3
´
hiện toán tử vi phân L của trường tenxơ theo trường véctơ X. W. Slebodzi n´ ski đã
X
chứng minh được công thức toán tử vi phân L của tích hai trường tenxơ và ứng
X
dụng vào việc tìm nghiệm của phương trình Hamilton chính tắc. Với mỗi hàm số
µ
´
H(p, q), p = (p ), q = (q ), µ = 1, 2, ..., n, W. Slebodzi n´ ski định nghĩa trường véctơ
µ
∂
∂
H ∂
∂H ∂
X =
−
H
p ∂qµ ∂q ∂pµ
µ
µ
µ
∂
∂
∂
∂pµ
và đã chứng minh được L A = 0; L B = 0; với A = dq ∧ dp , B =
∧
.
XH
XH
µ
qµ
Năm 1932, D. V. Dantzig đã đặt tên cho toán tử vi phân L là đạo hàm Lie
X
mang tên nhà toán học S. Lie. Sử dụng đạo hàm Lie, Dantzig thu được nhiều kết
quả thú vị, đó là không gian xạ ảnh n−chiều được mô tả bởi n+1 tọa độ cong thuần
nhất mà có thể xem như không gian (n + 1)−chiều với liên thông tuyến tính và ông
đã đưa ra những ứng dụng của đạo hàm Lie vào Vật lý. Kể từ đó, các phép biến dạng
của đường cong, không gian con và không gian các phép biến dạng cũng như nhóm
chuyển động, chuyển động affine, chuyển động xạ ảnh, chuyển động bảo giác đã được
quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học nổi tiếng như: L. Berwald, E. Cartan,
N. Coburn, E. T. Davies, P. Dienes, A. Duschek, L. P. Eisenhart, F. A. Ficken, H.
A. Hayden, V. Hlavatý, E. R. van Kampen, M. S. Knebelman, T. Levi Civita, J.
Levine, W. Mayer, A. J. McConnel, A. D. Michal, H. P. Robertson, S. Sasaki, J. A.
Schouten, J. L. Synge, A. H. Taub, H. C. Wang và nhiều tác giả khác.
Năm 1948, J. A. Schouten và D. J. Struik đã phát triển thêm một số tính chất
về đạo hàm Lie của dạng vi phân và đưa ra một số kỹ thuật tính đạo hàm Lie đối
với dạng vi phân trên đa tạp. Sau đó, năm 1957 K. Yano là người giới thiệu về lý
thuyết đạo hàm Lie và các ứng dụng của đạo hàm Lie. Việc nghiên cứu phép đạo
hàm Lie có nhiều ứng dụng trong việc mô tả các đặc trưng hình học của đa tạp và
đặc biệt là ứng dụng trong lý thuyết hệ động lực, lý thuyết truyền thông, cơ học
lượng tử, động lực học... Năm 1997, J.-H. Kwon và Y. J. Suh đã nghiên cứu một
số tính chất về đạo hàm Lie của tenxơ trên siêu mặt thực kiểu A trong không gian
dạng phức. Năm 2002, B. N. Shapukov đã trình bày một số kết quả về đạo hàm Lie
của trường tenxơ trên đa tạp Fiber. Năm 2008, K. R o¨ benack đã đưa ra thuật toán
cho phép tính đạo hàm Lie bậc cao bằng máy tính.
Năm 2010, các tác giả L. S. Velimirovi ´c , S. M. Min ˘c i ´c , M. S. Stankovi ´c đã nghiên
cứu về đạo hàm Lie của liên thông và đạo hàm Lie của tenxơ cong trên không gian
với liên thông affine không đối xứng. Cùng trong thời gian này, A. Ya. Sultanov đã
xây dựng khái niệm đạo hàm Lie trên đại số và nghiên cứu một số tính chất về đạo
hàm Lie của liên thông trên đại số, đồng thời ứng dụng chúng vào việc khảo sát các
độ cong và độ xoắn trên các đại số kết hợp, giao hoán và có đơn vị.
Năm 2011, trong công trình nghiên cứu của L. Fatibene và M. Francaviglia đã
trình bày một số tính chất về đạo hàm Lie của tenxơ Lorentz và ứng dụng của nó
vào việc khảo sát không gian Minkowski. Năm 2012, trên cơ sở đạo hàm Lie của
dạng vi phân, chúng tôi đã xây dựng đạo hàm Lie của dòng trên đa tạp Riemann và
đưa ra một số ứng dụng trên nhóm Lie compact. Năm 2014, J. D. Pérez đã nghiên
cứu đạo hàm Lie trên siêu mặt thực trong không gian xạ ảnh phức.