- Trang Chủ
- Khác (Toán học)
- lop 7 Các dạng toán và phương pháp giải Toán 7 của thầy Ngô Văn Thọ
lop 7 Các dạng toán và phương pháp giải Toán 7 của thầy Ngô Văn Thọ
TOÁN HỌC LỚP 7 CHUYÊN ĐỀ I: SỐ HỮU TỈ I. ÔN LẠI CÁC TẬP HỢP 0 1 2 - Số tự nhiên: N - Số nguyên: Z -2 -1 0 1 2 - - Số hữu tỉ: Số vô tỉ: Q I 2 1 -1/2 0 1 3/2 2 0 2 - Số thực: I+Q=R II. Số hữu tỉ: 1 . Kiến thức cần nhớ: - Số hữu tỉ có dạng trong đó b≠0; là số hữu tỉ dương nếu a,b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a,b trái dấu. Số 0 không phải là số hữu tỉ dương, không phải là số hữu tỉ âm. Có thể chia số hữu tỉ theo hai chách: - Cách 1:Số thập
Thể loại Giáo án bài giảng Khác (Toán học)
Số trang 166
Ngày tạo 12/4/2020 6:23:32 PM +00:00
Loại tệp pdf
Kích thước 1.69 M
Tên tệp cacdangtoanvaphuongphapgiaitoan7ngovantho pdf
TOÁN HỌC
LỚP 7
CHUYÊN ĐỀ I: SỐ HỮU TỈ
I. ÔN LẠI CÁC TẬP HỢP
0
1
2
-
Số tự nhiên: N
-
Số nguyên: Z
-2
-1
0
1
2
-
-
Số hữu tỉ:
Số vô tỉ:
Q
I
2
1 -1/2
0
1
3/2
2
0
2
-
Số thực: I+Q=R
II. Số hữu tỉ:
1
. Kiến thức cần nhớ:
-
Số hữu tỉ có dạng
trong đó b≠0; là số hữu tỉ dương nếu a,b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a,b trái
dấu. Số 0 không phải là số hữu tỉ dương, không phải là số hữu tỉ âm.
Có thể chia số hữu tỉ theo hai chách:
-
Cách 1:Số thập phân vô hạn tuần hoàn (Ví dụ:
) và số thập phân hữu hạn (Ví dụ:
)
Cách 2: Số hữu tỉ âm, số hữu tỉ dương và số 0
-
Để cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ, ta thực hiện như phân số:
Cộng trừ số hữu tỉ
Nhân, chia số hữu tỉ
1
. Qui tắc
-
Đưa về cùng mẫu, rồi cộng trừ tử số giữ
nguyên mẫu.
-
-
-
Nhân tử với tử, mẫu với mẫu
Phép chia là phép nhân nghịch đảo.
Nghịch đảo của x là 1/x
Tính chất
x.y=y.x ( t/c giao hoán)
(x.y)z= x.(y,z) ( t/c kết hợp )
x.1=1.x=x
a) Tính chất giao hoán: x + y = y +x; x . y =
y. z
b) Tính chất kết hợp: (x+y) +z = x+( y +z)
x. 0 =0
(
x.y)z = x(y.z)
x(y+z)=xy +xz (t/c phân phối
của phép nhân đối với phép cộng
c) Tính chất cộng với số 0:
x + 0 = x;
Bổ sung
Ta cũng có tính chất phân phối của phép chia đối với phép cộng và phép trừ, nghĩa là:
; x.y=0 suy ra x=0 hoặc y=0
(x.y) = (-x).y = x.(-y)
Các kí hiệu: : thuộc , : không thuộc , : là tập con
;
-
-
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 1
TOÁN HỌC
LỚP 7
2. Các dạng toán:
Dạng 1: Thực hiện phép tính
-
-
-
Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số.
áp dụng qui tắc cộng, trừ, nhân, chia phân số để tính.
Rút gọn kết quả (nếu có thể).
Chỉ được áp dụng tính chất:
a.b + a.c = a(b+c)
a : c + b: c = (a+b):c
Không được áp dụng:
a : b + a : c = a: (b+c)
Ví dụ:
Bài 1:
3
2 1
11
30
1
5
9 17
34 4
1
1
5 3
: ;
1 4
5 5
a)
b)
c)
.
d) 1 .1
17 24
e)
f) 4 : 2
26
2
4
Bài số 2: Thực hiện phép tính:
2
1 3
1 5
a) 4.
2 4
b)
.11 7
3
3
6
2
1 1 1 7
5 7 1 2 1
c)
d)
7 10
4
4
2 8
7 5
2
Bài số 3: Tính hợp lí:
2 3 16 3
.
1 13 5 2 1 5
:
4 1 5 1
c) : 6 :
7
a)
.
b)
:
3
11
9
11
2 14 7
21 7 7
9
7
9
Dạng 2: Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số:
Phương pháp: Nếu là số hữu tỉ dương, ta chia khoảng có độ dài 1 đơn vị làm b phần bằng nhau, rồi lấy
-
về phía chiều dương trục Ox a phần , ta được vị trí của số
Ví dụ: biểu diễn số : ta chia các khoảng có độ dài 1 đơn vị thành 4 phần bằng nhau, lấy 5 phần ta được
phân số biểu diễn số
Hình vẽ:
Nếu là số hữu tỉ âm, ta chia khoảng có độ dài 1 đơn vị làm b phần bằng nhau, rồi lấy về phía chiều âm
trục Ox a phần , ta được vị trí của số
BÀI TẬP
Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số: a.
Dạng 3: So sánh số hữu tỉ.
Phương pháp:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 2
TOÁN HỌC
LỚP 7
*
*
*
*
Đưa về các phân số có cùng mẫu số dương rồi so sánh tử số.
So sánh với số 0, so sánh với số 1, với -1…
Dựa vào phần bù của 1.
So sánh với phân số trung gian( là phân số có tử số của phân số này mẫu số của phân số kia)
BÀI TẬP
Bài 1. So sánh các số hữu tỉ sau:
3
25
5
444
777
1
5
110
50
17
20
a) x
và y
;
b) x 2 và y
c) x
và y = 0,75
Bài 2. So sánh các số hữu tỉ sau:
1
010
7
19
3737
4141
37
41
497
499
2345
2341
1
2
1
3
a)
e)
và
;
b)
và
;
c)
và
d)
và
2
2
5
3
2000
2001
2001
2000
2002
2001
3
; h) và
5
4
19
60
31
và
và
f)
và
;
g)
và
; k)
4
2001 2002
9
90
Dạng 4: Tìm điều kiện để một số là số hữu tỉ dương, âm, là số 0 (không dương không âm).
Phương pháp:
Dựa vào t/c là số hữu tỉ dương nếu a,b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a,b trái dấu, bằng 0 nếu a=0.
m 2011
Ví dụ: Cho số hữu tỉ x
. Với giá trị nào của m thì :
2
013
b) x là số âm.
a) x là số dương.
HD:
c) x không là số dương cũng không là số âm
a. Để x>0 thì
b. Để x<0 thì
, suy ra m-2011>0 ( vì 2013>0), suy ra m>2011
, suy ra m-2011<0 ( vì 2013>0), suy ra m<2011
, suy ra m-2011=0 suy ra m=2011
c. Để x=0 thì
BÀI TẬP:
2
0m 11
Bài 1. Cho số hữu tỉ x
a) x là số dương.
. Với giá trị nào của m thì:
2010
b) x là số âm
2
7
dưới dạng sau:
Bài 2. Hãy viết số hữu tỉ
0
a) Tổng của hai số hữu tỉ âm.
b) Hiệu của hai số hữu tỉ dương.
5
1
Bài 3. Viết số hữu tỉ
dưới dạng tổng của hai số hữu tỉ âm.
8
11
dưới các dạng sau:
Bài 4. Hãy viết số hưu tỉ
a) Tích của hai số hữu tỉ.
1
b) Thương của hai số hữu tỉ.
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 3
TOÁN HỌC
LỚP 7
1
7
Bài 5. Hãy viết số hữu tỉ dưới các dạng sau:
a) Tích của hai số hữu tỉ âm.
b) Thương của hai số hữu tỉ âm.
Dạng 5: Tìm các số hữu tỉ nằm trong một khoảng:
Phương pháp:
-
Đưa về các số hữu tỉ có cùng tử số hoặc mẫu số
Ví dụ: Tìm a sao cho
HD: Từ bài ra ta có:
; suy ra 8 a={9,10…..107}
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm năm phân số lớn hơn và nhỏ hơn .
Bài 2: Tìm số nguyên a sao cho:
a)
b)
c)
d)
Dạng 6:Tìm x để biểu thức nguyên.
Phương pháp:
-
-
-
Nếu tử số không chứa x, ta dùng dấu hiệu chia hết.
Nếu tử số chứa x, ta dùng dấu hiệu chia hết hoặc dùng phương pháp tách tử số theo mẫu số.
Với các bài toán tìm đồng thời x,y ta nhóm x hoặc y rồi rút x hoặc y đưa về dạng phân thức.
Ví dụ: Tìm x để A=
là số nguyên
Giải: Điều kiện: x-1 ≠ 0 hay x≠ 1
Để A nguyên thì 5 chia hết cho (x-1) hay (x-1) Ư(5)={-5;-1;1;5}
x-1
x
-5
-4
-1
0
1
2
5
6
Ví dụ: Tìm x để B=
là số nguyên
Cách 1:Dùng phương pháp tách tử số theo mẫu số ( Khi hệ số của x trên tử số là bội hệ số của x dưới
mẫu số):
-
Tách tử số theo biểu thức dưới mẫu số, thêm bớt để được tử số ban đầu.
B=
, ( điều kiện: x≠ 1).
Để B nguyên thì
là số nguyên hay 5 chia hết cho (x-1) hay (x-1) Ư(5)={-5;-1;1;5}
x-1
x
-5
-4
-1
0
1
2
5
6
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 4
TOÁN HỌC
LỚP 7
Cách 2:Dùng dấu hiệu chia hết:
-
-
Các bước làm:
Tìm điều kiện.
-
, nhân thêm hệ số rồi dùng tính chất chia hết một tổng, hiệu
Điều kiện: x ≠ 1.
Ta có:
x-1 x-1 nên 2(x-1) x-1 hay 2x-2 x-1 (1)
Để B nguyên thì 2x+3 x-1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2x+3-(2x-2) x-1 hay 5 x-1. Suy ra (x-1) Ư(5)={-5;-1;1;5}
x-1
x
-5
-4
-1
0
1
2
5
6
Ví dụ: Tìm x nguyên để biểu thức nguyên
Giải: Ta có
suy ra
suy ra.
Hay (6x+4)-(6x+3)
suy ra x=0, -1
=> 1 2x+1=> 2x+1 Ư(1)={-1;1}
Ví dụ: Tìm x nguyên để biểu thức nguyên:
a. A=
b. B=
HD:
2
, hay x +4x x+4 (1)
a. Ta có : x+4 x+4, suy ra x(x+4)
2
Để A nguyên thì x +4x+7 x+4 (2) . Từ (1) (2) suy ra 7 x+4 .
x+4
X
-1
-5
1
-7
7
3
-3
-11
2
, hay x +4x x+4 (1)
b. x+4 x+4, suy ra x(x+4)
2
Để B nguyên thì x +7 x+4 (2)
2
2
Từ (1) (2) suy ra (x +4x)- (x +7) x+4
x-7 x+4 => 4(x+4)-23 x+4 => 23 x+4
4
x+4
x
-1
-5
1
-23
-27
23
19
-3
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 5
TOÁN HỌC
LỚP 7
Với các biểu thức có dạng ax+bxy+cy=d ta làm như sau:
-
-
Nhóm các hạng tử chứa xy với x (hoặc y).
Đặt nhân tử chung và phân tích hạng tử còn lại theo hạng tử trong ngoặc để đưa về dạng tích.
Ví dụ: Tìm x, y nguyên sao cho: xy+3y-3x=-1
Giải:
y(x+3)-3x+1=0 (Nhóm hạng tử chứa xy với hạng tử chứa y và đặt nhân tử chung là y )
y(x+3)-3(x+3)+10=0 ( phân tích -3x+1=-3x-9+10=-3(x+3)+10 )
(x+3)(y-3)=-10
Lập bảng:
x+3
1
10
-2
7
10
1
-1
-10
-4
-10
-1
5
2
2
5
-5
-2
-8
-5
-2
-5
-5
-8
y+3
X
7
-13
-4
2
-1
2
Y
-2
-13
-1
Với các biểu thức có dạng:
Ví dụ: (nhân quy đồng với mẫu số chung là 3xy)
3x+3y-xy=0 ( bài toán quay về dạng ax+by+cxy+d=0)
x(3-y)-3(3-y)+9=0 (x-3)(3-y)=-9
ta nhân quy đồng đưa về dạng Ax+By+Cxy+D=0
Lập bảng:
x-3
-y
1
-9
4
-9
1
-3
3
3
-3
6
3
x
y
-6
2
0
12
0
6
BÀI TẬP
a 7
101
là một số nguyên.
Bài 1: Tìm số nguyên a để số hữu tỉ x =
3
x 5
x 8
là một số nguyên.
Bài 2: Tìm các số nguyên x để số hữu tỉ t =
2
m 9
là phân số tối giản, với mọi m N
Bài 3: Chứng tỏ số hữu tỉ x
1
4m 62
Bài 4: Tìm x để các biểu thức sau nguyên
A= ; B= ; C= ; D=
; E=
Bài 5: Tìm các số x,y nguyên thỏa mãn:
a, xy+2x+y=11 b, 9xy-6x+3y=6 c, 2xy+2x-y=8 d, xy-2x+4y=9
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 6
TOÁN HỌC
LỚP 7
Dạng 7: Các bài toán tìm x.
Phương pháp:
-
-
Quy đồng khử mẫu số
Chuyển các số hạng chứa x về một vế, các số hạng tự do về một vế ( chuyển vế đổi dấu) rồi tìm x
Chú ý: Một tích bằng 0 khi một trong các thừa số bằng không.
Chú ý các bài toán nâng cao: dạng lũy thừa, dạng giá trị tuyệt đối, dạng tổng các bình phương bằng 0, các
-
bài toán tìm x có quy luật.
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm x, biết:
3
5
21
5
9
28
9
2
c) x :
15
16
4
7
2
5
a) x.
;
b) 1 .x
;
;
d)
: x
5
7
Bài 2. Tìm x, biết:
2
3
5
3
3
4
1
2
3
7
a) x
;
b) x
7 10
Bài 3. Tìm x, biết:
1
2
3
5
33
25
2
4 1 3
x 5 x 6 x 7
2005 2004 2003
a) x x
;
b)
x
: x 0 ; c)
3
3
9
2
7
x 1 x 3 x 5 x 7
x 29 x 27 x 17 x 15
Bài 4: a)
b)
65
63
61
59
31
33
43
45
x 6 x 8 x 10 x 12
1909 x 1907 x 1905 x 1903 x
c)
e)
d)
4 0
1999 1997 1995 1993
91
93
95
91
x
1
29 x
27 x
25 x
23 x
21 x
19
970 1972 1974 1976 1978 1980
x 1970 x 1972 x 1974 x 1976 x 1978 x 1980
29
27
25
23
21
19
HD:
=>
=> x= -2010
Bài 5:Giải các phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt)
x 1 x 3 x 5 x 7
a)
b)
29
(HD: Cộng thêm 1 vào các hạng tử)
(HD: Trừ đi 1 vào các hạng tử)
3
5
33
x 10 x 8 x 6 x 4 x 2
31
1994 1996 1998 2000 2002
x 2002 x 2000 x 1998 x 1996 x 1994
2
4
6
8
10
x 1991 x 1993 x 1995 x 1997 x 1999
c)
9
7
5
3
1
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 7
TOÁN HỌC
LỚP 7
x 9 x 7 x 5 x 3 x 1
(HD: Trừ đi 1 vào các hạng tử)
(Chú ý: 10 1 23 4)
1991 1993 1995 1997 1999
x
85 x
74 x 67 x 64
d)
e)
10
13
x 1 2x 13 3x 15 4x 27
15
11
9
(HD: Thêm hoặc bớt 1 vào các hạng tử)
1
3
15
27
29
Dạng 8: Các bài toán tìm x trong bất phương trình:
Phương pháp:
-
-
-
-
Nếu a.b>0 thì
Nếu a.b<0 thì
hoặc
hoặc
hoặc
; - Nếu a.b≥0 thì
; - Nếu a.b≤0 thì
;- Nếu
hoặc
hoặc
;
Nếu
Nếu
thì
hoặc
;
hoặc
;
- Nếu
hoặc
Chú ý: Dạng toán a.b<0 có cách giải nhanh bằng việc đánh giá. Hãy xem Ví dụ c.
Ví dụ:
a. (2x+4)(x-3)>0
b.
c. (x-2)(x+5)<0
HD:
a. (2x+4)(x-3)>0
suy ra
hoặc
hoặc
=>
=
>
hoặc
suy ra
=>
=>x>3 hoặc x<-2
hoặc
b.
> -51
hoặc
(không tồn tại x)
=
c. (x-2)(x+5)<0. Vì x+5>x-2 nên (x-2)(x+5)<0 khi
=>
=> -5
BÀI TẬP:
Tìm x biết:
a. (x-1)(x+4)>0
d. (x-7)(3x+4)≤0
b. (3x-1)(2x+4)≥0
e.
c. (3-x)(x+1)<0
Dạng 9: các bài toán tính tổng theo quy luật:
Tính tổng dãy số có các số hạng cách nhau một số không đổi:
Phương pháp:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 8
TOÁN HỌC
LỚP 7
-
-
Tính số các số hạng:
Tổng =
Ví dụ: 1+2+3+……..+99 (khoảng cách bằng 2)
số các số hạng:
số hạng
Tổng =
Chú ý:
A = 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1) =n/6 [ (n-1) .(2n+1) ]
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +.…+ (n – 1) n = n. (n – 1 ).(n + 1)
A = 1+2+3+…+(n-1)+n = n (n+1):2
A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)n = ¼ .(n-2)(n-1)n(n+1)
2
2
2
2
2
A = 1 +2 +3 +...+99 +100 = n(n+1)(2n+1):6
Tính tổng dãy số A có các số hạng mà số đứng sau gấp số đứng trước một số không đổi n:
Phương pháp:
-
Tính A.n
-
Tính A.n-A rồi suy ra tổng A
2
3
100
Ví dụ: A= 2+2 +2 ….+2 (ở đây n=2: số đứng sau gấp số đứng trước 2 đơn vị)
2
3
4
101
Ta có : 2.A=2 +2 +2 ….+2 (nhân 2 vế với n=2)
2 3 4 101 2 3 100
2
A-A=2 +2 +2 ….+2 -(2+2 +2 ….+2 ) (chú ý: 2A-A=A)
1
01
A=2 -2
Tính tổng các phân số có tử số không đổi, mẫu số là tích của 2 số có hiệu không đổi.
Phương pháp:
Phân tích tử số thành hiều 2 số dưới mẫu
Ví dụ: A=
=
BÀI TẬP:
1
1
1
1
1
1
.
A =
...
3.2 2.1
1
99 199.198 198.197 197.196
2
2
2
2
2
B = 1
...
.
3
.5 5.7 7.9
61.63 63.65
1
1
1
1
1
Tìm x, biết:
x(x 1) (x 1)(x 2) (x 2)(x 3) x 2010
Tính tổng các phân số có tử số không đổi, mẫu số là tích của 3 số có hiệu số cuối trừ số đầu không
đôi:
Phương pháp:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 9
TOÁN HỌC
LỚP 7
Phân tích tử số thành hiệu của hai số ( số cuối – số đầu ) ở dưới mẫu
2
2
2
S
n
=
.....
1
.2.3 2.3.4
98.99.100
3
1 4 2
100 98
3
1
100
98
..... .....
98.99.100 1.2.3 1.2.3
1.2.3 2.3.4
98.99.100 98.99.100
1
1
1
1
1
1
1
.....
1.2 2.3 2.3
98.99. 99.100 1.2 99.100
BÀI TẬP
Bài 1:
A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101
A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102 (Hướng dẫn: thay thừa số 4, 5, 6.....102 bắng (2+2), (3+2), (4+2)....(100 +2)
A = 4+12+24+40+...+19404+19800 (Hướng dẫn: Chia 2 vế cho 2)
A = 1+ 3 + 6 +10 +...+4851+4950 (Nhân 2 vế với 2)
A = 6+16+30+48+...+19600+19998 (Hướng dẫn: Chia 2 vế cho 2)
Bài 2:Tìm giá trị của x trong dãy tính sau:
(x+2)+(x+12)+(x+42)+(x+47) = 655
Bài 3:
a) Tìm x biết : x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + …+ (x+2009) = 2009.2010
b) Tính M = 1.2+2.3+3.4+ …+ 2009. 2010
2
3
4
100
Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n
Bài 4: Cho A= 3 + 3 + 3 + 3 +.....3
2
3
4
100
Bài 5: Cho M = 3 + 3 + 3 + 3 +.....3
a. M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao?
b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n
2
3
118
119
Bài 6: Cho biểu thức: M = 1 +3 + 3 + 3 +…+ 3 + 3
a) Thu gọn biểu thức M.
b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?
Bài 7:
1
1
1
1
2
S =
S =
.......
S = 1+2+2 +....... + 2100
1
0.11 11.12 12.13
99.100
1
1
1
1
4
4
4
........
S =
....
1
.2 2.3 3.4
99.100
5.7 7.9
59.61
5
5
5
5
1
1
1
1
.....
A =
......
M =
0
1
2
2005
3
1
1.16 16.21 21.26
61.66
3
3
3
1
1
1
2
2
2
S
n
n
=
=
.....
S
n
=
.....
1
.2.3. 2.3.4
n(n 1)(n 2)
1.2.3 2.3.4 98.99.100
1
1
1
S
......
n(n 1)(n 2)(n 3)
1
.2.3.4 2.3.4.5
Bài 8:
3
3
3
3
1
1
1
1
a) A
...
b) B
...
5.8 8.11 11.14
2006.2009
6.10 10.14 14.18
402.406
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 10
TOÁN HỌC
LỚP 7
1
0
10
10
10
4
4
4
4
c) C
Bài 9:
a) A
...
d) D
b) B
...
...
7
.12 12.17 17.22
502.507
8.13 13.18 18.23
253.258
1
1
1
1
1
1
1
1
...
2.9 9.7 7.19
252.509
10.9 18.13 26.17
802.405
2
3
2
3
2
3
c) C
...
4
.7 5.9 7.10 9.13
301.304 401.405
135 7 ... 49
89
1
1
1
1
d) (
...
)
4
.9 9.14 14.19
44.49
Bài 10: Tìm x
x
1
1
1
1
5
8
7
4
4
4
4
29
a)
c)
...
b)
...
41.45 45
2
008 10 15 21
120
1
x
5.9 9.13 13.17
1
1
1
15
...
3
.5 5.7 7.9
(2x 1)(2x 3) 93
Bài 11: Chứng minh
1
1
1
1
n
a)
b)
c)
...
2
.5 5.8 8.11
(3n 1)(3n 2) 6n 4
5n
(4n 1)(4n 3) 4n 3
5
5
5
5
...
.7 7.11 11.15
3
3
3
3
3
1
...
9
.14 14.19 19.24
4
(5n 1)(5n 4) 15
4
4
16
81
16
80
Bài 12:Cho A
...
Chứng minh:
A
1
5.19 19.23
399.403
Bài 13: Cho S=
Chứng minh S<4
Suy ra 2S-S=
HD: 2S=
Bài 14: Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+… để được một số có ba chữ số giống nhau .
n(n 1)
HD:
111a 3.37.a (vì aaa=111.a) nên n=37 hoặc n+1=37 ta tìm được n=36.
2
CHUYÊN ĐỀ II: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Kiến thức cần nhớ
Nếu a 0 a a
Nếu a 0 a a
Nếu x-a 0=>|x-a| = x-a
Nếu x-a 0=>|x-a| = a-x
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 11
TOÁN HỌC
LỚP 7
Chú ý: Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm a 0 với mọi a R
*
Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối
bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau.
a b
a b
a b
*
Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị
tuyệt đối của nó.
a a a và a a a 0;a a a 0
*
Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn. a b 0 a b
Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 0 a b a b
Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối. a.b a.b
*
*
a
b
a
b
2
*
Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối.
2
*
*
Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó. a a
Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu bằng xảy ra
khi và chỉ khi hai số cùng dấu.
a b a b và a b a b a.b 0
CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức và rút gọn biểu thức
Bài 1: Tính x , biết:
3
17
13
161
a) x =
.
b) x =
.
.
c) x = - 15,08
6
4
5
2
25
5
9
3
5
4
9
8
5
Bài 2. Tính: a)
b)
2
5
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:
a
2
a) M = a + 2ab – b với a 1,5;b 0,75
b) N =
với a 1,5;b 0,75
2
b
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức:
4
3
1
a) A 2x 2xy y với x 2,5; y
b) B 3a 3abb với a ; b 0,25
3
5
a 3
1
1
2
c) C
với a ; b 0,25 d) D 3x 2x 1 với x
3
b
3
2
Bài 5: Tính giá trị của các biểu thức:
3
2
1
b) B 2 x 3 y với x ; y 3
2
3
2
a) A 6x 3x 2 x 4 với x
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 12
TOÁN HỌC
LỚP 7
2
5
x 7x 1
1
2
c) C 2 x 2 31 x với x = 4
d) D
với x
3
x 1
Bài 6: Rút gọn biểu thức sau với 3,5 x 4,1
a) A x 3,5 4,1 x b) B x 3,5 x 4,1
Bài 7: Rút gọn biểu thức sau khi x < - 1,3:
a) A x 1,3 x 2,5
b) B x 1,3 x 2,5
Bài 8: Rút gọn biểu thức:
1 2
b) B x x c) C x 1 x 3
5 5
a) A x 2,5 x 1,7
5
3
1
7
Bài 9: Rút gọn biểu thức khi
x
1
3
4
5
1
3 2
b) B x x
5 6
a) A x x
7
5
7
Bài 10: Rút gọn biểu thức:
2
2
a) A x 0,8 x 2,5 1,9 với x < - 0,8 b) B x 4,1 x 9 với x 4,1
3
1
3
1
1
1
1
1
5
1
c) C 2 x x 8 với x 2
d) D x 3 x 3 với x > 0
5
5
5
5
2
2
Dạng 2: A(x) k( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước )
Phương pháp:
-
Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không
âm )
-
-
Nếu k = 0 thì ta có A(x) 0 A(x) 0
A(x) k
Nếu k > 0 thì ta có: A(x) k
A(x) k
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm x, biết:
1
5
1
1
1
1
3
3
7
8
a) 2x 5 4
b) 2x
c) x
d) 2x 1
3
4
4
2
5
4
Bài 2: Tìm x, biết:
1
4
3,75 2,15
a) 22x 3
b) 7,5 35 2x 4,5
c) x
2
15
Bài 3: Tìm x, biết:
x
2
1
1
d) x 2
3
1
5
a) 23x 1 1 5
b) 1 3
c) x 3,5
2
5
2
Bài 4: Tìm x, biết:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 13
TOÁN HỌC
LỚP 7
1
3
3
1
5
4
3 4
3
7
4
3 1
4 2
5
5
6
a) x 5% b) 2 x
c) x
d) 4,5
x
4
4
2
4
2 5
4
3
Bài 5: Tìm x, biết:
9
1
11 3
1
7
2
15
3
1
21
x 2
3: 6
4 3
a) 6,5 : x 2 b) : 4x
c) 2,5: x 3 d)
4
3
4
2
5
4
4
2
5
Dạng 3: A(x) B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
Phương pháp:
a b
A(x) B(x)
Vận dụng tính chất: a b
ta có: A(x) B(x)
a b
A(x) B(x)
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm x, biết:
a) 5x 4 x 2
b) 2x 3 3x 2 0 c) 2 3x 4x 3 d) 7x 1 5x 6 0
Bài 2: Tìm x, biết:
3
1
5
7
5
3
7
2
4
1
7
5
1
a) x 4x 1 b) x x 0c) x x d) x x 5 0
2
2
4
2
8
5
5
3
3
4
8
6
2
Dạng 4: A(x) B(x)( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
Cách 1: Điều kiện: B(x) 0 (*)
A(x) B(x)
(1) Trở thành A(x) B(x)
( tìm x rồi đối chiếu giá tri x tìm được với điều kiện ( * )
A(x) B(x)
sau đó kết luận.
Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
A(x) B(x) (1)
*
Nếu A(x) 0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện )
Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện )
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm x, biết:
1
a) x 32x
b) x 1 3x 2
c) 5x x 12
d) 7 x 5x 1
2
Bài 2: Tìm x, biết:
a) 9 x 2x
b) 5x 3x 2
b) 3x 1 2 x
b) 3x 2 1 x
c) x 6 9 2x
c) x 15 1 3x
c) 3x 7 2x 1
d) 2x 3 x 21
d) 2x 5 x 2
d) 2x 1 1 x
Bài 3: Tìm x, biết:
a) 4 2x 4x
Bài 4: Tìm x, biết:
a) 2x 5 x 1
Bài 5: Tìm x, biết:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 14
TOÁN HỌC
LỚP 7
a) x 5 5 x
b) x 7 x 7
c) 3x 4 4 3x
d) 7 2x 7 2x
Dạng 5: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:
PP: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
*
A(x) B(x) C(x) m Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng )
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm x, biết:
a) 43x 1 x 2 x 5 7 x 3 12
b) 3 x 4 2x 1 5 x 3 x 9 5
1
1
1
1 1 1
d) 2 x 3 x 3 2 x
2 2 5
c) 2 x x 8 1,2
5
5
5
Bài 2: Tìm x, biết:
a) 2x 6 x 3 8
x2 x3 x4 2
2 x 2 4 x 11
c) x 5 x 3 9
d)
f)
x 1 x 2 x 3 6
e)
Bài 3: Tìm x, biết:
x2 x3 2x8 9
3x x 1 2x x2 12
x 5 1 2x x
a)
b)
d)
c) x 1 3 x 3 2 x 2 4
e) x 2x 3 x 1
f) x 1 x x x 3
Bài 4: Tìm x, biết:
a) x 2 x 5 3
b) x 3 x 5 8
c) 2x 1 2x 5 4
d) x 3 3x 4 2x 1
Dạng 6:: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt:
A(x) B(x) C(x) D(x) (1)
Điều kiện: D(x) 0 kéo theo A(x) 0; B(x) 0;C(x) 0
Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)
Ví dụ: x 1 x 2 x 3 4x
Điều kiện: 4x≥0, suy ra x≥0.
Với x≥0 thì x+1>0; x+2>0; x+3>0
Nên x 1 x 2 x 3 4x khi (x+1)+(x+2)+(x+3)=4x, suy ra x=6 (thỏa mãn đk) .Vậy x=6.
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm x, biết:
a) x 1 x 2 x 3 4x
b) x 1 x 2 x 3 x 4 5x 1
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 15
TOÁN HỌC
LỚP 7
3
1
c) x 2 x x 4x
d) x 1,1 x 1,2 x 1,3 x 1,4 5x
5
Bài 2: Tìm x, biết:
1
2
2
3
100
a) x
b) x
c) x
d) x
x
x
x
x
x
x
... x
101x
1
01
101
101
101
1
1
1
1
... x
100x
1.2
2.3
3.4
99.100
1
1
1
1
x
x
... x
50x
1.3
3.5
5.7
97.99
1
1
1
1
... x
101x
1.5
5.9
9.13
397.401
Dạng 7: Dạng hỗn hợp:
Bài 1: Tìm x, biết:
1
1
2
4
5
2
2
3
2
2
a) 2x 1
b)
b)
x 2 x x 2
c) x x x
2
4
Bài 2: Tìm x, biết:
1
1
5
1
2
3
4
2
5
3
2
a) 2x 1
x 1
1
c) x x
x
2
4
Bài 3: Tìm x, biết:
3
3
3
4
1
3
3
4
2
a) x x
x
b) x 2x 2x
c) x 2x 2x
4
2
4
2
4
Bài 4: Tìm x, biết:
a) 2x 3 x 1 4x 1
b) x 1 1 2
c) 3x 1 5 2
A B 0
Dạng 8:
Phương pháp:
Cách giải chung: A B 0
A 0
B1: đánh giá:
A B 0
B 0
A 0
B 0
B2: Khẳng định: A B 0
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm x, y thoả mãn:
9
a) 3x 4 3y 5 0
b) x y y
0
5
c) 3 2x 4y 5 0
2
Bài 2: Tìm x, y thoả mãn:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 16
TOÁN HỌC
LỚP 7
3
2
2 1 3
11 23
a) 5 x y 3 0
b) x 1,5
y 0 c) x 2007 y 2008 0
4
7
3 2 4
17 13
*
*
Chú ý1: Bài toán có thể cho dưới dạng A B 0 nhưng kết quả không thay đổi
Cách giải: A B 0 (1)
A 0
A B 0 (2)
B 0
A 0
B 0
Từ (1) và (2) A B 0
Bài 3: Tìm x, y thoả mãn:
a) 5x 1 6y 8 0
b) x 2y 4y 3 0
b) 3x 2y 4y 1 0
c) x y 2 2y 1 0
c) x y 7 xy 10 0
Bài 4: Tìm x, y thoả mãn:
a) 12x 8 11y 5 0
*
Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không âm của luỹ thừa
bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương tự.
Bài 5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:
2
007
2008
y 4 0
y 3
a) x y 2 y 3 0
b) x 3y
2
006
2008
c)
x y
2007y 1 0
d) x y 5 2007
0
0
Bài 6: Tìm x, y thoả mãn :
2
2
4
5
b) 2
x 5 5 2 y 7 0
a)
x 1
y 3
0
2
000
2
004
1
1
c) 3
x 2y
4 y 0
d) x 3y 1 2y
2
2
Bài 7: Tìm x, y thoả mãn:
7
5
2
3
a) x 2007 y 2008 0
b) 3x y 10 y
0
2
006
1
3
4 2
1
2007 4
2008 5
6
2008
2007
2008 y 4 0
c) x
y
0
d) 2007 2x y
2
25
Dạng 9: A B A B
Phương pháp:
Sử dụng tính chất: a b a b Từ đó ta có: a b a b a.b 0
Bài 1: Tìm x, biết:
a) x 5 3 x 8
b) x 2 x 5 3
e) x1 2x3 3x2
c) 3x 5 3x 1 6
d) 2 x 3 2x 5 11
f) x 3 5 x 2 x 4 2
Bài 2: Tìm x, biết:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 17
TOÁN HỌC
LỚP 7
a) x 4 x 6 2
b) x 1 x 5 4
c) 3x 7 32 x 13
f) x 2 x 7 4
d) 5x 1 3 2x 4 3x e) x 2 3x 1 x 1 3
Bài 3: Tìm x, y thoả mãn :
2
2
0
a)
x 1
y 3
Bài 4: Tìm x, y thoả mãn:
a) |x-2007|+|y-2008|≤0
b) |x+5|+|3-x|=8
Dạng 10: |f(x)|>a (1)
Phương pháp:
-
Nếu a<0: (1) luôn đúng với mọi x
-
-
Nếu a>0: (1) suy ra f(x)>a hoặc f(x)<-a.
Nếu a=0(1) suy ra f(x)=0
Ví dụ:
BÀI TẬP:
Tìm x nguyên sao cho
|x-2|>6 ; |3x+1|≥5 ; |x+1|≥-6
Phương pháp:
-
-
-
Nếu a<0: không tồn tại x
Nếu a>0 thì |f(x)| khi –a Từ đó tìm được x.
Nếu a=0 suy ra f(x)=0
BÀI TẬP:
Tìm x nguyên sao cho:
|x-2|<6 ; |3x+1|≤5 ; |x+1|<-6 ; 3<|x+2|<5
Dạng 12: Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Nếu: A B m với m 0
*
Cách giải:
A 0
B 0
*
Nếu m = 0 thì ta có A B 0
*
Nếu m > 0 ta giải như sau:
A B m (1)
Do A 0 nên từ (1) ta có: 0 B m từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng .
Bài 1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:
2
a) x 2007 x 2008 0 b) x y 2 y 3 0
c)
x y
2 y 1 0
Bài 2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:
5
4
0
a) x 3y y 4 0
b) x y 5
y 3
c) x 3y 1 3 y 2 0
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 18
TOÁN HỌC
LỚP 7
Bài 3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn:
a) x 4 y 2 3
b) 2x 1 y 1 4 c) 3x y 5 5
d) 5x 2y 3 7
Bài 4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) 3x 5 y 4 5 b) x 6 42y 1 12 c) 23x y 3 10 d) 34x y 3 21
Bài 5: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
2
2
2
2
a) y 3 2x 3
b) y 5 x 1
c) 2y 3 x 4
d) 3y 12 x 2
Dạng 13: A B m với m > 0.
Cách giải: Đánh giá
A B m (1)
*
A 0
A B 0 (2)
B 0
Từ (1) và (2) 0 A B m từ đó giải bài toán A B k như dạng 1 với 0 k m
Bài 1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) x y 3 b) x 5 y 2 4
c) 2x 1 y 4 3 d) 3x y 5 4
Bài 2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) 5 x 1 y 2 7 b) 42x 5 y 3 5 c) 3 x 5 2 y 1 3 d) 32x 1 42y 1 7
Dạng 14:Sử dụng bất đẳng thức: a b a b xét khoảng giá trị của ẩn số.
Bài 1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:
a) x 1 4 x 3 b) x 2 x 3 5 c) x 1 x 6 7 d) 2x 5 2x 3 8
Bài 2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau.
a) x + y = 4 và x 2 y 6
c) x –y = 3 và x y 3
b) x +y = 4 và 2x 1 y x 5
d) x – 2y = 5 và x 2y 1 6
Bài 3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời:
a) x + y = 5 và x 1 y 2 4
b) x – y = 3 và x 6 y 1 4
d) 2x + y = 3 và 2x 3 y 2 8
c) x – y = 2 và 2x 1 2y 1 4
Bài 4: Tìm các số nguyên x thoả mãn:
a)
Bài 5: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) b)
y 1 y c)
2 xx 1 x 31 x
Bài 6: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) b)
2 y 1 y 1 1 c)
x 13 x x 25 x
x 2x 3
0 b)
2x 12x 5
0 c)
3 2xx 2
0 d)
3x 15 2x
0
x 25 x
2y 1 2
x 3x 5
y 2 0
Dạng 15:Sử dụng phương pháp đối lập hai vế của đẳng thức:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 19
TOÁN HỌC
LỚP 7
*
Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B
Đánh giá: A m
Đánh giá: B m
(1)
(2)
A m
B m
Từ (1) và (2) ta có: A B
Bài 1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
1
2
2
a) x 2 x 1 3
y 2
b) x 5 1 x
d) x 1 3 x
y 1 3
1
0
6
c) y 3 5
2
2x 6
2
y 3 3
Bài 2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
8
16
a) 2x 3 2x 1
b) x 3 x 1
d) x 2y 1 5
2
2
y 5
2
y 2 y 2
1
2
10
c) 3x 1 3x 5
2
y 3
2
y 4 2
Bài 3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
2
14
2
20
a)
x y 2
7
b)
x 2
4
y 1 y 3
3 y 2 5
6
30
c) 2 x 2007 3
d) x y 2 5
y 2008 2
3 y 5 6
Dạng 16: Tìm GTLN-GTNN của biểu thức
Phương pháp:
-
Tìm giá trị nhỏ nhất a+
Vì ≥0;
Tìm giá trị nhỏ nhất
+c.
( Chỉ có GTNN)
a. Vậy GTNN là a khi
( Chỉ có GTNN)
nên a+
+c.
=0 và
=0 suy ra x
-
Vì
≥0;
nên a-
-c.
a., suy ra
. Vậy GTNN là . khi
=
0 và =0 suy ra x.
Tìm giá trị lớn nhất a-
Vì ≥0;
Tìm giá trị lớn nhất
-
-c.
( Chỉ có GTLN)
a. Vậy GTLN là a khi
nên a-
-c.
=0 và
=0 suy ra x.
-
( Chỉ có GTLN)
+c. a., suy ra
Vì
≥0;
0 và
nên a+
. Vậy GTLN là . khi
=
=0 suy ra x.
BÀI TẬP
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 20
TOÁN HỌC
LỚP 7
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
x 2
x 5
2 x 3
3 x 1
a) A 0,5 x 3,5
e) E 5,5 2x 1,5
b) B 1,4 x 2 c) C 3
d) D
4
f) F 10,2 3x 14
i) I 2,5 x 5,8
g) G 4 5x 2 3y 12
k) K 10 4 x 2
5,8
h) H
2,5 x 5,8
1
m) M
12
n) N 2
l) L 5 2x 1
x 2 3
3 x 5 4
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A 1,7 3,4 x
b) B x 2,8 3,5
c) C 3,7 4,3 x
f) F 2,5 x 5,8
d) D 3x 8,4 14,2
e) E 4x 3 5y 7,5 17,5
2
3
7
g) G 4,9 x 2,8
k) K 23x 1 4
h) H x
i) I 1,5 1,9 x
5
l) L 23x 2 1
m) M 51 4x 1
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1
5
1
3
21
4
20
a) A 5
b) B
c) C
4
3x 7 3
815x 21 7
5
3x 5 4y 5 8
2
4
2
21
d) D 6
e) E
2
2
x 2y 32x 1 6
3
x 3y
5 x 5 14
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
7x 5 11
x 5 4
2y 7 13
2 2y 7 6
15 x 1 32
a) A
b) B
c) C
c) C
c) C
7
6 x 1 8
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
8
6
14
5 56y 8 35
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
15
28
a) A 5
b) B
4
5x 7 24
12 3x 3y 2x 1 35
2
14x 6 33
6 y 5 14
b) B
2 y 5 14
15 x 7 68
3 x 7 12
a) A
3
4x 6 5
Sử dụng bất đẳng thức a b a b
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A x 2 x 3
b) B 2x 4 2x 5
c) C 3x 2 3x 1
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A x 5 x 1 4
b) B 3x 7 3x 2 8 c) C 4 x 3 4x 5 12
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 21
TOÁN HỌC
LỚP 7
a) A x 3 2x 5 x 7
c) C x 2 42x 5 x 3
b) B x 1 3x 4 x 1 5
d) D x 3 56x 1 x 1 3
Bài 4: Cho x + y = 5 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A x 1 y 2
Bài 5: Cho x – y = 3, tìm giá trị của biểu thức:
B x 6 y 1
Bài 6: Cho x – y = 2 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
C 2x 1 2y 1
Bài 7: Cho 2x+y = 3 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D 2x 3 y 2 2
CHUYÊN ĐỀ III: LŨY THỪA
Các công thức:
n
an
b
1
. a a.a...a
a
n
b
7
. ( )
n thua so
n
0
. a 1 a 0
m n
n m
m.n
8
9
1
. (a ) (a ) a
2
3
m
1
a
. a
n
n
m
n
m
n
.
a
( a) a
n
m n
mn
n
k
nk
0.
a
a
4
. a .a a
m
m
n
a
amn
1
1
am
5.
1
1. a
an
m
n
a n
n
n
n
6
. (a.b) a .b
a, voi n 2k 1
a voi n 2k
n
n
1
2. a
CÁC DẠNG TOÁN:
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức
BÀI TẬP:
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau
2
3
3
3
0
:
1
3 5 3
1
2
2 1
1 2 : 8
3
a) 4.
25.
:
4 4 2
b) 2 3.
4
2
Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa
1
1
2
3
a) 9.3 . .27
d) 4.32: 2 .
81
16
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 22
TOÁN HỌC
LỚP 7
2
2
d)
.4.32
2
1
4
5
c) 3 .3 :
5
27
2
.2
Bài 3: Tính hợp lý
3
3
.8 0
4
a)
c)
0, 25
.32
b)
0,125
11 17
81 .3
2
5
8
.4
d)
2
0
10 15
27 .9
2
1
1
6
2
4
2
2
e) 3 .
.81 .
f) 4 .256 .2
2
243
3
6
5
9
2
2
4
.9 6 .120
4 .25 32.125
g) A =
h)B =
4
12
11
3
2
8
.3 6
2 .5
Dạng 2: Các bài toán tìm x
Phương pháp:
Cần đưa về cùng số mũ hoặc cùng cơ số. Chú ý lũy thừa mũ chẵn ta phải chia 2 trường hợp, mũ lẻ chỉ có
một trường hợp.
Chú ý:
2
n
2n
a =b thì a=b hoặc a=-b
2
m
2n
a =a thì a=0, 1,-1
3
3
b, (2x – 1) = 8=23
3
c, (2x – 3) = 9 =32
2
Ví dụ: a, x = -27=(-3)
BÀI TẬP:
Bài 1: Tìm x biết
3
2
2
c) (2x - 3) = 36; e) 5x + 2 = 625;
2
a) (x -1) = 27;b) x + x = 0;
d) (x -1)x + 2 = (x -1)x + 4
c) (2x + 1) = 25;
1
2 3 4 5 30 31
. ... .
= 2x;
3
;
e) (2x - 1) = -8.
f) . . .
4
6 8 10 12 62 64
Bài 2: Tìm số nguyên dương n biết:
n
n
n
c) 9.27 ≤ 3 ≤ 243.
a) 32 < 2 128;
b) 2.16 ≥ 2 4;
1
1
4
n1
4
n
n
5
-
3
n
3n
d) .3 .3 9
e) .2 4.2 9.2
f) 5 .25 =5
9
2
Bài 3: Tìm x biết
5
7
3
3
3
5
3
7
1
3
1
1
2
1
a)
.x
b)
.x
c) x
81
27
4
1 16
3
3
f) (2x – 1) = 8
d) x
e) x = -27
2
2
81
2
g) (x – 2) = 16
h) (2x – 3) = 9
1
0
20
Bài 4: Tìm số hữu tỉ biết :
(3y - 1) = (3y - 1)
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 23
TOÁN HỌC
LỚP 7
Bài 5 : Tìm x, y :
Bài 6 :
(3x - 5)100 + (2y + 1)200 0
n
5
3
n
a. 9 . 27 = 3
b. (2 : 4) . 2 = 4
-2
4
n
7
-1
n
n
5
c. 3 . 3 . 3 = 3
d. 2 . 2 + 4. 2 = 9. 2
n
54 2
e. 125.5 5 5.25
f. (n ) = n
n
h. 2n+3 . 2 =32
n
g. 243 3 9.27
Bài 7: Tìm số tự nhiên n biết
x
x
x
2
0
x
a) 2 .4=128
b) 2 -15=17 c) 3 +25=26.2 +2.3
d) 27.3 =243
x
4
x
7
e) 49.7 =2401 g) 3 .3 =3
a. 2x+1 . 3 = 12
y
x
b. 10 : 5 = 20
x y
y
Bài 8.Tìm x, y
Bài 9. Tìm n
1
1
11
n
n
12 12
a. 4 . 25 2 . 5 20 .5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
4 4 4 6 6 6 6 6 6
3
n
b.
.
2
5
5
5
5
5
3 3
2 2
Dạng 3: Các bài toán so sánh:
Phương pháp:
Ta đưa về cùng cơ số rồi so sánh số mũ, hoặc đưa về cùng số mũ rồi so sánh cơ số. Chú ý, với các số nằm
từ 0 đến 1, lũy thừa càng lớn thì giá trị càng nhỏ. Ví dụ:
Cïng c¬ sè
Cïng sè mò
*
Víi m>n>0
Víi n N
m
n
n
NÕu x> y > 0 th× x >y
2n +1 2n+1
n
NÕu x> 1 th× x > x
m
n
x =1 th× x = x
x>y x >y
m
n
2
n
2n
0< x< 1 th× x < x
x y x y
2
n
2n
(
(
x) x
2
n1
2n1
x) x
BÀI TẬP
Bài 1: So sánh các lũy thừa sau
2
1
31
b) 2300 và 3200
a) 3 và 2
9
13
;
c) 32 và 18
Bài 2: So sánh
2
0
10
21
31
30
30
30
10
a) 99 và 9999 b) 3 và 2 ;
c) 2 + 3 + 4 và 3.24
1
7
23
Bài 3: a, 333 và 333
1
0
10
b, 2007 và 2008
c, (2008-2007)2009 và (1998 - 1997)1999
Bài 4:
3
00
200
300
e, 99 và 999910
f, 111979và 371320
g, 10 và 48.505
20
a, 2 và 3
5
00
b, 3 và 7
5
7
10
c, 8 và 3.4
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 24
TOÁN HỌC
LỚP 7
3
03
202
10
9
10
d, 202 và 303
h, 1990 + 1990 và 1991
2
3
n
Bài 5: a) Tính tổng S
n
=1+a+a +a …..+a
b) Áp dụng tính các tổng sau:
2
2008
1982
A 1 3 3 ... 3
2
B 1 2 2 ... 2
2
3
n1
n
C 7 7 7 ... 7 7
Bài 6: Chứng tỏ rằng các tổng sau được viết dưới dạng một số chính phương
3
3
M 1 2
3
3
3
N 1 2 3
3
3
3
3
3
P 1 2 3 4
3
3
3
3
Q 1 2 3 4 5
Bài 7: Viết tổng sau dưới dạng một lũy thừa của 2
2
3
2008
T 2 2 2 ... 2
Bài 8: So sánh
2
2008
2009
a)A 1 2 2 ... 2 và B 2 1
2
200
201
b)P 1 3 3 ... 3 và 3
2
2008
2009
c)E 1 x x ... x và F x (x N*)
Bài 9: Tìm số dư khi chia A cho 7 biết rằng
2
3
2008
2002
T 2 2 2 ... 2
Bài 10: Tìm
2
a) Số tự nhiên n biết
n
2
.P 3 3
2
100
P 3 3 ... 3
2
20
b) Chữ số tận cùng của A biết A 1 2 2 ... 2
Dạng 4: Các bài toán chứng minh chia hết:
Phương pháp:
-
Ta nhóm các hạng tử để xuất hiện thừa số chia hết hoặc dùng các phương pháp tính tổng và xét chữ
số tận cùng rồi chỉ ra chia hết.
-
-
Chú ý khi nhóm các số hạng, ta thường nhóm 2 hay 3 số hạng liền kề, hoặc nhóm cách quãng.
n
n
n
n
Sử dụng tính chất a –b (a-b); a +b (a+b)
BÀI TẬP:
Bài 1: : Chứng minh rằng
a) 2010100 + 2010 chia hết cho 2011
99
b) 31994 + 31993 – 31992 chia hết cho 11
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 25
TOÁN HỌC
LỚP 7
1
3
5
8
c) 4 + 32 – 8 chia hết cho 5
Bài 2:
Cho M = 3 + 3 + 3 + 3 +.....3
M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao?
2
3
4
100
2
3
118
119
N = 1 +3 + 3 + 3 +…+ 3 + 3
N có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?
Bài 3: Chứng minh
a, A = 102008 + 125 45
b, B = 52008 + 5
2007
+ 5 31
2006
8
20
c, M = 8 + 2 17
5
6
d, H = 313 . 299 – 313 . 36 7
2
3
60
Bài 4: Cho A = 2+ 2 + 2 +……+ 2
Chứng minh:
A3 , A7 , A5
Bài 5:
2
3
4
2007
a, D = 3 + 3 + 3 + 3 +……..+ 3 13
1
2
3
4
4n-1
4n
b, E = 7 + 7 + 7 + 7 +…. + 7
+ 7 400
Bài 6: Chứng minh rằng các tổng (hiệu) sau chia hết cho 10
a) 481 +19991999
n
b) 162001-82000
c) 192005+112004
f) 122004-21000
1
02 102
5
4
21
d) 8 -2
e)17 +24 -13
Bài 7: Chứng minh rằng số sau là một số tự nhiên:
Bài 8: Các tổng sau có là số chính phương không?
8
100 50
a) 10 +8
b) 100!+7
c) 10 +10 +1
Bài 9: chứng tỏ rằng
2
3
2007
a) A=3+3 +3 +….3 13
2
3
4n
b) B= 7+7 +7 +…7 400
Bài 10: Chứng tỏ rằng:
7
18
a) 8 -2 14
n+2
b) 122 +11 133
n+1
7
9
13
c) 81 -27 -9 405
6
d) 10 -57 59
2
8
e) 10 +8 72
Dạng 5: Tìm chữ số tận cùng của một giá trị lũy thừa
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 26
TOÁN HỌC
LỚP 7
*
Phương pháp : cần nắm được một số nhận xét sau :
) Tất cả các số có chữ số tận cùng là : 0 ; 1 ; 5 ; 6 nâng lên lũy thừa nào ( khác 0) cũng có chữ số tận
cùng là chính những số đó .
) Để tìm chữ số tận cùng của một số ta thường đưa về dạng các số có chữ số tận cùng là một trong các
chữ số đó .
+
+
+) Lưu ý : những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 6 và
nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 4 .
những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 1 và
nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 9
) Chú ý : 24 = 16 74 = 2401 34 = 81
+
84 = 4096
Ví dụ : Tìm chữ số tận cùng của các số : 20002008 , 11112008 , 987654321 , 204681012
.
Dựa vào những nhận xét trên học sinh có thể dễ dàng tìm được đáp án :
2
1
0002008 có chữ số tận cùng là chữ số 0
1112008 có chữ số tận cùng là chữ số 1
9
87654321 có chữ số tận cùng là chữ số 5
04681012 có chữ số tận cùng là chữ số 6.
2
BÀI TẬP :
Bài 1 : Tìm chữ số tận cùng của các số sau :
7
56
9
9
0072008 , 1358 2008 , 23456 , 52 , 204 , 2003
35
208
2005
96 1975
, 20072007 , 10231024
.
2
, 9 , 4 ,9 , 8
Hướng dẫn : Đưa các lũy thừa trên về dạng các lũy thừa của số có chữ số tận cùng là : 0 ; 1 ; 5 ; 6
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của tổng
2
3
96
a)A 5 5 5 ... 5
0
1
2
30
b)B 3 3 3 ... 3
2
3
100
c)C 2 2 2 ... 2
.
CHUYÊN ĐỀ IV: TỈ LỆ THỨC
a
c
Kiến thức cần nhớ: TØ lÖ thøc lμ ®¼ng thøc cña hai tØ sè b»ng nhau. hoÆc a : b = c : d (a,b,c,d Q;
b
d
b,d 0)
C¸c sè a,d lμ ngo¹i tØ .
b,c lμ ngo¹i tØ .
a
b
c
Từ tỷ lệ thức
suy ra a.d = b.c
d
Từ đẳng thức a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 cho ta các tỷ lệ thức:
a
b
c a b d c d
, ,
d c d b a c
b
a
,
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 27
TOÁN HỌC
LỚP 7
a
Từ tỷ lệ thức
b
c
a
b d c d
d b a c
b
a
suy ra các tỷ lệ thức: , ,
d
c
Tính chất của dãy tỷ lệ thức bằng nhau:
a
b
c
a
b
a c a c
b d b d
Từ tỷ lệ thức
suy ra các tỷ lệ thức sau:
, (b ≠ ± d)
d
a
b
c
i
suy ra các tỷ lệ thức sau:
d
j
a
b
c c i
b d j b d j
a c i
, (b, d, j ≠ 0)
CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Lập tỉ lệ thức từ các số đã cho:
Phương pháp:
Sử dụng tính chất: Từ đẳng thức a.d = b.c cho ta các tỷ lệ thức:
a
b
c a b d c d
,
d c d b a c
b
a
,
,
BÀI TẬP:
Bài 1:
a.Tìm các số bằng nhau trong các tỉ số sau rồi lập tỉ lệ thức
1
1 2
2
8:14; 2 : 2 ; 8: 4; : ; 3:10; 2,1: 7; 3: 03.
2
2 3
b.Các số sau có lập được tỉ lệ thức hay không?
3
2
a) 3,5: 5,25 và 14:21: b) 39 :52 và 2,1: 3,5;
10
5
2
c) 6,51: 15,19 và 3: 7; d) -7: 4 và 0,9: (-0,5).
3
Dạng 2: Tìm x từ tỉ lệ thức:
Phương pháp:
a
b
c
Dùng tính chất
suy ra a.d = b.c
d
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm x:
a) x: 15 = 8: 24
b) 36 : x
= 54 : 3
e) 1,56 : 2,88 = 2,6 : x g) 2,5 : 4x = 0,5 : 0,2
1
1
1
2
3x 2 3x 1
5x 7 5x 1
x 1 0,5x 2
c) 3 : 0,4 = x : 1
d) x:3 :0,25 f)
h)
2
7
5
3
2x 1
x 3
Bài 2: Tìm x:
a. 2x:6 = 5:3;
b.
;
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 28
TOÁN HỌC
LỚP 7
1
1 4
:(3x 2) :
12 21
1
(
2x 1)
3
2
d.
5
(2x 1)
c.
e.
x
2
3,6
f. - 0,52 : x = -9,36 : 16,38
2
7
x
60
x
2 x
f.
h.
8
x
15
2
5
1
2
5
k. 0,25x : 3 = : 0,125
6
i. 3,8 : 2x = : 2
4
3
Dạng 3: Chứng minh tỉ lệ thức
Phương pháp:
a
b
c
-
Đặt
=k, suy ra a=b.k; c=d.k rồi thay vào từng vế của đẳng thức cần chứng minh ta được cùng một biểu
d
thức. suy ra đpcm
a
b
c
-
Có thể dùng tính chất nếu
suy ra a.d = b.c để chứng minh;
d
-
-
Dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Có thể dùng cách đặt thừa số chung trên tử và mẫu để chứng minh:
Ví dụ:
BÀI TẬP:
a
b
c
Bài 1: Nếu
thì:
d
2
2
5
a 3b 5c 3d
7a 3ab 7c 3cd
a,
b,
2
2
2
2
5
a 3b 5c 3d
11a 8b
11c 8d
a b c a
a b c a
2
Bài 2: CMR: Nếu a bcthì
2
2
a
c
ac a c
Bài 3: Cho CMR
2
2
b
d
bd b d
4
4
4
a
c
a b
c d
a b
Bài 4:CMR: Nếu thì
4
4
b
d
c d
Bài 5: Cho a, b, c, d là 4 số khác nhau, khác không thỏa mãn điều kiện:
3
3
3
2
2
a b c
a
d
3
3
3
b ac;c bd và b c d 0
CM:
3
3
3
b c d
Dạng 4: Cho dãy tỉ số bằng nhau và một tổng, tìm x,y
Phương pháp:
-
Đầu tiên ta đưa về cùng một tỉ số:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 29
TOÁN HỌC
LỚP 7
(Ví dụ: bài cho
hay 4x=3y ta phải đưa về
; nếu bài cho
ta phải đưa về cùng
một tỉ số là
)
-
Sau đó dùng: + tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tính
+
Phương pháp thế( rút x hoặc y từ một biểu thức thế vào biểu thức còn lại
Đặt :
+
BÀI TẬP:
Bài 1:
x
y y
z
y z 1 x z 2 x y 3
1
a) ; và 2x + 3y – z = 186.
b)
3
4 5
7
x
y
z
x y z
x
y
6
z
và 5x+y-2z=28
c)
d) 3x=2y; 7x=5z, x-y+z=32
1
0
21
x
y y
z
2x 3y 4z
và x+y+z=49.
5
e) ;
và 2x -3 y + z =6. g)
3
4 3
5
3
4
x 1 y 2 z 4
h)
Bài 2:Tìm x,y
và 2x+3y-z = 50
2
3
4
x
y
3
4
2x
1
và 2x + 3y = 7
a)
và 2x+ 5y = 10
b)
c) 21x = 19y và x- y = 4
3y
3
x
y
3
2
2
d)
và x – y = 4 (x, y > 0).
5
Bài 3:Tìm x, y, z
x
y y
z
a) , , x y z 92
3 5
b) 2x = 3y = 5z, x+y-z = 95.
x y z
2
7
x
y
z
c)
y z 1 x z 1 x y 2
d)
1
+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y
2y
12
5x
4x
4x 5x
x
5x 12
5x 12
Chú ý: đây chính là bài toán chia một số M thành 3 phần tỉ lệ với a, b, c: Ta có
Bài 1:
a) Chia 3 góc của tam giác thành 3 phần tỉ lệ với 2, 3, 4
b) Tam giác ABC có 3 cạnh tỉ lệ với 4, 5, 7 và chu vì bằng 32cm. Tìm 3 cạnh tam giác.
Bài 2: Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, 9 tỉ lệ với các số 9; 8; 7; 6. Biết rằng số học sinh khối 9 ít hơn số học
sinh khối 7 là 70 học sinh. Tính số học sinh của mỗi khối.
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 30
TOÁN HỌC
LỚP 7
Bài 3: Theo hợp đồng, hai tổ sản xuất chia lãi với nhau theo tỷ lệ 3 : 5 .Hỏi mỗi tổ được chia bao nhiêu nếu
tổng số lãi là 12 800 000 đồng.
Bài 4: Tính độ dài các cạnh của một tam giác biết chu vi là 22 cm và các cạnh tỉ lệ với các số 2; 4; 5.
2
3 1
Bài 5: Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo : : . Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó
4 6
5
bằng 24309. Tìm số A.
Dạng 5: Cho dãy tỉ số, Tính giá trị một biểu thức
Phương pháp:
Cách 1: Đặt
; suy ra x=a.k; y=b.k; z=c.k rồi thay vào biểu thức.
Cách 2: Dùng tính chất tỉ lệ thức:
x
y
z
5
3x y 5z x y 3z
3x y 5z
z y 3z
từ đó tính được A=
2
3
6 3 25 2 315
BÀI TẬP:
z
y
z
3x 5y 5z
x y 3z
Bài 1: Cho
; ; Tính A
2
3
5
x
y
z
2x y z
Tính B=
Bài 2:
4
7
5
x 6y 5z
a b b c c a
Bài 3: Cho a , b ,c đôi một khác nhau và thỏa mãn
c
a
b
a b c
1 1
Tính giá trị của biểu thức P 1
b c a
Bài 4: Cho dãy tỉ số bằng nhau
a
b
c
d
Tính giá trị của biểu thức
b c d a c d a b d b c a
a b b c c d d a
M
c d a d a b b c
2
2
2
ab
bc
ca
ab bc ca
Bài 5: Cho các số a;b;c khác 0 thỏa mãn
Tính P
3
3
3
a b b c c a
a b b c c a
a b c
ab
bc
ca
1
1
1
1
1
1
HD :
a b b c c a
ab
bc
ca
b a c b a c
1
1
1
a b c P 1
a
b
c
a b c a b c a b c
(a b)(b c)(c a)
Tính
Bài 6: Cho
Bài 7: Cho
a
b
c
abc
a 3b c a b 3c a b 3c
a
b
c
Tính P=(3 ).(3 ).(3 )
c
a
b
b
c
a
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 31
TOÁN HỌC
LỚP 7
2
2
2
a
c
a c
a
b
Bài 8: Cho . Chứng minh rằng:
2
c
b
b c
Dạng 6: Cho dãy tỉ số bằng nhau và một tích, tìm x.y
Phương pháp:
-
Đưa về cùng tỉ số:
Cách 1: Đặt
Sau khi tìm được k ta thay vào x=a.k; y=b.k; z=c.k để tìm x, y ,z
; suy ra x=a.k; y=b.k; z=c.k rồi thay vào biểu thức để tìm k.
Cách 2: Nhân vào 2 vế x hoặc y (Ví dụ:
và x.y=12;ta có
)
Chú ý:
-
-
Dạng toán trên là dạng toán chia số M thành tích 3 số tỉ lệ với a, b, c
Đối với bài toán cho tỉ lệ. Tìm tỉ số
ta chỉ nhân quy đồng, chuyển các giá trị x về một vế, các giá trị
y về một vế, đưa về dạng a.x=b.y rồi suy ra
ẩn
hoặc đặt nhân tử chung y ở trên tử và dưới mẫu đưa về
BÀI TẬP:
Bài 1:Tìm x, y, z
x
y
a)
c)
và x.y = 84
b)
d)
và xyz=288
và x.y=250
3
7
và xyz=-528;
Bài 2: Chia số 960 thành tích của hai số tỉ lệ với 5 và 3
Bài 3:
a) Cho
Tìm
b) Cho
Tìm
Dạng 7: Ứng dụng TLT chứng minh bất đẳng thức
a
c
a
b
c
Tính chất 1:Cho 2 số hữu tỷ và với b> 0; d >0. CM:
ad bc
b
d
d
HD:
a
c
ad cb
+
+
Có b
d
ad bc
bd db
b 0;d 0
ad bc
ad bc
a
c
Có:
b 0;d 0
bd db
b
d
a
b
c
a
b
a c
b d
c
Tính chất 2: Nếu b > 0; d > 0 thì từ
d
d
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 32
TOÁN HỌC
LỚP 7
HD:
a
b
c
+
d
ad bc(1) thêm vào 2 vế của (1) với ab ta có:
b 0;d 0
ad ab bc ab
a
b
a c
b d
a
b d b c a
2
+
Thêm vào hai vế của (1) dc ta có:
ad dc bc dc
1
d
a c
c
b d
a c
b d
c
3
d
+
Từ (2) và (3) ta có:
a
b
c
a
b
a c
b d
c
Từ
(đpcm)
d
d
Tính chất 3: a; b; c là các số dương nên
a. Nếu
thì
b. Nếu
thì
BÀI TẬP:
Bài 1. Cho a; b; c; d > 0.
a
b
c
d
CMR: 1
2
a b c b c d c d a d a b
Giải:
a
+
Từ
1 theo tính chất (3) ta có:
a b c
a d
a b c d a b c
a
1
(do d>0)
a
a
Mặt khác:
2
a b c a b c d
a
a
a d
+
Từ (1) và (2) ta có:
3
a b c d a b c a b c d
Tương tự ta có:
b
b
b a
4
5
a b c d b c d a b c d
c
c
c b
a b c d c d a c d a b
d c
d+a+b+c d a b a b c d
d
d
6
Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo từng vế thì được:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 33
TOÁN HỌC
LỚP 7
a
b
c
d
1
2
a b c b c d c d a d a b
a
b
c
a
b
ab cd
b d
c
Bài 2. Cho
và b;d 0 CMR:
2
2
d
d
Giải:
a
b
c
a.b c.d
ab cd
Ta có
và b;d 0 nên
2
b
2
d
b.b d.d
d
a
b
ab ab cd cd
ab cd
b d
c
Theo tính chất (2) ta có:
2
2
2
2
2
2
b
b d
d
d
CHUYÊN ĐỀ VI : CĂN BẬC 2
Kiến thức cần nhớ:
(với a≥0) đọc là căn bậc hai của a
:
-
Một số a>0 luôn tồn lại hai căn bậc hai là
. Với a=0 có một căn bậc 2 là
-
Nếu số tự nhiên a không là số chính phương thì
là số vô tỉ
2
=
>x =a ( với x≥0)
Điều kiện để căn thức bậc hai có nghĩa:
Các công thức biến đổi.
có nghĩa là a ≥0
;
(a,b≥0)
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức và viết căn bậc hai của một số:
Bài 1: Tính
B=
C=
Bài 2: Viết căn bậc hai của các số sau: 3, 6, 9, 25, -16. 0
Dạng 2: So sánh hai căn bậc hai:
Phương pháp:
Dựa vào tính chất: nếu a>b≥0 thì
Bài 1: So sánh:
;
11 và
; 7 và
;
6
và
;
a) 2 27 và 147
b) -3 5 và - 5 3 c) 21, 2 7 , 15 3 , - 123
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 34
TOÁN HỌC
LỚP 7
d) 2 15 và 59
e) 2 2 - 1 và 2
f) 6 và 41
3
2
10
2
g)
và 1
h) -
và - 2 5 i) 6 - 1 và 3
8
3
3
4
1
4
1
2
15
5
j) 2 5 - 5 2 và 1
k)
và
l) 6
, 4
, - 132 , 2 3 ,
m) - 2 6 và - 23
q) 9 và 25 - 16
n) 2 6 - 2 và 3 o) 28 2, 14, 2 147, 36 4
r) 111 - 7 và 4 p) - 27, 4 3, 16 5 , 21 2
Dạng 3: Tìm x biết
Phương pháp:
f x a
Nếu a<0: thì không tồn tại x
2
Nếu a≥0 thì
suy ra f(x)=a . Từ đó tìm x
BÀI TẬP:
Bài 1: Tìm x
;
;
;
x-2 =0; x=-2
; x=
Bài 2:
2
l) 2x - 9 = - x r) ( x - 7)( x + 7) = 2
a) 3x - 1 = 4
g) - 3x + 4 = 12
1
2x + 5
3
1
4
b) x2 - 8x + 16 = 4 h) 9(x -1) = 21
m)
= 2
s)
- 2a = 3
2
c) 2 - 3x = 10
d) 4 - 5x = 12
i) 4x = 5
o) 5x + 3 = 3 - 2 t) - 4x + 25 = x
2
j) 4(1 - x) - 3 = 0 p) 16x = 8 u)
5 - 3x = 8 + 2 15
-6
-
3
= 2
2
2
e)
k) 3x - 5 = 2
q) (x - 3) = 3
v)
= 5
1 + x
2
+ x
x - 5
9
w) 4x - 20 - 3
= 1 - x x) 4x + 8 + 2 x + 2 - 9x + 18 = 1
a') x2 - 6x + 9 + x = 11
y) 3x - 4x + 3 = 1 - 2x
2
z) 16(x + 1) - 9(x + 1) = 4
b') 9x + 9 + 4x + 4 = x + 1
2
Dạng 3: f(x) =a
Phương pháp:
Nếu a<0: không tồn tại x
Nếu Nếu a≥0 thì f(x)=
hoặc f(x)= -
BÀI TẬP: Tìm x
2
2
2
x =9; 3.x -2=4; x =-18
;
Dạng 4: Tìm SỰ XÁC ĐỊNH của các biểu thức chứa căn .
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 35
TOÁN HỌC
LỚP 7
Phương pháp tìm điều kiện:
A xác định khi A 0
A
B
Cần lưu ý
xác định khi B # 0
BÀI TẬP:
Bài 1: Tìm điều kiện xác định
-
+ x
3
-2 6 + 23
- x + 5
a) 6x + 1
b) - 8x
g)
m)
n)
5 - 3x
6x - 4x
s)
2
h) (x + 5)2
t) 2011 - m
6
- 4
2 15 - 59
x - 7
c) 4 - 5x
i)
o) ( x - 7)( x + 7) u)
m + 2
1
6x - 1
x - 7
d) ( 3 - x)2
j)
p) (x - 6)6
v) 4z + 4z + 1
2
e) x2 + 2x +1
k) 2x + 5
q) -12x + 5
w) 49x - 24x + 4
2
1
4
3
12x + 5
f)
- 2a
l)
r) 2 - 4 5x +8
y)
1
2x - 1
3
Dạng V: Chứng minh một số là số vô tỉ:
Phương pháp:
Dùng phương pháp phản chứng
Ví dụ1: CM
Giả sử rằng
Như vậy
là một số vô tỉ
là một số hữu tỉ. Điều đó có nghĩa là tồn tại hai số nguyên a và b sao cho a /b =
.
có thể được viết dưới dạng một phân số tối giản (phân số không thể rút gọnđược
2
nữa): a / b với a, b là hai số nguyên tố cùng nhau và (a / b) = 2.
2
2
2
2
Từ (2) suy ra a / b = 2 và a = 2 b .
2
2
Khi đó a là số chẵn vì nó bằng 2 b (hiển nhiên là số chẵn)
2
Từ đó suy ra a phải là số chẵn vì a là số chính phương chẵn (số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ, số
chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn).
Vì a là số chẵn, nên tồn tại một số k thỏa mãn: a = 2k.
2
2
2
2
2
2
Thay (6) vào (3) ta có: (2k) = 2b 4k = 2b 2k = b .
2
2
2
2
Vì 2k = b mà 2k là số chẵn nên b là số chẵn, điều này suy ra b cũng là số chẵn (lí luận tương tự như (5).
Từ (5) và (8) ta có: a và b đều là các số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết a / b là phân số tối giản ở
(
2).
Ví dụ2: Chứng minh
Giả sử là số hữu tỉ => tồn tại m, n là hai số nguyên tố cùng nhau
sao cho = m/n
là số vô tỉ
=> 3 = m²/n² => n² = m²/3 (là số nguyên)
=> m² chia hết cho 3 mà 3 là số nguyên tố
=> m chia hết cho 3 (*)
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 36
TOÁN HỌC
LỚP 7
đặt m = 3p => m² = 9p², thay vào trên ta có:
n² = m²/3 = 9p²/3 = 3p²
=> p² = n²/3 là số nguyên => n² chia hết cho 3
và vì 3 nguyên tố => n chia hết cho 3 (**)
từ (*) và (**) thấy m và n đều chia hết cho 3 => mâu thuẩn với gt m, n nguyên tố cùng nhau
Vậy
là số vô tỉ
ĐỔI SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN
RA PHÂN SỐ TỐI GIẢN
=
=*==
I. Lí thuyết:
1
1
1
0,(1) ;
0,(01) ;
0,(001)
9
99
999
Như vậy ta thấy số chữ số 0 ở phần chu kó đúng bằng với số chữ số 9 của mẫu phần phân số trừ đi 1 nên
tổng quát ta sẽ có:
1
9...9
0,(00...01) với n chữ số chữ số 9 và n-1 chữ số 0
9
II. Áp dụng:
a) Viết số 0,(7);0,(3) dưới dạng một phân số tối giản?
1
7
9
Ta có : 0,(7)= 7.0,(1)=7. =
9
3
1
3
0
,(3)=3.0,(1)=
9
b) Viết số 0,(31);0,(71) dưới dạng một phân số tối giản?
1
1
1
1
3
3
1
310 31
=
Ta có : 0,(31)=0,(30)+0,(01)=3.1,(01).
+
=3.[1+0,(01)]
+
=
+( 1)
99 990 99
1
0 99
10 99 10 10
7
1
Tương tự 0,(71)=
9
9
c) Viết số 0,2(31) dưới dạng một phân số tối giản?
1
2
31 2.99 31 229
Ta có : 0,2(31) =0,2+0,0(31)= 0,2+0,(31).
=
=
990
1
0 10 990
990
d)Viết số 0,24(31) dưới dạng một phân số tối giản?
1
24
31 24.99 31 2407
Ta có : 0,24(31) =0,24+0,00(31)= 0,24+0,(31).
=
=
9900 9900
123384 10282
1
00 100 9900
e)Viết số 1,23(507) dưới dạng một phân số tối giản?
1
23 507 1
Ta có : 1,23(507)=1+0,23+0,(507).
=1+
100 999 100 99900 8325
1
00
*
Nhận xét:
-Nếu trước chu kì không có chữ số thập phân nào thì lấy chu kì làm tử còn mẫu thay bằng các chữ số 9
bằng đúng số chữ số ở chu kì
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 37
TOÁN HỌC
LỚP 7
-
Nếu trước chu kì còn chữ số thập phân thì tách thành tổng của số thân phân hữu hạn và số thập phân vô
hạn tuần hoàn rồi biến đổi như trường hợp trên.
Nếu phần nguyên khác 0 thì tách thành tổng của phần nguyên và một số thập phân VHTH
-
III. Trình tự chuyển đổi:
Bước 1:
Viết số thập phân VHTH dưới dạng tổng của các phần nguyên, số thập phân hữu hạn và số thập phân
VHTH mà trước chu kì không có chữ số thập phân nào
Bước 2:
Đổi các số thập phân hữu hạn và VHTH vữa tách được ra phân số rồi cộng các phần số vừa tìm được.
SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN – SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN.
I) Số thập phân hữu hạn – số thập phân vô hạn tuần hoàn
1) Ví dụ: Viết các phân số sau dưới dạng số thập phân
3
37
25
5
a)
c)
b)
d)
2
0
17
11
12
2) Quy ước viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng thu gọn
-
Ví dụ: 1,5454….. = 1, (54) 0,416666….. = 0,41(6)
;
II) Nhận xét:
*
Nếu một phân số có mẫu dương và không có các ước là số
nguyên tố khác 2 và 5 đều được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn.
Nếu một phân số có mẫu dương và có các ước nguyên tố
khác 2 và 5 thì được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
*
Dạng I: Nhận biết một phân số là số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn
Bài 1: Trong hai phân số sau phân số nào là số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn?
5
5
63
và
300 360
Bài 2: Trong các phân số sau phân số nào là số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn? Viết dạng thập phân
các phân số đó ( viết gọn chu kì trong dấu ngoặc)
5
8
3 4 15 14
; ;
20 11 22 35
;
;
3
Bài 3: Cho số A =
. Hãy điền vào ô vuông một số nguyên tố có 1 chữ số sao cho A là số thập phân
2
.
hữu hạn? Có mấy cách?
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 38
TOÁN HỌC
LỚP 7
Dạng 2: Viết một phân số hoặc một tỉ số dưới dạng số thập phân
Bài 1: Dùng dấu ngoặc để chỉ rõ chu kì trong các thương sau đây
a) 8,5 : 3
b) 18,7 : 6
c) 58 : 11
d) 14,2 : 3,33
Dạng 3: Viết số thập phân hữu hạn dưới dạng phân số tối giản
Bài 1: Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản
a) 0,32
b) – 0,124
c) 1,28
d) – 3,12
Dạng 4: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản
1) Cần nhớ các số thập phân vô hạn tuần hoàn đặc biệt:
1
1
1
0
,(1) = ;
0,(01) =
;
0,(001) =
9
99
999
2
) Đối với số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn
Số thập phân vô hạn tuần hoàn gọi là đơn nếu chu kì bắt đầu ngay sau dấu phẩy. Ví dụ: 0,(32)
+
1
32
99
+
Ví dụ:
0,(32) = 0,(01) . 32 =
. 32 =
9
;
9
1 1 1
,(3) = 1 + 0,(3) = 1 + 0,(1) . 3 = 1 + . 3 = 1 + . 3 = 1 + 1
9 9 3
1
3
1
3
) Đối với số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp
Sô thập phân vô hạn tuần hoàn được gọi là tạp nếu chu kì không bát đầu ngay sau đâu phẩy.Ví dụ:
+
2,3(41).
1
1 41
.
41
169
495
+
Ví dụ: 2,3(41) = 2,3 + 0,0(41) = 2,3 +
.0,(41)2,3
2,3
2
10
10 99
990
Bài 1: Các số sau có bằng nhau không? 0,(31) và 0,3(13)
Bài 2: Thực hiên phép tính
1
a) 0,(3) + 3 0,4(2)
b)
12,(1)2,3(6)
:4,(21)
3
4
1
4
3
c) 1,2(31)0,
13
d) 2 3,4(12)
9
2
Bài 3: Chứng tỏ rằng
a) 0,(27) + 0,(72) = 1
b) 0,(317) + 0,(682) = 1
9
2011
1
c) 0,(22) . 1
d)
0,(11).9
2
Bài 4: Tìm x biết
a) x : 0,(7) = 0,(32) : 2,(4)
b) 0,(17) : 2,(3) = x : 0,(3)
0
,1(6) 0,(3)
,(3) 1,1(6)
c) x : 0,(3) = 0,(12)
d)
.x 0,
2
0
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 39
TOÁN HỌC
LỚP 7
Bài 5:
Nối hàng I với hàng II cho đúng
I
0,(12)
1,(17)
121
90
1,3(4)
31
0,(31)
4
1
16
II
9
9
99
33
2
1n 4
không thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
CHUYÊN ĐỀ V: TỈ LỆ THUẬN-TỈ LỆ NGHỊCH
TỈ LỆ THUẬN TỈ LỆ NGHỊCH
Bài 6: Chứng tỏ rằng số
7
n
Kiến thức cần nhớ:
a
y tỉ lệ thuận với x <=> y = kx ( 0)
y tỉ lệ nghich với x <=> y = (yx =
x
chú ý : Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k
a)Chú ý: Nếu y tỉ lệ nghịch với x theo
hệ số tỉ lệ a thì x tỉ lệ nghịch với y
theo hệ số tỉ lệ a.
1.
Định nghĩa
thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ là
k
y1
x1
y2
x2
y3
x3
* y
1
x
1
= y x = y x = … = a;
2 2 3 3
*
=
=
= ... = k ;
x1 y2 x5 y2
x2 y1 x2 y5
*
=
;
=
; ….
x1 y1 ; x3 y3 ;
*
=
=
x5 y5
x2
y2
Nếu x, y, z tỉ lệ nghịch với a, b, c thì
Nếu x, y, z tỉ lệ thuận với a, b, c thì ta có:
x
1
a
y
1
b
z
1
c
Tính chất
ta có: ax = by = cz =
=
=
x
a
y
b
z
c
=
= .
Tỉ lệ thuận:
-
-
-
Nếu x và y liên hệ theo công thức y=k.x hoặc x=k.y ta nói x và y là hai đại lượng TLT
Nếu viết y=k.x thì k là hệ số tỉ lệ thuận của y so với x
Nếu viết x=k.y thì k là hệ số tỉ lệ thuận của x so với y
Tỉ lệ nghịch:
Nếu x và y liên hệ theo công thức y= hoặc x= hoặc x.y=k ta nói x và y là hai đại lượng TLN và k được
gọi chung là hệ số tỉ lệ nghịch.
CÁC DẠNG TOÁN:
Dạng 1: Tính hệ số tỉ lệ, biểu diễn x theo y, tính x (hoặc y) khi biết y (hoặc x),
Phương pháp:
-
Hệ số tỉ lệ thuận của y với x là: k= ; sau khi tính được k ta thay vào biểu thức y=k.x để được mối quan
hệ giữa y theo x.
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 40
TOÁN HỌC
LỚP 7
-
Hệ số tỉ lệ thuận của x với y là k= ; sau khi tính được k ta thay vào biểu thức x=k.y để được mối quan hệ
giữa x theo y.
Hệ số tỉ lệ nghịch là k=x.y; sau khi tính được k ta thay vào biểu thức y= hoặc x= để được mối quan hệ
-
giữa x và y.
Sau khi biểu diễn mối quan hệ giữa y và x, ta dựa vào đó để tính y khi biết x và ngược lại. Việc làm này
-
cũng giúp học sinh điền được các số liệu vào bảng chưa đầy đủ.(xem bài tập 3)
Ví dụ1: Cho x, y TLT và x=2, y=6
a) Tìm hệ số tỉ lệ thuận của y với x
b) Biểu diễn y theo x
c) Tính x khi y = 18, tính y khi x=5
Giải:
a) Hệ số tỉ lệ thuận của y với x là k=
b) Vì k=3 nên y=3x
c) Với y=18 suy ra 3.x=18, x=6
Với x=5 suy ra y=3.5=15
BÀI TẬP
Bài 1: Cho biết 2 đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau và khi x = 5 và y = 20
a, Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x.
b, Hãy biểu diễn y theo x.
c, Tính giá trị của y khi x = -5; x = 10
Bài 2: Cho hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau và khi x =2 thì y = 4.
a) Tìm hệ số tỉ lệ a;
b) Hãy biểu diễn x theo y;
c) Tính giá trị của x khi y = -1 ; y = 2.
Bai 3: Cho biết x và y là hai đậi lượng tỷ lệ thuận và khi x = 5, y = 20.
a) Tìm hệ số tỷ lệ k của y đối với x và hãy biểu diễn y theo x
b) Tính giá trị của x khi y = -1000.
Dạng 2 : Cho x và y TLT hoặc TLN, hoàn thành bảng số liệu.
Phương pháp:
-Tính k và biểu diễn x theo y(hoặc y theo x)
-Thay các giá trị tương ứng để hoàn thành bảng
Bài 1:
a.Cho x, y tỉ lệ thuận. Em hãy hoàn thành bảng sau
X
Y
2
6
-1
7
10
4
8
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 41
TOÁN HỌC
LỚP 7
b.Cho x, y tỉ lệ nghịch. Em hãy hoàn thành bảng sau
X
Y
2
6
-1
7
10
4
8
Bai 2:
a) Cho biết x và y là hai đậi lượng tỷ lệ thuận. Hãy hoàn thành bảng sau:
x
y
2
6
5
-1,5
12
-8
b) Cho biết x và y là hai đậi lượng tỷ lệ nghịch. Hãy hoàn thành bảng sau:
X
Y
3
6
9
-1,5
1,8
-0,6
Dạng 3 : Nhận biết hai đại lượng có TLT hay TLN.
Phương pháp:
-
Dựa vào bảng giá trị để nhận biết 2 đại lượng có tỉ lệ thuận với nhau không ta tính các tỉ số nếu cho
cùng một kết của thì x, y tỉ lệ thuận và ngược lại.(xem bài tập 4)
Dựa vào bảng giá trị để nhận biết 2 đại lượng có tỉ lệ nghịch với nhau không ta tính các tỉ số x.y nếu cho
-
cùng một kết của thì x, y tỉ lệ nghịch và ngược lại
Bài 1: x và y có là hai đại lượng TLT không biết:
x
y
2
4
-1
-2
5
3
6
11
22
7
10
14
x
y
2
4
-1
2
5
3
6
11
22
7
10
14
Bài 2: x và y có là hai đại lượng TLN không biết:
X
Y
2
-1
5
8
10
4
8
5
40
1
20
-40
X
Y
6
4
-1
5
3
8
12
2
1
-24
10
24
Dạng 4:Cho x TLT(TLN) với y, y TLT(TLN) với z . Hỏi mối quan hệ của x và z và tính hệ số tỉ lệ
Phương pháp:
-
Dựa vào đề bài biểu diễn x theo y, y theo z rồi thay y vào biểu thức trên để tìm mối quan hệ x-z, sau
đó kết luận.
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 42
TOÁN HỌC
LỚP 7
Bài 1: Cho x tỉ lệ thuận với y theo tỉ số k=4, y tỉ lệ thuận với z theo tỉ số k=3. Hỏi x tỉ lệ thuận hay tỉ lệ
nghịch với z và tỉ số bằng bao nhiêu?
Bài 2: cho x TLN với y theo k=2, y TLN với z theo k=6. Hỏi x và z TLT hay TLN k=?
Bài 3. Cho x TLT với y theo k=10, y TLN với z theo k=2. Hỏi x và z TLT hay TLN k=?
Dạng 5: Các bài toán đố:
Phương pháp:
-
Với những bài toán có hai đại lượng ta có thể lập tỉ số luôn. Nếu 2 đại lượng tỉ lệ thuận thì
nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch thì
,
.
-
Với các bài toán chia số phần, ta gọi các giá trị cần tìm là x,y,z rồi đưa về dãy tỉ số bằng nhau để giải, chú
ý:
Nếu các ẩn số x, y z tỉ lệ thuận với a,b,c thì
Nếu các ẩn số x, y z tỉ lệ nghịch với a,b,c thì a.x=b.y=c.z .
Ví dụ: Cứ 4kg dây điện dài 15m. Hỏi 3m dây điện nặng bao nhiêu kg.
Cách 1: Gọi khối lượng dây điện là x và chiều dài dây điện là y thì x và y là hai đại lượng TLT với HSTL
của x với y là
=4/15. Suy ra x=4/15y. Với y=3m suy ra x.
Cách 2: Gọi khối lượng tương ứng với 3m dây điện là x.
Ta có sơ đồ:
4kg dây------15m
X=?<------------3m
Vì khối lượng và chiều dài là hai đại lượng TLT nên
, suy ra x
BÀI TẬP
Bài 1:
a) Tìm hai số x; y biết x; y tỉ lệ thuận với 3; 4 và x + y = 14.
b) Tìm hai số a; b biết a; b tỉ lệ thuận với 7; 9 và 3a – 2b = 30.
c) Tìm ba số x; y; z biết x; y; z tỉ lệ thuận với 3; 4; 5 và x – y + z = 20.
d) Tìm ba số a; b; c biết a; b; c tỉ lệ thuận với 4; 7; 10 và 2a + 3b + 4c = 69.
Bài 2:
a) Chia số 99 thành ba phần tỉ lệ thuận với 2; 3; 4.
b) Chia số 494 thành bốn phần tỉ lệ thuận với 7; 11; 13; 25.
Bài 3:
a) Chia 180 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 6; 10; 15.
b) Cho tam giác có ba cạnh tỉ lệ thuận với 5; 13; 12 và chu vi là 156 mét. Tìm độ dài ba cạnh của tam
giác đó.
c) Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác biết chu vi của nó bằng 52 cm và ba cạnh tỉ lệ nghịch với 8; 9;
12.
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 43
TOÁN HỌC
LỚP 7
Bài 4:
a) Cho tam giác ABC có số đo ba góc
tỉ lệ thuận với 3; 11; 16. Tìm số đo các góc của tam giác
tỉ lệ nghịch với 15; 16; 48. Tìm số đo các góc của tam
ABC.
b) Cho tam giác ABC có số đo ba góc
giác ABC.
Bài 5:
a) Ba đơn vị góp vốn kinh doanh theo tỉ lệ 3; 5; 7. Hỏi mỗi đơn vị góp bao nhiêu tiền, biết tổng số vốn
góp được là 12 tỉ đồng?
b) Ba nhà sản xuất góp vốn theo tỉ lệ 7; 8; 9. Hỏi mỗi người nhận được bao nhiêu tiền lãi, biết rằng
tổng số tiền lãi là 720 triệu đồng và chia theo tỉ lệ góp vốn?
c) Tìm ba số a; b; c biết rằng a + b + c = 100; a và b tỉ lệ nghịch với 3 và 2; b và c tỉ lệ thuận với 4 và
3.
d) Tìm ba số a; b; c biết rằng 2a + 3b - 4c = 100; a và b tỉ lệ nghịch với 3 và 2; b và c tỉ lệ nghịch với 3
và 2.
Bài 6:
2
a) Cho hình chữ nhật có diện tích là 33,75 cm . Biết chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó tỉ lệ
với 5 và 3. Tính chu vi hình chữ nhật.
b) Cho biết 12 công nhân xây một căn nhà trong 96 ngày thì xong. Hỏi nếu có 18 công nhân thì xây
căn nhà đó hết bao nhiêu ngày? (Biết rằng năng suất làm việc của các công nhân là như nhau).
c) Tính số học sinh lớp 7A và 7B biết lớp 7A nhiều hơn lớp 7B là 7 học sinh và tỉ số học sinh của lớp
7A và 7B là 7:6.
d) Số học sinh khối 6; 7; 8; 9 tỉ lệ nghịch với 6; 8; 9; 12. Tính số học sinh mỗi khối biết tổng số học
sinh bốn khối là 700.
Bài 7:
a) Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 50 km/h thì mất 6 giờ. Hỏi nếu ô tô đó chạy từ A đến B với
vận tốc 30 km/h thì mất bao nhiêu thời gian?
b) Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 72 km/h thì mất 5 giờ. Hỏi nếu ô tô đó chạy từ A đến B với
vận tốc 60 km/h thì mất bao nhiêu thời gian?
c) Một đội công nhân làm đường lúc đầu dự định làm xong một con đường trong 30 ngày. Nhưng sau
đó đội bị giảm đi 10 công nhân nên đã hoàn thành con đường trong 40 ngày. Hỏi lúc đầu đội có bao
nhiêu công nhân? (biết rằng năng suất mỗi công nhân là như nhau).
d) Một đội công nhân xây dựng lúc đầu dự định xây xong một căn nhà trong 20 ngày. Nhưng sau đó đội
bị giảm đi 20 người nên đã hoàn thành trễ hơn dự định 10 ngày. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu công
nhân? (biết rằng năng suất mỗi công nhân là như nhau).
Bài 8:
3
a) Biết 5 lít nước biển chứa 160g muối, Hỏi muốn có 16 tấn muối cần bao nhiêu m nước biển?
3
b) Cho biết 5 lít nước biển chứa 175g muối, hỏi 3m nước biển chứa bao nhiêu kg muối?
3
3
c) Hai thanh đồng có thể tích 13 cm và 17 cm . Hỏi mỗi thanh đồng nặng bao nhiêu gam? Biết khối
lượng cả hai thanh là 192g.
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 44
TOÁN HỌC
LỚP 7
d) Học sinh của ba lớp 7 cần trồng và chăm sóc 24 cây xanh. Lớp 7A có 32 học sinh, lớp 7B có 28 học
sinh, lớp 7C có 36 học sinh. Hỏi mỗi lớp phải trồng và chăm sóc bao nhiêu cây xanh? Biết số cây
xanh mỗi lớp trồng tỉ lệ với số học sinh lớp đó.
Bài 9:
Cuối học kó I, tổng số học sinh khối 7 đạt loại giỏi và khá nhiều hơn số học sinh đạt trung bình là 45
em. Biết rằng số học sinh đạt loại giỏi, khá, trung bình tỉ lệ với 2; 5; 6.
a) Tính số học sinh giỏi, khá, trung bình của khối 7.
b) Tính số học sinh toàn bộ khối 7, biết rằng trong khối 7 có 15 học sinh xếp loại yếu và không có học
sinh kém.
c) Tính xem tỉ lệ phần trăm từng loại học sinh giỏi, khá, trung bình, yếu so với toàn bộ học sinh khối
7.
Bài 10:
Cho tam giác có số đo ba góc tỉ lệ với 2; 3; 4. Một học sinh nhận xét: “Tam giác trên là tam giác
nhọn”. Theo em nhận xét đó đúng hay sai? Vì sao?
CHUYÊN ĐỀ VII: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
+
Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được
chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số (gọi tắt là biến).
+
+
+
+
+
+
Nếu x thay đổi mà y không thay đổi thì y được gọi là hàm số hằng (hàm hằng).
Với mọi x
Với mọi x
1
; x
2
R và x
1
< x
2
mà f(x
1
) < f(x
2
) thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm đồng biến.
) thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm nghịch biến.
1
; x
2
R và x
1
< x
2
mà f(x
1
) > f(x
2
Hàm số y = ax (a 0) được gọi là đồng biến trên R nếu a > 0 và nghịch biến trên R nếu a < 0.
Tập hợp tất cả các điểm (x, y) thỏa mãn hệ thức y = f(x) thì được gọi là đồ thị của hàm số y = f(x).
Đồ thị hàm số y = f(x) = ax (a 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm (1; a).
DẠNG 1: Xác định xem đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x không:
Phương pháp:
Kiểm tra điều kiện: Mỗi giá trị của x được tương ứng với 1 và chỉ một giá trị của y
BÀI TẬP:
Kiểm tra y có phải là hàm số của đại lượng x trong các bảng sau không:
X
Y
-2
6
-1
4
0
2
1
0
2
0
3
8
X
Y
X
Y
2
4
6
5
0
2
7
7
1
0
8
9
2
0
9
8
3
1
4
-2
6
-1
4
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 45
TOÁN HỌC
LỚP 7
X
Y
-2
6
-1
4
0
2
1
0
0
8
Dạng 2:Tính giá trị của hàm số tại giá trị của một biến cho trước:
Phương pháp:
-
-
Nếu hàm số cho bằng bảng thì cặp giá trị tương ứng của x và y nằm cùng một cột.
Nếu hàm số cho bằng công thức ta thay giá trị của biến đã cho vào công thức để tính giá trị tương
ứng của đại lượng kia.
Ví dụ: Cho y=f(x)=3x+2 Tính f(2); f(-1)
Giải: Ta có f(2)=3.2+1=7; f(-1)=3.(-1)+1=-2
Dạng 3: Tìm tọa độ một điểm và vẽ một điểm đã biết tọa độ, tìm các điểm trên một đồ thị hàm số,
Biểu diễn các điểm lên hình và tính diện tích.
Phương pháp:
-
-
-
-
Muốn tìm tọa độ một điểm ta vẽ 2 đường thẳng vuông góc với hai trục tọa độ .
Để tìm một điểm trên một đồ thị hàm số ta cho bất kì 1 giá trị của x rồi tính giá trị y tương ứng.
Có thể tính diện tích trực tiếp hoặc tính gián tiếp qua hình chữ nhật.
Chú ý: Một điểm thuộc Ox thì tung độ bằng 0, thuộc trục Oy thì hoành độ bằng 0.
Ví dụ: Cho A(4;0); B(0;2); C(2;4) Biểu diễn A,B,C trên Oxy và tính diện tích tam giác ABC.
Giải: Ta có SABC
=
Dạng 4: Tìm hệ số a của đồ thị hàm số y=a.x+b khi biết một điểm đi qua. Qua hai điểm, cắt hai
trục….
Phương pháp:
Ta thay tọa độ điểm đi qua vào đồ thị để tìm a.
Ví dụ: cho y=a.x Tìm a biết đồ thị hàm số đi qua A(1;3)
Giải: Thay x=1; y=3 vào đồ thị ta được 3=a.1 => a=3. Vậy y=3x.
Ví dụ: Tìm a và b biết đồ thị y=a.x+b đi qua A(1,3) và B(2;5)
Giải: Vì A(1;3) và B(2;5) thuộc đồ thị nên thay tọa độ của A và B vào đồ thị ta được:
=>
=>
. Vậy y=2x+1
Dạng 5: Kiểm tra một điểm có thuộc đồ thị hàm số hay không
Phương pháp:
Thay giá trị của x và y vào đồ thị hàm số, nếu được đẳng thức đúng thì điểm đó thuộc đồ thị hàm số và
ngược lại.
Ví dụ: cho y=2x+1 các điểm sau có thuộc đồ thị hàm số không: A(1;3) ; B(3;2)
Giải: Thay tọa độ điểm A(1;3) vào đồ thị ta được: 3=2.1+1 (luôn đúng). Vậy điểm A(1;3) thuộc đồ thị.
Thay tọa độ điểm B(3;2) vào đồ thị ta được: 2=2.3+1 (vô lí) . Vậy B(3;2) không thuộc đồ thị.
Dạng 6: Cách lấy 1 điểm thuộc đồ thị và vẽ đồ thị hàm số y=ax, y=ax+b, đồ thị hàm trị tuyệt đối
Phương pháp:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 46
TOÁN HỌC
LỚP 7
-
Để lấy 1 điểm thuộc đồ thị ta cho 1 giá trị bất kì của x rồi tinh y hoặc ngược lại.
-
Để vẽ đồ thị Ta lấy 2 điểm mà đồ thị hàm số đi qua( Bằng cách cho bất kì giá trị của x để tìm y) rồi nối
2
-
điểm đó sẽ là đồ thị hàm số.
Với đồ thị hàm số y=ax, ta chỉ lấy 1 điểm rồi nối với gốc tọa độ.
Chú ý: Đồ thị hàm số y=a là đường thẳng song song Ox cắt Oy tại a. Đồ thị hàm số x=b là đường
thẳng song song Oy cắt Ox tại b.
Dạng 7: Tìm giao điểm của 2 đồ thị y=f(x) và y=g(x), Chứng minh và tìm điều kiện để 3 đường
thẳng đồng quy
Phương pháp:
Cho f(x)=g(x) để tìm x rồi suy ra y và giao điểm
Ví dụ: Tìm giao điểm của y=2x với y=3x+2
Giải: Xét hoành độ giao điểm thỏa mãn: 2x=3x+2 suy ra x=-2 => y=-4. Vậy 2 đồ thị giao nhau tại A(-
2
;-4).
Dạng 8: chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
Phương pháp:
Để chứng minh 3 điểm thẳng hàng, ta lập tỉ số x/y và suy ra 3 điểm đó cùng thuộc một đồ thị hoặc viết
đồ thị đi qua một điểm rồi thay tạo độ 2 điểm còn lại vào. Ngược lại một trong các tỉ số x/y không bằng
nhau thì 3 điểm không thẳng hàng.
Ví dụ: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng: A( 1;2) ; B(2;4) ; C(3;6)
Giải: Ta có:
nên 3 điểm A,B,C thẳng hàng (cùng nằm trên đồ thị hàm số y=2x)
Ví dụ: Cho A( 1;2) ; B(2;4); C(2a; a+1). Tìm a để A,B,C thẳng hàng.
Giải:
Cách 1: A,B,C thẳng hàng khi:
Cách 2: Ta có: nên A và B nằm trên đường thẳng y=2x. Để A,B,C thẳng hàng thì C(2a;a+1)
suy ra a+1=2.2a hay
suy ra
=> a+1=2.2a hay
Dạng 9: cho bảng số liệu, hỏi hàm số xác định bởi công thức nào, hàm số là đồng biến hay nghịch
biến.
Phương pháp:
Ta dung bài toán TLT,TLN để tính k rồi biểu diễn y theo x. Để xem hàm số đồng biến hay nghịch biến
1 2 1 2
ta dựa vào hệ số a hoặc chứng minh nếu x > x thì f(x ) > f(x )
Ví dụ: Cho bảng số liệu sau, xác định hàm số y theo x và cho biết hàm số đồng biến hay nghịch biến:
x
y
1
3
2
6
4
6
12
18
Giải: Ta có:
nên y=3x. Vì a>0 nên hàm số đồng biến
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 47
TOÁN HỌC
LỚP 7
Dạng 10: Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau. Song song, trùng nhau, vuông góc.
Hai đường thẳng
Cắt nhau: a
1
≠ a
2
Song song:
Trùng nhau:
Ví dụ: Cho y=(a+1)x -2 và y=2x. Tìm a để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau.
Giải:
-
-
-
Hai đường thẳng cắt nhau khi: a
Hai đường thẳng song song khi: a
Vì b ≠b nên hai đường thẳng không trùng nhau.
BÀI TẬP:
1
≠ a
2
=> a+1 ≠ 2, hay a≠1.
1
= a
2
( vì b ≠b ) => a+1 = 2, hay a=1.
1
2
1
2
2
Bài 1: Cho hàm số y = f(x) = 4x – 9
1
a. Tính f(-2); f ( )
2
b. Tìm x để f(x) = -1
c. Chứng tỏ rằng với x R thì f(x) = f(-x)
1
4
Bài 2: Viết công thức của hàm số y = f(x) biết rằng y tỷ lệ thuận với x theo hệ số tỷ lệ
1 2 1 2
a. Tìm x để f(x) = -5 b. Chứng tỏ rằng nếu x > x thì f(x ) > f(x )
Bài 3: Viết công thức của hàm số y = f(x) biết rằng y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số a =12.
a.Tìm x để f(x) = 4 ; f(x) = 0 b.Chứng tỏ rằng f(-x) = -f(x)
Bài 4: Cho hàm số y = f(x) = kx (k là hằng số, k 0). Chứng minh rằng:
a/ f(10x) = 10f(x) b/ f(x + x ) = f(x ) + f(x c/ f(x
1
2
1
2
)
1 2 1 2
- x ) = f(x ) - f(x )
Bài 5 : Đồ thị hàm số y = ax đi qua điểm A (4; 2)
a. Xác định hệ số a và vẽ đồ thị của hàm số đó.
b. Cho B (-2, -1); C ( 5; 3). Không cần biểu diễn B và C trên mặt phẳng tọa độ, hãy cho biết ba điểm A, B,
C có thẳng hàng không?
1
8
. Không vẽ đồ thị của chúng em hãy tính tọa độ
Bài 6 : Cho các hàm số y = f(x) = 2x và y g(x)
x
giao điểm của hai đồ thị.
1
Bài 7. Cho hàm số: y x
a. Vẽ đồ thị của hàm số.
3
b. Trong các điểm M (-3; 1); N (6; 2); P (9; -3) điểm nào thuộc đồ thị (không vẽ các điểm đó)
2
Bài 8 :: Vẽ đồ thị của hàm số y (2x x )
3
Bài 9 : Hàm số f(x) được cho bởi bảng sau:
x
-4
8
-3
6
-2
4
Y
a) Tính f(-4) và f(-2)
b) Hàm số f được cho bởi công thức nào?
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 48
TOÁN HỌC
LỚP 7
2
Bài 10 : Cho hàm số y = f(x) = 2x + 5x – 3. Tính f(1); f(0); f(1,5).
Bài 11: Cho đồ thị hàm số y = 2x có đồ thị là (d).
a) Hãy vẽ (d).
b) Các điểm nào sau đây thuộc (d): M(-2;1); N(2;4); P(-3,5; 7); Q(1; 3)?
Bài 12: Cho hàm số y = x.
a) Vẽ đồ thị (d) của hàm số .
b) Gọi M là điểm có tọa độ là (3;3). Điểm M có thuộc (d) không? Vì sao?
c) Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với (d) cắt Ox tại A và Oy tại B. Tam giác OAB là tam giác
gì? Vì sao?
Bài 13: Xét hàm số y = ax được cho bởi bảng sau:
x
1
3
5
-2
Y
15 -6
a) Viết rõ công thức của hàm số đã cho.
b) Hàm số đã cho là hàm số đồng biến hay nghịch biến? Vì sao?
CHUYÊN ĐỀ VIII: THỐNG KÊ
Dạng 1: Khai thác thông tin từ bảng thống kê: Ta cần xem xét
-
-
-
-
Dấu hiệu của bảng thống kê: Là nội dung thống kê( được ghi bên trên bảng thống kê)
Số các giá trị của dấu hiệu: Bằng số hàng x số cột.
Số các giá trị khác nhau của dấu hiệu: Là các giá trị khác nhau trong bảng thống kê.
Tần số của các giá trị khác nhau
Dạng 2: Lập bảng tần số và rút ra nhận xét
-
-
-
Vẽ khung HCN hai dòng hoặc hai cột (bảng dọc hoặc ngang)
Dòng trên ghi các giá trị khác nhau của dấu hiệu theo chiều tăng dần
Dòng dưới ghi tần số tương ứng của chúng. Bên dưới ghi them giá trị N
Bảng ngang:
Giá trị x
Tần số
N=
Bảng dọc:
Giá trị x
Tần số n
N=
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 49
TOÁN HỌC
LỚP 7
+
-
Nhận xét:
Số các giá trị của dấu hiệu: (số hàng x số cột)
Số các giá trị khác nhau của dấu hiệu
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giá trị có tần số lớn nhất.
Các giá trị thuộc khoảng nào là chủ yếu
-
-
-
Ví dụ: Cho điểm kiểm tra lớp 7A:
5
5
6
8
5
8
5
6
5
8
5
9
7
6
9
8
10
10
7
6
6
5
6
9
10
9
7
5
7
5
6
8
8
9
5
6
8
7
5
6
7
8
10
8
9
10 10
5
6
7
a. Nêu dấu hiệu thống kê?
b. Lập bảng tần số và rút ra NX
Giải:
a. Dấu hiệu thống kê: Là điểm kiểm tra lớp 7A
b. Bảng tần số:
Giá trị x
Tần số n
5
6
7
8
9
12
10
7
9
6
10
6
N=50
Nhận xét:
-
-
-
-
Số các giá trị của dấu hiệu: 50 giá trị.
Số các giá trị khác nhau của dấu hiệu: 6 giá trị.
Giá trị lớn nhất là 10, giá trị nhỏ nhất là 5, giá trị có tần số lớn nhất là 6.
Các giá trị chủ yếu thuộc từ 5 đến 6.
Dạng 3: Dựng biểu đồ đoạn thẳng hoặc biểu đồ HCN
-
-
-
-
Lập bảng tần số
Dựng hệ trục Oxy, trục Ox là các giá trị x, Trục Oy là tần số .
Vẽ các điểm ứng với giá trị và tần số trong bảng ta được biểu đồ đoạn thẳng.
Nếu thay các đoạn thẳng bằng HCN ta được biểu đồ HCN. (Chú ý tỉ lệ)
Dạng 4: Vẽ biểu đồ hình quạt
Lập bảng tần số và tần suất f ( Với f=n/N) và tính góc ở tâm α=360 .f rồi vẽ hình tròn chia thành các
0
-
hình quạt với góc ở tâm tương ứng với tần suất
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 50
TOÁN HỌC
LỚP 7
Giá trị x
Tần số n
Tần suất f
f=n/N (%)
Góc ở tâm
α=3600.f
Dạng 5: Tính Số trung bình cộng , Tìm Mốt của dấu hiệu.
-
Số trung bình cộng
x n + x n + x n + ... + x n
k
1
1
2
2
3
3
k
X =
0
Tìm Mốt: M là giá trị x có tần số lớn nhất, có thể có vài giá trị M0.
N
-
-
Nên kẻ bảng tần số kết hợp với tính số trung bình cộng và Mốt:
Giá trị x Tần số n x.n
M
0
x
1
n
1
x
1.
n
1
…
..
---
0
M =
x
n
n
n
x
n.
n
n
N=
Tổng:
Chú ý: với những bài toán cột giá trị của x thuộc một khoảng, ta kẻ thêm cột tính giá trị trung binh
bằng= (số đầu + số cuối):2 ( cột này đóng vai trò như cột giá trị x thông thường) rồi thực hiện phép
tính như bình thường.
Ví dụ: cho bảng tần số sau:
Giá trị x
Tần số n
5
6
7
8
9
12
10
7
9
6
10
6
N=50
Tính giá trị trung bình và Mốt?
Giải: Bảng tính giá trị trung bình và Mốt:
Giá trị x
Tần số n
12
x.n
M
0
5
6
60
60
=
0
M =5
10
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 51
TOÁN HỌC
LỚP 7
7
8
9
7
49
9
6
72
54
10
6
60
N=50
Tổng: 355
Ví dụ: Khối lượng mỗi học sinh lớp 7C được ghi ở bảng sau (đơn vị là kg). Tính số trung bình cộng.
Khối lượng (x)
Trên 24 – 28
Trên 28 – 32
Trên 32 – 36
Trên 36 – 40
Trên 40 – 44
Trên 44 – 48
Trên 48 – 52
Tần số (n)
2
8
12
9
5
3
1
Giải:
Khối lượng (x)
Khối lượng TB
Tần số (n)
x.n
52
Trên 24 – 28
Trên 28 – 32
Trên 32 – 36
Trên 36 – 40
Trên 40 – 44
Trên 44 – 48
Trên 48 – 52
26
30
34
38
42
46
50
2
8
240
408
342
210
138
50
12
9
5
3
1
BÀI TẬP:
Bài 1: Một bạn học sinh đã ghi lại một số việc tốt (đơn vị: lần ) mà mình đạt được trong mỗi ngày học, sau
đây là số liệu của 10 ngày.
Ngày thứ
1
2
2
1
3
3
4
3
5
4
6
5
7
2
8
3
9
3
10
1
Số việc tốt
a) Dấu hiệu mà bạn học sinh quan tâm là gì ?
b) Hãy cho biết dấu hiệu đó có bao nhiêu giá trị ?
c) Có bao nhiêu số các giá trị khác nhau ? Đó là những giá trị nào ?
d) Hãy lập bảng “tần số”.
Bài 2: Năm học vừa qua, bạn Minh ghi lại số lần đạt điểm tốt ( từ 8 trở lên ) trong từng tháng của mình như
sau:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 52
TOÁN HỌC
LỚP 7
Tháng
Số lần đạt điểm tốt
9
4
10 11
12
5
1
2
2
1
3
6
4
4
5
5
5
7
a) Dấu hiệu mà bạn Minh quan tâm là gì ? Số các giá trị là bao nhiêu ?
b) Lập bảng “tần số” và rút ra một số nhận xét.
c) Hãy vẽ biểu đồ đoạn thẳng.
Bài 3: Một cửa hàng bán Vật liệu xây dựng thống kê số bao xi măng bán được hàng ngày ( trong 30 ngày )
được ghi lại ở bảng sau.
20
35
15
20
25
40
25
20
30
35
30
20
35
28
30
15
30
25
25
28
20
28
30
35
20
35
40
25
40
30
a) Dấu hiệu mà cửa hàng quan tâm là gì ? Số các giá trị là bao nhiêu ?
b) Lập bảng “tần số”.
c) Hãy vẽ biểu đồ đoạn thẳng, rồi từ đó rút ra một số nhận xét.
d) Hỏi trung bình mỗi ngày cửa hàng bán được bao nhiêu bao xi măng ? Tìm mốt của dấu hiệu.
Bài 4: Điểm kiểm tra Toán ( 1 tiết ) của học sinh lớp 7B được lớp trưởng ghi lại ở bảng sau:
Điểm số (x)
Tần số (n)
3
1
4
2
5
6
6
7
8
8
9
2
10
3
13
10
N = 45
a) Dấu hiệu ở đây là gì ? Có bao nhiêu học sinh làm bài kiểm tra ?
b) Hãy vẽ biểu đồ đoạn thẳng và rút ra một số nhận xét.
c) Tính điểm trung bình đạt được của học sinh lớp 7B. Tìm mốt của dấu hiệu.
d) Nếu mỗi giá trị dấu hiệu tăng 10 lần thì trung bình cộng thay đổi thế nào?
Bài 5: Điểm trung bình môn Toán cả năm của các học sinh lớp 7A được cô giáo chủ nhiệm ghi lại như sau:
6,5
7,3
5,5
4,9
8,1
5,8
7,3
6,5
5,5
6,5
7,3
9,5
8,6
6,7
9,0
8,1
5,8
5,5
6,5
7,3
5,8
8,6
6,7
6,7
7,3
6,5
8,6
8,1
8,1
6,5
6,7
7,3
5,8
7,3
6,5
9,0
8,0
7,9
7,3
5,5
a) Dấu hiệu mà cô giáo chủ nhiệm quan tâm là gì ? Có bao nhiêu bạn trong lớp 7A ?
b) Lập bảng “tần số”. Có bao nhiêu bạn đạt loại khá và bao nhiêu bạn đạt loại giỏi ?
c) Tính điểm trung bình môn Toán cả năm của học sinh lớp 7A . Tìm mốt của dấu hiệu.
d) Nếu mỗi giá trị dấu hiệu giảm 20 lần thì trung bình công thay đổi như thế nào?
Bài 6: Một trại chăn nuôi đã thống kê số trứng gà thu được hàng ngày của 100 con gà trong 20 ngày được
ghi lại ở bảng sau :
Số lượng (x)
70
75
80
86
88
90
95
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 53
TOÁN HỌC
LỚP 7
Tần số (n)
1
1
2
4
6
5
1
N = 20
a) Dấu hiệu ở đây là gì ? Có bao nhiêu giá trị khác nhau, đó là những giá trị nào ?
b) Hãy vẽ biểu đồ hình quạt và rút ra một số nhận xét.
c) Hỏi trung bình mỗi ngày trại thu được bao nhiêu trứng gà ? Tìm mốt của dấu hiệu.
Bài 7: Biểu đồ hình chữ nhật biểu diễn số trẻ em được sinh ra trong các năm từ 1998 đến 2002 ở một
2
50
huyện.
2
00
1
50
150
1
00
1
998
1999
2000
2001
2002
a) Hãy cho biết năm 2002 có bao nhiêu trẻ em được sinh ra ? Năm nào số trẻ em sinh ra được nhiều
nhất ? Ít nhất ?
b) Sao bao nhiêu năm thì số trẻ em được tăng thêm 150 em ?
c) Trong 5 năm đó, trung bình số trẻ em được sinh ra là bao nhiêu ?
Bài 8: Có 10 đội bóng tham gia một giải bóng đá. Mỗi đội phải đá lượt đi và lượt về với từng đội khác.
a) Mỗi đội phải đá bao nhiêu trận trong suốt giải ?
b) Số bàn thắng qua các trận đấu của một đội trong suốt mùa giải được ghi lại dưới đây :
Số bàn thắng (x)
Tần số (n)
1
6
2
5
3
3
4
1
5
1
N = 16
Hãy vẽ biểu đồ đoạn thẳng.
c) Có bao nhiêu trận đội bóng đó không ghi được bàn thắng ? Có thể nói đội bóng này đã thắng 16 trận
không ?
Bài 9: Có 10 đội bóng tham gia một giải bóng đá. Mỗi đội phải đá lượt đi và lượt về với từng đội khác.
a) Có tất cả bao nhiêu trận trong toàn giải ?
b) Số bàn thắng trong các trận đấu của toàn giải được ghi lại ở bảng sau :
Số bàn thắng (x)
Tần số (n)
1
2
3
4
5
8
6
6
7
4
8
2
12
16
20
12
N = 80
Hãy vẽ biểu đồ đoạn thẳng và nhận xét.
c) Có bao nhiêu trận không có bàn thắng ?
d) Tính số bàn thắng trung bình trong một trận của cả giải .
e) Tìm mốt của dấu hiệu.
Bài 10: Khối lượng mỗi học sinh lớp 7C được ghi ở bảng sau (đơn vị là kg). Tính số trung bình cộng.
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 54
TOÁN HỌC
LỚP 7
Khối lượng (x)
Trên 24 – 28
Trên 28 – 32
Trên 32 – 36
Trên 36 – 40
Trên 40 – 44
Trên 44 – 48
Trên 48 – 52
Tần số (n)
2
8
12
9
5
3
1
Bài 11: Diện tích nhà ở của các hộ gia đình trong một khu dân cư được thống kê trong bảng sau (đơn vị :
2
m ) . Tính số trung bình cộng.
Diện tích (x)
Tần số (n)
Trên 25 – 30
Trên 30 – 35
Trên 35 – 40
Trên 40 – 45
Trên 45 – 50
Trên 50 – 55
Trên 55 – 60
Trên 60 – 65
Trên 65 – 70
6
8
11
20
15
12
12
10
6
Bài 12: Số học sinh nữa của 1 trường được ghi lại như sau:
20
20
23
21
20
20
22
A
21
23
19
b
20
21
22
c
19
20
22
23
a. Hãy nêu các giá trị khác nhau của dấu hiệu, tìm tần số của từng giá trị đó, cho biết a,b,c là ba số tự
nhiên chẵn liên tiếp tăng dần và a + b + c = 66.
b. Hãy nêu các giá trị khác nhau của dấu hiệu, lập bảng tần số ,tính trung bình cộng và vẽ biểu đồ đoạn
thẳng, cho biết a,b,c là ba số tự nhiên lẻ liên tiếp tăng dần và a + b + c = 63.
Bài 13: Trong một kỳ thi học sinh giỏi lớp 7, điểm số được ghi như sau: (thang điểm 100)
17
58
39
43
38
40
60
89
96
66
33
10
56
25
96
97
99
68
56
10
73
56
55
31
37
89
96
88
49
49
45
45
75
88
56
44
56
59
23
56
43
10
37
39
56
73
60
10
34
55
a/ Hãy cho biết điểm cao nhất, điểm thấp nhất.
b/ Số học sinh đạt từ 80 trở lên.
c/ Số học sinh khoảng 65 đến 80 điểm
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 55
TOÁN HỌC
LỚP 7
d/ Các học sinh đạt từ 88 điểm trở lên được chọn vào đội tuyển học sinh giỏi. Có bao nhiêu bạn được cấp
học bổng trong đợt này.
e/ Lập bảng tần số.
f/ Tính điểm trung bình.
g/ Tìm Mốt.
Bài 14:
a. Hãy hoàn thành bảng số liệu sau.
Giá trị x
Tần số n
x.n
5
7
8
9
7
35
*
*
*
*
54
6
N=22
Tổng: 157
b. Hoàn thành bảng số liệu:
Giá trị x
Tần số n
x.n
6
7
7
42
*
*
*
10
2
*
72
1
6
N=22
Tổng: 195
Bài 15 :
a. Trung bình cộng của sáu số là 7. Nếu bỏ một số thì trung bình cộng của năm số còn lại là 3. Tìm số đã
bỏ.
b. Cho bảng tần số sau:
Giá trị (x)
Tần số (n)
5
6
9
2
5
N
1
X = 6,8
10
Tìm giá trị n.
c. Trung bình cộng của 4 số là 10. Nếu bỏ một số thì trung bình cộng của ba số còn lại là 12. Tìm số đã
bỏ.
d. Tuổi trung bình 11 cầu thủ là 20 tuổi, nếu bỏ thủ môn thì tuổi trung bình là 19,7 tuổi. Tính tuổi thủ
môn?
e. Cho bảng tần số sau:
f.
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 56
TOÁN HỌC
LỚP 7
Giá trị (x)
Tần số (n)
4
7
4
5
1
0
1
4
X = 7,75
1
N
Tìm giá trị n.
Bài 16: Cho bảng thống kê:
5
0
0
23
x
56
66
78
98
x
70
y
34
44
y
98
78
66
55
6
100
44
40
80
60
70
Hoàn thành bảng số liệu trên biết y lớn hơn x là 10 và tổng của x và y là 80.
Bài 17: Cho số lượng nữ học sinh từng lớp trong trường THCS như sau:
2
0
23
25
19
y
x
24
25
20
21
x
24
23
27
23
Tìm x và y biết giá trị 25 có tần số là 3 và x+y=48
Bài 18: Trong kì thi Toán của một lớp có 3 tổ A,B,C. Điểm trung bình các tổ thống kê như sau:
Tổ
A
9
B
C
A và B
8,9
B và C
8,2
Điểm TB
8,8
7,8
Biết tổ A có 10 học sinh. Tính số học sinh từng tổ và điểm trung bình cả lớp.
HD: Điểm trung bình của 2 tổ tính theo CT:
với x, y là số học sinh, A và B là điểm TB
Bài 19: Cho bảng tần số:
Giá trị x
Tần số n
110
5
115
2
120
4
125
3
2012
2
N=16
a. Lập bảng thống kê ban đầu?
b. Có thể dung số trung bình cộng để đại diện cho dấu hiệu được không? Vì sao?
Bài 20: Một bảng thống kê cho biết tỉ lệ nữ và nam là 11:10. Tuổi trung bình của nữ là 34, của nam là 32.
Tính tuổi trung bình của những người được thống kê?
CHUYÊN ĐỀ IX: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
Dạng 1: Đọc và viết biểu thức đại số theo yêu cầu bài toán:
Phương pháp: Ta đọc phép toán trước (nhân chia đọc trước, cộng trừ sau), đọc các thừa số sau.
2
3
Chú ý: x : Đọc là bình phương của x, x : Lập phương của x
Ví dụ: x-4: Hiệu của x và 4; 3.(x+5): Tích của 3 với tổng của x và 5.
BÀI TẬP:
Bài 1: Viết biểu thức đại số:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 57
TOÁN HỌC
LỚP 7
a. Tổng các lập phương của a và b
b. Bình phương của tổng 3 số a,b,c
c. Tích của tổng hai số x và 4 với hiệu hai số x và 4
d. Viết biểu thức tính diện tích hình thang có hai đáy a,b chiều cao h
e. Viết biểu thức biểu diễn tổng các bình phương 2 số lẻ liên tiếp.
f. Viết biểu thức biểu diễn tích 4 số nguyên liên tiếp.
g. Tích hai số lẻ liên tiếp.
h. Tổng hai số chẵn liên tiếp.
i. Tích của tổng hai số x,y và hiệu các bình phương của hai số đó.
j. Tổng của tích hai số x,y với 5 lần bình phương của tổng 2 số đó.
HD:
a, a +b3 b, (a+b+c)2 c, (x+4)(x-4) d, (a+b).h:2 e, (2n+1) +(2n+3)2 f, n(n+1)(n+2)(n+3).
3
2
2
2
2
g, (2n+1)(2n+3) h, 2n+(2n+2) i, xy(x -y ) xy+5(x+y)
Bài 2: Đọc các biểu thức sau:
a. 7x2
b. (x+5)2 c. (x-4)(x+4)
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức đại số :
Phương pháp :
Bước 1: Thu gọn các biểu thức đại số.
Bước 2: Thay giá trị cho trước của biến vào biểu thức đại số.
Bước 3: Tính giá trị biểu thức số.
Chú ý:
|
|
|
|
|
a| = |b| thì a=b hoặc a=-b
a| + |b| =0 khi a=b=0
a| + |b| ≤ 0 khi a=b=0
2
n
a| + b ≤ 0 khi a=b=0
a| = b (Đk: b≥ 0) suy ra a=b hoặc a=-b
BÀI TẬP:
Bài 1 : Tính giá trị biểu thức
1
1
3
3
2
2
3
2
2
3
3
a) A = 3x y + 6x y + 3xy tại x ; y
b) B = x y + xy + x + y tại x = –1; y = 3
2
2
2
2
2
tại x =0,5 và y = -1.
c)C 0, 25 xy 3 x y 5 xy xy x y 0, 5 xy
1
1
2
3
2
3
tại x = 0,1 và y = -2.
d) D xy x y 2xy 2x x y y 1
2
2
Bài 2 : Cho đa thức
4
2
P(x) = x + 2x + 1;
4
3
2
Q(x) = x + 4x + 2x – 4x + 1;
1
Tính : P(–1); P( ); Q(–2); Q(1);
2
4
2
HD: P(-1) =(-1) +2(-1) +1=4; P
=
; Q(-2)=1; Q(1)=4
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 58
TOÁN HỌC
LỚP 7
Bài 3: Tính giá trị biểu thức sau:
3
2
4
2
A=x -4xy+y biết |x-1|+2|2y+4|=0
C= biết |x-y|=2016
B= 4xy-y biết 3|x-1|+(y-2) ≤0
4
D=x -3x+2 với |x-5|=7
2
2
E=6x +4x-7 với |x-5|=|3x+7|
F=3x +2x với |7-2x|= x-3
HD:
a, Vì |x-1|≥ 0; |2y+4|≥ 0 nên |x-1|+2|2y+4|=0 khi x=1;y=-2. Thay vào A=13.
b, Tương tự câu a,
c, C=
Ta có: |x-y|=2016 suy ra x-y=
. Thay vào C=
d, |x-5|=7 suy ra x-5=7 hoặc x-5=-7 hay x=12 hoặc x=-2.
e, |x-5|=|3x+7| suy ra x-5=3x+7 hoặc x-5=-(3x+7), suy ra x=-6 hoặc x=
f, Điều kiện: x-3≥ o =>x≥ 3. Ta có: |7-2x|=x-3 => 7-2x=x-3 hoặc 7-2x=3-x, suy ra x= hoặc x=4
4
3
2
2
2
2
4
3
2
2
4
3 2
Bài 4: Cho đa thức: A 11x y z 20x yz 4xy z 10x yz 3x y z 2008xyz 8x y z
a) Xác định bậc của A.
b) Tính giá trị của A nếu 15x 2y 1004z.
HD: A = 2xyz( 15x - 2y - 1004z )
3
2
2
x 3x 0,25xy 4
1
. Tính giá trị của A biết x ; y là số nguyên âm lớn nhất.
2
Bài 5: Cho: A =
2
x y
HD: y=-1
Bài 6: Tính giá trị biểu thức:
5
4
3
2
A=x -2009x +2009x -2009x +2009x-2010 với x=2008
5
3
20
30
B=2x +3y với (x-1) +(y-3) =0
4
3
2
HD: A=x (x-2008)-x (x-2008)+x (x-2008)-x(x-2008)+x-2010
5
3
B=2x +3y với x=1; y=3
Bài 7: Tính giá trị của đa thức:
7
6
5
4
a) P(x) x 80x 80x 80x ... 80x 15 với x 79
ĐS: P(79) 94
với x 9
ĐS: Q(9) 1
1
4
13
12
11
2
b) Q(x) x 10x 10x 10x ... 10x 10x 10
4
3
2
c) R(x) x 17x 17x 17x 20
với x 16
ĐS: R(16) 4
1
0
9
8
7
2
d) S(x) x 13x 13x 13x ... 13x 13x 10 với x 12
ĐS: S(12) 2
0 0
HD: Với các bài toán có quy luật như trên, để tính P(x ) ta thường phân tích để xuất hiện (x-x )
7
6
5
4
3
2
7
6
6
5
5
2
P(x)=x -80x +80x – 80x +80x -80x +80x +15=x -79x –x +79x +x …..-x +79x+x+15
6 5
=
x (x-79) –x (x-79)……-x(x-79) +x+15. Suy ra P(79)=79+15=94.
Bài 8. Cho x và y là hai số nguyên cùng dấu. Tính x + y biết x y 10
HD: Xét x,y ≥ 0 suy ra |x|=x, |y|=y nên |x| + |y| =10 suy ra x+y=10. Tương tự với x,y<0.
Bài 5: . Tính giá trị của biểu thức:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 59
TOÁN HỌC
LỚP 7
a/ ax + ay + bx + by biết a + b = -2, x + y = 17
HD: a, (x+y)(a+b) b, (x-y)(a+b)
Bài 9:
b/ ax - ay + bx - by biết a + b = -7, x - y = -1
2
2
2
2
a. Cho x-y=0 Tính : B=7x-7y+4ax-4ay+5 và C=x(x +y )-y(x +y )
2
2
4
2
2
4
2
b. Cho x +y =5. Tính A=4x +7x y +3y +5y
2
2
4
2
2
4
2
c. Cho x +y =2. Tính B=3x +5x y +2y +2y .
4
3
3
2
2
2
d. Cho x+y=2. Tính A=x +2x y-2x +x y -2x y-x(x+y)+2x+3
2
2
HD: a, B=7(x-y)+4a(x-y)+5; C=(x +y )(x-y)
4
2 2
2 2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b, A=4x +4x y +3x y +3y +5y =4x (x +y )+3y (x +y )+5y =20x +20y =100.
4
2 2
2 2
4
2
B=3x +3x y +2x y +2y +2y =12.
Bài 10:
a. Tính giá trị biểu thức cho x-y=3 (x≠-1, y≠5).
A=
b. Tính giá trị biểu thức biết: x-y=2015
A=
c. Cho
d. Cho a-b=7. Tính D=
HD: a. A=
Tính C=
.
b, x=y+2015 rồi thay vào A
c, a=3k; b=4k rồi thay vào C
d, a=b+7 rồi thay vào D.
Bài 11: Hai đoàn tàu cùng lúc từ hai ga A và B, đi ngược chiều nhau, đoàn tàu đi từ A với vận tốc v (km/h),
đoàn tàu đi từ B với vận tốc nhỏ hơn tàu A là 3 (km/h), hai tàu gặp nhau sau 2h.
a, Quãng đường AB=?
b, Tính quãng đường biết v=60 km/h.
HD:
Vận tốc tàu A là v (km/h) thì tàu B là v-3 (km/h). Quãng đường tàu A đi sau 2h là: 2v, quãng đường tàu B
đi là: 2(v-3). Vì hai tàu đi ngược chiều nên AB=2v+2(v-3).
2
3
2016
2
3
2016
Bài 12: Cho A(x)=1+x+x +x +…..x . và B=1-x+x -x ……+x
Tính A(-1); A(1); B(1); B(-1)
HD: A(-1)=1; A(1)=2017; B(1)=1; B(-1)=2017.
Bài 13: Cho A=
. Tìm x để A=1.
2
2
2
2
HD: A=1 suy ra:
x +x+1=x -2x+3 x +x-x +2x=3-1 hay x=
Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN
Phương pháp:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 60
TOÁN HỌC
LỚP 7
2
2
Đưa về dạng f (x)+a hoặc -f (x)+a rồi đánh giá.
2
Nếu biểu thức có dạng: ax +bx +c = a.
2
2
Ví dụ: Tìm GTLN,GTNN của A=(x-1) -30; B=-|x-1|-(2y+1) +300.
2
2
2
Giải: Vì (x-1) ≥ 0 nên (x-1) -30 ≥ -30. Vậy GTNN A=-30 khi (x-1) =0 hay x=1.
2
2
Vì -|x-1| ≤ 0; -(2y+1) ≤ 0 nên -|x-1|-(2y+1) +300≤ 300. Vậy GTLN B=300 khi x=1; y=
.
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN nếu có của A=
.
2
Giải: Vì
nên (x-1) +6 ≥ 6. Suy ra
. Vậy GTLN A=5 khi x=1.
2
Ví dụ: Tìm GTNN: 2x + 4x+20
2
2
2
2
2
Giải: Ta có: 2x + 4x+20= 2(x+1) +18. Vì 2(x+1) ≥ 0 nên 2(x+1) +18 ≥ 18. Vậy GTNN là 18 khi (x+1)
=
0, suy ra x=-1.
2
Ví dụ: Tìm GTLN : -x + 4x-20.
Giải:
2
2
2
2
2
Ta có: -x + 4x -20 = -(x-2) -16. Vì -(x-2) ≤ 0 nên -(x-2) -16 ≤ -16. Vậy GTLN là -16 khi (x-2) = 0 suy
ra x=2.
BÀI TẬP:
Bài 1: Tìm GTLN,GTNN
2
a. (x-2) +2016
2
10
b. (x-4) +(y+1) -2018
10
12
14
c. (x+2014) +(y-2015) +(z-2016) +2017
d. –(30-x)100 -3(y+2)200 +2020
2
4
4
e. –(x-2) –(y-3) –(z-3) +1975
2
2
f. (x +5) +100.
g.
h.
.
i.
.
ĐS:
a, Min=2016 khi x=2; b, Min=-2018 khi x=4 và y=-1; c, Min=2017 khi x=-2014, y=2015, z=2016
d, Max=2020 khi x=30, y=-2; e, Max=1975 khi x=2, y=3, z=3
f, Max=125 khi x=0; g,
h, Max = khi x=1; i,
=
nên Max(g)= khi x=0.
nên Max= khi x=-1, y=3
Bài 2: Tìm các số nguyên sao cho:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 61
TOÁN HỌC
LỚP 7
a)
b)
xy+3x-7y=21
xy+3x-2y=11
Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên a biết:
2
a) (6a +1) ( 3a -1), b) 3a+5 2a-1 c)a -5a a-2 d)6a-4 1-2a e) 3-2a 3a+1
Dạng 4: Bài tập đơn thức
Nhận biết đơn thức, thu gọn đơn thức, tìm bậc, hệ số.
Phương pháp:
Nhận biết đơn thức: trong biểu thức không có phép toán tổng hoặc hiệu.
Thu gọn đơn thức:
Bước 1: dùng qui tắc nhân đơn thức để thu gọn: Nhân hệ số với nhau, biến với nhau
Bước 2: xác định hệ số, bậc của đơn thức đã thu gọn: Bậc là tổng số mũ của phần biến.
Đơn thức đồng dạng: Là các đơn thức có cùng phần biến nhưng khác nhau hệ số.
Chú ý: Để chứng minh các đơn thức cùng dương hoặc cùng âm hoặc không thể cùng dương, cùng âm ta
lấy tích của chúng rồi đánh giá kết quả.
3
3
Ví dụ: Hãy sắp xếp các đơn thức theo nhóm đơn thức đồng dạng: 3xy; 3xy ; -12xy; xy ; 2016xy
Giải: Các nhóm đơn thức đồng dạng là: 3xy; -12xy; 2016xy và 3xy ; xy3
3
2
2
Ví dụ: Trong các biểu thức sau, đâu là đơn thức, đâu là đa thức: 3; 3x-2; x (x-1); 3x yz; 3x; -6xyz
2
2
Giải: Đơn thức: 3; 3x; 3x yz; -6xyz
Đa thức: 3x-2; x (x-1)
Chú ý: Để kiểm tra các đơn thức có cùng âm, cùng dương, hay những bài toán chứng minh đơn thức
không cùng âm, không cùng dương, chứng minh ít nhất một đơn thức âm.....Ta nhân các đơn thức
với nhau rồi đánh giá kết quả thu được:
2
2 3
Ví dụ: Cho các đơn thức: A=-5xy; B=11xy ; C=x y .
a. Tìm hệ số và bậc của D=A.B.C.
b. Các đơn thức trên có thể cùng dương hay không?
Giải:
4
6
a.D=-55.x y Hệ số: -55, Bậc: 10
b.D=-55.x4y6
0 nên A,B,C không thể cùng dương.
2
3
3
3
Ví dụ: Cho A=3a b c và B= -5a bc . Tìm dấu của a biết A và B trái dấu.
2
3
3
3
5 4 4
Giải: Vì A và B trái dấu nên A.B<0 suy ra : 3a b c.(-5a bc )<0 hay -15a b c <0.
4
4
5
Vì b c ≥ 0 nên a <0. Vậy a<0.
Ví dụ: Nhận biết đâu là đơn thức, đâu là đa thức:
2
; 5x2y3
3
xy; x+2y; x (x-3);
2 3 2
; 5x y . Đa thức là: x+2y; x (x-3);
Giải: Đơn thức là: 3xy;
Ví dụ: Trong các biểu thức sau, đâu là đa thức, đâu không phải là đa thức.
2
2
2
2
xy+3x -4x yz ;
;
;
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 62
TOÁN HỌC
LỚP 7
2
2
2
Giải: Đa thức là: 2xy+3x -4x yz ;
; biểu thức còn lại không phải đa thức.
BÀI TẬP:
Bài 3: Thu gọn đơn thức, tìm bậc, hệ số.
1
3
1
3
2
3
2
2
3
2
A x y.2xy
B 2xy z. x yz
C xy .( yz)
3
4
3
1
4
2
3
1
3
2
3
5
2
3
2
D ( x y z)
E ( x y).(2xy )
F (xy) . x
5
4
5
3
5
2
3
8
3
2
3
4
5
4
2
2
5
K = x . x y . x y
L = x y . xy . x y
9
4
5
4
ĐS:
a, -2/3.x3y4 b, -3/2. x y z c, -1/4.xy z d, -27/125. x9y6z3 e, 1/2.x6y3 f, 2/15.x5y3
3 3 4
3
k, -1/2.x8y5 l, 2/3.x y
8 11
Bài 4 : Thu gọn các đơn thức sau, rồi tìm hệ số, phần biến, bậc của chúng:
2
3
2 3
a) 2x yz.(-3xy z) ;
b) (-12xyz).( -4/3x yz )y;
2
3
2
2 2 3 3
d) 15xy z(-4/3x yz ) . 2xy
c)5ax yz(-8xy bz) ( a, b là hằng số cho trước);
ĐS:
3
4 2
3 3 4
2
4 7 3
2
8 6 10
a, -6x y z b, 16.x y z c, 320ab .x y z (hệ số: 320ab , bậc 14) d, -320/9.x y z
Bài 5:
1
1
2
2
3
2
3
3
2
3
Cho các đơn thức : 2x y ; 5y x ; - x y ; - x y
2
2
a) Hãy xác định các đơn thức đồng dạng . b)Tính đa thức F là tổng các đơn thức trên
c) Tìm giá trị của đa thức F tại x = -3 ; y = 2.
d) Nhân các đơn thức đã cho rồi tìm bậc, phần biến, hệ số của đơn thức tích.
n+2
3
2 n-1 4
Bài 6: Tìm n sao cho bậc của đơn thức sau bằng 13 : A(x)= 2x yz .3x y z
HD: n+2+1+3+2+n-1+4=13 n=1
Bài 7: Tìm m,n sao cho bậc đơn thức A(x) là 9 , bậc đơn thức B(x) là 10.
A(x)= 3x2n+1ym+3 và B(x)=5z t
n+2 3m+3
HD:
Bài 8: Tìm đơn thức M và N biết
5
6
10 11
2
4 5
a.M.(-x y )=5x y
b. N: (xy )=3x y
Bài 9:
2
10
3
5
7 11
a.Trong 3 đơn thức : -2x y ; 11x y ; -4x y Có thể cùng âm được không?
4
2
3 2
5 4 3
b.Chứng tỏ: 3x yz ; -xy z t; 6x y t có ít nhất một đơn thức âm.
HD: Tính tích 3 đơn thức rồi kiểm tra xem kết quả âm hay dương.
2
Bài 10: Cho M=-5x y. Tìm các cặp số nguyên x, y để M=-160
Bài 11: Cho a+b+c=0. CMR: ab+2bc+3ca ≤ 0
HD: ab+2bc+3ac=a(b+c) +2c(b+a)=-a -2c2
2
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 63
TOÁN HỌC
LỚP 7
2
2
3
2 3
Bài 12: Cho A=3m x y z và B=12x y z.
a.Hai đơn thức trên có đồng dạng không nếu m là biến? Nếu m là hằng số?
b.Tìm đơn thức C=A-B với m là hằng số.
c.Xác định m để C =0 với mọi giá trị x,y,z.
2
2 3
HD: a, đồng dạng: m là hằng số và ngược lại c, C=3(m -4)x y z, để C=0 với mọi x,y,z thì m=2;-2.
Bài 13: Viết mỗi đơn thức sau dưới dạng tích của hai đơn thức, trong đó có một đơn thức là :
a, 21x y z b, (-4x yz)3
3
2 5
5
c, 2(x yz)2 d, 15x y z
k+3 k+2 3
2
HD: a, -14xz4 b,
c,
k+1 k 2
d, -10x y z
5
2
2
6
Bài 14: Cho A=-2a b và B=3a b . Tìm dấu của a biết hai đơn thức trên cùng dấu? (a,b ≠ 0)
7
8
HD: Tính A.B=-6.a b >0 ( vì hai đơn thức cùng dấu có tích dương). Suy ra a<0.
Bài 15: Tìm x,y,z biết a, b,
2
2 2
HD: a, nhân theo vế ta được:xy.yz.xz=2.6.3=36 hay x y z =36, suy ra xyz=6 hoặc xyz=-6.
Với xyz=6 mà
=>
=>
.
Với xyz=-6 mà
Bài 16:
2
2
a. Cho A=2x yz và B=xy z. CMR nếu 2x+y m thì A+B m ( với x,y nguyên).
2
2
b. Cho các đơn thức A = x y và B = xy .Chứng tỏ rằng nếu x,y nguyên và x + y chia
hết cho 13 thì A + B chia hết cho 13.
HD:a, A+B=xyz(2x+y). b, A+B=xy(x+y)
Bài 17: Tính:
3
2
3
2
3
2
3 2
a. A= x y +2x y +3x y +.......+100x y
3
24
3
24
3
24
3
24
3
24
b. B= x y -2x y +3x y +.....+2009x y -2010x y
2
2
2
3
2
2016
xyz2
c. C=3xyz + 3 xyz +3 xyz +….3
d. D=
HD:
3
2
x3y2=5050 x3y2
a. A=(1+2+3+….100) x y =
3
24
3 24
b. B=(1-2+3-4……-2010) x y =-1005. x y
Bài 18: Cho biểu thức :
P = 2a2n+1 – 3a + 5a
2n
2n+1
– 7a + 3a ( n nguyên)
2n
2n+1
Với giá trị nào của a thì P > 0
2
n
HD: P=10a (a-1)>0 => a>1.
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 64
TOÁN HỌC
LỚP 7
Bài 19: Cho biểu thức: Q = 5xk+2 + 3x + 2x + 4x + x + x ( k nguyên)
k
k+2
k
k+2
k
Với giá trị nào của x và k thì Q < 0
2
2
2
Bài 20: Biết A = x yz , B = xy z ; C = xyz và x+ x + z = 1
Chứng tỏ rằng A + B + C = xyz.
5
3
6
3
7
3
2
Bài 21: Cho A = 8x y ; B = - 2x y ; C = - 6x y .Chứng tỏ rằng : Ax + Bx + C = 0
Bài 22: Rút gọn:
a, 10 - 66.10
n+1
n
b, 2n+ 3 + 2n +2 – 2n + 1 + 2n
c, 90.10 – 10 + 10k+1
k k+2
Dạng 5: Bài tập Đa thức:Nhận biết đa thức, thu gọn đa thưc, tìm bậc, hệ số cao nhất, nhân chia đa thức
Phương pháp:
Nhận biết đa thức: trong biểu thức chứa phép toán tổng hoặc hiệu.
Để nhân đa thức ta nhân từng hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia. Để chia đa thức ta
vẽ cột chia đa thức.
Thu gọn đa thức:
Bước 1: nhóm các hạng tử đồng dạng, tính cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.
Bước 2: Bậc của đa thức là bậc cao nhất của đơn thức
BÀI TẬP:
Bài 6: Thu gọn đa thức, tìm bậc.
1
3
1
5
5
4
2
3
4
2
3
2
3
2
3
2
2
3
2
2
3
A 15x y 7 x 8x y 12 x 11x y 12 x y
B 3x y xy x y x y 2xy x y
3
4
2
1
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
C x y xy x y xy 1
D xy z3xyz xy z xyz 2
2
3
3
5
3
1
3 2 3
K 5x 4x 7x 6x 4x 1
5
2
5
2
E 3xy x y7xy 3xy 3x y xy1
2
3
3
2
4
2
3
3
2
4
2
3
F 12x y x y 2xy x y x y xy 5
7
Bài 7 : Tính tổng và hiệu của hai đa thức và tìm bậc của đa thức thu được .
2
2
B = 3x + 2xy - y2
2
a) A = 4x – 5xy + 3y ;
1
1
3
2
2
4
3
2
2
4
b) C x 2x y xy y 1; Dx x y xy y 2
3
2
2
2
1
2
2
2
2
c) E 5xy x y xyz 1 ; F 2x y xyz xy x
3
5
2
3
2
3
2
3
2
3
.
d ) M 2, 5 x 0,1x y y ; N 4 x y 3, 5 x 7 xy y
Bài 8: Tìm đa thức M, biết :
2
2
2
2
3
2
3
a) M + (5x – 2xy) = 6x + 9xy – y
b) M+ (3x y − 2xy ) = 2x y − 4xy
1
2
2
2
2
2
3
c) ( xy x x y) M xy x y1
d)
3
2
2
3
2
M (x y x y xy) 2x y xy
2
2
2
2
2
2
2
2
Bài 9: Cho đa thức A = −2xy + 3xy + 5xy + 5xy +1 – 7x – 3y – 2x + y
2
2
2
B = 5x + xy – x – 2y
a) Thu gọn đa thức A, B. Tìm bậc của A, B.
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 65
TOÁN HỌC
LỚP 7
2
1
b) Tính giá trị của A tại x =
; y =-1
c) Tính C = A + B. Tính giá trị của đa thức C tại x = -1; y =
.
d) Tìm D = A – B.
Bài 10: Đa thức sau có bậc bao nhiêu?
4
12
5 3
A=(x -2x+1) .(x-3+x )
10
4
B=(2+3x) .3x
HD: (x -2x+1)12 có lũy thừa lớn nhất là 4.12=48 còn (x-3+x ) có lũy thừa lớn nhất là 3.5=15 nên lũy thừa
4
5 3
lớn nhất của A là 48+15=63. Vậy A bậc là 63.
Dạng 6: Đa thức một biến:
Phương pháp:
Bước 1: thu gọn các đơn thức và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.
Bước 2: viết các đa thức sao cho các hạng tử đồng dạng thẳng cột với nhau.
Bước 3: thực hiện phép tính cộng hoặc trừ các hạng tử đồng dạng cùng cột.
BÀI TẬP:
Bài 10: tính tổng và hiệu của hai đa thức sau:
3
1
3
2
5
4
3
2
4
a) A(x) = 3x – x + 2x – 3
;
B(x) = 8x + x – 9x +
4
5
Tính : A(x) + B(x); A(x) - B(x); B(x) - A(x);
1
2
3
2
3
2
b) C(x) 2x x x 9 ; D(x) 2x 3x x 5
3
3
Tính C(x) + D(x) ; C(x) - D(x) ; D(x) - C(x)
1
6
5
3
5
4
3
2
c) P(x)15x 0,75x 2x x8 ; Q(x) x 3x x x 5
2
Tính P(x) + Q(x) ; P(x) - Q(x) ; Q(x) - P(x)
5
4
3
2
3
5
4
3
4
d)
M( x) 0, 25 x 3 x x 2x 8 x x 3 ; N ( x) 0,75x 2x 2x x 2
Tính M(x) + N(x) ; M(x) - N(x) ; N(x) - M(x)
1
2
4
3
2
Bài 11:Cho 2 đa thức : P(x) = - 2x + 3x + x +x - x
4
1
Q(x) = 3x + 3x - - 4x – 2x2
4
2
3
4
a) Sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức theo luỹ thừa giảm dần của biến. Tìm bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự
do của mỗi đa thức.
b) Tính P(x) + Q(x); P(x) - Q(x); Q(x) – P(x).
c) Đặt M(x) = P(x) - Q(x). Tính M(-2).
d) Chứng tỏ x = 0 là nghiệm của đa thức P(x), nhưng không phải là nghiệm của đa thức Q(x).
HD: d, P(0)=0 và Q(0)=
nên x=0 là nghiệm P(x)
Bài 12:Cho 3 đa thức :
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 66
TOÁN HỌC
LỚP 7
3
2
4
3
4
2
M(x) = 3x + x + 4x – x – 3x + 5x + x – 6
2
4
3
2
3
N(x) = - x – x + 4x – x -5x + 3x + 1 + x
5
2
5
3
4
P(x) = 1 + 2x – 3x + x + 3x – x – 2x
a) Tính : M(x) + N(x) + P(x) ;
b) Tính M(x) – N(x) – P(x)
HD: Rút gọn, sắp xếp lại theo lũy thừa giảm dần rồi tính
5
4
4
3
Bài 13: Cho hai đa thức P(x) = x – x và Q(x) = x – x .
Tìm đa thức R(x) sao cho P(x) + Q(x) + R(x) là đa thức không.
HD: R(x)=-[ P(x)+Q(x)]
3
2
Bài 14: Cho đa thức P(x) = ax – 2x + x – 2(a là hằng số cho trước)
a) Tìm bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của P(x).
b) Tính giá trị của P(x) tại x = 0.
c) Tìm hằng số a thích hợp để P(x) có giá trị là 5 tại x = 1.
HD: a, bậc: 3 hệ số cao nhất: a hệ số tự do: -2
C, P(1)=5 nên a=8
Bài 15: Cho f(x) là đa thức có bậc 4. Chứng minh rằng nếu f(x)=f(-x) thì các hệ số mũ lẻ đều bằng 0.
4
3
2
HD: f(x)=a.x +bx +cx + dx+e, vì f(x)=f(-x) nên b=d=0
Bài 16: Cho f(x) là đa thức có bậc 2, chứng minh rằng nếu f(5)=f(-5) thì f(x)=f(-x).
2
2
HD: f(x)=a.x +bx+c, vì f(5)=f(-5) nên b=0 => f(x)=a.x +c =>f(-x)=f(x)
2
2
2
2
Bài 17: Cho 2 đa thức P
x
= x + 2mx + m và Q
x
= x + (2m+1)x + m
Tìm m biết P (1) = Q (-1).
HD: m=
Bài 18: Cho các đa thức:
5
3
2
A(x) = 2x – 4x + x – 2x + 2
5
4
2
B(x) = x – 2x + x – 5x + 3
3
4
3
2
C(x) = x + 4x + 3x – 8x + 4
1
6
a.Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x).
b. Tính giá trị của M(x) khi x = 0, 25 .
c. Có giá trị nào của x để M(x) = 0 không ?
4
2
HD: M(x)=5x +2x +
2
Bài 19: Cho f(x)=ax +bx+c=0 với mọi giá trị x. CMR: a=b=c=0
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 67
TOÁN HỌC
LỚP 7
HD: vì f(x)=0 với mọi x =>f(0)=0 suy ra c=0; f(1)=0 suy ra a+b=0 (1) ; f(-1)=0 suy ra a-b=0(2). Từ (1) và (2) suy
ra a=b=c=0.
2
Bài 20: f(x)=ax +bx+c với a,b,c là số nguyên. Biết giá trị của biểu thức chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên của x.
CMR: a.b.c đều chia hết cho 3.
HD: vì f(x) chia hết cho 3 với mọi x nên f(0) 3 hay c 3, f(1) 3 và f(-1) 3 nên a+b 3 và a-b 3, suy ra a 3 và b 3.
2
Bài 21: Cho f(x)=ax +bx+c có f(1)=f(-1). CMR: f(x)=f(-x).
HD: làm như bài 16.
Bài 22: Cho f(x)=ax+b. Tìm a,b biết f(1)=1; f(2)=4.
HD:
Bài 23: Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x) + 2f(2-x)=3x (1) với mọi số thực x. Tính f(2)=?
HD: Ta có:với x=2 thay vào (1) ta được: f(2) +2.f(0)=6 (3). Thay x=0 vào (1) ta được: f(0)+2.f(2)=0(4)
Từ (3) và (4) =>f(2)=-2
Bài 24: Viết dưới dạng đa thức các biểu thức sau:
a.
b.
c.
HD:
a,
=10m+n+2m-3n=12m-2n( dùng cấu tạo số)
2
b, (10a+b) -(10a+b)
c, 100a+10b+c-(10b+c)+a=101a.
3
2
Bài 24: Chứng minh rằng: P(x) ax bx cx d có giá trị nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b
c và d là số nguyên..
+
HD :
f(0) = d (1) ; f(1) = a + b + c + d (2) ; f(-1)=-a+b-c+d (3); f(2) = 8a +4 b + 2c + d (4)
-
Nếu f(x) có giá trị nguyên với mọi x thì từ (1) => d nguyên.
Vì a+b+c+d nguyên và –a+b-c+d nguyên nên (a+b+c+d) +(-a+b-c+d) nguyên hay 2b+2d nguyên mà d nguyên suy
ra 2b nguyên.
Vì f(2) =8a+4b+2c+d=(a+b+c+d)+(a+b+c)+2b+6a nguyên mà a + b + c; a + b + c + d ; 2b nguyên nên 6a
-
Chiều ngược lại chứng minh tương tự
3 2
Bài 25: Cho đa thức f(x) = ax +bx +cx+d với a,b,c,d là các số nguyên. Biết rằng với mọi giá trị nguyên của x thì giá
trị của đa thức đều chia hết cho 5. Chứng minh rằng a,b,c,d đều chia hết cho 5
HD: Tính f(0) => d , f(1)
f(2) => 4(2a+b) nên 2a+b
nên a+b+c ; f(-1)
nên –a+b-c
=> b
và a+c
(1)
(2). Từ (1) (2) suy ra a , c
.
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 68
TOÁN HỌC
LỚP 7
2
Bài 26: Đa thức f(x)=ax +bx+c có a,b,c là các số nguyên và a # 0 .Biết với mọi giá trị nguyên thì f(x) chia
hết cho 7.chứng minh a,b,c,cũng chia hết cho 7
HD: Tính f(0); f(1); f(-1)
2
Bài 27: Cho A(x)= ax +bx+c. Tìm a,b,c biết : 3a+2b+c=7; a+b=4; A(2)=10.
HD: A(2)=4a+2b+c=10(1); 3a+2b+c=7 (2); a+b=4 (3). Lấy (1)-(2) theo vế ta được: a=3 thay vào (3) được b=1,
thay a=3, b=1 vào (1) được c=-4.
2
Bài 28: Cho N(x) = ax +bx+c. Tìm a,b,c biết
và N(-2)=18.
HD: Vì
nên a=3k; b=5k; c=7k.
2
N(-2)=18 nên 3k.(-2) +5k(-2)+7k=18 9k=19 hay k=2. Suy ra a=6; b=10; c=14.
Bài 29:
a. Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức:
2
2004
2 2005
A(x) = (3 4x x ) . (3 4x x )
.
b. Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức:
2
100
2
1000
(
x −2x+2) .(x −3x+3) .
HD: a, Tổng hệ số của một đa thức chính là giá trị của đa thức đó tại x=1: Thay x=1 vào A(x) ta được tổng các hệ
2004
2005
số là (3-4.1+1) (3+4.1+1) =0.
b, Tương tự
3
2
Bài 30: Cho A(x)= ax +bx +cx+d. Tìm a,b,c,d biết A(0)=1; A(1)=0; A(2)=5; A(3)=32
HD:
A(0)=1 nên d=1; A(1)=0 nên a+b+c=-1; A(2)=5 nên 8a+4b+2c=4 ; A(3)=32 nên 27a+9b3c=31
2
2
2
Bài 31: Cho A(x)=ax +2bx+c-1-7x; B(x)=8x -5x+4+2x -6. Tìm a,b,c để A(x)=B(x).
2
2
HD: A(x)=ax +(2b-7)x+c-1 ; B(x)=10x -5x-2. Để A(x)=B(x) thì a=10; 2b-7=-5; c-1=-2 . Từ đó tìm a,b,c.
2
Bài 32: Tìm đa thức có bậc nhỏ hơn 4 thỏa mãn hệ thức: a) 3.f(x)-f(1-x)=x -1 b) x.P(x-2)=(x-1).P(x)
3
2
2
HD: a, Vì đa thức có bậc nhỏ hơn 4 nên f(x)=ax +bx +cx+d. Kết hợp với 3.f(x)-f(1-x)=x -1 rồi đồng nhất thức hai vế
2
suy ra: f(x) = x - x+
Bài 33: cho f(x)=ax³+bx²+cx+d với a,b,c,d nguyên. CMR không cùng tồn tại f(7)=53 và f(3)=39
Dạng 7 : Tìm nghiệm của đa thức 1 biến
1. Kiểm tra 1 số cho trước có là nghiệm của đa thức một biến không
Phương pháp :
Bước 1: Tính giá trị của đa thức tại giá trị của biến cho trước đó.
Bước 2: Nếu giá trị của đa thức bằng 0 thì giá trị của biến đó là nghiệm của đa thức và ngược lại.
Ví dụ: Kiểm tra x=2 có phải là nghiệm của đa thức sau hay không: P(x)=3x-6; Q(x) = x+2.
Giải:
Ta có P(2)=3.2-6=0 nên x=2 là nghiệm của P(x).
Q(2)=2+2=4 ≠ 0 nên x=2 không phải là nghiệm của Q(x).
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 69
TOÁN HỌC
LỚP 7
2
. Tìm nghiệm của đa thức một biến
Phương pháp :
Bước 1: Cho đa thức bằng 0.
Bước 2: Giải bài toán tìm x.
Bước 3: Giá trị x vừa tìm được là nghiệm của đa thức.
Chú ý :
–
–
Nếu A(x).B(x) = 0 => A(x) = 0 hoặc B(x) = 0
2
Nếu đa thức P(x) = ax + bx + c có a + b + c = 0 thì ta tách bx=ax+cx rồi nhóm hạng tử chung đưa về
2
dạng tích. kết quả đa thức có 2 nghiệm là x = 1, nghiệm còn lại x = c/a.
2
–
-
Nếu đa thức P(x) = ax + bx + c có a – b + c = 0 thì ta tách bx=cx-ax rồi nhóm hạng tử chung dưa về
2
dạng tích. kết quả đa thức có 2 nghiệm là x = –1, nghiệm còn lại x = -c/a.
2
Nếu đa thức P(x) = ax + bx + c không có hai tính chất trên, ta tính tích a.c rồi phân tích về hai số có
tổng là b.
Ví dụ: Tìm nghiệm của các đa thức sau:
2
2
2
3
x-12; x -7x+6; -3x +2x+5; x – 7x+12
Giải:
x-12=0 suy ra x=4.
3
x2 -7x+6=0 . Vì a+b+c=0 nên x=1; x=6.
2
2
-
3x +2x+5=0. Vì a-b+c=-3-2+5=0 tách 2x=-3x+5x ta được: -3x -3x+5x+5=0 -3x(x+1) +5(x+1)=0
(x+1)(-3x+5)=0 nên x=-1;
.
x2 – 7x+12=0. Ta có : a.c=1.12=12=(-3).(-4) (hai số có tổng bằng -7)
2
2
x – 7x+12=0 => x – 3x – 4x+12=0 => x(x-3) – 4(x-3)=0 => (x-3)(x-4)=0. Suy ra x=3;4
. Tìm a để đa thức P(x) có nghiệm là x
Phương pháp: Tính P(x ) = 0 để tìm a.
3
0
:
0
2
Ví dụ: Tìm a để x=1 là nghiệm của đa thức Q(x)=x – 3x.a+a+2.
2
Giải: Để x=1 là nghiệm của Q(x) thì Q(1)=0 suy ra 1 – 3.1.a+a+2=0 => -3a+a+3=0 hay
4. Chứng minh đa thức vô nghiệm.
Phương pháp: Ta biến đổi đa thức đó về một biểu thức luôn dương, luôn âm hoặc vô lí.
2
2
-
Cần chú ý: |f(x)|≥0 với mọi x; ax +bx+c = a
Ví dụ: Chứng minh các đa sau vô nghiệm:
2
2
A(x) = |x-1| +2; B(x)= (x-2) +1026; C(x)= x - 4x+40.
Giải:
Vì |x-1| 0 với
nên |x-1| +2>0 với
. Suy ra A(x) vô nghiệm.
Vì (x-2)2 0 với
nên (x-2) +2016>0 với
2
. Suy ra B(x) vô nghiệm.
2
2
Ta có: x - 4x+40= (x-2) +36 >0 với
nên C(x) vô nghiệm.
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 70
TOÁN HỌC
LỚP 7
BÀI TẬP:
4
3
2
Bài 15 : Cho đa thức f(x) = x + 2x – 2x – 6x + 5
Trong các số sau : 1; –1; 2; –2 số nào là nghiệm của đa thức f(x).
HD: f(1)=0 => x=1 là nghiệm,
f(-1)=8; f(2)=17; f(-2)=9 nên x=-1, x=2, x=-2 không phải nghiệm đa thức.
Bài 16 : Tìm nghiệm của các đa thức sau.
2
3
2
2
2
2
a. A(x)= x -5x+6; B(x)= x +x +x+1; C(x)=6x -11x+3; D(x)= 4x -4x-3; E(x)=2x -3x-27
2
b. F(x) = 3x – 6;
H(x) = –5x + 30
G(x)=(x-3)(16-4x)
K(x)=x -81
3
2
2
2
2
2
2
c. P(x)= x +4x -29x+24; Q(x)=3x -8x+4; R(x)=x -2x+x-2; L(x)=(x+3) +(x -9)
2
2
d. A(x)=|x-1|-3; B(x)=|2x+1|-|x+5|; C(x)=|x-2|+2x-3; D(x)=|x-1|+(x -1)
Chú ý :
Nếu A(x).B(x) = 0 => A(x) = 0 hoặc B(x) = 0
Bài 17:Tìm nghiệm của đa thức
–
2
2
2
a) 4x + 9
b) -5x+6
c) x – 1.
d) x – 9.
e) x – x.
k) x -3x
2
2
2
2
3
f) x –2x.
g) (x – 4)(x + 1)
h) 3x – 4x
i) x + 9
2
4
2
l) x -4x+3
m) x -8x +7
c, 1; -1 d, 3;-3 e, 0;1 f, 0;2 g, 4 h, 0;
HD: x=1/2
HD: a,
b,
i, Vô nghiệm
Bài 18: Tìm x biết: 2x ( 3x + 1) + 3x( 4 – 2x) = 7
4
2
Bài 19: Cho đa thức : P(x) = x + 3x + 3
a. Tính P(1), P(-1).
b. Chứng tỏ rằng đa thức trên không có nghiệm.
HD: b, P(x)=
2
Bài 20: Cho f (x) ax bx c với a, b, c là các số hữu tỉ.
a. Chứng tỏ rằng: f (2). f (3) 0 . Biết rằng 13a b 2c 0
.
b.
f(2).f(-1) ≤ 0 . Biết 5a+b+2c=0 .
2
HD: b. f(2)=-f(-1) nên –f (-1) ≤0
Bài 21: chứng tỏ các đa thức sau vô nghiệm
2
2
4
2
2
A(x)=x -2x+5; B(x)= -x +4x-20; C(x)=x +x +2016 ; D(x)= 3x -12x+2017.
2
2
2
HD: A(x)=(x-1) +4 B(x)=-(x-2) -16 D(x)= 3(x-2) + 2005.
Bài 22: Chứng minh đa thức có ít nhất 2 nghiệm biết:
a.
(x-6).P(x)=(x+1).P(x-4)
b. (x-5).P(x+4)=(x+3).P(x)
2
c. x.f(x+1)=(x -4).f(x) có ít nhất 3 nghiệm.
HD: a, Thay x=6 suy ra (6-6).P(6)=7.P(2) hay P(2)=0 nên x=2 là nghiệm.
Tương tự: x=-1 suy ra -7.P(-1)=0.P(-5) hay P(-1)=0 nên x=-1 là nghiệm.
b, x=5; x=1
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 71
TOÁN HỌC
LỚP 7
c, x=0; x=3; x=-1.
2
Bài 23: Tìm a và b để nghiệm của đa thức f(x)=(x-3)(x-4) cũng là nghiệm đa thức g(x)=x -ax+b.
HD: Thay x=3; x=4 vào g(x) suy ra:
2
Bài 24: Tìm a,b,c biết f(x)=ax +bx+c có nghiệm là 2; -2 và a-c=3.
HD:
Lấy (1)-(2) theo vế ta được 4b=0 => b=0 => 4a+c=0 kết hợp với a-c=3 ta được a=3/5; c=-12/5.
Bài 25: Chứng tỏ các đa thức sau có một nghiệm chung.
3
2
f(x)=2x+1 và g(x)=x + x +3x+ .
HD: Xét 2x-1=0 => x=-1/2, thay x=-1/2 vào g(x) ta được: g(-1/2)=0 suy ra f(x) và g(x) có nghiệm chung là
x=-1/2.
3
2
Bài 26: Cho P(x)=(a+1)x +(2a-3)x -5. Tìm a biết P(x) có nghiệm x=2.
3
2
HD: Vì P(x) có nghiệm x=-2 nên P(-2)=0 hay: (a+1)(-2) +(2a-3)2 -5=0 =>-25=0 => không có giá trị nào
của a để P(x) có nghiệm x=-2.
Bài 27: Chứng minh P(x) có nghiệm là a thì P(x)=(x-a).Q(x) (1)
HD: Vì P(x) có nghiệm là a nên P(a)=0; Mặt khác, thay x=a vào (1) :P(a)=(a-a).Q(a) hay 0=0. luôn đúng, vậy
P(x)=(x-a).Q(x).
0
Dạng 8 : Tìm hệ số chưa biết trong đa thức P(x) biết P(x ) = a
Phương pháp :
0
Bước 1: Thay giá trị x = x vào đa thức.
Bước 2: Cho biểu thức số đó bằng a.
Bước 3: Tính được hệ số chưa biết.
Bài 1 : Cho đa thức P(x) = mx – 3. Xác định m biết rằng P(–1) = 2
HD: P(-1)=2 => m=-5
2
Bài 2 : Cho đa thức Q(x) = -2x +mx -7m+3. Xác định m biết rằng Q(x) có nghiệm là -1.
HD: Q(-1)=0 => m=1/8
2
Bài 3: Tìm hệ số a của đa thức A(x) = ax +5x – 3, biết rằng đa thức có một nghiệm bằng 1/2 ?
HD: A(1/2)=0 => a=2
2
Bài 4: Tìm m, biết rằng đa thức Q(x) = mx + 2mx – 3 có một nghiệm x = -1 .
2
HD: Q(-1)=0 => m.(-1) +2.m.(-1)-3=0 nên m=-3.
Bài 5: Cho hai đa thức f(x) = 5x - 7 ; g(x) = 3x +1
a. Tìm nghiệm của f(x); g(x)
b. Tìm nghiệm của đa thức h(x) = f(x) - g(x).
c. Từ kết quả câu b suy ra với giá trị nào của x thì f(x) = g(x) ?
2
Bài 6: Cho đa thức f(x) = x + 4x - 5
a. Số -5 có phải là nghiệm của f(x) không.
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 72
TOÁN HỌC
LỚP 7
b. Viết tập hợp S tất cả các nghiệm của f(x).
2
HD: a, Có b, x +4x-5=(x-1)(x+5) nên S={1;-5}
Bài 7: Thu gọn rồi tìm nghiệm của các đa thức sau:
2
a. f(x) = x(1-2x) + (2x -x + 4) .
b. g(x) = x (x - 5) - x ( x +2) + 7x .
c. h(x) = x (x -1) + 1.
HD: a, vô nghiệm b, vô số nghiệm c,
vô nghiệm
8
7
6
5
2
Bài 8: Cho f(x) = x - 101x + 101x - 101x +....+ 101x - 101x + 25.Tính f(100)
7
6
HD: f(x)=x (x-100)-x (x-100)…..-x+25 nên f(100)=-75
2
Bài 9: Cho f(x) = ax + bx + c. Biết 7a + b = 0, hỏi f(10). f(-3) có thể là số âm không?
HD: f(10).f(-3)=(100a+10b+c).(9a-3b+c)=(100a-10.7a+c)(9a+21a+c)=(30a+c)2
2
Bài 10: Tam thức bậc hai là đa thức có dạng f(x) = ax + b x + c với a, b, c là hằng, a 0. Hãy xác định các
hệ số a, b biết f(1) = 2; f(2) = 2; f(0)=1.
2
HD: f(0)=1 => a.0 +b.0+c=1 hay c=1,
f(1)=2 => a+b+c=2 hay a+b=1( vì c=1).
f(2)=2 => 4a+2b+c=2 hay 4a+2b=1 => 2a+2(a+b)=1 2a+2=1 (vì a+b=1) suy ra a=-1/2; b=3/2.
3
2
3
Bài 11. Cho f(x) = ax + 4x(x - 1) + 8 và g(x) = x - 4x(bx +1) + c- 3. Trong đó a, b, c là hằng.Xác
định a, b, c để f(x) = g(x).
3
3
2
HD: Để f(x)=g(x) thì (a+4).x – 4x+8=x -4bx - 4x +c-3. Đồng nhất hệ số ta được:
Từ đó tìm
a,b,c.
2
Bài 12: Cho Q(x)=x +mx-12. Biết Q(-3)=0. Tìm nghiệm còn lại.
2
2
2
HD: Q(-3)=0 nên (-3) + m(-3)-12=0 suy ra m=-1. Thay vào Q(x)=x -x-12=0 => x -4x +3x-12=0 => x(x-
4) +3(x-4)=0 =>(x-4)(x+3)=0. Suy ra x=-3; x=4
2
Bài 13: Cho f(x)=a.x +bx+c. Biết f(1)=4, f(-1)=8, và a-c=-4. Tìm a,b,c.
HD:
Cộng theo vế (1) và (2) suy ra a+c=6, kết hợp a-c=-4 để tìm
a,b,c.
2
2
Bài 14: Cho f(x)=2x +ax+4 và g(x)=x -5x-b. Tìm a,b biết f(1)=g(2), f(-1)=g(5).
HD:
2
Bài 15: Cho A(x) =a.x +bx+6. Tìm a,b biết A(x) có hai nghiệm là 1 và 2.
HD: Thay x=1; x=2 vào A(x) ta được :
3
2
Bài 16: Cho f(x) = ax + bx + cx + d trong đó a, b, c, d ∈ R và thỏa mãn b = 3a + c Chứng minh
rằng f (1).f(-2) là bình phương của một số nguyên.
Bài 37: Chứng minh các đa thức sau không âm với mọi x,y:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 73
TOÁN HỌC
LỚP 7
2
2
a. 3x +2y +5.
2
2
b. x -2x+2y +8y+9.
2
c. x -6x+2016.
2
d. x +8x+20+|y-1|
HD:
a, Vì 3x ≥ 0 với mọi x; 2y ≥ 0 với mọi y nên 3x +2y +5≥ 5 => đa thức không âm với mọi x,y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b, x -2x+2y +8y+9=(x -2x+1)+2(y +4y+4)=(x-1) +2(y+2)
2
2
2
c, x -6x+2016= (x -6x+9)+2007=(x-3) +2007
2
2
2
d, x +8x+20+|y-1|=(x +8x+16)+4+|y-1|=(x+4) +|y-1|+4
Bài 17:
a. Cho f(x)=3x-5, biết x
b. Cho f(x)=2x+10, biết x
HD: a, f(x )+f(x )=(3x -5)+(3x
1
+x
-x
-5)=3(x
2
=10. Tính f(x
=4. Tính f(x
+x
1
)+f(x
2
).
1
2
1
)-f(x
2
).
1
2
1
2
1
2
)-10=3.10-10=20.
2
Bài 18: Cho A(x)=(x-4) +2016 và B(x) =4|x-4|-4
a. Tính A(4); A(-4); B(4); B(-4).
b. Tìm GTNN của:N(x)= A(x)+B(x)-10 và M(x)=A(x)-B(x)-14.
HD:
a, A(4)=2016; A(-4)=2080; B(4)=-4; B(-4)=28.
2
2
2
b, N(x)=(x-4) +4|x-4|+2012. Vì (x-4)
; |x-4| 0 nên (x-4) +4|x-4|+2012 2012.
Vậy GTNN: N(x)=2012 khi x=4.
2
2
M(x)=(x-4) -4|x-4|+2006=[|x-4|-2] +2002 2002.
Vậy GTNN M(x)=2002 khi |x-4|=2 suy ra x=6 hoặc x=2.
Bài 19:
2
a. Cho f(x)+3.f( )=x . Tính f(2)?
2
b. Cho f(x)+3.f( =x . Tính f(2)?
HD:
a, Thay x=2 ta được: f(2)+3.f( )=4 (1). Thay x=1/2 ta được: f( )+3.f( )= (2).
Từ (2) => 4.f( )= hay f( )= , thay vào (1): f(2)=4 -3. = .
b, Thay x=2 ta được: f(2)+3.f( )=4(1) . Thay x= ta được f( +3.f(2)= suy ra f( )= - 3.f(2) thay vào
1) ta được: f(2)+3[ ]=4 hay -2.f(2)= nên f(2)=
(
.
2
Bài 20: Cho A(x)= ax +bx+c+3 biết A(1)=2013 và a,b,c tỉ lệ với 3; 2; 1. Tìm a, b, c?
HD:
a=3k; b=2k; c=k mà A(1)=a+b+c+3=2013 nên 3k+2k+k+3=2013 hay 6k=2010 nên k=335. Vậy
a=3.335=1005; b=2.335=670; c=335.
Bài 21: Cho f(x) thỏa mãn f(a+b)=f(a.b) và f(-1)=1. Tính f(2016)?
HD:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 74
TOÁN HỌC
LỚP 7
Ta có: f(-1)=f(-1+0)=f(-1.0)=f(0) mà f(-1)=1 nên f(0)=1.
f(2016)=f(0+2016)=f(0.2016)=f(0)=1.
Bài 22: Cho f(x) xác định: f(1+ )=2x+ . Tìm f(x).?
HD:
đặt 1+ =X suy ra x=
. Thay vào f(1+ )=2x+
+(x-1)2.
ta được:
2
f(X)=
+(X-1) . Vậy f(x)=
1 2 1 2
Bài 23: Cho f(x) thỏa mãn: f(x .x )=f(x ).f(x ). Biết f(2)=10. Tính f(8)?
HD:
f(4)=f(2.2)=f(2).f(2)=100, f(8)=f(4).f(2)=1000.
Bài 24: Cho đa thức P(x) với hệ số thực và P(x) có bậc 6 thoả mãn: P(1)=P(−1),P(2)=P(−2),P(3)=P(−3).
Chứng minh:∀xϵ R thì P(x)=P(−x).
HD:
6
5
4
3
2
Giả sử: P(x)=ax +bx +cx +dx +ex +fx+g.
Thay P(1)=P(-1) ta được: b+d+f=0 (1).
Thay P(2)=P(-2) ta được: 16b+4d+f=0 (2).
6
4
2
Thay P(3)=P(-3) ta được: 81b+9d+f=0 (3). Từ (1)(2)(3) suy ra b=d=f=0 nên P(x)=ax +cx +ex +g.
6
4
2
6
4
2
P(-x)=a(-x) +c(-x) +e(-x) +g= ax +cx +ex +g=P(x) đpcm
3
5 10
2 6 11
Bài 25: Tìm x,y,z biết : (-2x y ) + (3y z ) =0.
HD:
3
5 10
2 6 11
3 5 10
2 6 11
Vì (-2x y ) ≥ 0; (3y z ) ≥ 0 nên (-2x y ) + (3y z ) =0 khi
.
TH1: nếu y=0 thì mọi x và z đều là nghiệm.
TH2: nếu y ≠ 0 thì x=z=0.
ĐỀ THAM KHẢO
ĐỀ 01
I- Phần trắc nghiệm (3,0 điểm ):
2
Câu 1: Đơn thức đồng dạng với đơn thức - 2x y là
A. - 2xy2
B. x y
2
C. - 2x2y2
D. 0x2y
2
2
Câu 2: Cho hai đa thức A (x ) = - 2x + 5x và B(x ) = 5x - 7 thì A(x) + B( x ) =
2
2
A. 3x + 5x – 7
B. 3x - 5x – 7
C.
2
2
D. 3x + 5x + 7
-
3x + 5x – 7
1
3
4
5
Câu 3: Đơn thức x y z có bậc là
3
A. 3
Câu 4: Cho tam giác ABC có CN, BM là các đường trung tuyến, góc ANC và góc CMB là góc tự. Ta có:
A. / AB B/ AC C/ AC D/ AB
B. 4
C. 5
D. 12
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 75
TOÁN HỌC
LỚP 7
Câu 5: Cho tam giác ABC với AD là trung tuyến, G là trọng tâm , AD = 12cm. Khi đó độ dài đoạn GD
bằng:
A. 8cm
B. 9 cm
C. 6 cm
D. 4 cm
0
0
0
Câu 6: Cho ABC có góc A = 75 , góc B = 60 , góc C = 45 .Cách viết nào sau đây là đúng
A. / AB
II. Phần tự luận (7,0 điểm)
Câu 1( 1,5 điểm):
B/ BC
C/ AB
D/ AC
Thời gian giải 1 bài toán của 40 học sinh được ghi trong bảng sau ( Tính bằng phút).
8
8
8
8
9
10
9
10
9
8
8
12
10
11
8
9
10
8
8
9
8
9
8
9
12
11
8
10
10
8
10
10
9
11
8
8
12
8
11
12
a) Dấu hiệu ở đây là gì ? số các dấu hiệu là bao nhiêu ?
b) Lập bảng tần số.
c) Nhận xét.
d) Tính số trung bình cộng X , Mốt
Câu 2( 1,5 điểm):
P(x) = x – 2x + 1 + x2
Q(x) = 2x – x + x – 5
2 3
/ Tính P(x) + Q(x) ; P(x) – Q(x)
/ Tìm nghiệm của đa thức R(x) = -2x + 3
3
và
Cho
1
2
Câu3:(3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, đường cao AH. Trên nữa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC có chứa
điểm B, kẻ tia Cx // AB . Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD = AB. Kẻ DK vuông góc BC ( K thuộc BC ).
Gọi O là trung điểm của BC . Chứng minh
a, AH = DK
c. AC // BD
b. Ba điểm A, O , D thẳng hàng
2
Câu 4( 1,0 điểm ): Chứng tỏ rằng đa thức x +4x + 5 không có nghiệm
ĐỀ 02
I- Phần trắc nghiệm khách quan (3,0 điểm ):
6
4
4
Câu 1: Bậc của đa thức x – 2.x y +8 xy + 9 là
A. 6 B. 9
Câu 2: Giá trị của biểu thức 2x – x khi x = -2 là :
A. -6 B. 6
C. 7
D. 17
D. 10
2
C. -10
2
3
Câu 3: Đơn thức nào đồng dạng với đơn thức -3x y :
A. 0.2x2y3 B.-3x3y2 C.-7xy3
Câu 4: Cho tam giác RQS , biết rằng RQ = 6cm ; QS = 7 cm ; RS = 5 cm
D.-x3y2
A. góc R < góc S < góc Q
B. góc R> góc S > góc Q
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 76
TOÁN HỌC
LỚP 7
C. góc S < góc R < góc Q
D. góc R> góc Q > góc S
o
Câu 5: Cho tam giác DEF có góc D = 80 các đường phân giác EM và FN cắt nhau tại S ta có :
2
3
A. Góc EDS = 400
Câu 6: Tam giác ABC cân AC= 4 cm BC= 9 cm Chu vi tam giác ABC là :
B. Góc EDS = 160o
C. SD = SE =SF
D. SE = EM
A. Không xác định được
II. Phần tự luận (7,0 điểm)
Câu 1( 1,5 điểm):
B. 22 cm
C.17 cm
D.20 cm
Điểm bài thi môn Toán của lớp 7 được cho bởi bảng sau:
1
0
3
5
6
9
7
7
8
8
7
8
5
4
8
7
9
6
7
5
3
7
8
9
7
6
10
6
5
7
8
5
4
8
4
7
10
5
3
7
10
a, Dấu hiệu ở đây là gì ?
b, Lập bảng tần số.
c, Tính số trung bình cộng. Tìm mốt
Câu 2( 1,5 điểm): Cho các đa thức
3
2
M(x) = 3x – 3x + x + 5
2
3
N(x) = 2x – x +3x + 9
a, Tính M(x) + N(x)
3
2
b, Biết M(x) + N(x) –P(x) =6x + 3x +2x. Hãy Tính P(x)
c, Tìm nghiệm của đa thức P(x)
Câu 3( 3,0 điểm ) :
Cho tam giác ABC với độ dài 3 cạnh AB = 3cm, BC = 5cm, AC = 4cm
a) Tam giác ABC là tam giác gì? Vỡ sao?
b) Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BA = BD. Từ D vẽ Dx vuông góc với BC (Dx cắt AC tại H).
Chứng minh: BH là tia phân giác của góc ABC.
c) Vẽ trung tuyến AM. Chứng minh ABC cân
2
Câu 4( 1,0 điểm ): Chứng tỏ rằng đa thức x +6x + 10 không có nghiệm
ĐỀ 03
I- Phần trắc nghiệm (3,0 điểm ):
3
3
2
Câu 1: Bậc của đơn thức 2 x yz là:
A. 6 B. 8
Câu 2: Hai đơn thức nào đồng dạng với nhau?
C. 5
D. 10
D. x y và (xy)2
A. 5x và 5x4
3
B. (xy) và xy2
2
C. (xy) và x y
2
2
2
2
Câu 3:
4
2
3
Đa thức P(x) 3x 2x 4x 5x 1 có bậc là :
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 77
TOÁN HỌC
LỚP 7
Câu 4: Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, BC = 8 cm, AC = 10 cm. So sánh nào sau đây là đúng :
A. B < C < A
Câu 5:Bộ ba số nào sau đây không thể là độ dài của ba cạnh một tam giác ?
A.5cm, 5cm, 6cm B. 7cm, 7cm, 7cm C. 4cm, 5cm, 7cm
B. C < A < B
C. A < B < C
D. C < B < A
D. 1cm, 2cm, 3cm
Câu 6: Cho ABC có AM là trung tuyến . Gọi G là trọng tâm của ABC. Khẳng định nào sau đây là
đúng?
2
1
AG GM
3
2
AG AM
C.
3
A. GM AM
B.
3
GM 2AG
D.
II. Phần tự luận (7,0 điểm)
Câu 1( 1,5 điểm):
Thời gian làm một bài tập toán (tính bằng phút) của 30 học sinh được ghi lại như sau:
1
5
9
0
5
7
8
8
8
9
8
9
9
9
7
8
9
8
9
7
5
14
14
5
8
10
9
10
10
8
14
a, Dấu hiệu ở đây là gì ?
b, Lập bảng tần số.
c, Tính số trung bình cộng .
Câu 2( 1,5 điểm):
3
2
2
3
Cho hai đa thức : P (x) x 2 x 3x 1 & Q (x) x 3x x 5
a, Sắp xếp các đa thức trên theo thứ tự giảm dần theo lũy thừa của biến?
b, Tính : P(x) + Q(x)
c, Tính : P(x) - Q(x)
Câu 3( 3,0 điểm ) :
Cho tam giác ABC vuông tại A ,phân giác BD.Kẻ DE vuông góc với BC ( EBC ). Gọi F là giao điểm của
BA và ED. Chứng minh rằng :
a, AB = BE
b, CDF là tam giác cân.
c, AE // CF
Câu 4( 1,0 điểm ):
p
m n
Cho m và n là hai số tự nhiên và p là một số nguyên tố thoả mãn
=
.
m 1
p
2
Chứng minh rằng p = n + 2.
ĐỀ 04
Bài 1(2 điểm):
Điểm kiểm tra một tiết môn toán của một lớp 7 được thông kê lại ở bảng dưới đây:
Điểm
2
1
3
3
4
5
5
6
6
6
7
9
8
6
9
3
10
1
Tần số
a, Dấu hiệu cần tìm hiểu ở đây là gì?
b, Tìm số các giá trị và mốt của dấu hiệu?
c. Tính số trung bình cộng của dấu hiệu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 78
TOÁN HỌC
LỚP 7
2
Bài 2 (1 điểm): Cho biểu thức: f(x) = x - 4x + 3
a. Tính giá trị của biểu thức f(x) tại x = 0; x = 1; x = 3
b. Giá trị x nào là nghiệm của đa thức f(x)? Vì sao?
Bài 3(1,5 điểm):
3
2
3
2
3
Cho biểu thức: M = ( x y).( xy )
4
a, Thu gọn biểu thức M.
b, Chỉ rõ phần hệ số, phần biến và bậc của đơn thức sau khi đã thu gọn.
Bài 4 (1,5 điểm):
Cho hai đa thức:
3
2
3
2
P (x) = 3x - 2x + 2 + x - 3x + 2x + 3 + x
3
2
3
2
Q(x) = 5x - x + 3x - 5x + 4 - x + 2x - 2
a. Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần bậc của biến.
b. Tính tổng P(x) + Q(x) rồi tìm nghiệm của đa thức tổng.
Bài 5(3 điểm):
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), kẻ đường cao AH (H BC)
a. Chứng minh rằng: HB = HC và BAH CAH .
b. Từ H kẻ H D A B (D AB), kẻ HE AC (E AC).
Chứng minh rằng AD = AE và tam giác HDE là tam giác cân.
c. Giả sử AB = 10 cm, BC = 16 cm. Hãy tính độ dài AH.
2
Bài 6 ( 1,0 điểm ): Chứng tỏ rằng đa thức x +4x + 7 không có nghiệm
ĐỀ 05
A.TRẮC NGHIỆM: (2.5 đ) Khoanh tròn chữ cái đứng trớc đáp án đúng
2
1
/ Đơn thức đồng dạng với đơn thức -5x y là:
a. x2y2
b. 7 x2y
2
c. -5 xy3
d. Một kết quả khác
d/ -1
3
2
/ Giá trị của đa thức P = x + x + 2x - 1 tại x = -2 là
a/ -9
b/ -7
c/ -17
1
1
3
2
2
2
3
/
/
Kết quả của phép tính – 2xy + xy + xy – xy2 là
2
4
2
a/ 6xy2
b/ 5,25xy2
c/ -5xy2
d/ Kết quả khác
1
2
2
2
3
4
Kết quả của phép nhân các đơn thức ( – 2x y).(– ) .x.(y z) là :
2
1
1
1
1
3
2
3
6
3
3
7
3
3
3
3
a/ x yz
b/ x y z
c/ x y z
d/ x y z .
2
2
2
2
3
4
2
2
3
4
3
5
/
Bậc của đa thức - 15 x + 5x – 4x + 8x – 9x –x + 15 – 7x là
a/ 3
b/ 4
c/ 5
d/ 6
2
6
/ Nghiệm của đa thức : x – x là: a/ 0 và -1
b/ 1 và -1
c/ 0 và 1
d / Kết quả khác
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 79
TOÁN HỌC
LỚP 7
7
Cho tam giác PQR vuông (theo hình vẽ). Mệnh đề nào đúng ?
2
2
2
2 2 2
Q
a/ r = q -p
b/ p +q = r
p
2
2
2
2 2 2
d/ q -r = p
r
c/ q = p -r
q
R
0
P
8
9
1
/ Cho ABC có B = 60 , C = 500
.
Câu nào sau đây đúng :
a/ AB > AC
b/ AC < BC
c/ AB > BC d/ một đáp số khác
/ Với bộ ba đoạn thẳng có số đo sau đây, bộ ba nào không thể là ba cạnh của một tam giác ?
a/ 3cm,4cm,5cm b/ 6cm,9cm,12cm c/ 2cm,4cm,6cm d/ 5cm,8cm,10cm
ABC có B < C < 900 . Vẽ AH BC ( H BC ) . Trên tia đối của tia HA lấy điểm
sao cho HD = HA .
0/ Cho
D
Câu nào sau đây sai :
a/ AC > AB
b/ DB > DC
c/ DC >AB
d/ AC > BD
B. TỰ LUẬN: (7.5Đ)
5
2
5
3
2
3
5
2
5
4
2
Bài 1(3đ): Cho đa thức: P(x )= 1+3x – 4x +x + x –x + 3x Và Q(x) = 2x – x + 4x – x + 4x – 5x
a/ Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức theo luỹ thừa tăng của biến
b/ Tính P(x ) + Q(x ) ; P(x) – Q(x)
c/ Tính giá trị của P(x) + Q(x) tại x = -1
d/ Chứng tỏ rằng x = 0 là nghiệm của đa thức Q(x) nhưng không là nghiệm của đa thứcP(x)
Bài 2(3.5 Đ) : Cho ABC có AB . Phân giác AD . Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB
a/ Chứng minh : BD = DE
b/ Gọi K là giao điểm của các đường thẳng AB và ED . Chứng minh DBK = DEC
c/ AKC là tam giác gì ?
d/ Chứng minh DE KC .
4
2
Bài 3(1đ) : Chứng tỏ rằng đa thức A(x) = x + 2x + 1 không có nghiệm.
ĐỀ 06
I. TRẮC NGHIỆM (2đ) : Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng nhất
Câu 1: Biểu thức nào sau đây là đơn thức?
x
y
7
5
x
2
a.
b. x + 1
c. 2x - y
c. 6
d.
2
3 2
Câu 2: Bậc của đơn thức 4 x y là:
a. 7 b. 3
Câu 3: Đa thức P(x) = 4.x + 8 có nghiệm là:
d. 5
1
1
2
a. x = 2
b. x = -2
1
c. x =
d. x =
2
3
6
3
4
5
4 4
Câu 4: Bậc của đa thức 7 x - x y + y - x y + 1 là:
3
a. 9
Câu 5: Tính (2x - 3y) + (2x + 3y) ?
a. 4x b. 6y
b. 8
c. 7
d. 6
c. -4x
d. -6y
Câu 6: Bộ ba độ dài nào sau đây có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông?
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 80
TOÁN HỌC
LỚP 7
a. 5cm, 12cm, 13cm
c. 5cm, 7cm, 13cm
b. 4cm, 5cm, 9cm
c. 5cm, 7cm, 11cm
0
0
Câu 7: Cho ∆MNP có M = 110 ; N = 40 . Cạnh nhỏ nhất của ∆MNP là:
a. MN b. MP c. NP d. Không có cạnh nhỏ nhất.
Câu 8: Cho tam giác cân, biết hai trong ba cạnh có độ dài là 3cm và 8cm. Chu vi của tam giác đó là:
a. 11cm,
b. 14cm,
c. 16cm,
d. 19cm
II.TỰ LUẬN:
Bài 1: (1,5 đ) Thời gian hoàn thành cùng một loại sản phẩm của 60 công nhân được cho trong bảng dưới
đây (tính bằng phút)
Thời gian (x)
Tần số (n)
3
2
4
2
5
3
6
5
7
6
8
9
9
10
14
19
N = 60
a) Dấu hiệu cần tìm hiểu ở đây là gì ? Có tất cả bao nhiêu giá trị ?
b) Tính số trung bình cộng ? Tìm mốt ?
3
3
2
Bài 2 : (1,5 đ) Cho 2 đa thức :
f(x) = x + 3x - 1 và g(x) = x + x - x + 2
b) Tính f(x) - g(x)
a) Tính f(x) + g(x)
3
2
3
2
3
Bài 3: (1,5 đ) Tìm nghiệm của đa thức h(x) = 3x - 4x + 5x - 2x + 8 - 5x - x
Bài 4: (3,5 đ) Cho ∆ABC vuông tại A, phân giác BD. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại E.
a) Chứng minh ∆BAD = ∆BED
b) Chứng minh BD là trung trực của AE.
c) Chứng minh AD < DC.
d) Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = CE. Chứng minh ba điểm E, D, F thẳng hàng.
ĐỀ 07
Câu 1: (2 điểm). Một giáo viên theo dõi thời gian làm một bài tập (thời gian tính theo phút) của 30 học sinh
(ai cũng làm được) và ghi lại như sau:
9
6
8
5
7
8
8
8
9
8
9
9
9
7
8
9
8
9
7
5
14
14
5
8
10
9
10
10
8
14
a) Dấu hiệu ở đây là gì?
b) Tính số trung bình cộng của dấu hiệu?
c) Tìm mốt của dấu hiệu?
Câu 2: (2 điểm).
1
2
a) Tính giá trị của biểu thức sau: P(x) = 2x + x - 1 lần lượt tại x = 1 và x =
4
2
b) Trong các số -1, 1, 2 số nào là nghiệm của đa thức P(x) = x – 3x + 2 hãy giải thích.
3
2
3
Câu 3: (2 điểm). Cho P(x) = x – 2x + 1 và Q(x) = 2x – 2x + x – 5
a) Tính P(x) + Q(x)
b) Tính P(x) - Q(x)
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 81
TOÁN HỌC
LỚP 7
Câu 4: (3 điểm). Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B, trên tia Oy lấy hai điểm C
và D sao cho OA = OC; OB = OD. Gọi I là giao điểm của hai đoạn thẳng AD và BC. Chứng minh rằng:
a) BC = AD.
b) IA = IC.
c) Tia OI là tia phân giác của góc xOy.
3
2
3
g(x) = x – 4x(bx +1) + c – 3
Câu 5: (1 điểm). Cho f(x) = ax + 4x(x – x) – 4x + 8,
Trong đó a, b, c là hằng. Xác định a, b, c để f(x) = g(x)
ĐỀ 08
Phần 1: Trắc nghiệm khách quan (2đ)
Chọn đáp án đúng nhất
Câu 1: Cho tam giác ABC có CN, BM là các đường trung tuyến, góc ANC và góc CMB là góc tù. Ta có
A. / AB
B/ AC
C/ AC
D/ AB
1
3
4
5
Câu 2: Đơn thức x y z có bậc là
3
A. 3
B. 4
C. 5
D. 12
2
2
Câu 3: Cho hai đa thức A = x - 2y + xy + 3 và B = x + y – xy – 3. Khi đó A + B bằng:
2
2
2
2
A. 2x – 3y
B. 2x – y
C. 2x + y
D. 2x + y - 6
Câu 4: Cho tam giác ABC với AD là trung tuyến, G là trọng tâm , AD = 12cm. Khi đó độ dài đoạn GD
bằng:
A. 8cm
B. 9 cm
C. 6 cm
D. 4 cm
Phần 2: Tự luận (8đ)
Câu 1: (1.5đ) Theo dừi điểm kiểm tra học kó 1 mụn Toỏn của học sinh lớp 7A tại một trường THCS ,
người ta lập được bảng sau:
Điểm số
Tần số
0
1
2
5
5
5
6
8
7
8
8
9
4
10
3
11
N=45
a) Dấu hiệu điều tra là gì ? Tìm mốt của dấu hiệu ?
b) Tính điểm trung bình kiểm tra học kó 1 của học sinh lớp 7A.
c) Nhận xột về kết quả kiểm tra học kó 1 môn Toán của Các bạn lớp 7A.
2
3
Câu 2: (1đ) Tính tích của hai đơn thức: -2x yz và - 3xy z. Tìm hệ số và bậc của tích tìm được.
6
2
3
2
4
3
3
4
Câu 3: (2,5đ) Cho đa thức : f
a. Thu gọn f(x)
x
3x 3x 5x 2x 4x x 14x 2x
b. Tính f(1) ; f(1).
c. Chứng tỏ rằng f(x) không có nghiệm.
0
Câu 4: (3đ) Cho tam giác ABC có góc A = 90 . Tia phân giác của B cắt AC tại E. Kẻ EH BC ( H thuộc
BC) Chứng tỏ rằng:
a. ABE HBE
b. BE là trung trực của AH
c. EC > AE
ĐỀ 09
I- Phần Trắc nghiệm: (2 điểm)Khoanh tròn chữ cái đứng đầu câu trả lời đúng:
3 2
1
. Giá trị nào là nghiệm của đa thức 2x 5x 6x 2
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 82
TOÁN HỌC
LỚP 7
1
2
1
2
A. 1
B. -1
C.
D.
2
. Giá trị của biểu thức M = 2x 5x 1 tại x = 2 là:
2
3
6
A. -17
B. -18
2
C. 19
D. Một kết quả khác
3
2
2
3
. Bậc của đa thức : 5x 2x 3x 5x 2x 3x là:
A. 2
B. 3
C. 6
D. 1
. Cho tam giác ABC có
so sánh nào sau đây là đúng:
C. AB < BC
A. AC > BC
B. AB > AC
D. AB < AC
II- Phần Tự luận : (8 điểm)
Câu 1: (1,5đ) điểm kiểm tra học kó 1 mụn Toỏn của tổ 1 học sinh lớp 7A được ghi ở bảng sau:
5
9
4
6
9
6
6
9
8
8
9
4
10
5
a) Dấu hiệu điều tra là gì ? từ đó lập bảng “tần số”
b) Tính số trung bình cộng của dấu hiệu.
c) Vẽ biểu đồ đoạn thẳng và nhận xét.
Câu 2: (2đ) Tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài ba cạnh như sau:
a. 3cm, 4cm, 5cm
c. 6dm, 7dm, 14dm
d. 3dm, 4dm, 6dm
b. 2,1cm, 3cm, 5,1cm
5
3
4
2
5
Câu 3: (2,5đ) Cho hai đa thức : P
x
3x 7x6x x 1; Q(x) =9x -1+7x-3x
a. Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến.
b. Tính P(x) + Q(x) ; P(x) - Q(x)
c. Tìm nghiệm của P(x) + Q(x)
Câu 4: (3đ) Cho tam giác ABC đều, đường cao AH. Trên tia đối của tia CB lấy D sao cho CD = CB. Dựng
đường cao CE của tam giác ACD. Tia đối của tia HA và tia đối của tia CE cắt nhau tại F
a. Chứng minh: AE = DE và tam giác ABD vuông tại A.
b. Chứng minh : C là trọng tâm của tam giác AFD.
ĐỀ 10
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM ( 3đ)
Bài 1 : Chọn câu trả lời đúng ghi vào giấy bài làm
2
Câu 1 : Các nghiệm của đa thức x – 2x là :
A. 0
Câu 2 : Giátrị của biểu thức 2x – x khi x = -2 là :
A. -6 B. 6
Câu 3 : Cho bảng “Tần số “ của dấu hiệu là :
B. 2
C. 0 và 2
C. -10
D. 1
2
D. 10
Giá trị (x)
tần sô (n)
36
13
37
45
38
39
40
41
40
42
5
110
184
126
6
4
4
Câu 4 : Bậc của đa thức x – 2.x y +8 xy + 9 là
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 83
TOÁN HỌC
LỚP 7
A. 6
B. 9
C. 7
D. 17
Câu 5: Hai cạnh góc vuông của tam giác vuông là 6cm và 8cm thì cạnh huyền bằng :
A. 4cm B. 10cm C. 12cm D. 14cm
Câu 6 : Tam giác PQR là tam giác vuông cân tại Q nếu:
o
B. Góc P = góc R và góc P + góc R = 90o
A. Góc Q = 90 và QP = QR;
C. QP = QR và góc P + góc R = 90o
D. Cả A, B, C đều đúng
Câu 7 : Cho tam giác RQS , biết rằng RQ = 6cm ; QS = 7 cm ; RS = 5 cm
Ta có : A. góc R < góc S < góc Q
C. góc S < góc R < góc Q
B. góc R> góc S > góc Q
D. góc R> góc Q > góc S
Câu 8 : Cho tam giác MNP cân tại M, G là trọng tâm tam giác MNP
Ta có : A. GN = GM B. GN = GP C. GM = GP D. GN = GM = GP
o
Câu 9 : Cho tam giác DEF có góc D = 80 các đường phân giác EM và FN cắt nhau tại S ta có :
2
A. Góc EDS = 40o
B. Góc EDS = 160o
C. SD = SE =SF
D. SE = EM
3
Câu 10: Cho SM và PN là hai đường cao của tam giác SPQ , SM cắt PN tại I
Ta có : A. IS = IP=IQ
B. I cách đều 3 cạnh của tam giác
2
C. SI = SM
3
D. Cả A, B , C đều sai
Câu 11: Cho tam giác SPQ biết góc S = 70 góc P =30o
o
Ta có : A. SQ < PQ < SP
B. SQ < SP < PQ
D. PQ
C. SQ > PQ > SP
Câu 12 : Tam giác cân có độ dài hai cạnh là 7cm và 3 cm thì chu vi của tam giác đó là :
A. 17 cm B. 13 cm C. Cả A, B đều đúng D. Cả A, B đều sai
II/ PHẦN TỰ LUẬN (7 ĐIỂM )
Bài 2: (2đ) Cho các đa thức
3
2
M(x) = 3x + x – 3x + 5
3
2
N(x) = 3x + 2x – x + 9
a, Tính M(x) + N(x)
3
2
b, Biết M(x) + N(x) –P(x) =6x + 3x +2x. Hãy tính P(x)
c, Tìm nghiệm của đa thức P(x)
Bài 3 : (4đ) : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, đường cao AH. Trên nữa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC
có chứa điểm B, kẻ tia Cx // AB . Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD = AB. Kẻ DK vuông góc BC
(
K thuộc BC )
Gọi O là trung điểm của BC . Chứng minh
a, AH = DK
c. AC // BD
b. Ba điểm A, O , D thẳng hàng
2
Bài 4 : (1đ) : Chứng tỏ rằng đa thức x +4x + 5 không có nghiệm
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 84
TOÁN HỌC
LỚP 7
CHƯƠNG I: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG THẲNG
SONG SONG
gãc ®èi ®Ønh
1
KiÕn thøc c¬ b¶n:
. Hai gãc ®èi ®Ønh:
§Þnh nghÜa:
Haigãc ®èi ®Ønh là hai gãc mμ mçi c¹mh cña gãc nμy lμ tia ®èi cña mçi c¹nh gãc kia.
*
*
TÝnh chÊt:
O
1
®èi ®Ønh O => O = O
2 1 2
3
4
2
1
O
2
-
. KiÕn thøc bæ sung (dμnh cho häc sinh kh¸ giái)
Hai tia chung gèc cho ta mét gãc.
-
Víi n ®−êng th¼ng ph©n biÖt giao nhau t¹i mét ®iÓm cã 2n tia chunggèc. Sè gãc t¹o
bëi hai tia chung gèc lμ: 2n(2n-1) : 2 = n( 2n – 1)
Trong ®ã cã n gãc bÑt. Sè gãc cßn l¹i lμ 2n(n – 1). Sè cÆp gãc ®èi ®Ønh lμ: n(n – 1)
Bμi tËp:
Bμi tËp 1: Cho gãc nhän xOy; vÏ tia Oy’ lμ tia ®èi cña tia Oy
a) Chøng tá gãc xOy’ lμ gãc tï.
b) VÏ tia ph©n gi¸c Ot cña gãc xOy’;gãcxOt lμ gãc nhon, vu«ng hay gãc tï.
Bμi gi¶i
t
x
O
y
y'
a) Oy' lμ tia ®èi cña tia Oy, nªn: xOy vμ xOy' lμ hai gãc kÒ bï
> xOy + xOy' = 180
=
=
> xOy' = 180 - xOy
V× xOy < 90 nªn xOy' > 90. Hay xOy' lμ gãc tï
1
b) V× Ot lμ tia ph©n gi¸c cñaxOy' nªn: xOt = xOy'
2
mμ xOy' < 180
=
> xOt < 90
Hay xOt lμ gãc nhän
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 85
TOÁN HỌC
LỚP 7
Bμi tËp 2:
a) VÏ h×nh theo c¸ch diÔn ®¹t sau: Trªn ®−êng th¼ng aa’ lÊy ®iÓm O. VÏ tia Ot sao cho
gãc aOt tï. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê aa’ kh«ng chøa tia Ot vÏ tia Ot’ sao cho gãc a’Ot’
nhän.
b) Dùa vμo h×nh vÏ cho biÕt gãc aOt vμ a’Ot’ cã ph¶i lμ cÆp gãc ®èi ®Ønh kh«ng? V× sao?
Bμi gi¶i:
t
a
a'
t'
V× tia Ot' kh«ng lμ tia ®èi cña tia Ot nªn hai gãc aOt vμ a'Ot' kh«ng ph¶i lμ cÆp gãc ®èi ®Ønh
Bμi tËp 3:
0
Cho hai ®−êng th¼ng xx’ vμ yy’ giao nhau t¹i O sao cho gãc xOy = 45 . TÝnh sè ®o c¸c
gãc cßn l¹i trong h×nh vÏ.
Bμi gi¶i
x'
y
4
5
y'
x
*
Ta cã: xOy +yOx' = 180(t/c hai gãc kÒ bï)
> yOx' = 180 - xOy
180- 45
135
xOx' = yOy' = 180 ( gãc bÑt)
x'Oy' = xOy = 45(cÆp gãc ®èi ®Ønh)
xOy' = x'Oy = 135( cÆp gãc ®èi ®Ønh)
=
=
=
*
*
Bμi tËp 4:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 86
TOÁN HỌC
LỚP 7
Cho hai ®−êng th¼ng xx’ vμ yy’ giao nhau t¹i O. Gäi Ot lμ tia ph©n gi¸c cña gãc xOy; vÏ
tia Ot’ lμ tia ph©n gi¸c cña gãca x’Oy’. H·y chøng tá Ot’ lμ tia ®èi cña tia Ot.
Bμi gi¶i
y
x'
t
t'
y'
x
1
Ta cã: xOt = xOy (tÝnh chÊt tia ph©n gi¸c cña mét gãc)
2
xOy = x'Oy'(t/c hai gãc ®èi ®Ønh)
x'Ot' = xOt 9 ®èi ®Ønh)
1
=
>x'Ot' = x'Oy'
2
1
T−¬ng tù, ta cã y'Ot' = x'Oy'
2
> Ot' lμ tia ph©n gi¸c cña gãc x'Ot'
=
Bμi tËp 5:
Cho 3 ®−êng th¼ng ph©n biÖt xx’; yy’; zz’ c¾t nhau t¹i O; H×nh t¹o thμnh cã:
a) bao nhiªu tia chung gèc?
b) Bao nhiªu gãc t¹o bëi hai tia chung gèc?
c) Bao nhiªu gãc bÑt?
d) Bao nhiªu cÆp gãc ®èi ®Ønh?
Bμi gi¶i
y
x'
t
t'
y'
x
a) Cã 6 tia chung gèc
b) Cã 15 gãc t¹o bëi hai tia chung gèc.
c) Cã 3 gãc bÑt
d) Cã 6 cÆp gãc ®èi ®Ønh
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 87
TOÁN HỌC
LỚP 7
Bμi tËp 6:
Tõ kÕt qu¶ cña bμi tËp sè 5, h·y cho biÕt:NÕu n ®−êng th¼ng ph©n biÖt c¾t nhau t¹i mét ®iÓm
cã bao nhiªu gãc bÑt? Bao nhiªu cÆp gãc ®èi ®Ønh?
Bμi gi¶i:
Cã n gãc bÑt; n(n – 1) cÆp gãc ®èi ®Ønh.
Bμi 7 : Khoanh trßn vμo ch÷ c¸i ®øng tr−íc c©u tr¼ lêi ®óng nhÊt :
1
. Hai ®−êng th¼ng xy vμ x’y’ c¾t nhau t¹i A, ta cã:
a) ¢
c ¢
1
®èi ®Ønh víi ¢
2
, ¢
, ¢
2
®èi ®Ønh víi ¢
®èi ®Ønh víi ¢
3
b) ¢
d) ¢
1
4
®èi ®Ønh víi ¢
®èi ®Ønh víi ¢
3
1
, ¢
, ¢
2
1
®èi ®Ønh víi ¢
®èi ®Ønh víi ¢
4
2
2
®èi ®Ønh víi ¢
3
3
4
A
4
3
1
2
2
3
4
. Câu nào sau đây đúng ?
A. Hai gãc ®èi ®Ønh th× b»ng nhau
C. Hai gãc b»ng nhau th× ®èi ®Ønh
. NÕu cã hai ®−êng th¼ng:
A. Vu«ng gãc víi nhau th× c¾t nhau
C. C¾t nhau th× t¹o thμnh 4 cÆp gãc b»ng nhau D. C¾t nhau th× t¹o thμnh 2 cÆp gãc ®èi ®Ønh
. §−êng th¼ng xy lμ trung trùc cña AB nÕu:
B. Hai gãc kh«ng ®èi ®Ønh th× không b»ng nhau
D.Hai góc không bằng nhau thì không đối đỉnh
B. C¾t nhau th× vu«ng gãc víi nhau
A. xy AB
C. xy ®i qua trung ®iÓm cña AB
. NÕu cã 2 ®−êng th¼ng:
B. xy AB t¹i A hoÆc t¹i B
D. xy AB t¹i trung ®iÓm cña AB
5
a. Vu«ng gãc víi nhau th× c¾t nhau
b. C¾t nhau th× vu«ng gãc víi nhau
c. C¾t nhau th× t¹o thμnh 4 cÆp gãc b¨ng nhau d. C¾t nhau th× t¹o thμnh 4 cÆp gãc ®èi ®Ønh
Bμi 8:
Hai ®−êng th¼ng MN vμ PQ c¾t nhau t¹i A t¹o thμnh gãc MAP cã sè ®o b»ng 330
a) TÝnh sè ®o NAQ
b) TÝnh sè ®o MAQ
c) ViÕt tªn c¸c cÆp gãc ®èi ®Ønh
d) ViÕt tªn c¸c cÆp gãc bï nhau
M
Q
A
3
3
N
P
Bμi 9:
Cho ®o¹n th¼ng AB dμi 24 mm. H·y vÏ ®−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng Êy? Nªu c¸ch vÏ?
Bμi 10:
0
Cho biÕt a//b vμ P Q 30
1
1
a
60
1
P
b
60
1
Q
a) ViÕt tªn mét cÆp gãc ®ång vÞ kh¸c vμ nãi râ sè ®o c¸c gãc
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 88
TOÁN HỌC
LỚP 7
b) ViÕt tªn mét cÆp gãc so le trong vμ nãi râ sè ®o mçi gãc
c) ViÕt tªn mét cÆp gãc trong cïng phÝa vμ nãi râ sè ®o mçi gãc
d) ViÕt tªn mét cÆp gãc ngoμi cïng phÝa vμ nãi râ sè ®o mçi gãc
Bμi 11: C¸c kh¼ng ®Þnh sau ®óng hay sai:
§
−êng th¼ng a//b nÕu:
a) a, b c¾t ®−êng th¼ng d mμ trong c¸c gãc t¹o thμnh cã mét cÆp gãc ®ång vÞ b»ng nhau
b) a, b c¾t ®−êng th¼ng d mμ trong c¸c gãc t¹o thμnh cã mét cÆp gãc ngoμi cïng phÝa bï nhau
c) a, b c¾t ®−êng th¼ng d mμ trong c¸c gãc t¹o thμnh cã mét cÆp gãc so le trong b»ng nhau
d) NÕu a b, b c th× a c
e) NÕu a c¾t b, b l¹i c¾t c th× a c¾t c
f) NÕu a//b , b//c th× a//c
III. BT vÒ nhμ:
1
®
) Cho h×nhch÷ nhËt ABCD, hai ®−êng chÐo AC vμ BD giao nhau t¹i O. Gäi tªn c¸c cÆp gãc
èi ®Ønh cã trªn h×nh vÏ.
H−íng dÉn: Sö dông ®Þnh nghÜa hai gãc ®èi ®Ønh
0
2
) trªn ®−êng th¼ng xy lÊy ®iÓm O. VÏ tia Ot sao cho gãc xOt b»ng 30 . Trªn nöa mÆt bê xy
0
kh«ng chøa Ot vÏ tia Oz sao cho gãc xOz = 120 . VÏ tia Ot’ lμ tia ph©n gi¸c cña gãc yOz.
Chøng tá r»ng gãc xOt vμ gãc yOt’ lμ hia gãc ®èi ®Ønh.
H−íng dÉn:
-
-
tÝnh gãc t’Oz
TÝnh gãc tOt’
D¹ng to¸n vÒ hai ®−êng th¼ng song song, VUÔNG GÓC,
CẮT NHAU
I. KiÕn thøc cÇn nhí
1
. Ph−¬ng ph¸p chøng minh hai ®−êng th¼ng vu«ng gãc :
-
-
-
-
Chøng minh mét trong bèn gãc t¹o thμnh cã mét gãc vu«ng.
Chøng minh hai gãc kÒ bï b»ng nhau.
Chøng minh hai tia lμ hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï.
Chøng minh hai ®−êng th¼ng ®ã lμ hai ®−êng ph©n gi¸c cña 2 cÆp gãc ®èi ®Ønh.
2. Ph−¬ng ph¸p chøng minh mét ®−êng th¼ng lμ trung trùc cña ®o¹n th¼ng:
-
-
Chøng minh a vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iÓm cña AB.
LÊy mét ®iÓm M tïy ý trªn a råi chøng minh MA = MB
3
. DÊu hiÖu nhËn biÕt hai ®−êng th¼ng song song
§−êng th¼ng c c¾t hai ®−êng th¼ng a vμ b t¹i A vμ B
®
Ó chøng minh ®−êng th¼ng a//b ta lμm theo c¸c ph−¬ng ph¸p sau:
1
2
3
4
5
6
. Chøng minh hai gãc ë vÞ trÝ so le trong b»ng nhau
. Chøng minh hai gãc ë vÞ trÝ ®ång vÞ b»ng nhau
. Chøng minh hai gãc ë vÞ trÝ so le ngoμi b»ng nhau
. Hai gãc ë vÞ trÝ trong cïng phÝa bï nhau
. Hai ®−êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng thø ba.
. Hai ®−êng th¼ng cïng song song víi ®−êng th¼ng thø ba
II. Bμi tËp
Bμi 1: Chøng minh r»ng hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc ®èi ®×nh lμ hai tia ®èi nhau?
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 89
TOÁN HỌC
LỚP 7
Gi¶i: VÏ Ot lμ tia ph©n gi¸c cña gãc xOy
Ta cã: Oz vμ Ot lμ hai tia phan gi¸c cña hai
t
y
z
/
gãc kÒ bï xOy vμ yOx
0
do ®ã gãc zOt = 90 = 1v (1)
/
/
MÆt kh¸c Oz vμ Ot lμ hai tia ph©n gi¸c
x
O
x
/
/
/
cña hai gãc kÒ bï y Ox vμ x Oy
/
0
/
/
y
do ®ã z Ot = 90 = 1v (2)
z
/
0
0
0
LÊy (1) + (2) = zOt + z Ot = 90 + 90 = 180
/
Mμ hai tia Oz vμ Oz lμ kh«ng trïng nhau
/
Do ®ã Oz vμ Oz lμ hai tia ph©n gi¸c ®èi nhau.
/
Bμi 2: Cho hai gãc kÒ bï xOy vμ yOx . VÏ tia ph©n gi¸c Oz cña xOy trªn nöa mÆt ph¼ng bê
/
/
/
/
xx cã ch−a Oy, vÏ tia Oz vu«ng víi Oz. Chøng minh r»ng tia Oz lμ tia ph©n gi¸c cña yOx .
/
t
t z
y
/
/
Gi¶i: VÏ tia Ot lμ tia ph©n gi¸c cña yOx
hai tia Oz vμ Ot lÇn l−ît lμ hai tia
ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï xOy vμ yOx
do ®ã: Oz Ot
z
O
/
x
x
/
cã: Oz Oz (gt)
Nªn hai tia Ot vμ Oz trïng nhau
/
/
VËy Oz lμ tia ph©n gi¸c cña gãc yOz
Bμi 3: Cho h×nh vÏ
a. gãc O
1
vμ O
2
cã ph¶i lμ hai gãc ®èi ®Ønh kh«ng?
b. TÝnh O
1
+ O + O
2
4
Gi¶i:
3
a. Ta cã O
b. Cã O = O
+ O
1
vμ O
(v× ®èi ®Ønh)
3 2
= O + O + O
2
kh«ng ®èi ®Ønh
n
m
y
1
2
4
3
x
O
1
+ O
4
2
1
0
=
180
0
5
Bμi 4: Trªn h×nh bªn cã O = 90
Tia Oc lμ tia ph©n gi¸c cña aOb
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 90
TOÁN HỌC
LỚP 7
TÝnh c¸c gãc: O
1
; O
2
; O
3
; O
4
a
c
Gi¶i:
0
O
5
= 90 (gt)
0
Mμ O
5
+ aOb = 180 (kÒ bï)
O 5 1 2
b
0
Do ®ã: aOb = 90
Cã Oc lμ tia ph©n gi¸c cña aOb (gt)
c’
0
Nªn cOa = cOb = 45
0
=
O
2
= O
/
3
= 45 (®èi ®Ønh)
0
/
0
bOc + O
3
= 180 bOc = O
4
= 180 - O
3
0
0
0
180 - 45 = 135
0
VËy sè ®o cña c¸c gãc lμ: O
1
2 3
= O = O = 45
0
4
O = 135
/
/
0
Bμi 5: Cho hai ®−êng th¼ng xx vμ y y c¾t nhau t¹i O sao cho xOy = 40 . C¸c tia Om vμ
/
/
On lμ c¸c tia ph©n gi¸c cña gãc xOy vμ x Oy .
a. C¸c tia Om vμ On cã ph¶i lμ hai tia ®èi nhau kh«ng?
x
y’
b. TÝnh sè ®o cña tÊt c¶ c¸c gãc cã ®Ønh lμ O.
/
/
BiÕt: x x yy = O
0
xOy = 40
/
/
n x Oy
m xOy
a. Om vμ On ®èi nhau
O
/
/
/
T×m b. mOx; mOy; nOx ; x Oy
Gi¶i:
/
/
/
/
a. Ta cã: V× c¸c gãc xOy vμ x Oy lμ ®èi ®Ønh nªn xOy = x Oy
V× Om vμ On lμ c¸c tia ph©n gi¸c cña hai gãc ®èi ®Ønh Êy
Nªn 4 nöa gãc ®ã ®«i mét b»ng nhau vμ
/
/
Ta cã: mOx = nOx v× hai gãc xOy vμ x Oy lμ kÒ bï
/
0
nªn yOx + xOy = 180
/
/
0
hay yOx + (nOx + mOy) = 180
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 91
TOÁN HỌC
LỚP 7
/
/
0
/
yOx + (nOx + mOy) = 180 (v× mOx = nOx )
0
tøc lμ mOn = 180 vËy hai tia Om vμ On ®èi nhau
0
b. BiÕt: xOy = 40 nªn ta cã
0
/
/
0
/
/
0
mOn = mOy = 20 ; x Oy = 40 ; nOx = nOy = 20
/
/
0
0
0
xOy = yOx = 180 - 40 = 140
/
/
0
mOx = mOy = nOy = nOx = 160
Bμi 6: Cho hai gãc AOB vμ COD cïng ®Ønh O, c¸c c¹nh cña gãc nμy vu«ng gãc víi c¸c
0
c¹nh cña gãc kia. TÝnh c¸c gãc AOB cμ COD nÕu hiÖu gi÷a chóng b»ng 90 .
Gi¶i: ë h×nh bªn cã gãc COD n»m trong
gãc AOB vμ gi¶ thiÕt cã:
A
AOB - COD = AOC + BOD =
O
C
0
ta l¹i cã: AOC + COD = 90
0
vμ BOD + COD = 90
suy ra AOC = BOD
0
VËy AOC = BOD = 45
B
D
0
0
suy ra COD = 45 ; AOB = 135
LuyÖn tËp: §−êng th¼ng vu«ng gãc,
song song, c¾t nhau.
o
o
1 2 4 5 6
Bμi 1: Cho h×nh vÔ biÕt d // d’ //d’’ vμ hai gãc 60 vμ 110 TÝnh c¸c gãc E , G , D , A , B .
A
5
6 B
d
C
D 110o d’
Bμi lμm
a/ Sè ®o cña E
Ta cã: d’ // d’’ (gt) => C = E
mμ C = 60 => E = 60
b/ Sè ®o cña G
Ta cã: d // d’’(gt)=> D = G
mμ D = 110 => G = 110
c/ Sè ®o cña G
3 3
Ta cã: G + G = 180 (kÒ bï) => 110 + G = 180
1
?
1
( soletrong)
1
2
?
2
( ®ång vÞ)
2
3
?
2
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 92
TOÁN HỌC
G
LỚP 7
=
>
3
= 180 - 110
= 70
d/ Sè ®o cña D
4
Ta cã : BDd’= D ( ®èi ®Ønh)=> BDd’ = D = 110
e/ Sè ®o cña A
Ta cã: ACD = C (®èi ®Ønh) => ACD = C = 60.
V× d // d’ nªn: ACD = A (®ång vÞ)
> ACD = A = 60
f/ Sè ®o cña B
V× d’’ //d’ nªn: G
V× d // d’ nªn: B
> B = G = 70
G
3
4
?
4
5
?
5
=
5
6
?
3
= BDC (®ång vÞ)
= BDC (®ång vÞ)
6
=
6
3
Bμi 2: Cho gãc xOy vμ tia Oz n»m trong gãc ®ã sao cho xOz = 4yOz. Tia ph©n gi¸c Ot
cña gãc xOz tho¶ m·n Ot Oy. TÝnh sè ®o cña gãc xOy.
Gi¶i:
x
t
z
V× xOy = xOz + yOz
=
4yOz + yOz = 5yOz (1)
MÆt kh¸c ta l¹i cã:
0
0
yOt = 90 90 = yOz + yOt
1
1
=
yOz + xOz= yOz + .4yOz
O
y
2
2
0
=
3yOz yOz = 30 (2)
0
0
Thay (1) vμo (2) ta ®−îc: xOy = 5. 30 = 150
0
VËy ta t×m ®−îc xOy = 150
/
/
/
/
/ /
Bμi 3: Cho hai gãc xOy vμ x Oy , biÕt Ox // O x (cïng chiÒu) vμ Oy // O y (ng−îc chiÒu).
/
/
0
Chøng minh r»ng xOy + x Oy = 180
Gi¶i:
x
/
/
/
x
Nèi OO th× ta cã nhËn xÐt
y
/
/
/
V× Ox // O x nªn O
V× Oy // O y nªn O
khi ®ã: xOy = O
1
/
= O
= O
1
(®ång vÞ)
(so le)
= O
/
/
2
2
/
/
2
1
+ O
2
1
+ O
O’
O
0
180 - x O y xOy + x O y = 180
0
/
/
/
/
/
/
=
y
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 93
TOÁN HỌC
LỚP 7
A
B
Bμi 4: Trªn h×nh bªn cho biÕt
0 0
BAC = 130 ; ADC = 50
Chøng tá r»ng: AB // CD
C
D
Gi¶i:
VÏ tia CE lμ tia ®èi cña tia CA
Ta cã: ACD + DCE = 180
E
0
(
hai gãc ACD vμ DCE kÒ bï)
0
0
0
0
DCE = 180 - ACD = 180 - 50 = 130
0
Ta cã: DCE = BAC (= 130 ) mμ DCE vμ BAC lμ hai gãc ®ång vÞ
Do ®ã: AB // CD
Bμi 5: Trªn h×nh bªn cho hai ®−êng th¼ng
x
A
y
/
/
xy vμ x y ph©n biÖt. H·y nªu c¸ch nhËn biÕt
/
/
xem hai ®−êng th¼ng xy vμ x y song song
hay c¾t nhau b»ng dông cô th−íc ®o gãc
Gi¶i:
/
/
y
x
B
/
/
LÊy A xy ; B x y vÏ ®−êng th¼ng AB.
/
Dïng th−íc ®o gãc ®Ó ®o c¸c gãc xAB vμ ABy . Cã hai tr−êng hîp x¶y ra
/
*
*
Gãc xAB = ABy
/
/ /
V× xAB vμ ABy so le trong nªn xy // x y
/
xAB ABy
/
/ /
V× xAB vμ ABy so le trong nªn xy vμ x y kh«ng song song víi nhau.
/
/
VËy hai ss−êng th¼ng xy vμ x y c¾t nhau
Bμi6: VÏ hai ®−êng th¼ng sao cho a // b. LÊy ®iÓm M n»m ngoμi hai ®−êng th¼ng a, b. VÏ
−êng th¼ng c ®i qua M vμ vu«ng gãc víi a vμ b.
Gi¶i:
®
c
c
M
a
a
M
b
b
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 94
TOÁN HỌC
LỚP 7
LuyÖn tËp: §−êng th¼ng vu«ng gãc,
song song, c¾t nhau.
Bài 1: Cho hình vẽ sau
a// b
0
A 38 ;B 132
1 1
0
GT
KL
AOB =? (x = ?)
HD: Qua O veõ c // a
Ta coù : c // a (caùch döïng)
Vaø a// b (GT)
c // b
0
Maø O A = 38 (1)(Hai goùc sole trong taïo bôûi c // a )
Vaø O B 180 (Hai goùc trong cuøng phía taïo bôûi c // b)
1
1
0
2
1
0
0
0
0
O 180 B 180 132 48 (2)
2
1
Töø (1) vaø (2) suy ra
0
0
0
AOB =O O =38 + 48 = 86
1
2
Hay x = 860
Bài 2:Cho hình vẽ sau , biết a c ; bc ; Â
0
1
= 115 . Tính góc B ?
1
HD: Vì a c vaø b c neân a// b
0
Ta coù : A B 180 (góc trong cuøng phía taïo bôûi a//b)
1
1
0
Neân B =180 - A
1
1
0
0
0
B = 180 - 115 = 65
1
Vaäy x = 650
0
0
Bài 3:Cho hình vẽ d // d’// d’’; C 60 ;D 110 . Tính E ;G ;G ;D ;A ;B
7
8
1
2
3
4
5
6
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 95
TOÁN HỌC
LỚP 7
HD:
0
G D 110 (ñoàng vò taïo bôûi d’// d’’)
2
8
0
0
0
0
G 180 G 180 110 70 (keà buø)
3
2
Bài 4: : Cho hình veõ sau :
0
0
Treân hình treân cho bieát a// b A 40 ;B 60 . Tính AOB
BÀI TẬP TỔNG HỢP
1
. D¹ng 1: Bμi tËp về hai đường thẳng vu«ng gãc.
Bμi 1.
0
VÏ gãc xOy cã sè ®o b»ng 45 . LÊy ®iÓm A bÊt k× trªn Ox, vÏ qua A ®−êng th¼ng
d vu«ng gãc víi ®−êng tia Ox vμ ®−êng th¼ng d vu«ng gãc víi tia Oy.
1
2
Bμi 2.
0
VÏ gãc xOy cã sè ®o b»ng 60 . VÏ ®−êng th¼ng d vu«ng gãc víi ®−êng tia Ox t¹i A.
1
Trªn d lÊy B sao cho B n»m ngoμi gãc xOy. Qua B vÏ ®−êng th¼ng d vu«ng gãc víi
1
2
tia Oy t¹i C. H·y ®o gãc ABC b»ng bao nhiªu ®é.
Bμi 3.
VÏ gãc ABC cã sè ®o b»ng 120 , AB = 2cm, AC = 3cm. VÏ ®−êng trung trùc d cña
0
1
®
o¹n AB. VÏ ®−êng trung trùc d cña ®o¹n th¼ng AC. Hai ®−êng th¼ng d vμ d c¾t
2 1 2
nhau t¹i O.
Bμi 4
0
Cho gãc xOy= 120 , ë phÝa ngoμi cña gãc vÏ hai tia Oc vμ Od sao cho Od vu«ng gãc
víi Ox, Oc vu«ng gãc víi Oy. Gäi Om lμ tia ph©n gi¸c cña gãc xOy, On lμ tia ph©n
gi¸c cña gãc dOc. Gäi Oy’ lμ tia ®èi cña tia Oy.
Chøng minh:
a/ Ox lμ tia ph©n gi¸c cña gãc y’Om.
b/ Tia Oy’ n»m gi÷a 2 tia Ox vμ Od.
c/ TÝnh gãc mOc. 0
d/ Gãc mOn = 180 .
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 96
TOÁN HỌC
LỚP 7
Bμi 5.
Cho gãc nhän xOy, trªn tia Ox lÊy ®iÓm A. KÎ ®−êng th¼ng ®I qua A vu«ng gãc
víiOx, ®−êng th¼ng nμy c¾t Oy t¹i B. KÎ ®−êng vu«ng gãc AH víi c¹nh OB.
a/ Nªu tªn c¸c gãc vu«ng.
b/ Nªu tªn c¸c cÆp gãc cã c¹nh t−¬ng øng vu«ng gãc.
*
2
Bμi tËp tù luyÖn.
Cho gãc bÑt AOB. Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê AB ta vÏ hai tia OC vμ OD sao
cho AOC BOD 160 . Gäi tia OE lμ tia ®èi cña tia OD. Chøng minh r»ng:
a/ BOC BOE .
b/ Tia OB lμ tia ph©n gi¸c cña gãc COE.
0
. D¹ng 2: Bμi tËp về hai đường thẳng song song
Bμi 1. Cho hai ®iÓm ph©n biÖt A vμ B. H·y vÏ mét ®−êng th¼ng a ®i qua A vμ mét ®−êng
th¼ng b ®i qua B sao cho b // a.
Bμi 2. Cho hai ®−êng th¼ng a vμ b. §−êng th¼ng AB c¾t hai ®−êng th¼ng trªn t¹i hai ®iÓm
A vμ B.
a/ H·y nªu tªn nh÷ng cÆp gãc so le trong, nh÷ng cÆp gãc ®èi ®Ønh, nh÷ng cÆp gãc kÒ
bï.
0
0
b/ BiÕt A 100 ,B 115 . TÝnh nh÷ng gãc cßn l¹i.
1
1
0
0
Bμi 3. Cho tam gi¸c ABC, A 80 ,B 50 . Trªn tia ®èi cña tia AB lÊy ®iÓm O. Trªn nöa
0
mÆt ph¼ng kh«ng chøa ®iÓm C bê lμ ®−êng th¼ng AB ta vÏ tia Ox sao cho BOx 50 . Gäi
Ay lμ tia ph©n gi¸c cña gãc CAO.
Chøng minh: Ox // BC; Ay // BC.
Bμi 4. Cho hai ®−êng th¼ng a vμ b. §−êng th¼ng AB c¾t hai ®−êng th¼ng trªn t¹i hai ®iÓm A
vμ B.
0
0
a/ NÕu biÕt A 120 ;B 130 th× hai ®−êng th¼ng a vμ b cã song song víi nhau
1
3
hay kh«ng? Muèn a // b th× ph¶i thay ®æi nh− thÕ nμo?
0
0
b/ BiÕt A 65 ;B 64 th× a vμ b cã song song kh«ng? Muèn a // b
2
2
th× ph¶i thay ®æi nh− thÕ nμo?
Bμi 5. Mét ®−êng th¼ng c¾t hai ®−êng th¼ng xx’, yy’ t¹i hai ®iÓm A, B sao cho hai gãc so le
trong xAB ABy . Gäi At lμ tia ph©n gi¸c cña gãc xAB, Bt’ lμ tia ph©n gi¸c cña gãc Aby.
Chøng minh r»ng:
a/ xx’ // yy’
b/ At // Bt’.
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 97
TOÁN HỌC
LỚP 7
tiªn ®Ò ¬clÝt-tõ vu«ng gãc ®Õn song song
1
. KiÕn thøc c¬ b¶n:
☞
Tiên đề: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường
thẳng đó.
☞
Tính chất: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:
Hai góc so le trong bằng nhau
Hai góc đồng vị bằng nhau
Hai góc trong cùng phía bù nhau
1
. Quan hệ giữa tính vuông góc với tính
c
song song
☞
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc
với một đường thẳng thứ ba thì chúng song
a
song với nhau.
b
☞
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc
với đường thẳng kia.
c
a
b
☞
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với
nhau.
=>
a
c
b
2
. Bμi tËp:
Bμi tËp 1: Cho xOy vμ x'Oy' lμ hai gãc tï: Ox//O'x'; Oy//O'y'.
CMR xOy = x'Oy '
x
x'
y
O
y'
O'
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 98
TOÁN HỌC
LỚP 7
*
NhËn xÐt:
Hai gãc cã c¹nh t−¬ng øng song song th×:
-
-
Chóng b»ng nhau nÕu c¶ hai gãc ®Ìu nhän hoÆc ®Òu tï.
Chóng bï nhau nÕu 1 gãc nhän 1 gãc tï.
Bμi tËp 2: Xem h×nh vÏ bªn (a//b//c). TÝnh B;C;D ;E
1
1
d
D
a A
1
b
E 1
B
c
1
C
G
Gi¶i
a / /b
0
0
Ta cã
d b B 90
d a
a / /c
L¹i cã
d c C 90
d a
0
Ta cã: D G 110 (So le trong)
1
1
0
Ta cã: E G 180 (Trong cïng phÝa)
1
1
0
0
0
E 110 180 E = 70
1
1
0
0
Bμi 3: Cho Ax // By ; xAO = 60 ; AOB = 100 (hình vẽ bên) . Tính góc OBy ?
Hướng dẫn: Vẽ đường thẳng đi qua O và song song với Ax
H−íng dÉn
Qua O vẽ đường thẳng song với Ax.
A
x
0
AOt OAx = 60 (góc soletrong do Ot // Ax)
0 0 0
6
0
0
Khi đó: BOt AOB AOt = 100 – 60 = 40 (1,5đ)
t
O
100
0
Ta lại có: BOt OBy (góc soletrong do By // Ot)
0
Vậy OBy 40 (1,5đ)
y
B
Bμi 4: Cho góc AOB khác góc bẹt. Gọi OM là tia phân giác góc AOB Vẽ các tia OC, OD
lần lượt là tia đối của tia OA và OM
/ Chứng minh: COD MOB
A
1
2
M
0
/ Biết AOB = 110 . Tính góc COD?
B
O
C
D
/ Chứng minh: COD MOB
1
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 99
TOÁN HỌC
LỚP 7
Ta có: MOA MOB (do OM là phân giác AOB )
Mà: MOA COD (góc đối đỉnh)
Suy ra: COD MOB
0
2
/ Biết AOB = 110 . Tính góc COD ?
Vì OM là tia phân giác góc AOB
0
AOB 110
0
55
Suy ra: MOA MOB =
2
0
Vậy: COD MOB = 55
2
Bμi tËp vÒ nhμ
Bμi 1 Cho hai đường thẳng xx’ v à yy’ cắt nhau tại A tạo thành góc xAy = 40 .
0
a/ Viết tên các cặp góc đối đỉnh.
c/ Tính số đo góc yAx’.
b/ Viết tên các cặp góc kề bù.
d/ Tính số đo góc x’Ay’.
ÔN TẬP CHƯƠNG I
Bài 1: Đánh dấu “x” vào ô đúng hoặc sai cho thích hợp
CAÂU
ÑUÙNG
SAI
a)Ñöôøng thaúng xy laø ñuôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng AB
neáu xy vuoâng goùc vôùi AB vaø ñi qua trung ñieåm cuûa AB
b)Hai goùc chung ñænh vaø baèng nhau thì ñoái ñænh
c) Qua ñieåm M naèm ngoaøi ñöôøng thaúng d coù voâ soá ñöôøng
thaúng song song vôùi d
d) Hai ñöôøng thaúng caét nhau thì vuoâng goùc
e)Neáu hai ñöôøng thaúng a, b caét ñuôøng thaúng c maø trong caùc
goùc taïo thaønh coù moät caëp goùc trong cuøng phía buø nhau thì a
song song vôùi b
Bài 2: Ñieàn vaøo choã troáng
Neáu moät ñöôøng thaúng caét hai ñöôøng thaúng song song thì :
a) ...............................................................................................................
b) ...............................................................................................................
c) ...............................................................................................................
Bài 3 : Cho AB = 4(cm) . Veõ ñöôøng trung tröïc d cuûa ñoaïn thaúng AB . Neâu caùch veõ
Bài 4: Chọn một câu trả lời đúng nhất trong các câu a, b, c, d
0
1
/ Nếu O đối đỉnh với O và O 40 thì:
1
3
1
0
0
0
0
a) O 30
b) O 35
c) O 40
d) O 45
3
3
3
3
2
/ Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và a // b thì:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 100
TOÁN HỌC
a) Hai góc so le trong bằng nhau.
LỚP 7
b) Hai góc đồng vị bằng nhau.
d) Cả a, b, c đều đúng.
c) Hai góc trong cùng phía bù nhau
3
/ Đường trung trực của đoạn thẳng AB là:
a) Đường đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB.
b) Đường vuông góc với đoạn thẳng AB.
c) Đường vuông góc với đoạn thẳng AB tại trung điểm của đoạn thẳng AB.
d) Cả a, b, c đều sai.
4
5
6
/ Số đường thẳng phân biệt đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước là:
a) 3
b) 2
c) 1
d) 0
/ Nếu a c và a// b thì:
a) b//c
b) b c
c) Cả a và b đều đúng. d) Cả a và b đều sai.
/ Theo tiên đề Ơ-clit thì: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng
a)
chỉ có một đường đường thẳng song song với đường thẳng đó.
b) có nhiều đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng đó.
c) có ba đường đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng đó.
d) có hai đường đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng đó.
7/ Nếu a//c và b//c thì:
a) a b
b) a// b
c) Cả a và b đều đúng. d) Cả a và b đều sai.
Bài 5: cho hình vẽ sau . Biết a // b // c.
a
b
c
A
D
2 1
1
B
1
75o
E
C
60o
F
1
1
2
3
4
5
/ Số đo của B là:
1
a) 1050
b) 600
b) 750
b) 1150
b) 1050
b) 750
c) 1150
c) 1050
c) 750
d) 750
d) 1200
d) 1050
d) 600
d) 600
/ Số đo của D là:
2
a) 600
/ Số đo của C là:
1
a) 600
/ Số đo của A là:
1
a) 750
c) 1150
/ Số đo của D là:
1
a) 1050
c) 1200
0
0
Bài 7: Cho hình vẽ: Tìm x biết a//b, A = 40 , B = 50 ( nói rõ cách tính )
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 101
TOÁN HỌC
LỚP 7
a
A
4
0o
O
x?
50o
b
B
0
0
0
Bài 8: Cho hình vẽ: Chứng minh a//b. Biết A = 35 , O = 95 , B = 120 .
a
A
3
5o
O
5o
9
b
1
20o
B
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 102
TOÁN HỌC
LỚP 7
CHƯƠNG II:TAM GIÁC
TỔNG BA GÓC CỦA MỘT TAM GIÁC
A. KiÕn thøc c¬ b¶n:
☞
Tổng ba góc của một tam giác bằng 1800:
800
1
A
A
A
B
B
C
B
C
C
HÌNH 1
HÌNH 2
HÌNH 3
☞
☞
☞
Trong một tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau. Ở HÌNH 3,
Góc ngoài của một tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác ấy.
Định lí: Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó.
A
Nhận xét: Góc ngoài của tam giác lớn hơn
mỗi góc trong không kề với nó.
2
1
B
C
B. Bμi tËp:
Bμi tËp 1: TÝnh x, y, z trong c¸c h×nh sau:
B
R
1
000
50
250
2
5
50
C
x
A
7
50
y
x
z
S
I
T
Bμi tËp 2:
0
0
0
0
H×nh 1: x = 180 - (100 + 55 ) = 25
0
0
0
H×nh 2: y = 80 ; x = 100 ; z = 125 .
Cho ABC vu«ng t¹i A. KÎ AH vu«ng gãc víi BC (H BC).
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 103
TOÁN HỌC
LỚP 7
a, T×m c¸c cÆp gãc phô nhau.
b, T×m c¸c cÆp gãc nhän b»ng nhau.
A
Gi¶i
A
B
H
a, C¸c gãc phô nhau lμ: A vμ B
B vμ HAB;
b, C¸c gãc nhän b»ng nhau lμ: A vμ HAB
0
0
Bμi tËp 3: Cho ABC cã B = 70 ; C = 30 . KÎ AH vu«ng gãc víi BC.
a, TÝnh HAB; HAC
b, KÎ tia ph©n gi¸c cña gãc A c¾t BC t¹i D. TÝnh ADC: ADB.
Gi¶i
A
7
00
300
B
C
H
D
0
0
a, HAB = 20 ; HAC = 60
0
0
b, ADC = 110 ; ADB = 70
LuyÖn TËp: tam gi¸c
Bμi 1.TÝnh c¸c sè ®o x trong c¸c h×nh sau:
E
A
6
3
75
37
x
F
66
x
D
B
C
h1
h2
N
x
h3
136
x
M
P
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 104
TOÁN HỌC
LỚP 7
Gi¶i.
0
H×nh 1: C 180 (A B)
0
0
0
C 180 75 66
0
0
C 39 hay x=39
0
H×nh 2: F 180 (D E)
0
0
0
F 180 37 63
0
0
F 80 hay x=80
0
0
H×nh 3: 2x=180 -136
0
2
x=440
x=22
0
0
Bμi 2.Cho ABC cã A 40 ;C 60 .
Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t AC ë D
a) TÝnh ABC
b)TÝnh BDA , BDC
Gi¶i.
a) Ta cã:
0
ABC =180 -( A C )
B
0
0
0
0
ABC =180 -(80 +40 ) =60
b) V× BD lμ tia ph©n gi¸c cña ABC
1
0
ABD CBD ABC 30
80
C
40
A
2
D
ADB lμ gãc ngoμi cña BCD
0
0
0
ADB =DBC C =30 +80 =110
0
0
0
0
CDB =180 - ADB =180 -110 =70
Bμi 3. Cho h×nh vÏ sau,biÕt AB//DE
TÝnh DEC
Gi¶i
Ta cã: AB//DE
A
EDC = A
47
D
0
EDC =47
XÐt DEC ta cã:
0
36
DEC =180 -( EDC+C )
B
C
E
0
0
0
DEC =180 -(47 +36 )
0
DEC =97
Bμi 4.
Cho h×nh vÏ bªn
CMR:a//b
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 105
TOÁN HỌC
LỚP 7
Gi¶i.
A
B
E
XÐt CED ta cã:
a
5
4
0
E 180 C D
C
9
2
0
0
0
0
E =180 -(92 +34 ) E =54
D
34
b
BAC CED
Mμ 2 gãc nμy so le trong a//b
0
0
Bμi 5.Cho ABC cã B =70 vμ A C =20
TÝnh A vμ C
Gi¶i.
0
Ta cã: A C 180 B
0
0
Thay B =70 A C 110
0
0
0
0
Mμ A C =20 A =(110 +20 ):2=65
0
0
0
C =110 -65 =45
hai Tam gi¸c b»ng nhau
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
☞
Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng
bằng nhau.
A
A'
B
C
B'
C '
Bμi tËp
0
0
Bμi 1: Cho tam gi¸c EKH cã E = 60 , H = 50 . Tia ph©n gi¸c cña gãc K c¾t EH t¹i D.
TÝnh EDK; HDK.
K
Gi¶i:
0 0
EKH ; E = 60 ; H = 50
GT Tia ph©n gi¸c cña gãc K
C¾t EH t¹i D
KL EDK; HDK
E
D
H
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 106
TOÁN HỌC
LỚP 7
Chøng minh:
XÐt tam gi¸c EKH
0
0
0
0
0
K = 180 - (E + H) = 180 - (60 + 50 ) = 70
1
70
2
0
35
Do KD lμ tia ph©n gi¸c cña gãc K nªn K
1
= K =
2
Gãc KDE lμ gãc ngoμi ë ®Ønh D cña tam gi¸c KDH
0
0
0
Nªn KDE = K
2
+ H = 35 + 50 = 85
0
0
Suy ra: KDH = 180 - KED = 180
0
0
Hay EDK = 85 ; HDK = 95
0
Bμi 2: Cho tam gi¸c ABC cã B = C = 50 , gäi Am lμ tia ph©n gi¸c cña gãc ngoμi ë ®Ønh
A. Chøng minh Am // BC.
ABC;
0
B = C = 50
A
m
GT Am lμ tia ph©n gi¸c
cña gãc ngoμi ®Ønh A
KL Am // BC
B
C
Chøng minh:
CAD lμ gãc ngoμi cña tam gi¸c ABC
0
0
0
Nªn CAD = B + C = 50 + 50 = 100
Am lμ tia ph©n gi¸c cña gãc CAD nªn A
1
2
= A = CAD = 100 : 2 = 50
2
0
1
0
hai ®−êng th¼ng Am vμ BC t¹o víi AC hai gãc so le trong b»ng nhau A
1
= C = 50
nªn Am // BC
Tr−êng hîp b»ng nhau c¹nh - c¹nh - c¹nh
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Trường hợp 1: Cạnh – cạnh – cạnh.Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác
kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 107
TOÁN HỌC
LỚP 7
A'
A
B'
B
C'
C
B. Bμi tËp:
Bμi tËp 1: Cho h×nh vÏ sau. Chøng minh:
A
B
a, ABD = CDB
b, ADB = DBC
D
C
Gi¶i
a, XÐt ABD vμ CDB cã:
AB = CD (gt)
AD = BC (gt)
DB chung
ABD = CDB (c.c.c)
b, Ta cã: ABD = CDB (chøng minh trªn)
ADB = DBC (hai gãc t−¬ng øng)
Bμi tËp 2
GT: ABC AB = AC MB = MC
KL: AM BC
Chøng minh
XÐt AMB vμ AMC cã :
AB = AC (gt)
A
MB = MC (gt)
AM chung
AMB = AMC (c. c. c)
0
Mμ AMB + AMC = 180 ( kÒ bï)
B
C
M
0
=
> AMB = AMC = 90 AM BC.
Bμi 3: Cho tam gi¸c ABC trung ®iÓm cña BC lμ M, kÎ AD // BM vμ AD = BM
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 108
TOÁN HỌC
M vμ D kh¸c phÝa ®èi víi AB) Trung ®iÓm cña AB lμ I.
LỚP 7
(
a. Chøng minh ba ®iÓm M, I, D th¼ng hμng
b. Chøng minh: AM // DB
c. Trªn tia ®èi cña tia AD lÊy ®iÓm AE = AD
Chøng minh EC // DB
Gi¶i:
D
A
E
a. AD // Bm (gt) DAB = ABM
IAD IBM cã (AD = BM; DAM = ABM
(
IA = IB)
Suy ra DIA = BIM mμ
0
0
DIA + DIB = 180 nªn BIM + DIB = 180
B
M
C
0
Suy ra DIM = 180
VËy ba ®iÓm D, I, M th¼ng hμng
b. AIM BID (IA = IB, DIB = MIB)
ID = IM BDM = DMA AM // BD.
c. AE // MC EAC = ACM; AE = MC (AC chung)
VËy AEC CMA (c.g.c)
Suy ra MAC = ACE AM // CE mμ AM // BD
VËy CE // BD
Tr−êng hîp b»ng nhau c¹nh - gãc - c¹nh
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Trường hợp 2: Cạnh – góc – cạnh. Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai
cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
A'
A
B'
B
C'
C
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 109
TOÁN HỌC
LỚP 7
B. Bμi tËp:
Bμi tËp 1:
A
B
D
C
Gi¶i
a, XÐt ABD vμ CDB cã:
AB = CD (gt); ABD CDB(gt); BD chung.
ABD = CDB (c.g.c)
b, Ta cã: ABD = CDB (cm trªn)
ADB DBC (Hai gãc t−¬ng øng)
c, Ta cã: ABD = CDB (cm trªn)
AD = BC (Hai c¹nh t−¬ng øng)
Bμi tËp 2:
A
D
E
B
C
Gi¶i
Ta cã: hai tia AE vμ AC cïng thuéc mét nöa mÆt ph¼ng bê lμ ®−êng th¼ng AB vμ BAC BAE nªn tia
AC n»m gi÷a AB vμ AE. Do ®ã: BAC +CAE =BAE
0
BAE 90 CAE(1)
0
T−¬ng tù ta cã: EAD 90 CAE(2)
Tõ (1) vμ (2) ta cã: BAC =EAD .
XÐt ABC vμ AED cã:
AB = AE (gt)
BAC =EAD (chøng minh trªn)
AC = AD (gt)
ABC = AED (c.g.c)
y
Bμi tËp 35/SGK - 123:
A
C
t
O
H
B
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 110
TOÁN HỌC
LỚP 7
Chøng minh:
XÐt OAH vμ OBH lμ hai tam gi¸c vu«ng cã:
OH lμ c¹nh chung.
AOH = BOH (Ot lμ tia p/g cña xOy)
OAH = OBH (g.c.g)
OA = OB.
b, XÐt OAC vμ OBC cã
OA = OB (c/m trªn)
OC chung;
AOC = BOC (gt).
OAC = OBC (c.g.c)
AC = BC vμ OAC = OBC
Bμi 4: Cho tam gi¸c ABC D lμ trung ®iÓm cña AB, E lμ trung ®iÓm cña AC vÏ F sao cho E
lμ trung ®iÓm cña DF. Chøng minh:
a. DB = CF
A
F
b. BDC FCD
D
E
1
c. DE // BC vμ DE = BC
2
Gi¶i:
B
C
a. AED CEF
AD = CF
Do ®ã: DB = CF (= AD)
b. AED CEF (c©u a)
suy ra ADE = F AD // CF (hai gãc b»ng nhau ë vÞ trÝ so le)
AB // CF BDC = FCD (so le trong)
Do ®ã: BDC ECD (c.g.c)
c. BDC ECD (c©u b)
Suy ra C
1
= D1 DE // BC (so le trong)
BDC FCD BC = DF
1
1
Do ®ã: DE = DF nªn DE = BC
2
2
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 111
TOÁN HỌC
LỚP 7
Tr−êng hîp b»ng nhau gãc - c¹nh - gãc
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Trường hợp 3: Góc – cạnh – góc. Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một
cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
A'
A
B'
B
C'
C
B. Bμi tËp:
Bμi tËp 1::
Cho ABC coù: AB = AC, M laø trung ñieåm cuûa BC.Treân tia ñoái cuûa tia MA laáy ñieåm D
sao cho AM = MD.
Chöùng minh:
a/ ABM = DCM.
b/ AB // DC
c/ AM BC
d/ Tìm ñieàu kieän cuûa ABC ñeå ADC = 30?
Chöùng minh:
A
a/ ABM = DCM.
Xeùt ABM vaø DCM coù:
+
+
+
=
AM = MD (gt)
AMB = CMD (ñoái ñænh)
MB = MC ( gt)
M
B
C
H
> ABM = DCM (c-g-c)
b/ AB // DC
Vì ABM = DCM neân ta coù:
ABM = DCM ôû vò trí sole trong do ñoù AB // DC.
D
c/ AM BC
Xeùt ABM = ACM coù:
+
+
+
=
MB = MC (gt)
MA ( caïnh chung)
AB = AC ( gt)
> ABM = ACM (c-c-c)
neân: AMB = AMC
maø : AMB + AMC = 2v.
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 112
H
TOÁN HỌC
> AMB = AMC = 1v
LỚP 7
=
hay : AM BC.
d/ Tìm ñieàu kieän :
ADC = 30 khi DAB = 30
vì ADC = DAB theo chöùng minh treân.
Maø DAB = 30 khi BAC = 60 vì BAC = 2.DAB
Vaäy ADC = 30 khi ABC coù AB = AC vaø BAC = 60.
Bμi tËp 2: Cho tam gi¸c ABC cã AB = AC. LÊy ®iÓm D trªn c¹nh AB, lÊy ®iÓm E trªn c¹nh
AC sao cho AD = AE.
a) Chøng minh r»ng BE = CD.
b) Gäi O lμ giao ®iÓm cña BE vμ CD. Chøng minh r»ng BOD = COE
Giải
a) XÐt ABE vμ ACD cã:
AB = AC (gt)
A
ˆ
A chung
D
E
AE = AD (gt)
ABE = ACD(g.c.g)
BE = CD (hai c¹nh t−¬ng øng)
O
B
C
b) ABE = ACD
ˆ
B C ;E D
1 1 1
ˆ ˆ
ˆ
1
0
ˆ
E E = 180
2
0
ˆ
L¹i cã:
1
ˆ
ˆ
D D = 180
2
1
ˆ
ˆ
2
nªn E D
2
MÆt kh¸c: AB = AC
AD = AE
BD = CE
AD + BD = AB
AE + EC = AC
Trong BOD vμ COE cã
ˆ
ˆ
B C
1
1
BD = CE,
ˆ
ˆ
D E
2
2
BOD = COE (g.c.g)
LuyÖn tËp vÒ c¸c Tr−êng hîp b»ng nhau cña Tam gi¸c
Bμi 1: Cho ®−êng th¼ng CD c¾t ®−êng th¼ng AB vμ CA = CB, DA = DB. Chøng minh r»ng
CD lμ ®−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB.
Gi¶i:
XÐt hai tam gi¸c ACD vμ BCD chóng cã: CA = CB ; DA = DB (gt)
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 113
TOÁN HỌC
LỚP 7
c¹nh DC chung nªn ACD BCD (c.c.c)
tõ ®ã suy ra: ACD = BCD
Gäi O lμ giao ®iÓm cña AB vμ CD.
XÐt tam gi¸c OAC vμ OBD chóng cã: ACD = BCD (c/m trªn); CA = CB (gt)
c¹nh OC chung nªn OAC OBC OA = OB vμ AOC = BOC
0
Mμ AOB + BOC = 180 (c.g.c)
0
AOC = BOC = 90 DC AB
Do ®ã: CD lμ ®−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB.
Bμi 2: Cho tam gi¸c ABC vμ hai ®iÓm N, M lÇn l−ît lμ trung ®iÓm cña c¹nh AC, AB. Trªn
/
/
/
tia BN lÊy ®iÓm B sao cho N lμ trung ®iÓm cña BB . Trªn tia CM lÊy ®iÓm C sao cho M lμ
/
trung ®iÓm cña CC . Chøng minh:
/
/
a. B C // BC
/
/
/
C
b. A lμ trung ®iÓm cña B C
Gi¶i:
/
a. XÐt hai tam gi¸c AB N vμ CBN
ta cã: AN = NC; NB = NB (gt);
M
N
/
/
ANB = BNC (®èi ®Ønh)
/
/
VËy AB N CBN suy ra AB = BC
B
C
/
/
vμ B = B (so le trong) nªn AB // BC
/
/
Chøng minh t−¬ng tù ta cã: AC = BC vμ AC // BC
/
/
Tõ mét ®iÓm A chØ kÎ ®−îc mét ®−êng th¼ng duy nhÊt song song víi BC. VËy AB vμ AC
/
/
trïng nhau nªn B C // BC.
/
/
b. Theo chøng minh trªn AB = BC, AC = BC
/
/
Suy ra AB = AC
/
/
Hai ®iÓm C vμ B n»m trªn hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau bê lμ ®−êng th¼ng AC
VËy A n»m gi÷a B vμ C nªn A lμ trung ®iÓm cña B C
/
/
/
/
Bμi 3: Cho tam gi¸c ADE cã D = E. Tia ph©n gi¸c cña gãc D c¾t AE ë ®iÓm M, tia ph©n
gi¸c cña gãc E c¾t AD ë ®iÓm M. So s¸nh c¸c ®é dμi DN vμ EM
H−íng dÉn:
Chøng minh: DEN EDM (g.c.g)
Suy ra: DN = EM (cÆp c¹nh t−¬ng øng)
Bμi 4: Cho h×nh vÏ bªn
trong ®ã AB // HK; AH // BK
Chøng minh: AB = HK; AH = BK.
Gi¶i:
A
B
KÎ ®o¹n th¼ng AK, AB // HK
H
K
A
1
= K
1
(so le trong)
= K (so le trong)
AH // BK A
Do ®ã: ABK KHA (g.c.g)
2
2
Suy ra: AB = HK; BK = HK
Bμi 5: Cho tam gi¸c ABC, D lμ trung ®iÓm cña AB, ®−êng th¼ng qua D vμ song song víi BC
c¾t AC t¹i E, ®−êng th¼ng qua E song song víi BC c¾t BC ë F, Chøng minh r»ng
a. AD = EF
b. ADE EFC
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 114
TOÁN HỌC
LỚP 7
c. AE = EC
Gi¶i:
a.Nèi D víi F do DE // BF
EF // BD nªn DEF FBD (g.c.g)
Suy ra EF = DB
A
Ta l¹i cã: AD = DB suy ra AD = EF
b.Ta cã: AB // EF A = E (®ång vÞ)
1 1
AD // EF; DE = FC nªn D = F (cïng b»ng B)
Suy ra ADE EFC (g.c.g) B
c.ADE EFC (theo c©u b)
D
E
F
C
suy ra AE = EC (cÆp c¹nh t−¬ng øng)
Bμi 6: Cho tam gi¸c ABC trung ®iÓm cña BC lμ M, kÎ AD // BM vμ AD = BM
M vμ D kh¸c phÝa ®èi víi AB) Trung ®iÓm cña AB lμ I.
(
a. Chøng minh ba ®iÓm M, I, D th¼ng hμng
b. Chøng minh: AM // DB
c. Trªn tia ®èi cña tia AD lÊy ®iÓm AE = AD
Chøng minh EC // DB
Gi¶i:
D
A
E
a. AD // Bm (gt) DAB = ABM
IAD IBM cã (AD = BM; DAM = ABM
(
IA = IB)
Suy ra DIA = BIM mμ
0
0
DIA + DIB = 180 nªn BIM + DIB = 180
B
M
C
0
Suy ra DIM = 180
VËy ba ®iÓm D, I, M th¼ng hμng
b. AIM BID (IA = IB, DIB = MIB)
ID = IM BDM = DMA AM // BD.
c. AE // MC EAC = ACM; AE = MC (AC chung)
VËy AEC CMA (c.g.c)
Suy ra MAC = ACE AM // CE mμ AM // BD VËy CE // BD
1 1 2 2
Bμi 7: ë h×nh bªn cã A = C ; A = C . So s¸nh B vμ D chØ ra nh÷ng cÆp ®o¹n th¼ng b»ng
nhau.
Gi¶i:
B
C
XÐt tam gi¸c ABC vμ tam gi¸c CDA
chóng cã:
2 2 1 1
A = C ; C = A c¹nh Ac chung
VËy ABC CDA (g.c.g)
A
D
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 115
TOÁN HỌC
LỚP 7
Suy ra B = D; AB = CD Vμ BC = DA
Bμi 8: Cho tam gi¸c ABC c¸c tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc B vμ C c¾t nhau t¹i I. Qua I kÎ
−êng th¼ng song song víi BC. Gäi giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng nμy víi AB, AC theo thøc tù
®
lμ D vμ E. Chøng minh r»ng DE = BD.
Gi¶i:
A
DI // DC I
BI lμ ®−êng ph©n gi¸c cña gãc B B
Suy ra I = B
Tam gi¸c DBI cã:
= B2 Tam gi¸c DBI c©n BD = BI (1)
1 1
= B (so le)
1
= B
2
D
I
E
1
2
I
1
B
C
Chøng minh t−¬ng tù CE = EI (2)
Tõ (1) vμ (2): BD + CE = DI + EI = DE
Bμi 9: Cho tam gi¸c ®Òu ABC lÊy ®iÓm D, E, F theo thø tù thuéc c¹nh AB, BC, CA sao cho
AD = BE = CF. Chøng minh r»ng tam gi¸c DEF lμ tam gi¸c ®Òu.
Gi¶i:
A
Ta cã AB = BC = CA, AD = BE = CF
Nªn AB - AD = BC - BE = CA - CF
Hay BD = CE = AF
D
F
0
Tam gi¸c ABC ®Òu A = B = C = 60
B
E
C
ADF BED (c.g.c) th× DF = DE (cÆp c¹nh t−¬ng øng)
EBD FCE (c.g.c) th× DE = EF (cÆp c¹nh t−¬ng øng)
Do ®ã: DF = DE = EF
VËy tam gi¸c DEF lμ tam gi¸c ®Òu.
CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP CHƯƠNG II
Bài 1
Bμi 1 : §iÒn ®óng, sai
1
2
3
4
. Cã thÓ vÏ ®−îc mét tam gi¸c víi 3 gãc nhän
. Cã thÓ vÏ ®−îc mét tam gi¸c cã 2 c¹nh b»ng nhau
. Cã thÓ vÏ ®−îc mét tam gi¸c víi 2 gãc vu«ng
. TÊt c¶ c¸c gãc trong cña mét tam gi¸c b»ng nhau
0
Bμi 2 : Cho ∆ABC, A = 50 , B = 70, tia ph©n gi¸c gãc C c¾t AB t¹i M.
TÝnh: AMC; BMC
Baøi 3 :cho DEFX = DMNK nhö hình veõ.
Haõy tìm soá ño caùc yeáu toá coøn laïi cuûa hai tam giaùc
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 116
TOÁN HỌC
LỚP 7
N
K
F
3
,3
5
5
4
2
,2
E
M
X
Bài 4: Cho DDKE Coù DK=KE=DE=5cm vaø DDKE = DBCO . Tính toång chu vi hai tam giaùc
ñoù?
0
Bμi 5: Cã ∆ABC mμ A 2B; B 2C . C 14 kh«ng? V× sao?
Baøi 6 : Cho ABC vaø ABC bieát :AB = BC = AC = 3 cm ; AD = BD = 2cm (C vaø D naèm khaùc
phía ñoái vôùi AB)
a) Veõ ABC ; ABD
b) Chöùng minh : CAD CBD
ˆ
ˆ
HD:
A
D
C
B
ABC ; ABD
AB = AC = BC = 3
cm
AD = BD = 2 cm
GT
KL
a) Veõ hình
b) CAD CBD
ˆ
ˆ
b) Noái DC ta ñöôïc ADC vaø BDC coù :
AD = BD (gt) ; CA = CB (gt) ; DC caïnh chung
ˆ
ˆ
ADC = BDC (c.c.c) CAD CBD (hai goùc töông öùng
Bài 2
Baøi 1: Cho DABC vaø DABD bieát: AB=BC=CA=3cm; AD=BD=2cm (Cvaø D naèm khaùc phiaù
ñoái vôùi AB).
a/ Veõ DABC ;DABD
b/ chöùng minh raèng CAD = CBD
A
D
C
B
a/ GT DABC ,DABD
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 117
TOÁN HỌC
LỚP 7
AB=BC=CA=3cm
AD=BD=2cm
KL a/Veõ Hình
b/ CAD = CBD
b/ Noái DC . Xét DADC và DBDC coù :
AD = BD(gt) ; CA = CB(gt) ; DC caïnh chung
DADC =DBDC(c.c.c)
CAD = CBD (hai goùc töông öùng
Bài 2: Cho tam giaùc ABC coù AB = AC. Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC. Chöùng minh raèng AM
vuoâng goùc Vôùi BC .
HD:
A
B
C
GT : DABC
AB=AC
M laø trung ñieåm BC
KL: AM^BC
Chöùng minh :
Xeùt DABM vaø DACM coù
AB = AC (gt) ; BM = MC(gt) ; Caïnh AM chung
DABM vaø DACM (c.c.c).
0
Suy ra AMB = AMC (hai goùc töông öùng ) maø AMB = AMC = 180 (tính chaát hai goùc keà buø)
0
180
0
hay AM^BC.
0
AM B =
=
9
2
Baøi 3 : Cho tam giaùc ABC. Veõ cung troøn taâm A baùn kính BC, veõ cung troøn taâm B baùn kính BA,
chuùng caét nhau ôû D (D vaø B naèm khaùc phiaù ñoái vôùi AC ). Chöùng minh raèng AD// BC
A
D
B
C
GT: DABC
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 118
TOÁN HỌC
LỚP 7
Cung troøn (A;BC) caét cung troøn(C;AB)
taïi D (D vaø B khacù phiaù vôùi AC).
KL: AD//BC
CM:
Xeùt DADC vaø DCBA coù
AD = CB(gt) ; DC = AB(gt) ; AC caïnh chung
DADC vaø DCBA(c.c.c)
CAD = ACB (hai goùc töông öùng )
AD//BC vì coù hai goùc so le trong baèng nhau .
Bài 4: :Cho DABC=DDEF. Bieát A = 50 ; E =75 . Tính caùc goùc coøn laïi cuûa tam giaùc .
0
0
Bài 5: - Veõ tam giaùc ABC bieát AB= 4cm; BC = 3cm;AC = 5cm.
-
Veõ tia phaân giaùc goùc A baèng thöôùc vaø compa.
Bài 3
Bài 1: Cho hình veõ, chöùng minh ADC = BCD
A
B
C
D
Bài 2: Cho hình vẽ
E
B
A
D
C
GT: xAy
BÎAx;DÎAy
AB = AD
EÎBx;CÎDy
BE = DC
KL: DABC =DADE;
Giaûi :
AD = AB(gt)
AD = AB(gt) AC = AE
DC = BE(gt)
Xeùt DABC Vaø DADE coù:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 119
TOÁN HỌC
LỚP 7
AB= AD(gt) ; A chung ; AC = AE
DABC =DADE (c.g.c)
Baøi 3: Cho DABC:AB=AC, veõ veà phiaù ngoaøi cuaû DABC caùc tam giaùc vuoâng ABK vaø tam
giaùc vuoâng ACD coù AB=AK,AC=AD. Chöùng minh: DABK =DACD.
K
D
A
B
C
GT : DABC:AB= AC
DABK ( KBA =1V ) ; AB = AK
DADC ( DAC = 1V) ; AD = AC
KL: DAKB =DADC.
CM:
Ta có : AK = AB(gt) và AD = AC(gt) maø AB= AC(gt) suy ra : AK = AD (t/c baéc caàu)
0
DAKB vaø DADC coù: AB = AC(gt); KAB = DAC =90 (gt); AK = AD (cmt)
DAKB =DADC(c-g-c)
Baøi 4: Cho ñoaïn thaúng BC vaø ñöôøng trung tröïc d cuûa noù, d giao vôùi BC taïi M. Treân d laáy hai
ñieåm K vaø E khaùc M. Noái EB,EC , KB,KC.
Chæ ra caùc tam giaùc baèng nhau tre ân hình ?
a)Trường hợp E nằm giữa K và M
d
K
E
1
2
B
M
C
DBEM=DCEM (vì
=
=1V ) caïnh EM chung ;BM=CM(gt)
M
1
M
2
DBKM =DCKM chöùng minh töông töï (cgc)
DBKE =DCKE(vì BE = EC;BK = CK, caïnh KE chung) (tröôøng hôïp c.c.c)
b/ Tröôøng hôïp M naèm giöõa Kvaø E
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 120
TOÁN HỌC
LỚP 7
K
C
B
M
E
d
DBKM =DCKM(c.g.c) KB = KC
DBEM=DCEM(c.g.c) EB = EC
DBKE =DCKE(c.c.c)
Baøi4: Cho tam giaùc AOB coù OA = OB . Tia phaân giaùc cuûa O caét AB ôû D.
Chöùng minh :a/ DA = DB
b/ OD^AB
O
2
1
1
2
A
B
Bài 4
Bài 1: (Bμi 25. SGK/118)
GT GHK Vμ KIG
GH = KI; HGK =IKG
HK = IG
KL HK // IG
G
H
I
K
*
XÐt GHK Vμ KIG cã :
GH = KI (GT)
HGK = IKG (GT)
GK c¹nh chung
GHK = KIG (c.g.c) (1)
HK = IG (cÆp c¹nh t−¬ng øng)
*
Tõ (1) suy ra GHK = KIG (cÆp gãc t−¬ng øng)
Mμ hai gãc nμy ë vÞ trÝ so le trong
HK // IG (dÊu hiÖu nhËn biÕt ) (®pcm)
Baøi 2 : Cho ABC coù 3 goùc nhoïn. Veõ ADvuoâng goùc. AC = AB vaø D khaùc phía C ñoái vôùi AB,
veõ AEAC: AD = AC vaø E khaùc phía ñoái vôùi AC. CMR:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 121
TOÁN HỌC
LỚP 7
a) DC = BE
b) DC BE
HD:
a) CM: DC=BE
ta coù DAC = DAB + BAC = 90 + BAC
0
0
BAE = BAC +CAE = BAC + 90
=
> DAC = BAE
Xeùt DAC vaø BAE coù:
AD = BA (gt) (c) ; AC = AE (gt) (c) ; DAC = AE (cm treân) (g)
=
> DAC= BAE (c-g-c)
=> DC = BE (2 caïnh töông öùng)
b) CM: DCBE
Goïi H = DC BE; I = BE AC
Ta coù: ADC=ABC (cm treân)
> ACD = AEB (2 goùc töông öùng)
=
=
maø: DHI = HIC + ICH (2 goùc baèng toång 2 goùc beân trong khoâng keà)
> DHI = AIE + AEI ( HIC vaø AIE ññ)
Baøi 3: Cho tam giaùc ABC coù B = C.Tia phaân giaùc goùc B caét AC ôû D, tia phaân giaùc goùc C caét
AB ôû E.So saùnh ñoä daøi BD vaø CE.
Bài 4 : Cho hình veõ beân coù :AB=CD;AD = BC;AÂ
a/ Chöùng minh ABC = CDA
1
= 850
B
A
b/ Tính soá ño goùc
2
C
1
1
c/ Chöùng minh AB// CD
C
D
Bài 5
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 122
TOÁN HỌC
LỚP 7
0
Baøi 1: Cho ABC coù goùc A = 60 . Caùc tia phaân giaùc caùc goùc B; C caét nhau ôû I vaø AC; AB
theo thöù töï ôû D; E . chöùng minh raèng ID=IE
A
6
0
D
E
1
4
3
2
1
2
2
B
K
1
1
C
, theo ñaàu baøi ABC:
2
Keû phaân giaùc IK cuûa goùc BIC ta ñöôïc
=
I
1
I
0
0
A =
B + C =120
6
0
Coù
=
(gt),
=
(gt)
B
1
B
2
C
1
C
2
0
1
20
2
0
= 60
= C =
B1
1
0
BIC=120
0
= 60 vaø
I3
= 600 ,
= 600
I 4
=
I1 I2
= =
=
2 4
I I
I
3
I
1
khi ñoù ta coù BEI = BKI (g-c-g) IE = IK (caïnh töông öùng )
Chöùng minh töông töï IDC= IKC IK = ID IE = ID = IK
Baøi 2: Cho ABC = EFG. Vieát caùc caïnh baèng nhau vaø caùc goùc baèng nhau. Haõy vieát ñaúng thöùc
döôùi moät vaøi daïng khaùc.
0
0
Giaû söû A = 55 ;F = 75 ; AB = 4cm; BC = 5cm; EG = 7cm. Tính caùc goùc coøn laïi vaø chu vi cuûa
hai tam giaùc.
Baøi 3: Cho bieát ABC = MNP = RST.
a) Neáu ABC vuoâng taïi A thì caùc tam giaùc coøn laïi coù vuoâng khoâng? Vì sao?
0
0
b) Cho bieát theâm A = 90 ;S = 60 . Tính caùc goùc coøn laïi cuûa ba tam giaùc.
c) Bieát AB = 7cm; NP = 5cm; RT = 6cm. Tính caùc caïnh coøn laïi cuûa ba tam giaùc vaø tính toång chu
vi cuûa ba tam giaùc.
Baøi 4: Cho bieát AM laø ñöôøng trung tröïc cuûa BC (M BC; A BC). Chöùng toû raèng
ABM = ACM; MAB= MAC; AB= AC .
Bài 6
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 123
TOÁN HỌC
LỚP 7
Baøi 1: Cho ABC coù AC = BC. Goïi I laø trung ñieåm cuûa AB. Treân tia CI laáy ñieåm D sao cho D
naèm khaùc phía vôùi C so bôø laø ñöôøng thaúng AB.
a) Chöùng minh raèng ADC = BDC.
b) Suy ra CD laø ñöôøng trung tröïc cuûa AB.
Baøi 2: Cho ñoaïn thaúng AB. Veõ ñöôøng troøn taâm A baùn kính AB vaø ñöôøng troøn taâm B baùn kính
BA. Hai ñöôøng troøn naøy caét nhau taïi hai ñieåm M vaø N.
a) Chöùng minh raèng AMB = ANB.
b) Chöùng minh raèng MN laø trung tröïc cuûa AB vaø töø ñoù suy ra caùch veõ ñöôøng trung tröïc cuûa moät
ñoaïn thaúng cho tröôùc.
Baøi 3: Cho hình veõ. Haõy chæ ra caùc tam giaùc baèng nhau ôû moãi hình.
P
A
E
C
F
N
Q
M
B
H
G
Hình 3
Hình 1
Hình 2
M
Baøi 4: Cho goùc xOy. Treân tia phaân giaùc Ot cuûa goùc xOy laáy ñieåm I (I O). Goïi A, B laàn löôït laø
caùc ñieåm treân tia Ox vaø Oy sao cho OA = OB (O A; O B).
a) Chöùng minh raèng OIA = OIB.
b) Chöùng minh raèng tia Ot laø ñöôøng trung tröïc cuûa AB.
Baøi 5: Cho hình veõ (hình 4). Chöùng minh raèng E laø trung ñieåm cuûa MN.
N
E
B
A
M
Bài 7
Baøi 1: Cho xOy khaùc goùc beït. Laáy A, B Ox sao cho OA< OB. Laáy C, D Oy sao cho OC =
OA, OD = OB. Goïi E laø giao ñieåm cuûa AD vaø BC. Cmr:
a) AD = BC
b) EAB= ECD
c) OE laø tia phaân giaùc cuûa xOy .
HD:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 124
TOÁN HỌC
LỚP 7
GT xOy <1800
ABOx, CDOy
OA =OA, OD = OB
E = AD BC
KL a) AD = BC
b) EAB=ECD
c) OE laø tia phaân giaùc xOy
a) CM: AD = BC
Xeùt AOD vaø COB coù:
Ô: goùc chung (gt); OA = OC (gt) ; OD = OB (gt)
AOD= COB (c-g-c)
=>
=> AD = CB (2 caïnh töông öùng)
b) CM: EAB=ECD
Ta coù: OAD + DAB =180 (2 goùc keà buø)
0
0
OCB + BCD=180 (2 goùc keà buø)
Maø: OAD =OCB ( AOD= COB) => DAB = BCD
Xeùt EAB vaø ECD coù:
AB = CD (AB = OB- OA; CD =OD - OC maø OA = OC; OB = OD)
*
=
ADB = DCB (cmt)
OBC =ODA ( AOD= COB)
> CED=AEB (g-c-g)
c) CM: DE laø tia phaân giaùc cuûa xOy
Xeùt OCE vaø OAE coù:
OE: caïnh chung ; OC = OA (gt) ; EC = EA ( Do CED = AEB)
=
> CED = AEB (c-c-c)
=> COE = AOE (2 goùc töông öùng)
Maø tia OE naèm giöõa 2 tia Ox, Oy Tia OE laø tia phaân giaùc cuûa xOy
Baøi 2: Baïn Mai veõ tia phaân giaùc cuûa goùc xOy nhö sau: Ñaùnh daáu treân hai caïnh cuûa goùc boán
ñoaïn thaúng baèng nhau: OA = AB = OC = CD (A,BOx, C,DOy). AD BD = K.
CM: OK laø tia phaân giaùc cuûa xOy .
Baøi 3:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 125
TOÁN HỌC
LỚP 7
GT OA = AB = OC = CD
CB OD = K
KL OK:phaân giaùc xOy
Xeùt OAD vaø OCB:
OA = OC ; OD = OB ; Ô goùc chung
> OAD =OCB (c-g-c) => ODK = ABK
=
maø CKD = goùc AKB (ññ) => DCK = BAK
=
=
=
> CDK =ABK (g-c-g) => CK =AK
> OCK =OAK(c-c-c) => COK = AOK
> OK: tia phaân giaùc cuûa xOy
Bài 8
Baøi 1 : Cho tam giaùc ABC bieát AB Treân tia BA laáy ñieåm D sao cho BC=BD. Noái C vôùi D.
Phaân giaùc cuûa goùc B caét caïnh AC, DC laàn löôït ôû E vaø I.
a/ Chöùng minh DBED=DBEC vaø IC = ID.
b/ Töø A veõ ñöôøng vuoâng goùc AH vôùi DC (H thuoäc DC). Chöùng minh AH//BI.
0
0
30
, Tia phaân giaùc cuûa goùc A Caét BC taïi D. Heû AH
Baøi 2: Cho tam giaùc ABC coù B =
, C =
7
0
vnuoâng goùc vôùi BC (H Î BC).
a/ Tính BAC
b/ Tính HDA
c/ Tính ADH
A
1
3
2
7
0
30
B
H
D
C
0
0
GT: ABC: B = 70 , C = 30
Phaân giaùc AD (D Î BC )
AH ^ BC (H Î BC)
KL: a/ BAC =?
b/ HDA =?
c/ ADH =?
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 126
TOÁN HỌC
LỚP 7
Cm:
0
0
a/ ABC: B = 70 , C = 30 (gt)
0 0 0
BAC =180 - (70 + 30 )
0 0 0
BAC =180 -100 =80
b/ Xeùt ABH coù
0
0
H =1v hay H = 90 (gt)
0
0
= 90 - 70 = 20 (trong tam giaùc vuoâng hai goùc nhoïn phuï nhau)
A1
0
2
80
2
-200 = 200
hay HDA=
BAC
=
A2
0
20
=
-
A
2
A
1
0
0
c/ ADH coù H = 90 ; A =
2
20
0
0
0
ADH = 90 -20 = 70
hoaëc HDA = +C (t/c goùc ngoaøi cuûa tam
A3
Baøi 3: Cho ABC coù : AB=AC, M laø trung ñieåm cuûa BC, treân tia ñoái cuûa tia MA laáy ñieåm D sao cho
AM=MD
a/ Chöùng minh ABM =DCM
b/ chöùng minh AC // DC
c/ Chöùng minh AC ^ BC
0
d/ Tìm ñieàu kieän cuûa ABC ñeå ADC =30
A
1
M
2
B
C
D
GT: ABC : AB=AC
M Î BC :BM=CM
D Î tia ñoái cuûa tia MA
AM = MD
KL: a/ ABM =DCM
b AC // DC
c/ AC ^ BC
0
d/ Tìm ñieàu kieän cuûa ABC ñeå ADC =30
CM:
a/Xeùt ABM vaø DCM coù:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 127
TOÁN HỌC
LỚP 7
(hai goùc ñoái ñænh ) ; BM = CM (gt)
2
AM = DM (gt) ;
=
M
1
M
ABM = DCM (c-g-c)
b/ Ta coù: BAM= DCM (chöùng minh treân)
BAM = MDC (hai goùc töông öùng )
maø BAM vaø MDC laø hai goùc so le trong AB//DC (theo daáu hieäu nhaän bieát ).
c/ Ta coù: ABM = ACM (c-c-c)
Vì AB = AC (gt ) ; Caïnh AM chung; BM = MC(gt)
0
ABM = AMC (hai goùc töông öùng ) maø AMB + AMC =180 (do hai goùc keà buø)
0
1
80
2
0
AMB =
= 90 AM ^ BC
0
0
d/ ADC =30 khi DAB =30 (Vì ADC = DAB theo keát quaû treân )
0
0
maø DAB =30 khi BAC = 60 (vì BAC = 2. DAB do BAM = MAC )
Vaäy ADC = 30 khi ABC coù AB = AC vaø BAC = 600
0
Tamgi¸c c©n, tam gi¸c ®Òu, tam gi¸c vu«ng c©n
.Tam giác cân: là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
A
1
☞
Định lí 1: Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
`
☞
Định lí 2: Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là
tam giác cân.
=>
☞
Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng
nhau.
B
C
A
:
=>
vuông cân
B
C
2
.Tam giác đều :là tam giác có ba cạnh bằng nhau
A
:
=>
đều
B
C
☞
Hệ quả:
Trong một tam giác đều, mỗi góc bằng 600. = 600
đều =>
Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 128
TOÁN HỌC
LỚP 7
:
0
Nếu một tam giác cân có một góc bằng 60 thì tam giác đó là tam giác đều.
A
A
o
6
0
o
0
6
B
C
B
C
:
=>
đều
:
=>
đều
Bμi tËp 1:
Trong c¸c tam gi¸c trong h×nh sau, tam gi¸c nμo lμ tam gi¸c c©n? V× sao?
G
C
O
B
7
H
00
400
A
E
I
D
K
M
N
P
Gi¶i
C¸c tam gi¸c c©n cã trong h×nh:
ABD c©n t¹i A; ACE c©n t¹i E.
KOM c©n t¹i M; PON c©n t¹i N.
MNO c©n t¹i O; KOP c©n t¹i O.
Bμi tËp 2:
Cho tam gi¸c ABC c©n A. LÊy ®iÓm D thuéc c¹nh AC, lÊy ®iÓm E thuéc c¹nh AB sao cho
AD = AE.
a. So s¸nh ABD vμ ACE
b. Gäi I lμ giao ®iÓm cña BD vμ CE. Tam gi¸c IBC lμ tam gi¸c g×? V× sao?
Chøng minh
A
a. XÐt ABD vμ ACE cã:
E
D
AB = AC (gt)
AD = AE (gt)
I
Achung.
B
C
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 129
TOÁN HỌC
LỚP 7
VËy ABD = ACE (c.g.c).
ABD = ACE (hai gãc t−¬ng øng)
b. V× ABC c©n t¹i A nªn: ABC = ACB
L¹i cã: ABD = ACE (theo a)
ABC - ABD = ACB - ACE
Hay IBC = ICB.
IBC c©n t¹i I.
Bμi tËp 3:
Cho tam gi¸c ®Òu ABC. Gäi E, F, D lμ ba ®iÓm lÇn l−ît n»m trªn c¸c c¹nh AB, BC, AC sao
cho: AD = CF = BE. Tam gi¸c DEF lμ tam gi¸c g×?
Gi¶i
A
ABC ®Òu nªn: AB = AC = BC
BE = AD = CF (gt)
E
AB - BE = AC - AD = BC - CF
Hay AE = CD = BF (1)
ABC ®Òu nªn: A = B = C = 60 (2)
D
0
C
B
F
XÐt AED vμ BEF cã:
AE = BF (theo (1))
AD = BE (gt)
A = B
AED = BEF (c.g.c) ED = EF (3)
XÐt AED vμ CDF cã:
AE = CD (theo (1)); AD = CF (gt)
A = C(gt)
AED = CDF (c.g.c) ED = FD (4)
Tõ (3) vμ (4) ta cã: ED = EF = FD
VËy DEF lμ tam gi¸c ®Òu.
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 130
TOÁN HỌC
LỚP 7
®
Þnh lÝ py-ta-go
Định lí Py- ta- go: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh
huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
A
:
(Định lý Pytago)
B
C
:
*
Định lí đảo: Nếu một tam giác có bình
phương của một cạnh bằng tổng các bình
phương của hai cạnh kia thì tam giác đó
là tam giác vuông.
=>
vuông tại B (Định lý Pytago đảo)
Bμi tËp
Baøi taäp 1 : Trªn h×nh vÏ bªn cho biÕt
AD DC; AH BC; DC BC; AB = 13cm
AC = 15cm; DC = 12cm
A
H
D
1
3
15
12
TÝnh ®é dμi ®o¹n th¼ng BC.
Gi¶i:
V× AH BC (H BC)
B
C
AH BC; DC BC (gt) AH // DC
mμ HAC vμ DCA so le trong. Do ®ã: HAC = DCA
Chøng minh t−¬ng tù còng cã: ACH = DAC
XÐt tam gi¸c AHC vμ tam gi¸c CDA cã
HAC = DCA; AC c¹nh chung; ACH = DAC
Do ®ã: AHC CDA (g.c.g) AH = DC
Mμ DC = 12cm (gt)
Do ®ã: AH = 12cm (1)
Tam gi¸c vu«ng HAB vu«ng ë H theo ®Þnh lý Pitago ta cã:
5
2
2
2
2
2
2
2
2
AH +BH = AB BH = AB - AH = 13 - 12 = 5 = 25
BH = 5 (cm) (2)
Tam gi¸c vu«ng HAC vu«ng ë H theo ®Þnh lý Pitago ta cã:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
AH + HC = AC HC = AC - AH = 15 - 12 = 91 = 9
HC = 9 (cm)
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 131
TOÁN HỌC
Do ®ã: BC = BH + HC = 5 + 9 = 14 (cm)
LỚP 7
0
Bμi 2: Cho tam gi¸c vu«ng ABC (A = 90 ), kÎ AH BC
2
2
2
2
Chøng minh: AB + CH = AC + BH
Gi¶i:
A
¸
p dông ®Þnh lý Pitago vμo c¸c tam gi¸c vu«ng
0
Tam gi¸c ABH cã H = 90
2 2 2 2 2
AB = AH + HB AB - HB = AH
0 2 2
2
2
AHC cã H = 90 AC = AH + HC
2 2 2
AC - HC = AH
2 2 2
2
AB - HB = AC - HC
AB + CH = AC + BH
B
H
C
2
2
2
2
Bμi 3: Cho tam gi¸c vu«ng ABC vu«ng t¹i A cã AB
3
4
vμ BC = 15cm. T×m c¸c ®é dμi AB;
AC
AC
B
Gi¶i:
Theo ®Ò ra ta cã:
2
2
AB AC
AB
AC
3
4
9
16
Theo tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau
vμ ®Þnh lý Pitago ta cã:
A
C
2
2
2
2
2
2
15
AB
AC
AB AC
BC
9
25
9
16
9 16
25
2
2
Suy ra: AB = 9.9 = 9 AB = 9 cm
2
2
2
AC = 16.9 = (4.3) = 12 AC = 12 cm
VËy hai c¹nh cÇn t×m AB = 9cm; AC = 12cm
Bμi 4:
Cho tam gi¸c nhän ABC. KÎ AH vu«ng gãc víi BC (H BC). Cho biÕt Ab = 13cm, AH =
2cm, HC = 16cm. TÝnh ®é dμi c¸c c¹nh cña tam gÝc ABC
1
Gi¶i:
V× AHB vu«ng t¹i H nªn:
A
2
2
2
AB = AH + BH
2
2
2
AC = AD + DC
2
BH = AB - AH
2
2
2
2
2
BH = 13 - 12
2
BH = 169 - 144 = 25
B
H
C
=
> BH = 5 (cm)
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 132
TOÁN HỌC
LỚP 7
Ta cã : BC = BH + HC
BC = 5 + 16 => BC = 21 (cm)
V× AHC vu«ng t¹i H nªn:
2
2
2
AC = AH + CH
2
2
2
AC = 12 + 16
2
AC = 144 + 256 = 400
=
> AC = 20(cm)
§
Þnh lý Pitago - tr−êng hîp b»ng nahu cña
hai tam gi¸c vu«ng.
Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
Trưòng hợp 1: Hai cạnh góc vuông.
+
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông
kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
B
E
Xét
và
A
C D
F
=
(
Hai cạnh góc vuông )
+
Trưòng hợp 2: Cạnh góc vuông – góc nhọn.
Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề
cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam
giác vuông kia thì hai giác vuông đó bằng
nhau.
Xét
có:
và
B
E
=
C
D
F
A
(Cạnh góc vuông ‐ góc nhọn )
+
Trưòng hợp 3: Cạnh huyền – góc nhọn
Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác
vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó
bằng nhau.
Xét
có:
và
B
E
=
C D
F
A
(Cạnh huyền ‐ góc nhọn)
+
Trưòng hợp 4: Cạnh huyền - cạnh góc vuông.
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 133
TOÁN HỌC
LỚP 7
giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác
vuông đó bằng nhau.
Xét
có:
và
=
B
E
C D
F
A
BÀI TẬP
0
Bμi 2: Cho tam gi¸c vu«ng c©n t¹i ®Ønh A. MA = 2 cm; MB = 3 cm; gãc AMC = 135 . TÝnh
é dμi ®o¹n th¼ng MC.
Gi¶i:
®
A
Trªn nöa mÆt ph¼ng bêi Am kh«ng chøa ®iÓm D.
Dùng tam gi¸c ADM vu«ng c©n taih ®Ønh A.
Ta cã: AD = MA = 2 cm
M
0
0
AMD = 45 ; DMC = AMC - AMD = 90
B
C
XÐt tam gi¸c ADC vμ AMB cã: AD = AM
DAC = MAB (hai gãc cïng phô nhau víi
gãc CAM); AC = AB (gt)
D
A
Do ®ã: ADC AMB (c.g.c) DC = MB
Tam gi¸c vu«ng AMD vu«ng ë A
D
2
2
2
nªn MD = MA + MC (pitago)
2
2
2
Do ®ã: MD = 2 + 2 = 8
B
C
Tam gi¸c MDC vu«ng ë M nªn
2
2
2
DC = MD + MC (Pitago)
2
2
2
Do ®ã: 3 = 8 + MC MC = 9 - 8 = 1
MC = 1
Bμi 3: Tam gi¸c ABC cã ph¶i lμ tam gi¸c vu«ng hay kh«ng nÕu c¸c c¹nh AB; AC; BC tØ lÖ
víi
a. 9; 12 vμ 15
c. 4; 6 vμ 7
b. 3; 2,4 vμ 1,8
d. 4 ; 4 2 vμ 4
Gi¶i:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 134
TOÁN HỌC
LỚP 7
2
2
AB 9k AB 81k
AB AC BC
2
2
2
a.
k AC 12k AC 144k
9
12
15
2
BC 15k BC 225k
2
2
2
2
2
2
AB + AC = 81k + 144k = 225k = BC
VËy tam gi¸c ABC vu«ng ë A.
2
2
AB 4k AB 16k
AB AC BC
2
2
2
b.
k AC 6k AC 36k
4
6
7
2
BC 7k BC 49k
2
2
2
2
2
2
2
AB + AC = 16k + 36k = 52k 49k = BC
VËy tam gi¸c ABC kh«ng lμ tam gi¸c vu«ng.
0
c. T−¬ng tù tam gi¸c ABC vu«ng ë C (C = 90 )
0
d. Lμm t−¬ng tù tam gi¸c ABC vu«ng c©n (B = 90 )
0
Bμi 4: Cho tam gi¸c vu«ng ABC (A = 90 ), kÎ AH BC
2
2
2
2
Chøng minh: AB + CH = AC + BH
Gi¶i:
A
¸
p dông ®Þnh lý Pitago vμo c¸c tam gi¸c vu«ng
0
Tam gi¸c ABH cã H = 90
2 2 2 2 2
AB = AH + HB AB - HB = AH
0 2 2
2
2
AHC cã H = 90 AC = AH + HC
2 2 2
AC - HC = AH
2 2 2
2
AB - HB = AC - HC
B
H
C
2
2
2
2
AB + CH = AC + BH
Bμi 5: Cho tam gi¸c ABC cã A lμ gãc tï. Trong c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC th× c¹nh nμo lμ
c¹nh lín nhÊt?
A
Gi¶i:
*
KÎ AD AB tia AD n»m gi÷a 2 tia AB vμ AC
BD < BC (1)
XÐt tam gi¸c ABD vu«ng ë A
2
2
2
2
2
BD = AB + AD AB < BD
AB < BD (2)
Tõ (1) vμ (2) suy ra: AB < BC
KÎ AE AC tia AE n»m gi÷a hai tia AB vμ AC
EC < BC (3)
B
E
D
C
*
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 135
TOÁN HỌC
LỚP 7
XÐt tam gi¸c AEC vu«ng ë A
2
2
2
2
2
EC = AE + AC AC < EC hay AC < EC (4)
Tõ (3) vμ (4) suy ra: AC < BC
VËy c¹nh lín nhÊt lμ BC.
Bμi 8: Cho tam gi¸c ABC cã AB < AC. Tia ph©n gi¸c cña gãc A c¾t ®−êng trung trùc cña
BC t¹i I. KÎ IH vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng AB, kÎ IK vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng AC.
Chøng minh r»ng BH = CK
A
Gi¶i:
Gäi M lμ trung ®iÓm cña BC ta cã:
K
AMI CMI (c.g.c)
B
M
I
V× BM = CM; IM chung; M
IB = IC (cÆp gãc t−¬ng øng)
AHI AKI (c¹nh huyÒn - gãc nhän)
IH - IK
1
= M
2
C
H
IHB IKC (c¹nh huyÒn - c¹nh gãc vu«ng) BH = CK.
Bμi 9: Cho tam gi¸c vu«ng ABC vu«ng t¹i A cã AB
3
vμ BC = 15cm. T×m c¸c ®é dμi AB;
AC
4
AC
B
Gi¶i:
Theo ®Ò ra ta cã:
2
2
AB AC
AB
AC
3
4
9
16
Theo tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau
A
C
vμ ®Þnh lý Pitago ta cã:
2
2
2
2
2
2
15
AB
AC
AB AC
BC
9
25
9
16
9 16
25
2
2
Suy ra: AB = 9.9 = 9 AB = 9 cm
2
2
2
AC = 16.9 = (4.3) = 12 AC = 12 cm
VËy hai c¹nh cÇn t×m AB = 9cm; AC = 12cm
Bμi 10: Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC vÏ trªn giÊy « vu«ng ë h×nh bªn lμ tam gi¸c vu«ng c©n.
Gi¶i:
B
Gäi ®é dμi c¹nh cña mçi « vu«ng lμ 1
Theo ®Þnh lý Pitago ta cã:
2
2
2
AB = 1 + 2 = 1 + 4 = 5
C
2
2
2
BC = 1 + 2 = 1 + 4 = 5
A
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 136
TOÁN HỌC
LỚP 7
2
2
2
AC = 1 + 3 = 1 + 9 = 10
2
2
Do AB = BC nªn AC = AB
2
2
2
0
Do AB + BC = AC nªn ABC = 90
VËy tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i B.
0
Bμi 11: Cho tam gi¸c vu«ng ABC (A = 90 ). Chøng minh r»ng
1
0
a. NÕu AB = BC th× C = 30
C
2
1
0
b. NÕu C = 30 th× AB = BC
2
Gi¶i:
Trªn tia ®èi cña tia AB ®Æt AD = AB
Nèi CD th× ta cã:
BAC DAC (c.g.c) CB = CD (1)
B
A
D
1
1
a. NÕu AB = BC vμ AB = AD = BD
2
2
Th× BC = BD (2)
Tõ (1) vμ (2) suy ra CB = BD
1
1
0
0
VËy tam gi¸c BCD ®Òu BCA = ACD = BCD = .60 30
2
2
b. CB = CD Tam gi¸c CBD c©n
0
NÕu BCA = 30 ; BCD = 60=0
suy ra tam gi¸c BCD ®Òu BD = BC
1
2AB = BC AB = BC
2
Bμi 12: Cho tam gi¸c ABC, kÎ BE AC vμ CF AB. BiÕt BE = CF = 8cm. ®é dμi c¸c
o¹n th¼ng BF vμ BC tØ lÖ víi 3 vμ 5.
®
a. Chøng minh tam gi¸c ABC lμ tam gi¸c c©n
b. TÝnh ®é dμi c¹nh ®¸y BC
c. BE vμ CF c¾t nhao t¹i O. Nèi OA vμ EF. Chøng minh ®−êng th¼ng AO lμ trung trùc cña
®
o¹n th¼ng EF.
A
Gi¶i:
0
a. BFC CEB v× E = F = 90
BE = CF, Bc c¹nh chung
F
FBC = ECB tam gi¸c ABC c©n
O
b. Theo ®Ò bμi c¸c ®o¹n th¼ng BF vμ BC
tØ lÖ víi 3 vμ 5
B
C
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 137
TOÁN HỌC
LỚP 7
2
2
2
2
2
2
8
BF BC
BF
BC
BC BF
FC
Ta cã:
4
16
3
5
9
25
25 9
16
2
BC
2
4 BC 25.4 100 BC 10 cm
2
5
c. Tam gi¸c ABC c©n AB = AC mμ BF = EC (BFC CEB )
AF = AE
AFO AEO (c¹nh huyÒn - c¹nh gãc vu«ng)
FAO = EAO FAI EAI (V× AF = AE ; FAI = EAI)
IF = IE (1)
0
vμ FIA = EIA mμ FIA + EIA = 180
0
nªn FIA = EIA = 90 AI EF (2)
Tõ (1) vμ (2) suy ra AO lμ trung trùc cña ®o¹n th¼ng EF.
ÔN TẬP CHƯƠNG II
Baøi 1:
a/ Veõ hình theo trình töï sau:
-
-
-
-
Veõ ABC
Qua A veõ AH ^ BC (H Î BC)
Töø H veõ HK ^ AC (K Î AC)
Qua K veõ ñöôøng thaúng // vôùi BC caét AB taïi E.
b/ Chæ ra caùc caëp goùc baèng nhau treân hình, giaûi thích.
c/ Chöùng minh AH ^ EK.
d/ Qua A veõ ñöôøng thaúng m vuoâng goùc vôùi AH .Chöùng minh m // EK
m
A
K
E
1
2
1
3
1
1
1
B
H
C
GT: ABC
AH ^ BC (H Î BC)
HK ^ AC (K Î AC)
KE // BC (E Î AB)
Am ^ AH
KL: a/ vẽ hình
b/ Chæ ra caùc caëp goùc baèng nhau
c/AH ^ KE
d/ Am // EK
CM:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 138
TOÁN HỌC
LỚP 7
(hai goùc ñoàng vò cuûa EK//BC)
1
(nhö treân )
b/
=
E
1
B
K2 C1
=
=
(Hai goùc so le trong cuûa EK//BC)
( ñoái ñænh )
3
K1 H1
=
K
2
K
0
AHC = HKC = 90
c)
AH BC (gt)üï
ï
ý AH ^ EK (Quan heä giöõa tính vuoâng goùc vaø song song )
EK//BC (gt) ï
ïþ
d)
m ^ AH (gt)
üï
ï
ým // EK (Hai ñöôøng thaúng cuøng vuoâng goùc vôùi moät ñöôøng thaúng thöù 3 )
EK ^ AH (c/m treân) ï
ïþ
Baøi 2:
a/ Tìm giaù trò x;y , trong hình veõ beân:
b/ AE coù song song vôùi BC khoâng ? Taïi sao?
E
A
y
x
B
C
Baøi 3: Cho tam giaùc ABC coù AB = AC. Treân caïnh AC laáy ñieåm D , Treân caïnh AC laáy ñieåm E
sao cho AD = AE. Goïi I laø giao ñieåm cuûa BD vaø CE. Bieát IB = IC. Chöùng minh raèng :
a/ BD = CE
b/ IBE ICD
c/ AI laø tia phaân giaùc cuûa goùc A
Bài 4: Cho tam giaùc ABC coù AB = AC. Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC.
1
2
3
/ Chöùng minh raèng AMB = AMC
/ Chöùng minh raèng AM laø tia phaân giaùc cuûa goùc BAC ?
/ Ñöôøng thaúng ñi qua B vuoâng goùc vôùi BA caét ñöôøng thaúng AM taïi I. Chöùng minh raèng
CI CA
HƯỚNG DẪN
Baøi 2: cho ABC vuoâng taïi A, phaân giaùc B caét AC taïi D. Keû DE BD (EBC).
a) Cm: BA = BE
b) K = BA DE. Cm: DC = DK.
HD:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 139
TOÁN HỌC
LỚP 7
GT ABC vuoâng taïi A
BD: phaân giaùc ABC
DEBC
DE BA = K
KL a)BA = BE
b)DC = DK
a) CM: BA = BE
Xeùt ABD vuoâng taïi A vaø BED vuoâng taïi E:
BD: caïnh chung
ABD = EBD (BD: phaân giaùc B ) => ABD = EBD (ch-gn)
=> BA = BE (2 caïnh töông öùng)
b) CM: DK = DC
Xeùt EDC vaø ADK:
DE = DA (ABD= EBD)
EDC = ADK (ññ)
=> EDC=ADK (cgv-gn)
=> DC = DK (2 caïnh töông öùng)
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 140
TOÁN HỌC
LỚP 7
CHƯƠNG III: QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ CỦA TAM GIÁC. CÁC ĐƯỜNG
ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC
Quan hÖ gãc vμ c¹nh ®èi diÖn trong mét
tam gi¸c.
Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác:
Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
A
C
B
Bμi tËp
Bμi 1:
a. So s¸nh c¸c gãc cña tam gi¸c PQR biÕt r»ng PQ = 7cm; QR = 7cm; PR = 5cm
0
0
b. So s¸nh c¸c c¹nh cña tam gi¸c HIK biÕt r»ng H = 75 ; K = 35
Gi¶i:
a. Tõ h×nh vÏ bªn ta cã: PQ = RP
PQR c©n t¹i Q R = P
P
QR > PR P > Q
7
5
(
quan hÖ gi÷a c¹nh vμ gãc ®èi diÖn)
vËy R = P > Q
Q
R
0
0
0
0
0
0
b. I = 180 - (75 + 35 ) = 180 - 110 = 70
H > I > K IK > HK > HI (quan hÖ gi÷a c¹nh vμ gãc ®èi diÖn)
Bμi 2: Cho tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng AB + AC > BC
Gi¶i:
Trªn tia ®íi cña tia AB lÊy ®iÓm D
sao cho AD = AC
D
Ta cã: AD = AC ADC c©n ®Ønh D
ADC = ACD (1)
A
Tia CA n»m gi÷a hai tia CB vμ CD
Do ®ã: BCD > ACD (2)
Tõ (1) vμ (2) ta cã: BCD > ADC
XÐt tam gi¸c DBC cã BCD > BDC
B
C
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 141
TOÁN HỌC
LỚP 7
suy ra DB > BC (quan hÖ gi÷a gãc vμ c¹nh ®èi diÖn trong tam gi¸c) (3)
mμ DB = AB + AD = AB + AC (4)
Tõ (3) vμ (4) ta cã: AB + AC > BC
0
Bμi 3: Cho tam gi¸c ABC, A = 90 . Trªn tia ®èi cña tia AC lÊy D sao cho AD < AC. Nèi B
víi D. Chøng minh r»ng: BC > BD
Gi¶i:
B
Trªn tia AC lÊy ®iÓm E sao cho AE = AD
Ta cã: AE < AC (V× AD < AC)
Nªn E n»m gi÷a A vμ C
Mμ BA DE vμ DA = AE
D
A
E
C
BDE c©n ®Ønh B
BDE = BEA
Ta cã: BEA > BCE (BEA lμ gãc ngoμi cña tam gi¸c BEC)
Do ®ã: BDC > BCD
XÐt tam gi¸c BDC cã: BDC > BCD
Suy ra: BC > BD (quan hÖ gi÷a gãc vμ c¹nh ®èi diÖn trong mét tam gi¸c)
Bμi 4: Cho tam gi¸c ABC cã AB < AC, M lμ trung ®iÓm cña c¹nh BC. So s¸nh BAM vμ
MAC
A
Gi¶i:
VÏ tia ®èi cña tia MA vμ trªn ®ã
lÊy ®iÓm D sao cho MD = MA
XÐt tam gi¸c MAB vμ tam gi¸c MDC cã:
MA = MD; AMB = DMC (®èi ®Ønh)
MB = MC (M lμ T§ cña c¹nh BC)
Do ®ã: MAB MDC (c.g.c)
B
M
C
D
Suy ra: AB = CD; BAM = MDC
Ta cã: AB = CD; AB < AC CD < CA
XÐt tam gi¸c ADC cã: CD < AC MAC < MDC (quan hÖ gi÷a gãc vμ c¹nh ®èi diÖn trong
tam gi¸c)
Mμ MAC < MDC vμ BAM = MDC
Suy ra: MAC < BAM
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 142
TOÁN HỌC
LỚP 7
Bμi 5: Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t AC ë D. So s¸nh c¸c ®é
dμi AD, DC.
B
Gi¶i:
KÎ DH BC
H
ABD HBD (c¹nh huyÒn - gãc nhän)
AD = DH
vu«ng t¹i H DH < DC
(c¹nh gãc vu«ng nhá h¬n c¹nh huyÒn)
A
D
C
DHC
DHC
suy ra: AD < DC
0
Bμi 6: Chøng minh r»ng nÕu mét tam gi¸c vu«ng cã mét gãc nhän b»ng 30 th× c¹nh gãc
vu«ng ®èi diÖn víi nã b»ng nöa c¹nh huyÒn.
Gi¶i:
0
0
XÐt tam gi¸c ABC cã A = 90 ; B = 30
1
CÇn chøng minh: AC = BC
B
2
Trªn BC lÊy ®iÓm D sao cho CD = CA
0
Tam gi¸c ACD cßn cã: C = 60 , AD = AC = CD
D
0
0
Tam gi¸c ABD cã B = 30 ; A
2
= 30
nªn lμ tam gi¸c ®Òu
1
suy ra AD = BE. Do ®ã: AC = BC
A
C
2
0
0
Bμi 7: Cho tam gi¸c ABC cã A = 85 , B = 40
a. So s¸nh c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC
A. AB < BC < AC
B. BC < AC < AB
C. AB < AC < BC
D. AC < AB < BC
b. Trªn tia ®èi cña yia AB lÊy ®iÓm D sao cho AD = AC. Trªn tia ®èi cña tia BA lÊy ®iÓm E
sao cho BE = BC. So s¸nh ®é dμi c¸c ®o¹n CD; CB; CE
A. CE < CB < CD
B. CB < CE < CD
C. CD < CE < CB
D. CD < CB < CE
Gi¶i: a. Chän D
0
0
V× C = 180 - (A + B) = 180 - (85 + 40) = 55
Khi ®ã nhËn thÊy r»ng B < C < A Ac < AB < BC
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 143
TOÁN HỌC
LỚP 7
b. Chän D
Bμi 8: Cho tam gi¸c ABC tia ph©n gi¸c cña gãc D c¾t AC t¹i D. So s¸nh ®é dμi cña AB vμ
BC, biÕt BDC tï.
Gi¶i:
§
Ó so s¸nh ®é dμi cña AB vμ BC ta cÇn ®i so s¸nh hai gãc C vμ A.
Theo gi¶ thiÕt ta cã: BDC tï
0
0
1
> 180
D
1
> 90 2D
Trong tam gi¸c ABD ta cã: D
Trong tam gi¸c BCD ta cã: D
C«ng theo vÕ (1) vμ (2) ta ®−îc:
1
= A + B (1)
2
B
0
1
+ B + C = 180 (2)
1
1
0
1 2
+ B + C = A + B + 180
0
A - C = 2D
A > C BC > AB
2
D
1
1
- 180 > 0
A
D
C
0
Bμi 9: Cho gãc xOy = 60 , ®iÓm A n»m trong gãc xOy. VÏ ®iÓm D sao cho Ox lμ ®−êng
trung trùc cña AB. VÏ ®iÓm C sao cho Oy lμ ®−êng trïng trùc cña AC.
a. Kh¼ng ®Þnh OB = OC lμ ®óng hay sai?
A. §óng
B. Sai
b. TÝnh sè ®o gãc BOC
0
0
0
0
D. 150
A. 60 ;
B. 90 ;
C. 120 ;
Gi¶i: a. Chän A
V× OA = OB (v× Ox lμ ®−êng trung trùc cña AB)
OA = OC (v× Oy lμ ®−êng trung trùc cña AC)
Do ®ã: OB = OC
1 2
b. Chän C v× tam gi¸c OAB c©n ë O nªn O = O
Tam gi¸c OAC c©n ë O nªn O
3
= O
4
Khi ®ã: BOC = O
1
+ O
2
+ O
3
+ O
0
4
2 3 2 3
= 2O + 2O = 2(O + O )
0
=
2(xOy) = 2. 60 = 120
0
VËy ta cã: BOC = 120
Bμi 10:
a. Cho tam gi¸c ABC vμ tam gi¸c A
BC > B . So s¸nh sè ®o cña hai gãc A vμ A
Gi¶i: Theo gi¶ thiÕt ta cã: AB = A ; AC = A
Th× A > A (quan hÖ gi÷a c¸c c¹nh ®èi diÖn trong tam gi¸c)
1
B
1
C
1
cã AB = A
1
B
1
. AC = A
1
C
1
vμ
1
C
1
1
1
B
1
1
C
1
vμ BC > B
1
C
1
1
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 144
TOÁN HỌC
LỚP 7
b. Cho hai tam gi¸c ABC vμ A
1
B
1
C
1
cã AB = A
1
B
1
. AC = A
1
C
1
vμ A > A
1
. Chøng minh r»ng
BC > B
Gi¶i: XÐt tam gi¸c ABC vμ tam gi¸c A
Cã AB = A ; AC = A vμ A > A (gt)
Suy ra: BC > B (quan hÖ gi÷a c¹nh vμ gãc ®èi diÖn trong 1 tam gi¸c)
Bμi 11: Cho tam gi¸c ABC trung tuyÕn AM. LÊy ®iÓm M bÊt k× trªn tia ®èi cña tia MA. So
1 1
C
1 1 1
B C
1
B
1
1
C
1
1
1
C
1
s¸nh ®é dμi CD vμ BD.
Gi¶i:
A
Ta lÇn l−ît nhËn thÊy
Víi hai tam gi¸c ABM vμ ACM cã:
MB = MC (v× M lμ trung ®iÓm BC)
AM chung; AB < AC
M
B
C
1 3 4
Do ®ã: M < M2 M < M
Víi hai tam gi¸c BDM vμ CDM cã
MB = MC (M lμ trung ®iÓm cña BC)
D
3 4
DM chung; M < M
Do ®ã: CD < BD
Bμi 12: Cho tam gi¸c ABC víi BC > AB. Tia ph©n gi¸c cña gãc ABC c¾t c¹nh AC t¹i D.
Chøng minh CD > DA
Gi¶i:
LÊy K trªn c¹nh BC sao cho BK = BA.
Cã DKBvμ DAB
B
1 2
C¹nh DB chung; B = B (V× BD lμ
tia ph©n gi¸c ABC)
BK = BA (theo c¸ch lÊy ®iÓm K)
K
VËy DKB= DAB (c.g.c)
Suy ra: D
MÆt kh¸c: CKD lμ gãc ngoμi tam
gi¸c KDB nªn CKD > D (1)
lμ gãc ngoμi tam gi¸c DBC nªn D
= D
Trong tam gi¸c KCD v× K > C nªn CD > DK hay CD > DA
1 2
= D ; DK = DA
A
D
C
1
D
2
2
> BCD (2)
V× D
1
2
; tõ (1) vμ (2) suy ra CKD > BCD
Bμi 13: Cho tam gi¸c ABC (AC > AB) A tï, ®−êng cao AH (®−êng AH BC) vμ trung
tuyÕn AM (®−êng AM ®i qua trung ®iÓm M cña c¹nh BC). Chøng minh:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 145
TOÁN HỌC
LỚP 7
a. BAM > MAC
b. H n»m gi÷a B vμ M
Gi¶i:
A
a. Trªn tia AM lÊy ®iÓm D sao cho M
lμ trung ®iÓm cña AD, dÔ dμng
chøng minh ®−îc AMB DMC (c.g.c)
Suy ra BAM = D (1)
AB = DC
Trong ACD cã : AC > DC do AC > AB (gt) B
Vμ AB = DC (c/m trªn)
Nªn D > MAC (2)
H
M
C
Tõ (1) vμ (2) suy ra BAM > MAC
D
b. AC > AB HC > HB (H thuéc ®o¹n th¼ng BC do A lμ gãc tï vμ MB = MC)
suy ra: BM > BH. VËy H n»m gi÷a hai ®iÓm B vμ M.
Bμi 14: Cho tam gi¸c MNP biÕt MP > MN, MD lμ ®−êng trung tuyÕn thuéc c¹nh NP. Trªn
tia MD lÊy ®iÓm E sao cho D lμ trung ®iÓm cña ME.
Chøng minh MEP > EMP
Gi¶i:
MDN EDP (c.g.c)
DN = DP
Dm = DE
M
MDN = EDP (®èi ®Ønh)
Suy ra: MN = EP
Mμ MP > MN MP > EP
Trong tam gi¸c MEP, MP ®èi diÖn víi MEP
EP ®èi diÖn víi EMP
Do ®ã: MEP > EMP
N
D
P
E
Bμi 15: TÝnh chu vi cña tam gi¸c c©n ABC biÕt
a. AB = 5cm; AC = 12cm
b. AB = 7cm; AC = 13cm
Gi¶i:
Tam gi¸c ABC c©n cã AB = 5cm; AC = 12cm th× c¹nh ®¸y lμ Ab.
ThËt vËy nÕu c¹nh bªn AB = 5cm th× c¹nh bªn BC = 5cm
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 146
TOÁN HỌC
LỚP 7
Nh− vËy ta cã: AB + BC = 10cm < CA = 12cm
®
ã lμ ®iÒu v« lÝ (trong mét tam gi¸c tæng ®é dμi hai c¹nh bao giê còng lín h¬n ®é dμi c¹nh
thø ba)
VËy chu vi tam gi¸c ABC lμ: AB + AC + BC = 5 + 2.12 = 29 cm
b. Cã thÓ x¶y ra hai tr−êng hîp
-
-
-
NÕu AB = 7cm lμ c¹nh ®¸y th× AB = BC = 13cm lμ c¹nh bªn
NÕu chu vi tam gi¸c ABC b»ng: 7 + 2.13 = 33 cm
NÕu AB = BC = 7cm lμ c¸c c¹nh bªn th× AC = 13cm lμ c¹nh ®¸y. Chu vi cña tam gi¸c ABC
lμ: 13 + 2.7 = 27 cm.
Bμi 16: Cho tam gi¸c ABC biÕt C = B
A
2
3
a. Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC lμ tam gi¸c vu«ng t¹i A vμ tÝnh sè ®o gãc B,
gãc C.
b. KÎ ®−êng cao AH. Chøng minh B = HAC; C = BAH
Gi¶i:
0
C
B
C
A B C 180
0
a.
30 (¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau)
1
2
3
1 2 3
6
A
0
0
VËy 30 A 90 nªn tam gi¸c ABC lμ tam gi¸c vu«ng t¹i A.
3
b. V× AH BC nªn H = 1v suy ra B + BAH = 1v
V× BAH + HAC = 1v suy ra B = HAC (2 gãc phô nhau)
T−¬ng tù ta còng chøng minh ®−îc C = BAH.
QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU QUAN
HỆ 3 CẠNH CỦA TAM GIÁC- BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC
Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu
Khái niệm đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên
-
Lấy A d, kẻ AH d, lấy B d. Khi đó:
☞
A
oạn thẳng AH gọi là đường vuông góc
kẻ từ A đến đường thẳng d
☞
iểm H gọi là hình chiếu của A trên
đường thẳng d
B
d
☞
H
Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên
kẻ từ A đến đường thẳng d
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 147
TOÁN HỌC
LỚP 7
☞
Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của
đường xiên AB trên đ.thẳng d
Quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc:
Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ
mộtđiểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng
đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
A
Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu: Trong hai
đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng
đến đường thẳng đó, thì:
d
H
F
E
D
B
-
-
-
Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn
Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình
chiếu bằng nhau và ngược lại, nếu hai hình - HB > HD > HE
chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
AB > AD> AE
HD = HF
- AD = AF
Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác
Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
A
AB + AC > BC
AB + BC > AC
AC + BC > AB
C
B
Hệ quả: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.
LỚP 7
|AC - BC | < AB
|AB - BC | < AC
|AC – AB|< BC
Nhận xét: Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ
dài của hai cạnh còn lại.
|
AB – AC| < BC < AB + AC
Lưu ý: chỉ cần so sánh độ dài lớn nhất với tổng hai độ dài còn lại, hoặc so sánh độ dài nhỏ nhất với
hiệu hai độ dài còn lại.
Bμi tËp
0
Bμi 1: Cho tam gi¸c ABC cã A = 90 . Trªn hai c¹nh AB, AC lÇn l−ît lÊy hai ®iÓm D vμ E.
Chøng minh r»ng DE < BC.
Gi¶i:
B
Nèi D vμ C ta cã: AE, AC lÇn l−ît lμ h×nh
chiÕu cña c¸c h×nh xiªn DE, DC trªn
D
®
−êng th¼ng AC
mμ AE < AE (V× E thuéc c¹nh AC)
Suy ra: DE < DC (quan hÖ gi÷a ®−êng xiªn
vμ h×nh chiÕu cña nã)
A
E
C
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 148
TOÁN HỌC
LỚP 7
MÆt kh¸c: AD; AB lÇn l−ît lμ h×nh chiÕu
cña c¸c ®−êng xiªn DC, BC trªn ®−êng th¼ng AB mμ AD < AB (D thuéc c¹nh AB)
Suy ra: DC < BC (quan hÖ gi÷a ®−êng xiªn vμ h×nh chiÕu cña nã)
Ta cã: DE < DC; DC < BC DE < BC
0
Bμi 2: Cho tam gi¸c ABC (A = 90 ) vÏ AH vu«ng gãc víi BC (H thuéc BC). Chøng minh
r»ng AH + BC > AB + AC
Gi¶i:
B
Trªn tia BC lÊy ®iÓm D sao cho BD = AB
Trªn tia AC lÊy ®iÓm E sao cho AE = AH
H
(
V× AB < BC nªn D n»m gi÷a B vμ C,
D
AH < AC nªn E n»m gi÷a A vμ C)
Tam gi¸c ABD c©n ®Ønh B (V× BD = AB)
A
E
C
BAD = BDA
Ta cã: BAD + DAE = BAD + HAD = 90
0
Do ®ã: DAE = HAD
XÐt tam gi¸c HAD vμ tam gi¸c EAD cã:
AH = AE; HAD = DAE; Ad c¹nh chung
Do ®ã: HAD EAD (c.g.c)
AHD = AED
0
0
mμ AHD = 90 nªn AED = 90
Ta cã: DE AC DC > EC (quan hÖ gi÷a ®−êng xiªn vμ ®−êng vu«ng gãc)
Do ®ã: AH + BD + DC > AE + AB + EC = AB + AC
VËy AH + BC > AB + AC.
Bμi 3: Cho tam gi¸c ABC, AB > AC vÏ BD AC; CE AB (D AC; E AB). Chøng
minh r»ng AB - AC > BD - CE
Gi¶i:
A
Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm F sao cho AF = AC,
V× AB > AC nªn E n»m gi÷a A vμ B.
VÏ FG AC, FH BD (G Ac; H BD)
Ta cã: FG AC; BD AC (gt)
E
G
F
FG // BD
B
C
0
0
XÐt GFD (FGD = 90 ); HDF (DHF = 90 )
Cã DF chung
GFD = HDF (v× FG // BD)
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 149
TOÁN HỌC
LỚP 7
Do ®ã: GFD HDF (c¹nh huyÒn - gãc nhän)
Suy ra: FG = HD; GD = FH
0
0
XÐt GAF (AGF = 90 );EAC (AEC = 90 )
Cã:AF = AC; GAF (cãc chung)
Do ®ã: GAF EAC (c¹nh huyÒn - gãc nhän)
Suy ra: FG = CE
Do vËy: FG = CE = HD
Ta cã: FH BD nªn FB > BH (quan hÖ gi÷a ®−êng xiªn vμ ®−êng vu«ng gãc)
Suy ra: AB - AC > BD - HD
Hay AB - AC > BD - CE
Bμi 4: Cho tam gi¸c c©n ABC t¹i ®Ønh A. Tõ ®iÓm D trªn c¹nh AB vÏ ®−êng th¼ng song
1
song víi BC c¾t c¹nh AC t¹i E. Chøng minh r»ng BE > (DE + BC)
2
Gi¶i:
VÏ BH DE (H DE), EN BC (N BC)
0
0
XÐt HBE (BHE = 90 ) vμ NEB (ENB = 90 )
BE c¹nh chung, HBE = NEB (v× DE // BC)
Do ®ã: HBE NEB (c¹nh huyÒn - gãc nhän)
Suy ra: BH = EN
A
H
D
E
0
MÆt kh¸c HBD + DBC = HBC = 90
0
0
NEC + ECN = 90 (NEC cã N = 90 )
mμ DBC = ECN (ABC c©n ®Ønh A)
suy ra: HBD = NEC
B
N
C
XÐt HBD vμ NEC cã:
0
DHB = CNE ( = 90 ); BH = EN (theo c/m trªn)
NBD = NEC (c/m trªn)
Do ®ã: HBD NEC (g.c.g) HD = NC
Mμ BH DE suy ra BE > HE (quan hÖ gi÷a ®−êng xiªn vμ ®−êng vu«ng gãc)
Do ®ã: BE + B£ > HE + MB
Mμ HE + BN = DE + HD + BN = DE + NC + BN = DE + BC
1
Nªn BE + BE > DE + BC 2BE > BC + DE BE > (DE + BC)
2
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 150
TOÁN HỌC
LỚP 7
Bμi 5: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, ®iÓm D n»m gi÷a B vμ C. Chøng minh r»ng ®é dμi AD
nhá h¬n c¹nh bªb cña tam gi¸c ABC.
A
Gi¶i:
KÎ AH BC
-
(
-
NÕu D trïng H th× AD < AC v× AH < AC
®−êng vu«ng gãc nhá h¬n ®−êng xiªn)
NÕu D kh«ng trïng H
B
H
D
C
Gi¶ sö D n»n gi÷a H vμ C, ta cã HD < HC
Suy ra: AD < AC (h×nh chiÕu nhá h¬n th× ®−êng xiªn nhá h¬n)
VËy AD nhá h¬n c¹nh bªn cña tam gi¸c ABC
A
Bμi 6:
a.Cho h×nh vÏ bªn trong ®ã AB > AC.
Chøng minh r»ng EB > EC
E
(H1)
b. Cho h×nh vÐ bªn.
B
H
C
Chøng minh r»ng: BD + CE < AB + AC
A
Gi¶i:
E
D (H2)
a. AB > AC HB > HC(®−êng xiªn lín h¬n
th× ®−êng chÕu lín h¬n)
HB >
HC EB > EC
B
C
b. (H2) Tam gi¸c ABD vu«ng t¹i D BD < AB
Tam gi¸c ADE vu«ng t¹i E suy ra: CE < AC
Suy ra: BD + CE < AB + AC
Bμi 7: Cho tam gi¸c ABC, ®iÓm D n»m gi÷a A vμ C (BD kh«ng vu«ng gãc víi AC), gäi E
vμ F lμ ch©n c¸c ®−êng vu«ng gãc kÎ tïe A vμ C ®Õn ®−êng th¼ng BD. So s¸nh AC víi AE +
CF
Gi¶i:
A
H−íng dÉn:
D
F
XÐt tam gi¸c ADE vu«ng t¹i E
AE < AD (1)
XÐt tam gi¸c CDF vu«ng t¹i F
B
C
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 151
TOÁN HỌC
LỚP 7
CF < CD (2)
Tõ (1) vμ (2) AE + CF < AD + CD = AC
Bμi 8: Cho tam gi¸c ABC, M lμ trung ®iÓm cña BC.
Chøng minh r»ng: AB + AC > 2AM
Gi¶i:
Trªn tia ®èi cña MA lÊy ®iÓm D sao cho MD = MA
XÐt MAB vμ MDC cã:
MA = MD; AMB = DMC (®èi ®Ønh)
MB = MC (gt)
A
Do ®ã: MAB MDC (c.g.c)
AB = DC
XÐt tam gi¸c ADC cã:
B
M
C
CD + AC > AD (bÊt ®¼nh thøc tam gi¸c)
Do ®ã: AB + AC > AD mμ AD = 2AM
Suy ra: AB + AC > 2AM
D
Bμi 9: Cho tam gi¸c ABC, M lμ ®iÓm n»m trong tam gi¸c. Chøng minh r»ng: MB + MC <
AB + AC
Gi¶i:
A
VÏ ®−êng th¼ng BM c¾t AC t¹i D
V× M ë trong tam gi¸c ABC nªn D n»m gi÷a A vμ C
Suy ra: AC = AD + DC
D
XÐt tam gi¸c ABD cã: DB < AB + AD
B
C
(
bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c)
MB + MD < AB + AD (1)
XÐt tam gi¸c MDC cã: MC < DC + MD (2) (bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c)
C«ng (1) víi (2) vÕ víi vÕ ta cã:
MB + MC + MD < AB + AD + DC + MD
MB + MC < AB + (AD + DC) MB + MC < AB + AC
Bμi 10: Cho tam gi¸c ABC cã AB > AC; AD lμ tia ph©n gi¸c cña gãc BAC
D BC). M lμ ®iÓm n»m trªn ®o¹n th¼ng AD.
(
Chøng minh r»ng MB - MC < AB - AC.
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 152
TOÁN HỌC
LỚP 7
Gi¶i: Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E sao cho AE = AC
v× AB > AC, nªn E n»m gi÷a A vμ B
Suy ra: AE + EB = AB
A
E
M
EB = AB - AE = AB - AC
XÐt AEM vμ ACM cã: AE = AC
EAM = CAM (AD lμ tia ph©n gi¸c BAC)
AM c¹nh chung
B
D
C
Do ®ã: AEM ACM (c.g.c)
Suy ra: ME = MC
XÐt tam gi¸c MEB cã MB - ME < EB (bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c)
Do ®ã: MB - MC < AB - AC
Bμi 11: Cho tam gi¸c ABC, M lμ trung ®iÓm c¹nh BC. Chøng minh r»ng:
1
0
a. NÕu A = 90 th× AM = BC
2
1
0
b. NÕu A > 90 th× AM < BC
2
1
0
c. NÕu A < 90 th× AM > BC
2
TÝnh chÊt: thõa nhËn
NÕu hai tam gi¸c cã hai c¹nh t−¬ng øng b»ng nhau tõnmg ®«i mét nh−ng c¸c gãc xen
gi÷a chóng kh«ng b»ng nhau vμ c¹nh nμo ®èi diÖn víi gãc lín h¬n lμ c¹nh lín h¬n, gãc nμo
®
èi diÖn víi c¹nh lín h¬n lμ gãc lín h¬n.
Gi¶i:
VÏ tia ®èi cña tia MA trªn tia ®ã lÊy ®iÓm D sao cho MD = MA
Suy ra AD = 2AM
A
XÐt MAB vμ MDC cã:
MA = MD; AMB = DMC (®èi ®Ønh)
MB = MC (gt)
Do ®ã: MAB = MDC (c.g.c)
Suy ra: AB = DC; BAM = CDM
Ta cã: BAM = CDM
B
M
C
mμ BAM vμ CDM (so le trong)
nªn AB // CD BAc + ACD = 180
0
VËn dông vμo tÝnh chÊt trªn xÐt ABC vμ CDA cã:
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 153
TOÁN HỌC
LỚP 7
AB = CD; AC c¹nh chung
Do ®ã:
0
0
a. BAC = ACD (BAC = 90 ; BAC + ACD = 180 )nªn
1
0
ACD = 90 BAC = ACD BC = AD AM = BC
2
0
0
b. BAC > ACD (BAC > 90 ; BAC + ACD = 180 ) nªn
1
0
ACD < 90 BAC > ACD BC > AD AM < BC
2
0
0
c. BAC < ACD (BAC < 90 ; BAC + ACD = 180 ) nªn
1
0
ACD > 90 BAC < ACD BC < AD AM > BC
2
1
0
Tom l¹i:
NÕu A = 90 th× AM = BC
2
1
0
Nªu A > 90 th× AM < BC
2
1
0
NÕu A < 90 th× AM > BC
2
Bμi 12: Trong c¸c tr−êng hîp sau tr−êng hîp nμo lμ ba c¹nh cña mét tam gi¸c.
a. 5cm; 10cm; 12cm.
b. 1m; 2m; 3,3m
c. 1,2m; 1m; 2,2m.
Gi¶i:
a. §óng v×: 5 + 10 > 12
b. Sai v×: 1 + 2 < 3,3
c. Sai v×: 2,2 = 1,2 + 1
Bμi 13: Cho tam gi¸c ABC cã AB = 4cm; AC = 1cm. H·y t×m ®é dμi c¹nh BC biÕt r»ng ®é
dμi nμy lμ mét sè nguyªn (cm)
Gi¶i:
A
Theo bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c
AB - AC < BC < AB + AC
4 - 1 < BC < 4 + 1
3 < BC < 5
C
B
Do ®ã ®é dμi c¹nh BC b»ng 1 sè nguyªn (cm) nªn BC = 4cm
Bμi 14:
a. TÝnh chu vi cña mét tam gi¸c c©n cã hai c¹nh b»ng 4m vμ 9m.
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 154
TOÁN HỌC
LỚP 7
b. Cho tam gi¸c ABC ®iÓm D n»n gi÷a B vμ C. Chøng minh r»ng AD nhá h¬n nöa chu vi
tam gi¸c ABC.
Gi¶i:
a.C¹nh 4m kh«ng thÓ lμ c¹nh bªn v× nÕu c¹nh 4m lμ c¹nh bªn th× c¹nh ®¸y lín h¬n tæng hai
c¹nh kia.
(
9 > 4 + 4) tr¸i víi bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c.
VËy c¹nh 4m lμ c¹nh ®¸y tho¶ m·n 9 < 9 + 4
Chu vi cña tam gi¸c lμ: 4 + 9 + 9 = 22m
b. XÐt tam gi¸c ABD cã:
A
AD < AB + BD (1)
XÐt tam gi¸c ACD cã AD < AC + DC (2)
Céng tõng vÕ cña (1) vμ (2)
B
D
C
2
AD < AB + AC + (BD + DC)
AB AC BC
Suy ra AD <
2
Bμi 15: §é dμi hai c¹nh cña mét tam gi¸c lμ 7cm, 2cm. TÝnh ®é dμi c¹nh cßn l¹i biÕt r»ng
sè ®o cña nã theo xentimÐt lμ mét sè tù nhiªn lÎ.
Gi¶i: Gäi ®é dμi c¹nh cßn l¹i lμ x (cm)
Theo bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c ta cã:
7
- 2 < x < 7 + 2 tøc lμ 5 < x < 9
Do ®ã x lμ mét sè tù nhiªn lÎ nªn x = 7
C¹nh cßn l¹i b»ng 7cm
Bμi 16: Cho tam gi¸c ABC trung tuyÕn Am vμ gãc B > C. H·y so s¸nh hai gãc AMB vμ
AMC
A
Gi¶i:
Trong tam gi¸c ABc v× B > C nªn AC > AB
Hai tam gi¸c AMB vμ AMC cã AM c¹nh chung
MB = MC nh−ng AC > AB
B
M
C
Nªn AMC > AMB.
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 155
TOÁN HỌC
LỚP 7
C¸c ®−êng ®ång quy cña tam gi¸c
Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung
tuyến của tam giác ABC. Đôi khi đường thẳng AM cũng được gọi là đường trung tuyến của tam
giác ABC. Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.
Tính chất: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm (điểm đó gọi là trọng
tâm). Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau.
Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.
Ba đường trung tuyến của một tam giác
A
cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi
đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung
E
F
tuyến đi qua đỉnh ấy:
G
B
D
C
G là trọng tâm của tam giác ABC
Tính chất tia phân giác của một góc
Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.Điểm nằm bên trong
một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.
x
A
Oz là phân giác
<=>
O
1
2
z
M
=> MA = MB
B
y
=
> M Oz
Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt
cạnh BC tại điểm M, khi đó đoạn thẳng AM là đường
phân giác của tam giác ABC(đôi khi ta cũng gọi đường
thẳng AM là đường phân giác của tam giác)
ꢀ
A
LỚP 7
1
2
Tính chất: Trong một tam giác cân, đường phân giác
xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với
cạnh đáy.
C
B
M
Tính chất ba
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 156
TOÁN HỌC
LỚP 7
đường phân giác của tam giác: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm.
Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.
Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là
một tam giác cân.
A
A
1
2
1
2
O
1
2
B
C
1
2
M
B
C
Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
d
A
=
> AB = AC
M
B
C
Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. Tập
hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Tính chất ba đường trung trực của tam giác
A
Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung
trực của tam giác đó.
Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là
đường trung tuyến ứng với cạnh này.
O
Tính chất ba đường trung trực của tam giác: Ba đường trung trực của
B
một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam
C
giác đó.
O là giao điểm của các đường trung trực của
OA = OB = OC
LỚP 7
Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực ứng với cùng một cạnh thì
tam giác đó là một tam giác cân.
A
B
C
H
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 157
TOÁN HỌC
LỚP 7
Tính chất ba đường cao của tam giác
Đường cao của tam giác: Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng
chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó. Đôi khi ta cũng gọi đường thẳng AI là một
đường cao của tam giác.
Tính chất ba đường cao của tam giác: Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm.
Điểm này gọi là trực tâm của tam giác.
A
A
A
J
K
J
J
O
C
B
I
C
B ≡ I ≡ K ≡ O
B
I
C
K
O
Lưu ý: Trực tâm của tam giác nhọn nằm trong tam giác. Trực tâm của tam giác vuông trùng với
đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.
Tính chất của tam giác cân: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng
thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với
cạnh đó.
Nhận xét:
Trong một tam giác,nếu hai trong bốn loại đường( đường trung tuyến, đường phân giác,
đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh
này) trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân.
Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam
giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.
Bμi tËp:
/
/
Bμi 1: Gäi AM lμ trung tuyÕn cña tam gi¸c ABC, A M lμ ®−êng trung tuyÕn cña tam gi¸c
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
A B C . biÕt AM = A M ; AB = A B ; BC = B C . Chøng minh r»ng hai tam gi¸c ABC vμ A B C
b»ng nhau.
A
Gi¶i:
/
/
/
XÐt ABC vμ A B C cã:
/
/
/
/
AB = A B (gt); BM = B M
Cã AM lμ trung tuyÕn cña BC
/
B
M
C
/
A
(
/
/
/
vμ A M lμ trung tuyÕn cña B C )
/
/
AM = A M (gt)
/
/
/
ABM A B M (c.c.c)
/
/
/
/
C
Suy ra B = B
B
M
/
/
/
/
V× cã AB = A B ; BC = B C (gt)
/
B = B (c/m trªn)
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 158
TOÁN HỌC
/
Suy ra: ABC A B C
LỚP 7
/
/
0
Bμi 2: Cho tam gi¸c ABC (A = 90 ) trung tuyÕn AM, tia ®èi cña tia MA lÊy ®iÓm D sao cho
MD = MA.
a. TÝnh sè ®o ABM
b. Chøng minh ABC BAD
c. So s¸nh: AM vμ BC
Gi¶i:
a. XÐt hai tam gi¸c AMC vμ DMB cã:
B
D
MA = MD; MC = MB (gt)
M
1
= M
Suy ra AMC DMB (c.g.c)
MCA = MBD (so le trong)
2
(®èi ®Ønh)
M
0
Suy ra: BD // AC mμ BA AC (A = 90 )
A
C
0
BA BD ABD = 90
b. Hai tam gi¸c vu«ng ABC vμ BAD cã:
AB = BD (do AMC DMB c/m trªn)
AB chung nªn ABC BAD (hai tam gi¸c vu«ng cã hai c¹nh gãc vu«ng b»ng nhau)
c. ABC BAD
1 1
BC = AD mμ AM = AD (gt) Suy ra AM = BC
2 2
Bμi 3: Cho tam gi¸c ABC cã AB < AC; BM vμ CN lμ hai ®−êng trung tuyÕn cña tam gi¸c
ABC. Chøng minh r»ng CN > BM.
Gi¶i:
Gäi G lμ giao ®iÓm cña BM vμ CN
XÐt ABC cã BM vμ CN lμ hai ®−êng
trung tuyÕn c¾t nhau t¹i G
Do ®ã: G lμ trong t©m cña tam gi¸c ABC
2
2
Suy ra Gb = BM; GC = CN
3
3
VÏ ®−êng trung tuyÕn AI cña ABC
Ta cã: A; G; I th¼ng hμng
XÐt AIB vμ AIC cã:
A
AI c¹nh chung, BI = IC
G
I
AB < AC (gt) AIB < AIC
XÐt GIB vμ GIC cã
B
C
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 159
TOÁN HỌC
LỚP 7
GI c¹nh chung; BI = IC
AIC > AIB GC > GB CN > BM
Bμi 4: Cho tam gi¸c ABC cã BM vμ CN lμ hai ®−êng trung tuyÕn vμ CN > BM. Chøng minh
r»ng AB < AC
Gi¶i:
A
Gäi G lμ giao ®iÓm cña BM vμ CN
ABC cã: BM vμ CN lμ hai ®−êng trung tuyÕn
N
M
Do ®ã: G lμ trong t©m cña tam gi¸c ABC
G
2
2
Suy ra GB = BM; GC = CN
3
3
VÏ ®−êng trung tuyÕn AI cña tam gi¸c ABC
th× I ®i qua G (TÝnh chÊt ba ®−êng trung tuyÕn)
B
I
C
2
2
Ta cã: CN > BM mμ GB = BM; GC = CN nªn GB < GC
3
3
XÐt GIB GIC cã:
GI c¹nh chung; BI = IC; GB < GC Suy ra: GIB < GIC
XÐt AIB vμ AIC cã:
AI c¹nh chung; BI = IC; AIB < AIC Suy ra: AB < AC
Bμi 5: Trªn h×nh bªn cã AC lμ tia ph©n gi¸c gãc BAD vμ CB = CD
Chøng minh: ABC = ADC
B
Gi¶i:
H
VÏ CH AB (H AD)
CK AD (K AD)
C thuéc tia ph©n gi¸c BAD
A
C
K
D
Do ®ã: CH = CK
0
XÐt CHB (CHB = 90 )
0
Vμ tam gi¸c CKD (CKD = 90 )
Cã CB = CD (gt); CH = CK (c/m trªn)
Do ®ã: CHB CKD (c¹nh huyÒn - gãc vu«ng)
HBC = KDC ABC = ADC
Bμi 6: Cho tam gi¸c ABC kÎ Ax ph©n gi¸c BAC t¹i C kÎ ®−êng th¼ng song song víi tia Ax,
nã c¾t ti© ®èi cña tia AB t¹i D. Chøng minh: xAB = ACD = ADC
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 160
TOÁN HỌC
LỚP 7
Gi¶i:
D
V× Ax lμ tia ph©n gi¸c cña gãc BAC
Nªn xAB = xAC (1)
Ax // CD bÞ c¾t bëi ®−êng th¼ng AC
hai gãc xAC vμ ACD lμ 2 gãc so le trong
nªn xAC = ACD (2)
A
x
hai gãc xAB vμ ADC lμ 2 gãc ®ång vÞ nªn
xAB = ADC (3)
B
C
So s¸nh (1); (2); (3) ta cã: xAB = ACD = ADC
Bμi 7: Cho tam gi¸c ABC, kÎ tia ph©n gi¸c Bx cña gãc B, Bx c¾t tia AC t¹i M. Tõ M kÎ
®
−êng th¼ng song song víi AB, nã c¾t BC t¹i N. Tõ N kÎ tia NY // Bx. Chøng minh:
B
a. xAB = BMN
b. Tia Ny lμ tia ph©n gi¸c cña gãc MNC
Gi¶i:
N
a.Trong tam gi¸c ABC t¹i ®Ønh B cã:
ABx = xBC (v× Bx lμ tia ph©n gi¸c cña gãc B)
BMN = ABx (2 gãc so le trong v× MN // BA)
VËy xBC = BMN
A
M
C
x
y
b. BMN = MNy (2 gãc so le trong v× Ny // Bx)
xBC = yNC (2 gãc ®ång vÞ v× Ny // Bx)
VËy MNy = yNC mμ tia Ny lμ tia n»m gi÷a hai tia NM vμ NC
Do ®ã: Ny lμ tia ph©n gi¸c cña MNC
Bμi 8: Cho tam gi¸c ABC. Gäi I lμ giao ®iÓm cña hai tia ph©n gi¸c hai gãc A vμ B. Qua I vÏ
−êng th¼ng song song víi BC c¾t AB t¹i M, c¾t AC t¹i N. Chøng minh r»ng: MN = BM +
®
CN
Gi¶i:
Ba ph©n gi¸c cñam mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm nªn CI lμ tia ph©n gi¸c cña gãc C.
V× MN // BC nªn C
= C nªn C = I
1
= I
1
(2 gãc so le trong)
A
C
1
2
2
2
Do ®ã: NIC c©n vμ NC = NI (1)
Chøng minh t−¬ng tù ta cã: MB = MI (2)
Tõ (1) vμ (2) ta cã:
M
N
B
C
MI + IM = BM + CN hay MN = BM + CN
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 161
TOÁN HỌC
LỚP 7
0
Bμi 9: Cho tam gi¸c ABC (A = 90 ) c¸c ®−êng trung trùc cña c¸c c¹nh AB, AC c¾t nhau t¹i
D. Chøng minh r»ng D lμ trung ®iÓm cña c¹nh BC
Gi¶i:
V× D lμ giao ®iÓm cña ®−êng trung trùc
cña c¸c c¹nh AB vμ AC nªn 2 tam gi¸c
DAB vμ DAC lμ c©n vμ c¸c gãc ë ®¸y
cña mçi tam gi¸c ®ã b»ng nhau.
DBA = DAB vμ DAC = DCA
Theo tÝnh chÊt gãc ngoμi cña tam gi¸c ta cã:
ADB = DAC + DCA
A
B
D
C
ADC = DAB + DBA
0
Do ®ã: ADB + ADC = DAC + DCA + DAB + DBA = 180
Tõ ®ã suy ra ba ®iÓm B, D, C th¼ng hμng
H¬n n÷a v× DB = DC nªn D lμ trung ®iÓm cña BC
Bμi 10: Cho hai ®iÓm A vμ D n»m trªn ®−êng trung trùc AI cña ®o¹n th¼ng BC. D n»m gi÷a
hai ®iÓm A vμ I, I lμ ®iÓm n»m trªn BC. Chøng minh:
a. AD lμ tia ph©n gi¸c cña gãc BAC
b. ABD = ACD
A
Gi¶i:
a. XÐt hai tam gi¸c ABI vμ ACI chóng cã:
AI c¹nh chung
AIC = AIB = 1v
IB = IC (gt cho AI lμ ®−êng trung trùc
cña ®o¹n th¼ng BC)
B
I
C
VËy ABI ACI (c.g.c)
BAI = CAI
MÆt kh¸c I lμ trung ®iÓm cña c¹nh BC nªn tia AI n»m gi÷a hai tia AB vμ AC
Suy ra: AD lμ tia ph©n gi¸c cña gãc BAC
b. XÐt hai tam gi¸c ABD vμ ACD chóng cã:
AD c¹nh chung
C¹nh AB = AC (v× AI lμ ®−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng BC)
BAI = CAI (c/m trªn)
VËy ABD ACD (c.g.c) ABD = ACD (cÆp gãc t−¬ng øng)
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 162
TOÁN HỌC
LỚP 7
Bμi 11: Hai ®iÓm M vμ N n»m trªn ®−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB, N lμ trung ®iÓm
/
/
cña ®o¹n th¼ng AB. Trªn tia ®èi cña tia NM cx¸c ®Þnh M sao cho MN = NM
/
a. Chøng minh: AB lμ ss−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng MM
/
/
b. M A = MB = M B = MA
Gi¶i:
/
a. Ta cã: AB MM
(
v× MN lμ ®−êng trung trùc cña ®o¹n
M
th¼ng AB nªn MN AB )
/
MÆt kh¸c N lμ trung ®iÓm cña MM
/
/
(
v× M n»m trªn tia ®èi cña tia NM vμ NM = NM )
A
N
B
/
VËy AB lμ ®−êng trung trùc cña ®o¹n MM .
b. Theo g¶ thiÕt ta cã:
/
MM lμ ®−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB nªn
/
/
/
M
/
MA = MB; M B = M A
Ta l¹i cã: AB lμ ®−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng MM nªn MA = M B
/
/
/
Tõ ®ã suy ra: M A = MB = M B = MV
Bμi 12: Cho tam gi¸c ABC cã AB < AC. X¸c ®Þnh ®iÓm D trªn c¹nh AC sao cho : DA + DB
AC
=
Gi¶i:
A
VÏ ®−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng BC
c¾t c¹nh AC t¹i D
D
D lμ ®iÓm cÇn x¸c ®Þnh
ThËt vËy
B
C
Ta cã: DB = DC (v× D thuéc ®−êng trung
trùc cña ®o¹n th¼ng BC)
Do ®ã: DA + DB = DA + DC
Mμ AC = DA + DC (v× D n»m gi÷a A vμ C)
Suy ra: DA + DB = AC
Bμi 13:
a. Gäi AH vμ BK lμ c¸c ®−êng cao cña tam gi¸c ABc. Chøng minh r»ng CKB = CAH
b. Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), AH vμ BK lμ c¸c ®−êng cao
Chøng minh r»ng CBK = BAH
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 163
TOÁN HỌC
LỚP 7
Gi¶i:
a. Trong tam gi¸c AHC vμ BKC cã:
CBK vμ CAH ®Òu lμ gãc nhän
Vμ cã c¸c c¹nh t−¬ng øng vu«ng gãc víi nhau
CB AH vμ BK CA
K
A
VËy CBK = CAH
b. Trong tam gi¸c c©n ®· cho th× ®−êng cao AH
còng lμ ®−êng ph©n gi¸c cña gãc A
Do ®ã: BAH = CAH
B
H
C
A
MÆt kh¸c: CAH vμ CBK lμ hai gãc nhän vμ
cã c¸c c¹nh t−¬ng øng vu«ng gãc nªn
CAH = CBK. Nh− vËy BAH = CBK
K
B
H
C
Bμi 14: Hai ®−êng cao AH vμ BK cña tam gi¸c nhän ABC c¾t nhau t¹i D.
0
a. TÝnh HDK khi C = 50
b. Chøng minh r»ng nÕu DA = DB th× tam gi¸c ABC lμ tam gi¸c c©n.
Gi¶i:
A
V× hai gãc C vμ ADK ®Òu lμ nhän vμ cã c¸c
c¹nh t−¬ng øng vu«ng gãc nªn C = ADK
Nh−ng HDK kÒ bï víi ADK nªnhai gãc
K
0
0
C vμ HDK lμ bï nhau. Nh− vËy HDK = 180 - C = 130
b. NÕu DA = DB th× DAB = DBA
B H
C
Do ®ã hai tam gi¸c vu«ng HAB vμ KBA b»ng nhau
V× cã c¹nh huyÒn b»ng nhau vμ cã mét gãc nhän b»ng nhau
Tõ ®ã suy ra KAB = HBA hai gãc nμy cïng kÒ víi ®¸y AB cña tam gi¸c ABC
Suy ra tam gi¸c ABC c©n víi CA = CB
Bμi 15: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A ph©n gi¸c AM. KÎ ®−êng cao BN c¾t AM
t¹i H.
a. Kh¼ng ®Þnh CN AB lμ ®óng hay sai?
A. §óng
B. Sai
0
b. TÝnh sè ®o c¸c gãc: BHM vμ MHN biÕt C = 39
0
0
0
0
A. BHM = 131 ; MHN = 49
C. BHM = 141 ; MHN = 39
0
0
0
0
B. BHM = 49 ; MHN = 131
D. BHM = 39 ; MHN = 141
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 164
TOÁN HỌC
LỚP 7
Gi¶i:
A
a. Chän A
v× AM BC tam gi¸c ABC c©b t¹i A
Suy ra H lμ trùc t©m cña tam gi¸c ABC
Do ®ã CH AB
N
H
b. Chän D
B
M
C
0
Ta cã: BHM = C = 39 (hai gãc nhän cã c¹nh t−¬ng øng vu«ng gãc)
0
0
MHN = 180 - C = 141 (hai gãc cã c¹nh t−¬ng øng vu«ng gãc vμ mét gãc nhän, mét gãc
tï)
0
0
VËy ta t×m ®−îc BHM = 39 ; MHN = 141
0
Bμi 16: Cho gãc xOy = 60 ®iÓm A n»m trong gãc xOy vÏ ®iÓm B sao cho Ox lμ ®−êng
trung trùc cña AC, vÏ ®iÓm C sao cho Oy lμ ®−êng trung trùc cña AC
a. Kh¼ng ®Þnh OB = OC lμ ®óng hay sai?
b. TÝnh sè ®o gãc BOC
0
0
0
0
D. 150
A. 60 ;
Gi¶i:
B. 90 ;
C. 120 ;
B
x
a. Chän A
NhËn xÐt lμ:
OA = OB v× Ox lμ ®−êng trung trùc cña AB
OA = OC v× Oy lμ ®−êng trung trùc cña AC
Do ®ã: OB = OC
A
y
b. Chän C.
O
NhËn xÐt lμ:
Tam gi¸c OAB c©n t¹i O nªn O
Tam gi¸c OAC c©n t¹i O nªn O
Khi ®ã: BOC = O + O + O + O
1
= O
2
C
3
= O
4
1
2
3
4
2 3
= 2O + 2O
0
=
2(O
2
+O
3
) = 2xOy = 120
0
VËy ta cã: BOC = 120
Bμi 17: Chøng minh r»ng trong mét tam gi¸c trung tuyÕn øng víi c¹nh lín h¬n th× nhá h¬n
trung tuyÕn øng víi c¹nh nhá.
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 165
TOÁN HỌC
LỚP 7
Gi¶i:
XÐt tam gi¸c ABC c¸c ®−êng trung tuyÕn
AM, BN, CP träng t©m G
Gi¶ sö AB < AC
A
P
N
Ta cÇn ®i chøng minh CP > BN
ThËt vËy
G
Víi hai tam gi¸c ABM vμ ACM
Ta cã: MB = MC (v× M lμ trung ®iÓm cña BC)
B
M
C
AM chung: AB < AC do ®ã: M
1 2
< M .
Víi hai tam gi¸c GBM vμ GCM ta cã: MB = MC (M lμ T§ cña BC); GM chung
2
2
Do ®ã: GB < GC GB < GC BN < CP
3
3
Biên soạn và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Trang 166
© 2024 - nslide
Website chạy thử nghiệm. Thư viện tài liệu miễn phí mục đích hỗ trợ học tập nghiên cứu , được thu thập từ các nguồn trên mạng internet ... nếu tài liệu nào vi phạm bản quyền, vi phạm pháp luật sẽ được gỡ bỏ theo yêu cầu, xin cảm ơn độc giả