = ꢁ.
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
ꢾ
−ꢢ
ꢣ−ꢔ
푎ꢀ + 푏ꢆ = ꢄ1
푐ꢀ + 푑ꢆ = ꢄ1
Trong đó: 푀 = ꢢꢔ−ꢣꢾ ; 푁 = ꢢꢔ−ꢣꢾ chính là nghiệm hpt: ꢵ
Lưu ý:
1. Với pt đt qua (AB): Trong trường hợp: ad - bc = 0. Hệ 2 pt, 2 ẩn sẽ không giải
được, máy tính sẽ báo ERROR.
-
Khi đó, 2 điểm A, B sẽ có dạng: A(a; b); B(ka; kb). Lúc này, pt đt (AB) có dạng:
y = bx/a.
-
Câu thần chú: YÊU BÀ XÃ CHIA ANH.
2. Với pt mp (ABC): Nếu máy báo ERROR, nghĩa là hệ số tự do của mặt phẳng
bằng 0. Khi đó, ta xử lý như sau:
-
-
-
-
Có 3 điểm A, B, C. Suy ra: 2 vecto AB, AC.
Suy ra vecto pháp tuyến n là tích hữu hướng của AB với AC.
Giả sử là n = (M; N; P)
Vậy phương trình mặt phẳng (ABC): Mx + Ny + Pz = 0
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
Chủ đề 16. GIẢI TOÁN SỐ PHỨC BẰNG MÁY TÍNH CASIO fx – 570 ES
Tóm tắt lý thuyết số phức :
2
-
-
i = -1
Dạng đại số của số phức: z = a + bi; Số phức liên hợp: 푧̅ = 푎 ꢄ 푏ꢉ
o Cộng, trừ, nhân 2 số phức giống cộng, trừ, nhân 2 đa thức bậc nhất.
2
2
o Chia 2 số phức: nhân liên hợp. Với chú ý: (a + bi)(a - bi) = a + b .
ꢊ ꢊ
o Modun số phức: r = |z| = √푧. 푧̅ = √푎 + 푏
Dạng hình học:
-
-
o Số phức z = a + bi tương ứng với điểm Z(a; b) trong mặt phẳng tọa độ.
o 푧 + 푧 = 2푎; 푧 ꢄ 푧 = 2푏ꢉ
̅
̅
ꢊ
ꢊ
ꢊ
o |푧 ꢄ (푐 + 푑ꢉ)| = 푟 ↔ (푎 ꢄ 푐) + (푏 ꢄ 푑) = 푟 : Tập hợp tất cả các điểm
nằm trên đường tròn tâm (c; d) bán kính r.
Dạng lượng giác: z = r.(cos + i.sin); trong đó:
ꢊ
ꢊ
o r > 0 là môđun của số phức: r = √푎 + 푏 ;
o được gọi là Argument của số phức: tan = b/a
.
.
[0;2] được gọi là Argument chính (Argz);
= Argz + k.2 (k Z)
o Mối liên hệ giữa dạng đại số và lượng giác:
ꢢ
ꢣ
ꢊ
ꢊ
a = r.cos ; b = r.sin; r = √푎 + 푏 ; 푡푎푛휑 =
-
-
Chú ý:
o a > 0; b > 0: (0; /2);
o a < 0; b < 0: (; 3/2);
Quy tắc:
a < 0; b > 0: (/2; );
a > 0; b < 0: (3/2; 2)
o Tích 2 số phức dạng lượng giác thì: modun bằng tích modun; argument
bằng tổng argument
o Thương 2 số phức dạng lượng giác thì: modun bằng thương modun;
argument bằng hiệu argument
o Căn bậc 2 của số phức dạng lượng giác: modun bằng căn modun;
argument bằng ½ argument.
Sau khi đã nắm vững kiến thức lý thuyết về số phức, bạn có thể nhờ máy tính
bỏ túi thực hiện việc tính toán nhanh 1 số vấn đề liên quan đến số phức. Với máy tính
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
Casio fx – 570 ES, thì việc tính toán số phức đơn giản như việc tính toán với số thực.
Tất nhiên, có 1 số dạng không thể “khoán trắng” cho máy tính bỏ túi được.
Dạng 1 : Tính toán số phức dạng đại số: Nhấn Mode 2
-
-
Nhập số phức dạng đại số a + bi: a → + → b → ENG
Cộng, trừ, nhân, chia số phức: thực hiện bình thường. Lưu ý: máy không hiểu
2
lũy thừa của số phức nên nếu muốn tính z thì chịu khó nhập z x z nha. Nghĩa
4
là cần tính z thì phải nhập: z x z x z x z
ꢊ−푖
Ví dụ: Thực hiện phép tính: z = (1 + ꢉ).
ꢋꢂꢊ푖
(
1 + ENG)x(2 – ENG)/(3 + 2 ENG) Kết quả: 11/13 – 3i/13
Số phức liên hợp: 푧: Nhập số phức z (không nhấn dấu =). Nhấn Shift 2 → 2
Ví dụ: Cần số phức liên hợp của VD1. VD1 ra kết quả, z = 11/13 – 3i/13. Nhấn Shift
2 → 2. Có: 11/13 + 3i/13
-
̅
→
-
Cần tìm modun z:
o Cách 1: Chọn chức năng Abs bằng cách nhấn Shift → hyp (phím phía
trên phím “(“ á). Hiện | |. Nhập số phức vào ô giữa 2 dấu | |
o Cách 2: liên quan đến dạng lượng giác, sẽ đề cập sau.
√
ꢅꢋ0
.
Ví dụ: modun của 푧:
̅
ở ví dụ 2 sẽ là: - Shift → hyp → Ans = . Ra kết quả
ꢅꢋ
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Nếu z = √3 + ꢉ√3; 푧 = √3 + ꢉ thì số phức z /z nằm ở góc phần tư nào ?
1
ꢊ
1
2
ꢋꢂ√ꢋ
4
ꢋ−√ꢋ
ꢉ. Vậy góc phần tư thứ I
4
Mode 2 → (√3 + 퐸푁퐺√3)/(√3 + 퐸푁퐺) =
+
ꢋ
ꢋ
ꢅ−푖
ꢅꢂ푖
Ví dụ 2: Giả sử ꢌ ꢎ ꢄ ꢌ ꢎ = ꢀ + ꢉꢆ. Tìm giá trị (x ;y)
ꢅ−푖
ꢅꢂ푖
ꢋ
ꢋ
ꢅꢂ푖
ꢅ−푖
Nhập vào biểu thức: ꢌ ꢎ ꢄ ꢌ ꢎ . Nhấn = . Ta được -2i. Vậy x = 0; y = 2
ꢅ−푖
ꢅꢂ푖
7
−꣬
Ví dụ 3: Nếu 푓(푧) = ꢅ−꣬ꢖ, với z = 1 + 2i thì |f(z)| là : |z|/2 b. |z| c. 2|z|d. Tất cả đều sai
7
−(ꢅꢂꢊ꣭꣢꣮)
Ta lập kiểm tra tỉ số |f(z)|/|z|: Shift → hyp → ꢅ−(ꢅꢂꢊ꣭꣢꣮)ꢖ → / → shift → hyp → 1+2ENG
Ta có kết quả là ½ Vậy đáp án A.
√
5ꢂꢅꢊ푖ꢂ√5−ꢅꢊ푖
?
Ví dụ 4: Tìm số phức liên hợp của : √5ꢂꢅꢊ푖−√5−ꢅꢊ푖
√
5ꢂꢅꢊ푖ꢂ√5−ꢅꢊ푖
Nhập biểu thức √5ꢂꢅꢊ푖−√5−ꢅꢊ푖 vào máy. Nhấn =. Máy báo ERROR. Sao kỳ vậy
ta. Không sao. Tại máy không hiểu biểu thức: √푎 + 푏ꢉ thôi. Các bạn an tâm. Dạng này
mình xử sau.
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
4
3
2
Dạng 2 : Tìm nghiệm của phương trình bậc 4 : P(x) = Ax + Bx + Cx + Dx + E =
, (A, B, C, D, E R) biết phương trình có 1 nghiệm phức z = a + bi.
Lưu ý : Nếu z = a + bi là nghiệm thì z = a – bi là nghiệm.
0
2
2
2
Khi đó : (x - (a + bi))(x - (a – bi)) = x – 2ax + (a + b ) = 0
2
2
2
Vậy ta thực hiện phép chia P(x) cho x – 2ax + (a + b )
4
3
2
Xét ví dụ : Tìm giá trị của biểu thức 2x + 5x + 7x – x + 41, khi x = ꢄ2 ꢄ ꢉ√3
2
Ta có : (x + (2 + ꢉ√3))(x + (2 ꢄ ꢉ√3)) = x + 4x + 7
4
3
2
2
Lưu ý : Ta sẽ thực hiện phép chia 2x + 5x + 7x – x + 41 cho x + 2x + 7.
Lập sơ đồ sau :
2
0
0
2
5
7
-1
41
0
-
-
4
7
0
4
vị trí màu đỏ luôn cố định là 0 nha.
Bước tiếp theo :
2
0
0
2
5
(-4)x2
0
7
-1
41
0
-
-
4
7
5 – 8 = -3
Bước 3 :
2
0
0
2
5
(-4)x2
0
7
-1
41
0
-
-
4
7
(-4)x(-3)
(-7)x2
5 – 8= -3
7+12–14 = 5
Bước 4:
2
0
0
5
(-4)x2
0
7
-1
41
0
-
-
4
7
(-4)x(-3)
(-7)x2
(-4)x5
(-7)x(-3)
(-7)x5
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
2
5 – 8= -3
7+12–14 = 5 -1-20+21=0
6
4
3
2
2
2
Vậy : 2x + 5x + 7x – x + 41 = (x + 2x + 7)(2x + x – 9) + 6. Có ngay kết quả bằng 6
4
3
2
Ví dụ 2: -2 + i là nghiệm của phương trình: z + 2z – z – 2z + 10 = 0. Tìm các
nghiệm còn lại của phương trình.
2
Có -2 + i là nghiệm thì -2 – i cũng là nghiệm và là 2 nghiệm của ph.trình: z + 4z +5
4
3
2
2
Thực hiện phép chia z + 2z – z – 2z + 10 cho z + 4z +5
1
0
0
1
2
(-4).1
0
-1
(-4).(-2)
(-5).1
2
-2
(-4).2
(-5).(-2)
0
10
0
-
-
4
5
(-5).2
0
-2
2
Rõ ràng mình thực hiện phép chia đúng.Giờ chỉ cần giải phương trình: z – 2z + 2 = 0
Mode 5 2. Ta có thêm 2 nghiệm 1 + i, 1 – i
4
3
2
Ví dụ tự giải : Giải phương trình : z + z + 2z + 4z – 8 = 0 biết nó có 1 nghiệm là 2i.
Đ/S : 1 ; -2 ; 2i ; -2i
Dạng 3 : Tính toán số phức dạng lượng giác, khai căn số phức:
3.1 Chuyển số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác:
-
-
-
-
Chuyển máy tính về chế độ Radian Rad: Shift → Mode → 4
Chuyển máy tính về chế độ tính số phức: Mode → 2.
Nhập số phức dạng đại số. Nhấn =
Nhấn Shift → 2 →3 → =
ꢅꢂ푖
Ví dụ: Tìm dạng lượng giác của số phức: ꢅ−푖√ꢋ
Shift → Mode → 4 → Mode → 2. (1+ENG)/(1-ENG∗ √3) → = Shift → 2 → 3 → =
√
ꢊ
7
√ꢊ
7
7
ꢅꢊ 휋. Vậy dạng lượng giác là: ꢊ ꢌ꣕꣖꣗ ꢌ 휋ꢎ + ꢉ푠ꢉ푛 ꢌ 휋ꢎꢎ
ꢊ
ꢅꢊ
ꢅꢊ
3.2 Khai căn bậc 2 của số phức:
-
-
Lưu số phức dạng đại số vào phím nhớ A.
→ ꣃℎꢉ푓푡 → ℎꢆ → 퐴 → ꣃℎꢉ푓푡 → (ꢄ) → ꣃℎꢉ푓푡 → 2 → 1 → A →)/2→=
√
Ví dụ: Tính √ꢄ꣔ꢁ ꢄ 1ꢨ2ꢉ
80-ENG*192 →Shift →RCL (STO) → (-)
-
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
√
→ ꣃℎꢉ푓푡 → ℎꢆ → 퐴 → ꣃℎꢉ푓푡 → (ꢄ) → → ꣃℎꢉ푓푡 → 2 → 1 → Alph꣯ → A →)/
2
→=
Khi đó: có 2 giá trị ±(8 – 12i)
√
5ꢂꢅꢊ푖ꢂ√5−ꢅꢊ푖
?
Ví dụ: Tìm số phức liên hợp của : √5ꢂꢅꢊ푖−√5−ꢅꢊ푖
-
Gán 5 + 12i cho biến nhớ A; gán 5 – 12i cho biến nhớ B.
-
-
Tính √꣤ + 12ꢉ :
Gán kết quả cho biến nhớ C.
-
-
Tính√꣤ ꢄ 12ꢉ :
Gán kết quả cho biến nhớ D
ꢸ
ꢂ
ꢋ
-
-
Thực hiện phép tính: ꢸ− = ꢄ ꢉ → Shift →2→2→Ans→)
ꢊ
ꢋ
Ta có kết quả cần tìm: ꢊ ꢉ
2
3
.3 Giải phương trình bậc 2, hệ số phức: az + bz + c = 0
2
-
-
Tính = b – 4ac.
Dùng các bước ở 3.2 để tính √∆
−
ꢢ±√∆
ꢊꢣ
-
Thế vào công thức nghiệm: 푧 =
2
Ví dụ: Giải phương trình: z + 8(1 – i)z + 63 – 16i = 0
2
-
-
Tính [8 *(1 – i)*(1 – i)] – 4*(63 – 16i) = - 252 – 64i
Gán kết quả cho phím nhớ A.
-
-
Tính √ꢄ2꣤2 ꢄ ꢱꢮꢉ :
−
8(ꢅ−푖)ꢂ(ꢊ−ꢅ6푖)
ꢊ
−8(ꢅ−푖)−(ꢊ−ꢅ6푖)
ꢊ
Vậy có 2 nghiệm là:
= ꢄ3 ꢄ ꢮꢉ và
= ꢄ꣤ + 12ꢉ
-
-------(còn tiếp)--------
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Cựu SV khóa 24
© 2024 - nslide
Website chạy thử nghiệm. Thư viện tài liệu miễn phí mục đích hỗ trợ học tập nghiên cứu , được thu thập từ các nguồn trên mạng internet ... nếu tài liệu nào vi phạm bản quyền, vi phạm pháp luật sẽ được gỡ bỏ theo yêu cầu, xin cảm ơn độc giả