luong giac cuc hay

Chuyªn ®Ò 1

Ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c

A. C«ng thøc l­îng gi¸c  cÇn nhí

I. Mét sè c«ng thøc l­îng gi¸c cÇn nhí

1)    

2)     .

3)     C«ng thøc céng:

4)     C«ng thøc nh©n ®«i:  sin2x = 2sinxcosx

cos2x = cos2x – sin2x = 2 cos2x – 1 = 1 - 2 sin2x

5)     C«ng thøc h¹ bËc:

6)     C«ng thøc nh©n ba:

Sin3x = 3sinx – 4sin3x; cos3x = 4cos3x – 3cosx.

7)     C«ng thøc biÓu diÔn theo tanx:

.

8)     C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng:

9)     C«ng thøc biÕn ®æi tæng thµnh tÝch:

B. Mét sè d¹ng bµi tËp vª ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c

D¹ng 1. Ph­¬ng tr×nh bËc hai.

Bµi 1.  Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:

 1) 2cosx - = 0    2) tanx – 3 = 0

 3) 3cot2x + = 0    4) sin3x – 1 = 0

 5) cosx + sin2x = 0

Bµi 2. Gi¶i c¸c ph­¬n tr×nh sau:

 1) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0   2) cos2x + sinx + 1 = 0

 3) 2cos2x + cosx – 2 = 0   4) cos2x – 5sinx + 6 = 0

 5) cos2x + 3cosx + 4 = 0    6) 4cos2x - 4cosx + 3 = 0

 7) 2sin2x – cosx + = 0    8) 2sin2x – 7sinx + 3 = 0

 9) 2sin2x + 5cosx = 5.

Bµi 3. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh:

1)      2sin2x - cos2x  - 4sinx + 2 = 0  3) 9cos2x - 5sin2x - 5cosx + 4 = 0

3)   5sinx(sinx - 1) - cos2x = 3  4) cos2x + sin2x + 2cosx + 1 = 0

5) 3cos2x + 2(1 + + sinx)sinx – (3 + ) = 0

6) tan2x + ( - 1)tanx – = 0  7)

8)

9) .

D¹ng 2. Ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi sinx vµ cosx

Bµi 1. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:

1)  4sinx – 3cosx = 2    2)  sinx - cosx = 1

3) sin3x + cos3x = 1   4)  sin4x + cos4x =

5) 5cos2x – 12cos2x = 13   6) 3sinx + 4cosx = 5

Bµi 2. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh:

 1)     2)      

 3)   4)

 5)     

D¹ng 3. Ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc hai ®èi víi sin vµ c«sin.

1)  sin2x + 2sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0  2)  sin2x – 3sinxcosx + 1 = 0.

3)  4sinxcosx + 4cos2x = 2sin2x + .

4)  .

5) a) ;   b) .

6)  cos2x – 3sinxcosx – 2sin2x – 1 = 0 7)  6sin2x + sinxcosx – cos2x = 2.

8)  sin2x + 2sinxcosx - 2cos2x = 0  9)  4sin2x + sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0.

10) .

D¹ng 4. Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng ®èi víi sinx vµ cosx:

Bµi 1. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:

1)  (sinx + cosx) – 2sinxcosx = 2 + 1

2)  6(sinx – cosx) – sinxcosx = 6

3)  3(sinx + cosx) + 2sinxcosx + 3 = 0

4) sinx – cosx + 4sinxcosx + 1 = 0

5) sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0

Bµi 2. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh:

1) (sinx + cosx) - sinxcosx = 1.

2) (1 – sinxcosx)(sinx + cosx) = .

3)  .

4) sin3x + cos3x = .

5) sinx – cosx + 7sin2x = 1.

6) .

7) .

8) .

9) 1 + tgx = 2sinx.

10)  sinxcosx + 2sinx + 2cosx = 2.

11)  2sin2x – 2(sinx + cosx) +1 = 0.

C. Bµi tËp tù luyÖn

Bµi 1. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:

 1)    sin3x =    11)   sin(2x - 3) = sin(x + 1)

 2)    cos2x = -  12)   tan(3x + 2) + cot2x = 0

 3)    tan(x + 60o) = -  13)   sin3x = cos4x

 4)    cot =  14)   tan3x.tanx = 1

 5)    sin2x = sin 15)   sin(2x + 50o) = cos(x + 120o)

 6)    tan = tan  16)   - 2sin2x = 0

 7)    cos(3x + 20o) = sin(40o - x) 17)   2cos - = 0

 8)    tan = - cot 18)   3tan + = 0

 9)   sin(2x - 10o) = víi -120o < x < 90o  19)   2sinx - sin2x = 0

 10)   cos(2x + 1) = víi -  < x <  20)   8cos3x - 1 = 0

Bµi 2. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh:

 1)   sin2x =  11)   sin2x + sin22x = sin23x

 2)   cos23x = 1  12)   sintan2x = 0

 3)   sin4x + cos4x =  13)   (2sinx + 1)2 - (2sinx + 1)(sinx - ) = 0

 4)   sinx + cosx = 1  14)   sinx + sin2x + sin3x = 0

 5)   cosx.cos3x = cos5x.cos7x  15)   cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0

 6)   cos2x.cos5x = cos7x  16)   1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x

 7)   sin3x.cos7x = sin13x.cos17x  17)   cos7x + sin22x = cos22x - cosx

 8)   sin4x.sin3x = cosx  18)   sinx + sin2x + sin3x = 1 + cosx + cos2x

 9)   1 + 2cosx + cos2x = 0  19)   sin3x.sin5x = sin11x.sin13x

 10) cosx + cos2x + cos3x = 0  20)   cosx - cos2x + cos3x =

 Bµi 3. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh:

 1)   2sin2x - 3sinx + 1 = 0 2)   4sin2x + 4cosx - 1 = 0

 3)   tan + 2cot - 3 = 0          4)  

 5)   cot2x - 4cotx + 3 = 0  6)   cos22x + sin2x + 1 = 0

 7)   sin22x - 2cos2x + = 0  8)   4cos2x - 2( - 1)cosx + = 0

 9)   tan4x + 4tan2x + 3 = 0 10)   cos2x + 9cosx + 5 = 0

 11)   + 3cot2x = 5

Bµi 5. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:

 1)   3sinx + 4cosx = 5 2)   2sin2x - 2cos2x =

 3)   2sin + sin =

 4)  

 5)   2sin17x + cos5x + sin5x = 0

 6)   cos7x - sin5x = (cos5x - sin7x)

 7)   4sinx + 2 cosx = 2 + 3tanx

Bµi 6. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh:

 1)  2(sinx + cosx) - 4sinxcosx - 1 = 0 2)  sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

 3)  sinx - cosx + 4sinxcosx  + 1 = 0  4)  cos3x + sin3x = 1

 5)  3(sinx + cosx) + 2sin2x + 2 = 0  6)  sin2x - 3(sinx + cosx) + 5 = 0

 7)  2(sinx - cosx) + sin2x + 5 = 0                    8)  sin2x + sin(x - 45o) = 1

 9)  2sin2x + sinx + cosx + 8 = 0

 10)  (sinx - cosx)2  + ( + 1)(sinx - cosx) + = 0

Bµi 7. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh

 1)  sin2x - 10sinxcosx + 21cos2x = 0  2)  cos2x - 3sinxcosx + 1 = 0

 3) cos2x - sin2x - sin2x = 1 

 4)  3sin2x + 8sinxcosx + (8 - 9)cos2x = 0

 5)  4sin2x + 3sin2x - 2cos2x = 4

 6)  2sin2x + (3 + )sinxcosx + ( - 1)cos2x = 1

 7)  2sin2x - 3sinxcosx + cos2x = 0  8)  cos22x - 7sin4x + 3sin22x = 3             

Bµi 8. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh

 1)  4cos2x - 2( + 1)cosx + = 0 2)  tan2x + (1 - )tanx - 3 = 0

 3)  cos2x + 9cosx + 5 = 0 4)  sin22x - 2cos2x + = 0

 5)  2cos6x + tan3x = 1 6)    + 3cot2x = 5

Bµi 9. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh

1)  sin2x + sin2xsin4x + sin3xsin9x = 1

2)  cos2x - sin2xsin4x - cos3xcos9x = 1

3)  cos2x + 2sinxsin2x = 2cosx

4)  cos5xcosx = cos4xcos2x + 3cos2x + 1

5)  cos4x + sin3xcosx = sinxcos3x

6)  sin(4x + )sin6x = sin(10x + )

7)  (1 + tan2)(1 + sin2x) = 1

8)  tan( - x) + tan( - x) + tan2x = 0

Bµi 10. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh

1)  (1 - cos2x)sin2x = sin2x

2)  sin4x - cos4x = cosx

3) 

4)  1 - (2 + )sinx =

5)  tan2x =

6)  2(sin3x + cos3x) + sin2x(sinx + cosx) =

7)  cosx(1 - tanx)(sinx + cosx) = sinx

8)  (1 + tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx

9) (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin2x

Bµi 10. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh

1)  sinx + cosx - - 1 = 0

2)  (1 + )(sinx + cosx) - sin2x - ( 1 + ) = 0

3)  tanx + tan2x = tan3x

4)

D. Mét sè Bµi thi ®¹i häc vª ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c

Bµi 1. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh

1)  (1 + tanx)cos3x + (1 + cotx)sin3x =

2)  tan2x - tanxtan3x = 2

3)  = 1 - 2cosx

4)  cos3xtan5x = sin7x

5)  tanx + cotx = 4

6)   + 2cosx = 0

7)  2tanx + cotx =

8)  tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x)

9)  2sin3x(1 - 4sin2x) = 1

10)  

11)  cosx.cos2x.cos4x.cos8x =

12)  cos10x + cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x

13)  sin2xcosx = + cos3xsinx

14)  sin6x + cos6x = cos4x

15)  sin4x + cos4x = cot(x + )cot( - x)

16)  

17)  sin3xcos3x + cos3xsin3x = sin34x

18)  2sin3x - = 2cos3x +

19)  cos3xcos3x + sin3xsin3x =

20)  (tanx + cotx)

21)  1 + tanx = 2sinx

22)  cosx - sinx = cos3x

23)  

24)  sin3x + cos3x + sin3xcotx + cos3xtanx =

25)  (2cosx - 1)(sinx + cosx) = 1

26)  2sin(3x + ) =

Bµi 2. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh

1)  sin4 + cos4 =

2)  4sin3x + 3cos3x - 3sinx - sin2xcosx = 0

3)  cos3x - sin3x - 3cosxsin2x + sinx = 0

4) 

5)  sin2x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3

6) cos6x + sin6x =

Bµi 3. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh

1)    2) 

3)   4)  sin4x = tanx

5)  cos2x + sin2x 2cosx + 1 = 0    6)  sin3x + 2cos2x - 2 = 0

7)  cos2x + cos22x + cos23x + cos24x =  8)  2 + cos2x + 5sinx = 0

9) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x)   10)  4cos3x + 3sin2x = 8cosx

Bµi 4. Gi¶i ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c

1)  cosx + sinx = 3 -   2)  3sin3x - cos9x = 1 + 4sin33x

3)  cos7xcos5x - sin2x = 1 - sin7xsin5x  4)  4sin2x - 3cos2x = 3(4sÜnx - 1)

5)  4(sin4x + cos4x) + sin4x = 2   6) 4sin3x - 1 = 3sinx - cos3x

7) sin2x + cos2x =           8) 2(sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x

9)  cos2x - sin2x = 1 + sin2x

Bµi 5. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh (biÕn ®æi ®­a vÒ d¹ng tÝch)

1)   sin3x - sin2x = 2sinxcos2x

2)   sin22x + cos28x = cos10x

3)   (2sinx + 1)(2sin2x - 1) = 3 - 4cos2x

4)   cosxcoscos - sinxsinsin =

5)   tanx + tan2x - tan3x = 0

6)   cos3x + sin3x = sinx - cosx

7)   (cosx - sinx)cosxsinx = cosxcos2x

8)   (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 - 4cos2x

9)   2cos3x + cos2x + sinx = 0

10)  sin3x - sinx = sin2x

11) 

12)  sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = 0

13)  cos4 - sin4 = sin2x

14)  3 - 4cos2x = sinx(2sinx + 1)

15)  2sin3x + cos2x = sinx

16) sin2x + sin22x + sin23x =

17)  cos3x + sin3x = sinx - cosx

18)  sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x)

19)  sin2x = cos22x + cos23x

20)  sin23x - sin22x - sin2x = 0

21)  1 + sinx + cosx = sin2x + cos2x = 0

22)  2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x

23)  2sin3x - cos2x + cosx = 0

24) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0

25)  2cos2x = (cosx - sinx)

26)  4cos3x + 3sin2x = 8cosx

27)  sin3x + sin2x = 5sinx

Bµi 6. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh

1)  = cos2x + sin2x        víi  0 < x < 2

2)  sin(2x + ) - 3cos(x - ) = 1 + 2sinx   víi < x < 3

3)  cos7x - sin7x = -     víi

Bµi 7. T×m gi¶ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña:

1)  y = 2sin2x + 3sinxcosx + 5cos2x

2)  y =    trong kho¶ng ( - ; )

3) y = 4sin2x +

4) y = sinx - cos2x +

Bµi 8 (C¸c ®Ò thi §H, C§ míi).

1) A_02. Gi¶i ph­¬ng tr×nh:     5 = cos2x + 3

2) D_02. T×m c¸c nghiÖm thuéc [0; 14] cña ph­¬ng tr×nh:

cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0

3) A_03. Gi¶i ph­¬ng tr×nh:     cotx - 1 = + sin2x - sin2x

4) D_03. Gi¶i ph­¬ng tr×nh:    sin2( - )tan2x - cos2 = 0

5) D_04. Gi¶i ph­¬ng tr×nh:    (2cosx - 1)(sinx + cosx) = sin2x - sinx

6) A_05. Gi¶i ph­¬ng tr×nh:    cos23xcos2x - cos2x = 0

7) D_05. Gi¶i ph­¬ng tr×nh:    cos4x + sin4x + cos(x - )sin(3x - ) - = 0

8) A_05_dù bÞ1. T×m nghiÖm trªn kho¶ng (0 ; ) cña ph­¬ng tr×nh:

4sin2 - cos2x = 1 + 2cos2(x - )

9) A_05_dù bÞ 2. Gi¶i pt:         2cos3( x - ) - 3cosx - sinx = 0

10) D_05_dù bÞ 1. Gi¶i pt:  tan( - x) + = 2

11) D_05_dù bÞ 2. Gi¶i pt:  sin2x + cos2x - 3sinx - cosx - 2 = 0

12) A­_06_dù bÞ 1. Gi¶i pt:  cos3xcos3x - sin3xsin3x =

13) A­_06_dù bÞ 2. Gi¶i pt:  4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0

14) B_06_dù bÞ 1. Gi¶i pt:  (2sin2x - 1)tan22x + 3(2cos2x - 1) = 0

15) B_06_dù bÞ 2. Gi¶i pt:  cos2x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0

16) D_06_dù bÞ 1. Gi¶i pt:  cos3x + sin3x + 2sin2x = 1

17) D_06. Gi¶i pt:   cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0

18) A_07. Gi¶i ph­¬ng tr×nh:  (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x

19) B_07. Gi¶i ph­¬ng tr×nh:  2sin22x + sin7x - 1 = sinx

21) D_07. Gi¶i ph­¬ng tr×nh:  (sin2 + cos2)2 + cosx = 2

22) C§_07. Gi¶i ph­¬ng tr×nh:   2sin2( - 2x) + cos4x = 4cos2x - 1

23) A_08. Gi¶i ph­¬ng tr×nh:  

24) B_08. Gi¶i ph­¬ng tr×nh:  sin3x - cos3x = sinxcos2x - sin2xcosx

25) D_08. Gi¶i ph­¬ng tr×nh:  2sinx(1 + cos2x)  + sin2x = 1 + 2cosx

26) C§_08. Gi¶i pt:  sin3x - cos3x = 2sin2x

Chuyªn ®Ò 2

§¹i sè tæ hîp

A. Mét sè d¹ng to¸n th­êng gÆp

I) quy t¾c céng vµ quy t¾c nh©n:

Bµi 1: Víi c¸c ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5 cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu:

 1) Sè lÎ gåm 4 ch÷ sè kh¸c nhau?

 2) Sè ch½n gåm 4 ch÷ sè bÊt kú?  

Bµi 2: Cã 4 con ®­êng nèi liÒn ®iÓm A vµ ®iÓm B, cã 3 con ®­êng nèi liÒn ®iÓm B vµ ®iÓm C. Ta muèn ®i tõ A ®Õn C qua B, råi tõ C trë vÒ A còng ®i qua B. Hái cã bao nhiªu c¸ch chän lé tr×nh ®i vµ vÒ nÕu ta kh«ng muèn dïng ®­êng ®i lµm ®­êng vÒ trªn c¶ hai chÆng AB vµ BC?   

Bµi 3: Cã 5 miÕng b×a, trªn mçi miÕng ghi mét trong 5 ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4. LÊy 3 miÕng b×a nµy ®Æt lÇn l­ît c¹nh nhau tõ tr¸i sang ph¶i ®Ó ®­îc c¸c sè gåm 3 ch÷ sè. Hái cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè cã nghÜa gåm 3 ch÷ sè vµ trong ®ã cã bao nhiªu sè ch½n?   

Bµi 4: Cho 8 ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Tõ 8 ch÷ sè trªn cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè, mçi sè gåm 4 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau vµ kh«ng chia hÕt cho 10.   

Bµi 5: Mét ng­êi cã 6 c¸i ¸o, trong ®ã cã 3 ¸o säc vµ 3 ¸o tr¾ng; cã 5 quÇn, trong ®ã cã 2 quÇn ®en; vµ cã 3 ®«i giµy, trong ®ã cã 2 ®«i giÇy ®en. Hái ng­êi ®ã cã bao nhiªu c¸ch chän mÆc ¸o - quÇn - giµy, nÕu:

 1) Chän ¸o, quÇn vµ giµy nµo còng ®­îc.

 2) NÕu chän ¸o säc th× víi quÇn nµo vµ giµy nµo còng ®­îc; cßn nÕu chän ¸o tr¾ng th× chØ mÆc víi quÇn ®en vµ ®i giµy ®en.   

II) ho¸n vÞ - chØnh hîp - tæ hîp:

Bµi 1: Cã n ng­êi b¹n ngåi quanh mét bµn trßn (n > 3). Hái cã bao nhiªu c¸ch s¾p xÕp sao cho:

   1) Cã 2 ng­êi Ên ®Þnh tr­íc ngåi c¹nh nhau.

   2) 3 ng­êi Ên ®Þnh tr­íc ngåi c¹nh nhau theo mét thø tù nhÊt ®Þnh   

Bµi 2:  Mét ®éi x©y dùng gåm 10 c«ng nh©n vµ 3 kü s­. §Ó lËp mét tæ c«ng t¸c cÇn chän 1 kü s­ lµm tæ tr­ëng, 1 c«ng nh©n lµm tæ phã vµ 5 c«ng nh©n lµm tæ viªn. Hái cã bao nhiªu c¸ch lËp tæ c«ng t¸c.  

Bµi 3: Trong mét líp häc cã 30 häc sinh nam, 20 häc sinh n÷. Líp häc cã 10 bµn, mçi bµn cã 5 ghÕ. Hái cã bao nhiªu c¸ch s¾p xÕp chç ngåi nÕu:

   a) C¸c häc sinh ngåi tuú ý.

   b) C¸c häc sinh ngåi nam cïng 1 bµn, c¸c häc sinh n÷ ngåi cïng 1 bµn   

Bµi 4: Víi c¸c sè: 0, 1, 2, …, 9 lËp ®­îc bao nhiªu sè lÎ cã 7 ch÷ sè.      

Bµi 5: Tõ hai ch÷ sè 1; 2 lËp ®­îc bao nhiªu sè cã 10 ch÷ sè trong ®ã cã mÆt Ýt nhÊt 3 ch÷ sè 1 vµ Ýt nhÊt 3 ch÷ sè 2.