- Trang Chủ
- Toán học 11
- Giới hạn(Lý thuyết+Bài tập)
Giới hạn(Lý thuyết+Bài tập)
Giíi h¹n A. KiÕn thøc s¸ch gi¸o khoa I. Giíi h¹n cña d·y sè 1. D·y sè cã giíi h¹n 0 a. §Þnh nghÜa: Ta nãi r»ng d·y sècã giíi h¹n 0, kÝ hiÖu(hay), nÕu víi mäi sè d¬ng nhá bao nhiªu tïy ý cho tríc, mäi sè h¹ng cña d·y sè, kÓ tõ sè h¹ng nµo ®ã trë ®i, ®Òu cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi nhá h¬n sè d¬ng ®ã. b. TÝnh chÊt: c. §Þnh lÝ: Cho hai d·y sè (1) 2. D·y sè cã giíi h¹n h÷u h¹n a. §Þnh nghÜa: Ta nãi r»ng d·y sè cã giíi h¹n lµ sè thùc L, kÝ hiÖu , nÕu b. C¸c ®Þnh lÝ: • Cho (un) mµ un = c, n : • limun = L
Thể loại Giáo án bài giảng Toán học 11
Số trang 1
Ngày tạo 1/17/2013 8:44:15 AM +00:00
Loại tệp doc
Kích thước 1.59 M
Tên tệp gioi hanli thuyet bt mau doc
Giíi h¹n
A. KiÕn thøc s¸ch gi¸o khoa
I. Giíi h¹n cña d·y sè
1. D·y sè cã giíi h¹n 0
a. §Þnh nghÜa: Ta nãi r»ng d·y sè
cã giíi h¹n 0, kÝ hiÖu
(hay
), nÕu víi mäi sè d¬ng nhá bao nhiªu tïy ý cho tríc, mäi sè h¹ng cña d·y sè, kÓ tõ sè h¹ng nµo ®ã trë ®i, ®Òu cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi nhá h¬n sè d¬ng ®ã.
b. TÝnh chÊt: 
c. §Þnh lÝ: Cho hai d·y sè 
(1)
2. D·y sè cã giíi h¹n h÷u h¹n
a. §Þnh nghÜa: Ta nãi r»ng d·y sè 
cã giíi h¹n lµ sè thùc L, kÝ hiÖu 
, nÕu 
b. C¸c ®Þnh lÝ:
• Cho (un) mµ un = c, n : 
• limun = L 
• NÕu 
th×: 
• 
(2)
• D·y (un) t¨ng vµ bÞ chÆn trªn th× cã giíi h¹n;
D·y (vn) gi¶m vµ bÞ chÆn díi th× cã giíi h¹n. (3)
c. Tæng cña mét cÊp sè nh©n lïi v« h¹n
• 
• 
3. D·y sè cã giíi h¹n v« cùc
a. D·y sè cã giíi h¹n 
Ta nãi r»ng d·y (un) cã giíi h¹n +∞, kÝ hiÖu limun = +∞, nÕu víi mçi sè d¬ng tïy ý cho tríc, mäi sè h¹ng cña d·y sè, kÓ tõ sè h¹ng nµo ®ã trë ®i, ®Òu lín h¬n sè d¬ng ®ã.
KÕt qu¶: 
b. D·y sè cã giíi h¹n - ∞
Ta nãi r»ng d·y (un) cã giíi h¹n lµ - ∞, kÝ hiÖu limun = -∞, nÕu víi mäi sè ©m tïy ý cho tríc, mäi sè h¹ng cña d·y sè, kÓ tõ sè h¹ng nµo ®ã trë ®i, ®Òu nhá h¬n sè ©m ®ã.
c. C¸c quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc
• Quy t¾c nh©n
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Quy t¾c chia
|
|
|
|
|
+ |
+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
II. Giíi h¹n cña hµm sè
1. Giíi h¹n h÷u h¹n
a. Giíi h¹n h÷u h¹n
Cho 
vµ f lµ hµm sè x¸c ®Þnh trªn tËp 
. Ta nãi r»ng hµm sè f cã giíi h¹n lµ sè thùc L, kÝ hiÖu 
, khi x dÇn ®Õn 
(hoÆc t¹i ®iÓm 
), nÕu víi mäi d·y sè 
trong tËp 
mµ 
, ta ®Òu cã 
b. Giíi h¹n v« cùc
1
Trần Minh Cảnh Trường THPT Lý Tự Trọng
nÕu mäi d·y 
trong tËp 
mµ 
th× 
2. Giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc
§Þnh nghÜa: Gi¶ sö hµm sè f x¸c ®Þnh trªn kho¶ng 
. Ta nãi r»ng hµm f cã giíi h¹n lµ sè thùc L khi x dÇn ®Õn +∞, kÝ hiÖu 
, nÕu víi mäi d·y sè 
trong kho¶ng 
mµ 
, ta ®Òu cã 
3. C¸c ®Þnh lÝ
a. §Þnh lÝ 1: Gi¶ sö 
vµ 
. Khi ®ã:
|
• |
• |
|
• |
• |
b. §Þnh lÝ 2: Gi¶ sö 
. Khi ®ã:
• 
;
• 
;
• NÕu 
víi mäi 
, trong ®ã J lµ mét kho¶ng nµo ®ã chøa 
th× 
vµ 
.
c. §Þnh lÝ 3: Gi¶ sö J lµ mét kho¶ng chøa 
vµ f, g, h lµ ba hµm sè x¸c ®Þnh trªn tËp hîp 
. Khi ®ã:
4. Giíi h¹n mét bªn
a. §Þnh nghÜa:
• Gi¶ sö hµm f x¸c ®Þnh trªn kho¶ng 
. Ta nãi r»ng hµm f cã giíi h¹n bªn ph¶i lµ sè thùc L khi x dÇn ®Õn x0, kÝ hiÖu: 
, nÕu víi mäi d·y sè 
trong kho¶ng 
mµ 
, ta ®Òu cã 
.
• Gi¶ sö hµm f x¸c ®Þnh trªn kho¶ng 
. Ta nãi r»ng hµm f cã giíi h¹n bªn tr¸i lµ sè thùc L khi x dÇn ®Õn x0, kÝ hiÖu: 
, nÕu víi mäi d·y sè trong kho¶ng 
mµ , ta ®Òu cã .
• C¸c ®Þnh nghÜa 
®îc ph¸t biÓu t¬ng tù nh trªn.
b. §Þnh lÝ:
• 
• 
5. Quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc
|
a. Quy t¾c nh©n |
|
b. Quy t¾c chia |
||||
|
|
|
|
|
|
g(x) cã dÊu |
|
|
|
+ |
|
|
+ |
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. C¸c d¹ng v« ®Þnh
Khi t×m 
khi 
ta gÆp c¸c d¹ng v« ®Þn, kÝ hiÖu 
, lóc ®ã ta kh«ng dïng ®îc c¸c ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n còng nh c¸c quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc. PhÐp biÕn ®æi vÒ c¸c ®Þnh lÝ vµ quy t¾c ®· biÕt gäi lµ phÐp khö c¸c d¹ng v« ®Þnh
B. C¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n
D¹ng 1: T×m giíi h¹n cña d·y sè
Ph¬ng ph¸p gi¶i: Dïng ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt vµ c¸c ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n cña d·y sè.
VÝ dô 1: T×m: 
Gi¶i:
1
Trần Minh Cảnh Trường THPT Lý Tự Trọng
VÝ dô 2: T×m: 
Gi¶i:
VÝ dô 3: T×m: 
Gi¶i:
.
D¹ng 2: Chøng minh 
Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông ®Þnh lÝ:
Cho hai d·y sè (1);
(2)
VÝ dô: Chøng minh: 
Gi¶i:
Ta cã: 
vµ 
nªn 
D¹ng 3: Chøng minh 
tån t¹i
Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông ®Þnh lÝ
D·y (un) t¨ng vµ bÞ chÆn trªn th× cã giíi h¹n;
D·y (vn) gi¶m vµ bÞ chÆn díi th× cã giíi h¹n.
VÝ dô: Chøng minh d·y sè 
cho bëi 
cã giíi h¹n.
Gi¶i:
Ta cã 
Do ®ã d·y 
gi¶m.
Ngoµi ra, 
nªu d·y 
bÞ chÆn díi. VËy d·y 
cã giíi h¹n.
D¹ng 4: TÝnh tæng cña cÊp sè nh©n lïi v« h¹n
Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông c«ng thøc: 
VÝ dô: TÝnh tæng 
Gi¶i:
§©y lµ tæng cña mét cÊp sè nh©n lïi v« h¹n, víi 
vµ 
. VËy: 
D¹ng 5: T×m giíi h¹n v« cùc
Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc
VÝ dô: T×m: 
Gi¶i:
C¸ch 1:
Ta cã: 
L¹i cã 
vµ 
nªn suy ra:
1
Trần Minh Cảnh Trường THPT Lý Tự Trọng
C¸ch 2:
Ta cã: 
L¹i cã 
D¹ng 6: T×m giíi h¹n cña hµm sè
Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông c¸c ®Þnh lÝ vµ quy t¾c
VÝ dô 1: TÝnh: 
.
Gi¶i:
XÐt d·y 
mµ 
vµ 
. Ta cã: 
V× 
Do ®ã 
.
VÝ dô 2: TÝnh: 
Gi¶i:
Ta cã: 
VÝ dô 3: TÝnh: 
Gi¶i:
Ta cã: 
(Chó ý: khi 
lµ ta xÐt x < 0, nªn 
)
D¹ng 7: Chøng minh 
(HoÆc b»ng L)
Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông ®Þnh lÝ giíi h¹n kÑp
Gi¶ sö J lµ mét kho¶ng chøa vµ f, g, h lµ ba hµm sè x¸c ®Þnh trªn tËp hîp . Khi ®ã:
VÝ dô: Chøng minh: 
Gi¶i:
Ta lu«n cã: 
.
D¹ng 8: T×m giíi h¹n mét bªn
Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông ®Þnh nghÜa giíi h¹n mét bªn
VÝ dô 1: Cho hµm sè 
. T×m 
Gi¶i:
1
Trần Minh Cảnh Trường THPT Lý Tự Trọng
Ta cã: 
(1)
(2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra 
VÝ dô 2: Cho hµm sè 
-
T×m
-
T×m
Gi¶i:
a. 
b. 
Ta cã: 
suy ra kh«ng tån t¹i 
(Chó ý: 
tån t¹i khi vµ chØ khi 
th× 
)
D¹ng 9: T×m giíi h¹n v« cùc
Ph¬ng ph¸p: Sö dông quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc
VÝ dô: TÝnh 
Gi¶i:
V× 
vµ 
D¹ng 10: Khö d¹ng v« ®Þnh
Ph¬ng ph¸p gi¶i
1. Khi t×m giíi h¹n d¹ng
, víi 
:
• Víi P(x), Q(x) lµ nh÷ng ®a thøc nguyªn theo x th× ta chia c¶ tö P(x) vµ mÉu Q(x) cho 
• NÕu P(x), Q(x) chøa dÊu c¨n thøc theo x th× ta nh©n c¶ tö P(x) vµ mÉu Q(x) cho lîng liªn hiÖp.
VÝ dô 1: T×m: 
Gi¶i:
VÝ dô 2: T×m: 
Gi¶i:
VÝ dô 3: T×m: 
Gi¶i:
VÝ dô 4: T×m: 
1
Trần Minh Cảnh Trường THPT Lý Tự Trọng
Gi¶i:
VÝ dô 5: T×m: 
Gi¶i:
VÝ dô 6: T×m: 
Gi¶i:
§Æt 
. Do ®ã:
VÝ dô 7: T×m: 
Gi¶i:
2. Khi t×m giíi h¹n d¹ng 
, ta lu ý:
• §Æt 
(m lµ bËc cao nhÊt) lµm nh©n tö chung ë tö P(x) vµ mÉu Q(x)
• Sö dông kÕt qu¶: 
( víi 
)
VÝ dô 1: T×m: 
Gi¶i:
VÝ dô 2: T×m: 
Gi¶i: 
VÝ dô 3: T×m: 
Gi¶i:
1
Trần Minh Cảnh Trường THPT Lý Tự Trọng
C. Bµi tËp tù luËn
1. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. T×m c¸c giíi h¹n hµm sè sau:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:
|
|
|
|
|
|
|
|
5. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D. Bµi tËp tr¾c nghiÖm
D·y sè cã giíi h¹n 0
1
Trần Minh Cảnh Trường THPT Lý Tự Trọng
1. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n kh¸c 0?
a. 
b. 
c. 
d. 
2. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng 0?
a. 
b. 
c. 
d. 
3. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng 0?
a. 
b. 
c. 
d. 
4. D·y sè nµo sau ®©y kh«ng cã giíi h¹n?
a. 
b. 
c. 
d. 
5. Gäi 
. Khi ®ã L b»ng
a. 
b. 
c. – 1 d. 0
6. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n kh¸c 0?
a. 
b. 
c. 
d. 
D·y sè cã giíi gi¹n h÷u h¹n
7. Cho 
. Khi ®ã un b»ng
a. 
b. 
c. 
d. 
8. Cho 
. Khi ®ã limun b»ng
a. 0 b. 1 c. 
d. 
9. Gäi 
th× L b»ng sè nµo sau ®©y?
a. 0 b. 
c. 3 d. 9
10. Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n 
lµ
a. 1 b. 
c. 
d. 
11. Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n 
lµ
a. 
b. 
c. 
d. 4
12. Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n 
lµ
a. 
b. 
c. 
d. 
13. Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n: 
lµ
a. 
b. 
c. 
d. 2
D·y sè cã giíi h¹n v« cùc
14. KÕt qu¶ 
lµ
a. 
b. – 4 c. – 6 d. 
15. BiÕt 
th× L b»ng
a. 
b. 3 c. 5 d. 
16. 
b»ng
a. 
b. – 6 c. – 3 d. 
17. 
b»ng
1
Trần Minh Cảnh Trường THPT Lý Tự Trọng
a. 
b. 
c. – 1 d. 0
18. 
b»ng
a. 
b. 
c. 0 d. 
19. 
b»ng
a. 0 b. 
c. 
d. 
20. 
bằng
a. 0 b. 
c. 
d. 
21. 
b»ng
a. 
b. 0 c. 
d. 
22. 
b»ng
a. 
b. 
c. 0 d. 
23. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ
?
a. 
b. 
c. 
d. 
24. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ - ∞?
a. 
b. 
c. 
d. 
25. 
b»ng
a. 0 b. 1 c. 2 d. 
26. KÕt qu¶ 
lµ
a. +∞ b. 10 c. 10 d. 0
27. KÕt qu¶ 
lµ
a. 0 b. 1 c. 
d. 
28. NÕu 
th× 
b»ng
a. L + 9 b. L + 3 c. 
d. 
29. NÕu 
th× 
b»ng bao nhiªu?
a. 
b. 
c. 
d. 
30. 
b»ng
a. 
b. 
c. 1 d. 
31. 
b»ng bao nhiªu?
a. 
b. 10000 c. 5000 d. 1
32. 
b»ng bao nhiªu?
a. 0 b. 
c. 
d. 
33. 
b»ng
1
Trần Minh Cảnh Trường THPT Lý Tự Trọng
a. 
b. 
c. 
d. 0
34. 
b»ng bao nhiªu?
a. +∞ b. 4 c. 2 d. – 1
35. 
b»ng sè nµo sau ®©y?
a. 
b. 
c. 0 d. 1
36. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng 0?
a. 
b. 
c. 
d. 
37. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ +∞?
a. 
b. 
c. 
d. 
38. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n +∞?
a. 
b. 
c. 
d. 
39. Trong c¸c giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo b»ng – 1?
a. 
b. 
c. 
d. 
40. Trong c¸c giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo b»ng 0?
a. 
b. 
c. 
d. 
41. Trong c¸c giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo lµ 
?
a. 
b. 
c. 
d.
42. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng 
?
a. 
b. 
c. 
d. 
43. NÕu 
th× L b»ng
a. 
b. 
c. 
d. 0
44. Gäi 
. Khi ®ã L b»ng
a. 
b. 6 c. 3 d. 2
45. 
b»ng
a. 1 b. 
c. 2 d. 
46. 
b»ng
a. 
b. 
c. 9 d. 3
47. 
cã kÕt qu¶ lµ
a. 1 b. 2 c. 4 d. 
50. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n 
?
a. 
b. 
c. 
d. 
Giíi h¹n cña hµm sè
51. 
b»ng
a. 5 b. 7 c. 9 d. 
52. 
b»ng
1
Trần Minh Cảnh Trường THPT Lý Tự Trọng
a. 
b. 5 c. 9 d. 10
53. 
b»ng
a. 
b. 1 c. 2 d. 
54. 
b»ng
a. 5 b. 1 c. 
d. 
55. 
b»ng
a. 
b. 
c. 
d. 
56. 
b»ng
a. 
b. 
c. 
d. 
57. 
b»ng
a. 
b. 
c. 
d. 
58. 
b»ng
a. 
b. 
c. 
d. 
59. 
b»ng
a. 
b. 
c. 
d. 
60. 
b»ng
a. 5 b. 3 c. 1 d. 
61. 
b»ng
a. 0 b. 1 c. 
d. 
62. 
b»ng
a. 
b. 
c. 1 d. 2
63. 
b»ng
a. 0 b. 
c. d. 
64. 
b»ng
a. 
b. c. 
d. 
65. 
b»ng
a. 
b. c. 
d. 0
66. 
b»ng
a. 0 b. 
c. 
d. 
67. 
b»ng
1
Trần Minh Cảnh Trường THPT Lý Tự Trọng
© 2024 - nslide
Website chạy thử nghiệm. Thư viện tài liệu miễn phí mục đích hỗ trợ học tập nghiên cứu , được thu thập từ các nguồn trên mạng internet ... nếu tài liệu nào vi phạm bản quyền, vi phạm pháp luật sẽ được gỡ bỏ theo yêu cầu, xin cảm ơn độc giả