Hình Phẳng (Thầy : Nguyễn Đình Sỹ)

PHÂN LOẠI BÀI TOÁN : ĐƯỜNG -ĐIỂM TRONG MẶT PHẲNG

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đối tượng đã ngiên cứu là : Điểm - tam giác , hình bình hành - hình vuông , hình chữ nhật , hình thoi , hình thang và hình tròn .

Với đề thi đại học gần đây , Bộ ra đề tương đối tổng hợp . Các em cần phải nắm vững những kiến thức về các hình nói trên thì mới giải ngắn gọn được .

Trong bài giảng này , tôi hệ thống theo các dạng : Tam giác - Hình vuông - Hình thoi - Hình chữ nhật . Mỗi một dạng tôi trình bày một số bài để các em tham khảo , một số bài hướng dẫn trên lớp và một số bài tập tương tự để các em tự luyện .

I. VỀ TAM GIÁC

A. VỀ KIẾN THỨC

1. Về véc tơ :

- Cần phải biết được khái niệm hai véc tơ bằng nhau : Tọa độ tương ứng bằng nhau

- Cách viết tọa độ của một véc tơ : Tọa độ ngọn trừ cho tạo độ gốc

- Hai véc tơ song song nhau : tỷ số hai tọa độ bằng nhau

2. Về diện tích :

Chủ yếu sử dụng hai công thức chính :

 

3. Tính chất trọng tâm :

Trọng tâm của tam giác chia các đường trung tuyến thành ba phần , cách đỉnh hai phần và cách đáy 1 phần .

4. Các khái niệm .

Trực tâm - là giao ba đường cao . Trọng tâm - Giao ba đường trung tuyến . Tâm đường tròn ngoại tiếp - giao ba đường trung trực . Tâm đường tròn nội tiếp - Giao ba đường phan giác

5. Tính chất đường phân giác :

Chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy

6. Thuộc công thức tính khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng d:

ax+by+c=0 .

7. Công thức tính cos của góc giữa hai đường thẳng có :

B.MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO

Gợi ý

+/ Nhận xét : hai đường thẳng này cắt nhau tại A(-2;-6) Gọi I là tâm đường tròn đi qua M,N có bán kính R . H là trung điểm MN

+/ Nếu N thuộc d suy ra : . Do đó M thuộc

+/ Đường thẳng (ON) cắt tại M thì O,M,N thẳng hàng :

. Hay :

(1)

+/ Theo giả thiết :

Vậy có hai điểm N : và .

Gợi ý .

+/ Nhận xét : B và D có tung độ bằng 1 suy ra (BC) nằm trên đường thẳng y=1 suy ra BD=. Do E và F thuộc đường thẳng y=a suy ra tọa độ chúng có dạng : E(a;3) và F(b;3) . Theo tính chất tiếp tuyến từ một điểm nằm ngoài đường tròn kẻ đến đường tròn ta có :

BD=BE

. Ta có đường thẳng d qua D(3;1) và A vuông góc với (BC) nên có dạng : x=3 H là trung điểm EF có tạo độ H(3;3) suy ra :  .

Ta lại có Đường thẳng qua A và vuông góc với BC tại D (3;1) : x = 3

Do đó ta tọa độ A :

 

 

 

Gợi ý

Gọi M là trung điểm của AC và E là điểm đối xứng với B qua phân giác (AD). Với G là trọng tâm (1)

+/ Ta có : M(x;y) suy ra (1) ta có hệ :

+/ Gọi E(x;y) ( I là trung điểm của BE ). Với .  Nếu E đối xứng với B qua (AD): x-y-1=0 thì :

+/ (AC) qua E(2;-5) có véc tơ chỉ phương

+/ (AC) cắt d tại A :

+/ C đối xứng với A qua M cho nên C :

Gợi ý

Ta thấy . Do đó ta thấy . (T) tiếp xúc với tại A và tam giác ABC vuông tại B suy ra AC là đường kính , do vậy AC tại A .

Từ kết quả trên suy ra . Xét tam giác vuông OAB : và tam giác vuông OAC : .

Từ giả thiết :

Hay : (1)

Do A thuộc . Từ (1):

. Vì A có hoành độ dương suy ra

Và . Đường thẳng qua A vuông góc với (AC):

(AC) cắt tại C :

Tọa độ tâm I của (T) có tạo độ : và bán kính IA= Do đó (T) có phương trình là :

Gợi ý

+/ Đường thẳng (AD) qua A(6;6) và vuông góc với d suy ra H là giao của (AD) với d :

 

( Vì H là trung điểm của AD).

Đường thẳng (BC) qua D(-2;-2) và song song với d : . Điểm B thuộc (BC) suy ra và điểm C(-4-t;t). Ta có : .

Vì E nằm trên đường cao kẻ từ C cho nên

.

Gợi ý

* Cách 1.

Từ tọa độ A(3;-7) và H(3;-1) suy ra A,H nằm trên đường thẳng : x=3 và . Đường thẳng (BC) vuông góc với (AH) nên (BC): y=3 , do đó nếu gọi M là trung điểm của BC thì thì IM//AH suy ra M nằm trên đường thẳng x=-2 . Vậy M(-2;3) . Gọi C=( m;3 ) do C có hoành độ dương cho nên : m>0 .

B đối xứng với C qua M cho nên B=( -4-m;3). Ta có :

(BH) là đường cao

* Cách 2.

+/ Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính IA :

Với

+/ Phương trình (AH) : x=3 và suy ra (BC) có dạng y=a ( ) ví (BC) không qua A . Do đó B,C thỏa mãn phương trình : (1).

Do vậu (1) có hai nghiệm khi

Do C có hoành độ dương cho nên (1) :

+/ Do

. Do đó a=3 . Vậy

Gọi ý

+/Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d thì H(a;b)

+/ Ta có : (1)

+ Nhứng H nằm trên đường tròn (C) có đường kính OA , có tâm I (0;1) là trung điểm của OA và bán kính bằng =1. cho nên (C) có phương trình : từ đó suy ra :

(2). Với HK= và từ (1) và (2) ta có hệ :

. Vậy có hai đường thẳng d:

hoặc :

Chú ý : Ta còn có cách giải khác

+/ Xét tam giác vuông OAH ta có :

  (1)

( do AH=HK )

+/ Xét tam giác vuông AEH : (2)

+/ Từ (1) và (2)

Từ

* Với : thay vào

Suy ra :

* Với : thay vào  (vô nghiệm )

+/ Ta cũng có kết quả trên

Gợi ý

 

+/ Gọi C' là điểm đối xớng của C qua phân giác d thì C' phải nằm trên AB và tam giác AC'C vuông cân tại A . .Gọi d' là đường thẳng qua C(-4;1) và vuông góc với d : d' .

D' cắt d tại H thì tọa độ H là nghiệm của hệ :

C' đói xứng với C qua H suy ra C'=(4;9). Vì A nằm trên d suy ra A(t;5-t ). Do hoành đọ A dương cho nên t>0. . Ta có :

Xét tam giác vuông cân AHC : ( vì t>0)

Với t=4 suy ra A(4;1). .

Đường thẳng (BC') qua A(4;1) có .

B thuộc (AC') suy ra B(4;1+t) . Và

+/ Từ giả thiết :

Do cùng hướng suy ra : với B(4;-5) thì . Hai véc tơ ngược hướng cho nên B(4;-5) loại . Vậy B(4;7) và phương trình (BC) qua B(4;7) có véc tơ chỉ phương

Chú ý . Bài này còn có cách giải khác

+/ Tìm C' đối xứng với C qua d x+y-5=0 suy ra C'(x;y) thỏa mãn :

 . A thuộc đường tròn đường kính CC' nên tọa độ A(x;y) thỏa mãn : . Với x>0 suy ra A(4;1)

+/ B thuộc đường thẳng (AC') : x=4 suy ra tọa độ B(4;m) thỏa mãn :

Như phần trên kiểm tra chọn B(4;7) . Việc lập (BC) như trên .

Gợi ý

+/ Gọi d' là đường thẳng qua A(-1;4) và vuông góc với d thì d' có phương trình : . Đường thẳng d' cắt d tại H ( là trung điểm của BC- do tam giác ABC cân ) thì tọa độ của nó là nghiệm

+/ Khoảng cách từ A đến BC d(A;BC)=d(A;d)=

+/ B,C thuộc d suy ra : B=(t;t-4 ) và C(7-t;3-t) .(1)

Theo giả thiết thì : (2)

Từ (1) và (2) :

+/ Với

+/ Với

Gợi ý

+/ Tọa đọ A thỏa mãn :

+/ Vì M là trung điểm AB suy ra B=(3;-2)

+/ Đường thẳng BC qua B(3;-2) vuông góc với đường cao AH :

+/ (BC) cắt đường trung tuyến (AN) tại N thỏa mãn hệ :

. Vì C đối xứng với B qua N suy ra C=(-3;-1)

Vậy (AC) qua A(1;2) có

 

HƯỚNG DẪN TRÊN LỚP

Bài 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình là và hai điểm phân biệt và B không thuộc đường thẳng d . Lập phương trình đường thẳng AB . Biết rằng khoảng cách từ điểm B đến giao điểm của đường thẳng AB với đường thẳng d bằng hai lần khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d

Bài 12.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy viết phương trình các cạnh tam giác ABC biết trực tâm H(1;0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B là K(0;-2) và trung điểm cạnh AB là M(3;1)

Bài 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng 2 . Đường thẳng AB có phương trình x-y=0 . Điểm I(2;1) là trung điểm của cạnh BC . Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AC

Bài 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABCvuông cân tại A . Biết cạnh huyền nằm trên đường thẳng d: x+7y-31=0 , điểm thuộc đường thẳng AC , điểm M(2;-3) thuộc đường thẳng AB . Xác định tọa dộ các đỉnh tam giác

 

Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đường cao AH , đường trung tuyến CM và đường phân giác trong BD . Biết H(-4;1), M và (BD) : x+y-5=0 . Tìm tọa độ đỉnh A

Bài 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân đỉnh A , đỉnh B thuộc đường thẳng d: x-4y-2=0 . Cạnh AC song song với đường thẳng d . Đường cao kẻ từ A có phương trình : x+y+3=0 . Điểm M(1;1) nằm trên cạnh AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

 

Bài 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có chu vi bằng 16 . đỉnh A và B thuộc đường thẳng d có phương trình . B và C thuộc Ox . Xác định tọa độ trọng tâm tam giác ABC

Bài 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng 2 . Đường thẳng AB có phương trình x-y=0 . Điểm I(2;1) là trung điểm của cạnh BC . Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AC

Bài 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(1;-3) và đường thẳng (BC) có phương trình : x-2y-2=0 . Tìm tọa độ B,C biết tam giác ABC vuông cân tại B

Bài 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(5;-3), trọng tâm G(3;1) .Đỉnh B thuộc đường thẳng d có phương trình : 2x+y-4=0 . Tìm tọa độ các dỉnh B,C biết BC bằng và B có tọa độ nguyên

Bài 21*. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: 2x+y-1=0 , phương trình AC: 3x+4y+6=0 và điểm M(1;-3) nằm trên đường thẳng BC  thỏa mãn 3MB=2MC . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

Bài 22*. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có , đường cao BH: 3x+y+10=0 , trung điểm cạnh BC là và trực tâm tam giác H(0;-10) . Biết tạo độ điểm B âm . Xác định tọa độ các đỉnh A,B,C và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 23 * . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H, phương trình cạnh BC : x-y+4=0 , trung điểm cạnh AC là M(0;3) , đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm N(7;-1). Xác định tọa độ các đỉnh A,B,C và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC

Bài 24* . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(4;3). Các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác ABC có tâm lần lượt là I(1;2) và

a/ Lập phương trình đường thẳng BC

b/ Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC .

  .

 

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(3;4) ;B(1;2), đỉnh C thuộc đường thẳng d có phương trình : x+2y+1=0 , có trọng tâm G . Biết diện tích tam giác GAB bằng 3 , tìm tọa độ đỉnh C

Bài 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(1;-2), đường cao CH , phân giác trong BK lần lượt có phương trình x-y+1=0; và 2x+y+5=0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng BC sao cho tam giác AMB cân tại M

Bài 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có cạnh AC đi qua M(0;-1) . Biết AB=2AM , đường phân giác trong AD có phương trình : x-y=0 và đường cao CH có phương trình là 2x+y+3=0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Bài 24*. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng

Giả sử tại I . Viết phương trình đường thẳng đi qua M(-1;1) cắt tại A và B sao cho AB=3IA

Bài 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có ; C(-1;-1) . Cạnh AB có phương trình là : x-2y-3=0 , trọng tâm G thuộc đường thẳng d : x+y-2=0 . Tìm tọa độ các đỉnh A,B của tam giác ABC.

Bài 26. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;5),B(5;1) . Viết phương trình đường thẳng d qua A sao cho khoảng cách từ B đến d bằng 3.

Bài 27 Trong (Oxy) cho A(2;5) và đường thẳng d : 2x+3y+4=0. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d' qua A và tạo với d một góc bằng .

Bài 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1;2) và đường thẳng d: x-2y+3=0 . Tìm trên đường thẳng d hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại C và AC=3BC .

 

II. VỀ HÌNH CHỮ NHẬT

 

A. KIẾN THỨC

1. Trong hình chữ nhật : Hai cạnh liên tiếp vuông góc nhau

2. Hai đường chéo cắt nhau tại điểm giữa mỗi đường

3.  Hai cạch đối diện nhau bằng nhau

3. Theo tính chất hai đường thẳng // bị cắt bởi một cát tuyến :

- Các góc so le bằng nhau

- Các góc cùng phía bằng nhau

B. CÁC BÀI TẬP THAM KHẢO

Gợi ý

+/ AC cắt AD tại A có tọa độ :

+/ Đường thẳng d'  qua M song song với AD : x-y+m=0 ;

+/ d' cắt AC tại N

+/ Gọi E là trung điểm MN . Đường thẳng qua E vuông góc với AD cắt AC tại I là tâm hình chữ nhật . Do đó . Suy ra tọa độ I ;K là nghiệm của hệ : . Và

Do tính chất đối xứng ta có tọa độ các đỉnh : .

 

 

Gợi ý

+/ E thuộc d suy ra E(t;5-t) . Gọi F là điểm đối xứng với E qua I thì F thuộc AB và F(12-t;t-1 ).

Khi đó :

Theo tính chất hình chữ nhật :

Vậy  (AB) qua M(1;5) có là chỉ phương :

Bài 3 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + 1 = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật

Giải

- Dễ nhận thấy B là giao của BD với AB cho nên tọa dộ B là nghiệm của hệ :

- Đường thẳng (BC) qua B(7;3) và vuông góc với (AB) cho nên có véc tơ chỉ phương:

 .

+/ Mặt khác :

+/ Do đó : :

 

+/  (AC) cắt (BC) tại C

+/ Hoặc : (AC) cắt (BC) tại C

- (AC) cắt (AB) tại A :

+/ Hoặc :

+/ Tìm tọa độ của I : AC cắt BD , sau đó tìm D đối xứng với B qua I

* Chú ý : Ta còn cách giải khác

+/ Theo tính chất hình chữ nhật : suy ra : gọi véc tơ pháp tuyến của (AC) là :

; véc tơ pháp tuyến của AB là và véc tơ pháp tuyến của (BD) là thì ta có :

+/ Từ đó ta lập được AC qua M(2;1) và có :

+/ Các bước giải lại như phần sau của cách giải trên .

 

HƯỚNG DẪN TRÊN LỚP

 

Bài 4 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình hai đường Chéo (AC): 7x +y -4 = 0, phương trình đường thẳng (BD): x – y + 2 = 0, Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh hình chữ nhật , biết đường thẳng đó đi qua điểm M(-3;5).

Bài 5 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, có diện tích bằng 12, tâm I  là giao điểm của đường thẳng và  . Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox. Tìm toạ độ  các đỉnh của hình chữ nhật

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho hình chữ nhật ABCD ,cạnh (AB) có phương trình : x-y+1=0 , tọa độ tâm I(1;1) . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật , biết AB=3BC và A có hoành độ âm

 

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12 , giao điểm hai đường chéo là I(), trung điểm cạnh BC là M(3;0) và hoành độ điểm B lớn hơn hoành độ điểm C. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật

Bài 8. Viết phương trình cạnh AB của hình chữ nhật ABCD biết cạnh AB ,BC,CD và DA lần lượt đi qua các điểm M(4;5) ,N(6;5);P(5;2) và Q(2;1) với diện tích hình chữ nhật bằng 16 .

Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1;1). Các đường thẳng chứa các cạnh AB , AD lần lượt đi qua các điểm M(-2;2) và N(2;3) . Xác định tọa độ các điểm A,B,C,D , biết 3AB=2AD và điểm A có hoành độ âm

 

III. VỀ HÌNH VUÔNG

A. KIẾN THỨC

1. Các cạnh đôi một vuông góc nhau và bằng nhau

2. Hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau

3. Bốn tam giác vuông cân : AIB,BIC,CID và AID bằng nhau ..

4. Nếu cạnh hình vuông bằng a thì hai đường chéo có đọ dài là

5. Hình vuông nội tiếp trong đường tròn có tâm I bán kính R=

A. CÁC BÀI TẬP THAM KHẢO

Bài 1. (KA-2012). Trong mặt phẳng tạo độ Oxy cho hình vuông ABCD .Gọi M là trung điểm cạnh CD, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN=2ND .Giả sử và đường thẳng AN có phương trình 2x-y-3=0 . Tìm tọa độ đỉnh A

Gợi ý

Gọi giao của AN với BD là P .Kẻ qua P đường thẳng song song với AB cắt AD tại E cà cắt BC tại K . Đặt EP=x ta thấy tam giác EPD là tam giác vuông cân tại E :

vì suy ra AE=PK=3x . Mặt khác ta lại có KC=x cho nên MQ=x , cho nên tam giác AEP=PKM suy ra AP PM (1).và AP=PM . Vậy :

.

Vì A thuộc (AN) suy ra A(t;2t-3).

Chú ý :

Phần chứng minh AP PM còn có cách khác .

+/ Gọi cạnh hình vuông là x . Hai tam giác PDN đồng dạng với PAB suy ra

+/ Xét tam giác vuông ADN

Nhưng : (1)

+/ Xét tam giác PBM với , ta áp dụng hệ thức hàm số cos :

(*)

Với PB=3PD=3.ED

(2)

+/ Xét tam giác CMN : (3)

Từ (1) ,(2),(3) ta có AP=PM và . Tam giác PMN vuông tại P hay .

Như phần trên

Bài 2 . Một hình vuông có đỉnh A(– 4;5) và một đường chéo có phương trình  7x – y + 8 = 0.Hãy lập phương trình đường chéo còn lại và các cạnh của hình vuông ấy

Gợi ý

+/ Nhận xét : PA/d=-28-5+8=31 . Chứng tỏ d không qua A , do đó d là đường chéo BD

+/ Giả sử AB qua A(-4;5) :

+/ Theo tính chất hình vuông :

+/ Vậy

+/ AB cắt BD tại B thỏa mãn : ....

+/ D thuộc BD suy ra D(a;7a-8) . Từ , suy ra tọa độ D

+/ Đường thẳng AC qua A(-4;5) và vuông góc với BD suy ra AC: x+7y-31=0

+/ AC cắt BD tại I thỏa mãn : . Từ đó suy ra tọa độ C

HƯỚNG DẪN TRÊN LỚP

Bài 3 Viết phương trình các cạnh hình vuông ABCD biết AB,CD,lần lượt đi qua các điểm P(2;1) và Q(3;5), còn BC và AD qua các điểm R(0;1) và S(-3;-1)

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết các đỉnh B,C thuộc đường tròn (C), hai đỉnh A,D thuộc trục Ox  và đỉnh B có tung độ dương

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có tâm I. Các đường thẳng AB và CD lần lượt đi qua các điểm M(-4;-1);N(-2;-4). Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông đó , biết B có hoành độ âm .

Bài 6. Trong mawtjphawngr toa độ Oxy cho hai điểm A(2;1),B(-1;-3) và hai đường thẳng . Tìm tọa độ các điểm C,D lần lượt thuộc sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành .

IV. VỀ HÌNH THOI

A. KIẾN THỨC

1. Có hai cặp cạnh tương ứng song song và bằng nhau

2. Hai đường chéo cắt nhau tại điểm giữa mỗi đường và chúng vuông góc với nhau

3. Hai đường chéo là hai trục đối xứng của hình thoi

4. Các tam giác cân bằng nhau : ABD=CBD và ABC=ADC .

5. Diện tích hình thoi bằng tích hai đường chéo : S=AC.BD

B. CÁC BÀI TẬP THAM KHẢO

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có tâm I(1;1) , điểm M(2;3) thuộc đường thẳng chứa cạnh AB  và N(4;-1) thuộc cạnh CD . Biết độ dài AC=2BD . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi

Gợi ý

+/ Gọi E đối xứng với N qua I thì E thuộc AB và E(-2;3) ,do đó AB có véc tơ . Tương tự F đối xứng với M qua I thì F thuộc CD và F(0;-1) , CD song song với véc tơ

+/ Từ AC=2BD suy ra IA=2IB . Xét tam giác vuông AIB có :

Hay : (*). Từ , gọi AC có thì do (*)

+/ Nếu b=-2a thì véc tơ chỉ phương của BD là

và đường thẳng (AC): 1(x-1)-2(y-1)=0 hay : x-2y+1=0.

+/ Đường thẳng (AB) qua M(2;3) có và đường thẳng (CD) qua N(4;-1) có

+/ Đường thẳng (BD) cắt (AB) tại B thỏa mãn : 1-2t=3 suy ra t=-1 và B=(0;3 ). Đồng thời cắt (AC) tại A thỏa mãn : 2+t-2(3)+1=0 suy ra t=3 và A(5;3 )

+/ Đường thẳng (CD) cắt (BD) tại D thỏa mãn 1-2t=-1 suy ra t=1 và D(2;-1) . Đồng thời (CD) cắt (AC) tại C thỏa mãn : 4+t-2(-1)+1=0 suy ra t=-7 và C(-3;-1)

+/ Vậy hình thoi ABCD có : A(5;3),B(0;3),C(-3;-1) và D(2;-1)

 

Gợi ý

Cách 1.

+/ B thuộc và D thuộc

+/ Do BD vuông góc AC suy ra:

  (1)

+/ Khi đó trung điểm I của BD :

+/ I thuộc d :

+/ Vậy ta có hệ :

+/ Từ đó suy ra :

+/ Gọi C thuộc AC

+/ Từ giả thiết :

.  Mặt khác A dối xứng với B qua I cho nên ta tìm được tọa độ A . Với C(-11;6 ) và ( loại vì A có hoành độ âm ).

Với C(10;3 ) thì ( chọn )

+/ Vậy các đỉnh hình thoi thỏa mãn là A(-11;3),B(0;8),C(10;3) và D(-1;1)

* Chú ý : Ta còn cách giải khác

+/ Đường thẳng BD vuông góc với AC có dạng :

7x-y+m=0 ( với m là tham số )

+/ BD cắt tại B thỏa mãn : , suy ra tọa độ B. Tương tự BD cắt tại D thỏa mãn :

+/ Trung điểm I : ; sau đó thay tọa độ I vào phương trình của AC ta được phương trình có chứa ẩn m . Giải phương trình này ta tìm đựơc m=8

+/ Từ đó ta tìm được B,D . Các bước tiếp theo như phần sau của cách trên .

 

BÀI TẬP HƯỚNG DẪN TRÊN LỚP

 

Bài 3 . Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng

Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD, biết hình thoi ABCD có diện tích bằng 15, các đỉnh A,C thuộc, B thuộc và D thuộc .

Bài 4.(KB-2012PB).

Trong mặt phẳng Oxy cho hình thoi ABCD có AC=2BD và đường tròn tiếp xúc với các

cạnh hình thoi có phương trình . Viết phương trình chính tắc (E) đi qua các đỉnh A,B,C,D của  hình thoi . Biết A thuộc Ox

 

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

 

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có A(1;-2),B(-3;3) và giao điểm hai đường chéo nằm trên đường thẳng d: x-y+2=0 . Tìm tọa độ C và D

 

 

V. VỀ ĐƯỜNG TRÒN

A. KIẾN THỨC

1.Đường tròn có tâm I(a;b) có bán kính R có phương trình :

2. Phương trình : là phương trình của đường tròn tâm I(-a;-b) và bán kính là

3. Với một điểm so với đường tròn (C) khi :

+/ Nếu : , thì M nằm ngoài đường tròn (C)

+/ Nếu : , thì M nằm trên đường tròn (C)

+ Nếu : , thì M nằm bên trong đường tròn (C)

4. Với đường thẳng d : Ax+By+C=0 , so với (C) có tâm I(a;b)

+/ Nếu : , thì d không cắt (C)

+/ Nếu : , thì d tiếp xúc với (C) , khi đó d gọi là tiếp tuyến của đường tròn (C)

+/ Nếu : , thì d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N

5. Đối với hai đường tròn : và

+/ Hai đường tròn không có điểm chung : ngoài

Ngược lại : đựng

+/ Hai đường tròn có một điểm chung :

 - Nếu : tiếp xúc ngoài với

 - Nếu : tiếp xúc trong với

+/ Hai đường tròn có hai điểm chung : cắt tại hai điểm phân biệt M,N và đường thẳng đi qua hai điểm M,N gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn

Tính chất của trục đẳng phương là : Mọi điểm nằm trên nó có phương tích đối với hai đường tròn bằng nhau

6. Từ một điểm M bất kỳ , kẻ qua M đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt thì gọi d là khoảng cách từ M đến I ta có : là hằng số ( Không phụ thuộc vào vị trí của điểm M ).. Đặc biệt nếu MT là một tiếp tuyến của (C) thì 

7. Đường thẳng qua tâm đường tròn và điểm giữa của một dây cung thì đường thẳng đó vuông góc với dây cung . Ngược lại một đường thẳng qua tâm đường tròn và vuông góc với một dây cung thì đường thẳng đó đi qua điểm giữa của dây cung đó .

8. Từ một điểm M kẻ hai tiếp tuyến tới (C) . Gọi I là tâm đường tròn và hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến thì ta có một số kết quả sau

 - MA=MB và

 - Tứ giác : MAIB nội tiếp trong một đường tròn có đường kính là MI

 - MI là phân giác của hai góc : và

9. Tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm ( Theo phương ơhaps tách đôi ) có phương trình là :

10. Đường thẳng d : Ax+By+C=0 là tiếp tuyến của (C) khi :

11. Trong một đường tròn , nếu cung AB>cung CD thì ( Có nghĩa là : dây cung càng gần tâm thì góc ở tâm chắn cung đó càng lớn .

12. Cách xác định tâm vị tự trong và tâm vị tự ngoài 

Nếu tiếp tuyến chung ngoài cắt đường thẳng nối hai tâm tại một điểm M thì

 - Nếu điểm M nằm ngoài đoạn thì M là tâm vị tự ngoài

 -  Nếu điểm M nằm trong đoạn thì M là tâm vị tự trong

13. Nếu ta có : thì ta có phép vị tự tâm O tỷ số vị tự là k đã biến điểm N thành điểm M . Vì vậy nếu N chạy trên một đường (G) thì M chạy trên đường (G') là ảnh của đường (G) qua phép vị tự tâm O có tỷ số vị tự là k .

Trên đây là một số kiến thức về đường tròn cơ bản mà các em cần phải nắm chắc để giải toán

 

 

B. MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO

Gợi ý

Gọi (E) : . Theo giả thiết : 2a=8 suy ra a=4 (1)

Giả sử bốn điểm mà (E) cắt (C) là ABCD thì nó chính là giao của hai đường phân giác y=x và y=-x cắt (C)

Do các điểm này thuộc (E) suy ra :

Gợi ý

Vì

Gọi I là tâm của đường tròn cần lập (C'). Nếu (C') tiếp xúc với d thì ( với M là tiếp điểm ) và IM=R (1). Từ giả thiết AB (2)

Mặt khác gọi K là trung điểm AB thì IK . Gọi H là giao của d với AB thì tứ giác IKHM là hình chữ nhật . Nhưng A,B thuộc cho nên OK tại K do vậy I phải nằm trên đường thẳng qua O và song song với d và I lại nằm trên có bán kín là d(I;d) .

+/ Đường thẳng d'//d qua O có dạng : x-y=0 .

+/ d' cắt :

+/ Tính R=

+/ Vậy .

Gợi ý

+/ (C): có tâm I(2;1) và bán kính R=1 .

+/ Nếu A,B là hai tiếp điểm thì IA và từ giác MAIB nội tiếp một đường tròn . Theo giả thiết IA=1=IB . Xét tam giác vuông IAM

và theo định lý Pi ta go ta có (1)

+/ M thuộc d suy ra

+/ Từ (1)

Gợi ý

Ta thấy . Do đó ta thấy . (T) tiếp xúc với tại A và tam giác ABC vuông tại B suy ra AC là đường kính , do vậy AC tại A .

Từ kết quả trên suy ra . Xét tam giác vuông OAB : và tam giác vuông OAC : .

Từ giả thiết :

Hay : (1)

Do A thuộc . Từ (1):

. Vì A có hoành độ dương suy ra

Và . Đường thẳng qua A vuông góc với (AC):

(AC) cắt tại C :

Tọa độ tâm I của (T) có tạo độ : và bán kính IA= Do đó (T) có phương trình là :

Gọi ý

+/ (C):

+/ d(I;d)=. Để cắt (C) thì :

(*)

Vậy diện tích tam giác :

Do dó S đạt GTLN : maxS=1 khi . Vậy tam giác IAB vuông cân tại I và

Gợi ý

+/ Gọi K(a;b) , do K thuộc (C) : (1). Nếu (C') tiếp xúc với hai đường thẳng d và d' thì : d(K;d)=d(K;d')

. Thay vào (1)

+/ Với b=2a (1). Phương trình vô nghiệm

+/ Với a=2b thì (1)

Do đó tâm K và bán kính R=

Gợi ý

+/ Vì (C) có tâm I(1;0) nằm trên trục Ox với bán kính R=1 thì nó tiếp xúc với Oy tại O suy ra tam giác IMO cân đỉnh I . Khi đó góc ở đỉnh . Áp dụng hệ thức hàm số cô sin cho tam giác MIO:

+/ Gọi M(a;b) ,vì M thuộc (C) : và

. Do đó tọa đọ M thỏa mãn :

Vậy có hai điểm M và ( Hai điểm này đối xứng nhau qua Ox )

Bài 8 . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại B và nội tiếp trong đường tròn (C) : và điểm A(2;0) . Biết diện tích tam giác ABC bằng 4 . Tìm tọa độ  đỉnh C ,B

Gợi ý

+/ Do tam giác vuông ABC tại B và nội tiếp trong đường tròn (C) cho nên AC là đường kính , I (1;-2) là tâm của (C) và AC= .

+/ Đường thẳng (AC) qua A(0;-2)  // véc tơ cho nên (AC): .

+/ (AC) cắt (C) tại C

. Chọn C là (0;-4 ) ví C(2;0) trùng A 

+/ Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AC thì H=( t;2t-4) và BH=d(B;AC)

+/ Ta có :. Gọi B(a;b) thì

Do đó :   (1)

+/ B nằm trên (C) suy ra : (2)

+/ Nếu b=2a-8 thay vào (2)

+/ Nếu b=2a :

* Chú ý : Tìm tọa độ B còn có cách khác

Gọi B(a;b) , do tam giác ABC vuông tại B cho nên

. (1)Kết hợp với diện tích tam giác ABC bằng 4

(2). Từ (1) và (2) ta cũng suy ra a và b

Bài 9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): , và đường thẳng d có phương trình : 3x+4y-20=0 . Chứng minh d tiếp xúc với (C) , Tam giác ABC có đỉnh A thuộc (C), các đỉnh B và C thuộc d , trung điểm cạnh AB thuộc (C) . Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C , biết trực tâm của tam giác ABC trùng với tâm của đường tròn (C) và điểm B có hoành độ dương

Gợi ý

+/ (C):

Nhận xét : d(O;d)=. Chứng tỏ d tiếp xúc với (C) . Gọi I là tiếp điểm của d với (C) , vì trực tâm tam giác trùng với tâm O cho nên AI vuông góc với d suy ra (AI) qua O(1;-2) có phương trình :

+/ AI cắt (C) tại A thỏa mãn :

.. Đồng thời AI cắt d tại I : 3(1+3t)+4(-2+4t)-20=0 ; t=1.

Do đó I(4;2) . Chú ý d chuyển sang tham số thì d: (*)

+/ Nếu K là trung điểm của AB thì OK là đường trung bình tam giác AIB suy ra IB=2OK.

Hay : IB=2R=10.(1)  Vì B thuộc d suy ra B=(8-4t;-1+3t) , với I(4;2)

+/ Từ (1) :

. Chọn B(12;-4) do giả thiết cho B có hoành độ dương .

+/ Đường thẳng (CO) vuông góc với véc tơ

+/ (CO) cắt d tại C thỏa mãn :

Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai dường tròn và đường tròn :.  Gọi giao điểm của hai đường tròn có có tung độ dương là A . Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt hai đường tròn theo hai dây cung có độ dài bằng nhau .

Gợi ý

* Cách 1.

+/ Ta có : .

+/ Hai đường tròn cắt nhau có tạo độ giao điểm thỏa mãn :

.

Vì A có tung độ dương cho nên chọn A(2;3).

+ Xét hai tam giác vuông : OAH và IAK :

( do AH=AK) (3)

+/ Đường thẳng d qua A(2;3) có dạng : a(x-2)+b(y-3)=0 hay : ax+by -2a-3b=0 .

Suy ra (3)

+/ Nếu b=0 .Chọn a=1 suy ra d có phương trình : x-2=0 .

+/ Nếu b=-3a thì chọn a=1;b=-3 khi đó d có phương trình x-3y+7=0 .

* Cách 2. ( sử dụng phương pháp vị tự )

+/ Nếu hai dây cung bằng nhau thì AC=AD . Như vậy phép vị tự tâm A biến D thành C cho nên C nằm trên đường tròn ảnh của đường tròn tâm I qua phép vị tự tâm A tỷ số vị tự k=-1 . Mặt khác C lại nằm trên đường tròn tâm O suy ra C là giao của đường tròn ảnh với đường tròn tâm O . Cho nên ta có cách giải sau :

- Đường tròn (C') là anhr của có tâm J các đinh bởi :

 

Hay . (C') cắt tại C thỏa mãn :

+/ Như vậy : với C thì d là (AC) qua A(2;3) //.

 

BÀI TẬP HƯỚNG DẪN TẠI LỚP

Bài 11.          Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn : cùng đi qua M(1; 0). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB.

Bài 12.          . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = 0 có tâm I và đường thẳng : mx + 4y  = 0. Tìm m biết đường thẳng  cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 12.

Bài 13.          . Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0.

Viết phương trình đường tròn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) tại các điểm A, B sao cho .

Bài 14.          Trong (Oxy) cho điểm M(2;-1) và đường tròn (C): . Viết phương trình đường tròn (C') có bán kính bằng 4 và cắt (C) theo dây cung qua M có độ dài nhỏ nhất .

Bài 15.          (KD-06). Cho đường tròn (C): và đường thẳng d: x-y+3=0. Tìm điểm M trên d sao cho đường tròn có tâm là M có bán kính gấp đôi bán kính của đường tròn (C) và tiếp xúc ngoài với (C).

Bài 16.          ( KTQD-99). Lập phương trình đường thẳng d qua O cắt đường tròn (C):

  theo một dây cung có độ dài bằng 8.

Bài 17.          Cho đường thẳng và hai điểm

a/ Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(-1;1) và tiếp xúc với

b/ Viết phương trình đường tròn (C') qua A,B  và có tâm thuộc

Bài 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn : và hai đường thẳng . Hãy lập phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (C) tại A đồng thời cắt tại B,C sao cho B là trung điểm của AC .

Bài 19.Cho đường tròn và đường thẳng d : 2x-y+1=0 . Tìm điểm M thuộc d sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến (C)  với các tiếp điểm là A và B , biết đường thẳng AB qua điểm N(2;-1)

Bài 20. Cho đường tròn . Và đường thẳng d: x+y+5=0 . Tìm điểm M thuộc d sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) với các tiếp điểm là A và B sao cho dộ dài đoạn AB lớn nhất .

Bài 21. Cho  và điểm M(2;3) . Viết phương trình đường thẳng d' qua M cắt (C) tại A và B sao cho

Bài 22. Cho hai đường thẳng và điểm M(-2;2). Viết phương trình đường tròn (C) đi qua M tiếp xúc với cắt theo dây cung AB=8.

Bài 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x-y-1=0 và hai đường tròn :

. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm nằm trên đường thẳng d , tiếp xúc trong với và tiếp xúc ngoài với

Bài 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-2;6) và hai đường thẳng d : 2x-y-1=0 và d': 3x-4y -19 =0 . Viết phương trình đường tròn (C) có tâm nằm trên đường thẳng d , đi qua A và tiếp xúc với d' .

Bài 25*. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x-2y+5=0 và đường tròn (C) : , có tâm là I . Qua M thuộc d , kẻ tiếp tuyến MA đến (C) ( A là tiếp điểm ). Sao cho . Tìm tọa độ M và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MAI. .

 

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 23. Cho đường tròn và đường thẳng d : x+y-2=0 cắt đường tròn (C) tại hai điểm A và B . Tìm điểm M thuộc (C) sao cho chu vi tam giác MAB lớn nhất 

Bài 24.Cho tam giác ABC vuông tại A, đỉnh B(1;1) . Đường tròn đường kính AB có phương trình : cắt cạnh BC tại H sao cho BC=4BH .Tìm tọa độ đỉnh C

Bài 25. Cho tam giác ABC có đường phân giác trong của góc ABC  và đường trung tuyến kẻ từ B lần lượt có phương trình là , biết thuộc cạnh

AB và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là . Tìm tọa độ các đỉnh B,C .

Bài 26. Cho đường tròn . Đường thẳng d : x+y+5=0 cắt (C) tại hai điểm A,B . Viết phương trình đường thẳng d' tiếp xúc với (C) tại M và cắt đường thẳng d tại N  sao cho MN=AB .

Bài 27. Cho đường tròn nội tiếp trong hình vuông ABCD . Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông biết cạnh AB đi qua điểm M(-3;-2) và điểm A có hoành độ dương

Bài 28.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn , , điểm A(2;0) và diện tích tam giác ABC bằng 4 . Tìm tọa độ đỉnh B

Bài 29. Cho đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có đỉnh A(0;5),B(3;-4) . Trọng tâm G nằm trên đường thẳng d : x-y-1=0 .Trực tâm H có hoành độ bằng 3 .Tìm tọa độ đỉnh C , biết C có hoành độ dương . Viết phương trình đường tròn (C)

Bài 30. Cho đường tròn và đường thẳng d: x-2y-4=0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến MA.MB đến (C) sao cho diện tích tam giác MAB bằng 1

Bài 31. Cho đường tròn . , và đường thẳng d : 3x+4y-5=0 .Chứng minh rằng d cắt (C) tại hai điểm B và C . Tìm trên đường tròn (C) điểm A ( có hoành độ âm ) sao cho tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 1 .

Bài 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn Tìm điểm M trên trục tung sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng .

Bài 34. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): và điểm A(5;-6) . Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB,AC tới (C) với B,C là hai tiếp điểm . Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .

Bài 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : . Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng .

 

VI. VỀ E-LÍP

A.KIẾN THỨC

1. Elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho ( với là hai điểm cố định)

Nếu : thì : là hai tiêu điểm của (E) và 2c là tiêu cự của (E) và khi đó phương trình chính tắc của (E) là :

2. (E) nội tiếp trong một hình cữ nhật cơ sở có kích thước là 2avà 2b  

3. Tiêu điểm của (E) bao giờ cũng nằm trên trục lớn

 - Nếu 2a>2b : thì tiêu điểm nằm trên trục hoành

 - Nếu 2a<2b thì tiêu điểm nằm trên trục tung

4. Phương trình chính tắc của (E) là chẵn đối với x và y cho nên (E) có đồ thị nhận hai trục tọa độ làm trục đối xứng và gốc tọa độ là tâm đối xứng

5. Tỷ số : =e gọi là tâm sai của (E) ( e<1). Đường thẳng x= và x=- gọi là hai đường chuẩn của (E) cho nên với một điểm M bất kỳ trên (E) thì ta luôn có :

( Trong đó : H là hình chiếu của M trên đường chuẩn tương ứng , còn F là tiêu điểm ứng với đường chuẩn tương ứng )

6. Với M bất kỳ ta có : và  ( gọi là bán kính qua tiêu )

7. Với M bất kỳ ta nên nhớ : ( M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông )

Trên đây tôi chỉ hệ thống một số kiến thức cơ bản để giải toán , yêu cầu các em cần phải xem kỹ lại về phần ký thuyết của (E) học ở lớp 10

 

B. MỘT SỐ BÀI TOÁN THAM KHẢO

Gọi ý

Giả sử A(-a;0) từ giả thiết suy ra : AC=2BD tương đương với OA=2OB và điểm B(. Gọi H là một tiếp điểm suy ra :

Giả sử (E) : . Với A thuộc (E) :

Gợi ý

+/ Do A,B có hoành độ dương sỷ ra A,B nằm bên phải Oy . Tam giác OAB cân , do tính chất đối xứng qua Ox của hàm số chẵn suy ra A,B đối xứng nhau qua Ox . Nếu gọi A(a;b) thì B(a;-b) . (Với  0.

Theo đầu bài : (1)

+/ Mặt khác A,B thuộc (E) : . Cho nên ta có :

. Đạt được khi :

Hay

Gợi ý

Ta có :

+/ Đường thẳng qua và có . Suy ra

.

Đường thẳng này cắt (E) tại M có hoành độ dương :

Nhận xét : . Chứng tỏ tam giác là tam giác vuông tại A cho nên đường tròn ngoại tiếp tam giác này có tâm là M bán kính bằng

BÀI TẬP HƯỚNG DẪN TRÊN LỚP

Bài 4.       . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho elip (E) : .Tìm những điểm N trên elip (E) sao cho : ( F1 , F2 là hai tiêu điểm của elip (E) )

Bài 5.       . Trong mÆt ph¼ng Oxy cho elip (E):   vµ ®­êng th¼ng :3x + 4y =12. Tõ ®iÓm M bÊt k× trªn kÎ tíi (E) c¸c tiÕp tuyÕn MA, MB. Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng AB lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.

HD

Gäi M(x0 ;y0 ), A(x1;y1), B(x2;y2) . TiÕp tuyÕn t¹i A cã d¹ng :

TiÕp tuyÕn ®i qua M nªn :               (1)

Ta thÊy täa ®é cña A vµ B ®Òu tháa m·n (1) nªn ®­êng th¼ng AB cã pt :

do M thuéc nªn 3x0 + 4y0 =12 4y0 =12-3x0 ,

Gäi F(x;y) lµ ®iÓm cè ®Þnh mµ AB ®i qua víi mäi M th× : (x- y)x0 + 4y - 4 = 0

. VËy AB lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh F(1;1)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 6.       Cho (H): . Đường thẳng d qua O có hệ số góc k và đường thẳng d' vuông góc với đường thẳng d qua O

a/ Tìm điều kiện đối với k để d và d' cắt (H) tại 4 điểm

b/ Tính theo k diện tích hình thoi có 4 đỉnh là 4 giao điểm trên ?

c/ Tìm k để diện tích hình thoi nhỏ nhất ?

Bài 7. Cho elip (E) cã hai tiªu ®iÓm lµ F1(); vµ mét ®­êng chuÈn cã ph­¬ng tr×nh: x = .

a) ViÕt ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña (E).

b) M lµ ®iÓm thuéc (E). TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:

P =

c) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) song song víi trôc hoµnh vµ c¾t (E) t¹i hai ®iÓm A, B sao cho OA  OB.