Chương
1/ Mặt nón tròn xoay
Trong mặt phẳng, cho 2 đường thẳng ,cắt nhau tạivà chúng tạo thành góc với . Khi quayxung quanh trụcvới góckhông thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh(hình 1).
Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.
Đường thẳnggọi là trục, đường thẳngđược gọi là đường sinh và gócgọi là góc ở đỉnh.
2/ Hình nón tròn xoay
Chovuông tạiquay quanh cạnh góc vuôngthì đường gấp khúctạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay(gọi tắt là hình nón) (hình 2).
Đường thẳnggọi là trục, là đỉnh, gọi là đường cao vàgọi là đường sinh của hình nón.
Hình tròn tâm, bán kínhlà đáy của hình nón.
3/ Công thức diện tích và thể tích của hình nón
Cho hình nón có chiều cao là , bán kính đáyvà đường sinh là thì có:
Diện tích xung quanh:
Diện tích đáy (hình tròn):
Thể tích khối nón: .
4/ Tính chất:
Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinhThiết diện là tam giác cân.
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.
Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nóngiao tuyến là một đường tròn.
Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nóngiao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.
Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nóngiao tuyến là 1 đường parabol.
5/ Một số thí dụ
Bài giải tham khảo
Gọilà đỉnh của hình nón. Mặt phẳngđi qua đỉnhcắt khối nón theo
hai đường sinh bằng nhau nên ta có thiết diện là tam giác cân.
Gọilà trung điểm của đoạn. Từ tâm, ta kẻtại.
Ta có: .
a/ Tính diện tích xung quanh hình nón đã cho.
* Ta có:
(Pitago trong tam giác vuông SAO)
* Diện tích xung quanh của hình nón:
.
b/ Thể tích của khối nón: .
c/ Tính diện tích của thiết diện
* Diện tích thiết diện: .
* Xét tam giác vuông, ta có: .
* Mặt khác, xét tam giác vuôngthì: .
* Trong tam giác vuông.
* Thayvào.
Bài giải tham khảo
* Khối nón có chiều cao bằngvà bán kính đáy.
* Diện tích xung quanh khối nón:
.
* Thể tích của khối nón:
.
Bài giải tham khảo
Do thiết diện đi qua trục là tam giác vuông cân (vuông cân tại đỉnh) có cạnh huyền bằngnênlà nửa hình vuông với đường chéo hình vuông là.
đường sinh hình nón: , đường cao hình nón làvà bán kính đáy: .
a/ Tính diện tích xung quanh hình nón.
Diện tích toàn phần:
Thể tích khối nón tương ứng:
b/ Tính diện tích thiết diện
Gọilà trung điểm củavà kẻtại. Đặt mặt phẳng chứa đáy hình nón là
Ta có: .
Trong tam giác vuông(vuông tại O), ta có: .
Trong tam giác vuông(vuông tại I), ta có: .
Do đó, diện tích thiết diện cần tìm là: .
Bài giải tham khảo
a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón:
* Dolà hình chiếu củalên mặt phẳng đáy, nên góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là.
* Trong tam giác vuông:
* Thayvào.
Diện tích toàn phần của hình nón:
.
Thể tích của khối nón tròn xoay:
.
b/ Tính diện tích của thiết diện
Thiết diện quavà vuông góc với trục của hình nón là một hình tròn có bán kính lànhư hình vẽ. Gọi diện tích của hình tròn này là.
Do .
Bài giải tham khảo
a/ Diện tích xung quanh của hình nón
Trong tam giác vuông:
.
Thể tích khối
nguon VI OLET
