Luyện thi ĐH 2010: Toán khảo sát hàm số

Chuyeân ñeà :                                    CAÙC BAØI TOAÙN CÔ BAÛN

                                     COÙ LIEÂN QUAN ÑEÁN KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ            

1.BAØI TOAÙN 1 :                                           ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ

                                      COÙ MANG DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI

                     TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA

Phöông phaùp chung:

Ñeå veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù mang daáu giaù trò tuyeät ñoái ta coù theå thöïc hieän nhö sau:

Böôùc 1: Xeùt daáu caùc bieåu thöùc chöùa bieán beân trong daáu giaù trò tuyeät ñoái .

Böôùc 2: Söû duïng ñònh nghóa giaù trò tuyeät ñoái ñeå khöû daáu giaù trò tuyeät ñoái

                          Phaân tích haøm soá ñaõ cho thaønh caùc phaàn khoâng coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái

                          ( Daïng haøm soá cho bôûi nhieàu coâng thöùc)

Böôùc 3: Veõ ñoà thò töøng phaàn roài gheùp laïi( Veõ chung treân moät heä truïc toïa ñoä)

* Caùc kieán thöùc cô baûn thöôøng söû duïng:

1. Ñònh nghóa giaù trò tuyeät ñoái :

2. Ñònh lyù cô baûn:

3. Moät soá tính chaát veà ñoà thò:

a) Ñoà thò cuûa hai haøm soá y=f(x) vaø y=-f(x) ñoái xöùng nhau qua truïc hoaønh

b) Ñoà thò haøm soá chaün nhaän truïc tung laøm truïc ñoái xöùng

c) Ñoà thò haøm soá leû nhaän goác toïa ñoä laøm taâm ñoái xöùng

* Ba daïng cô baûn:

Baøi toaùn toång quaùt:

Töø ñoà thò (C):y=f(x), haõy suy ra ñoà thò caùc haøm soá sau:

Daïng 1:      Töø ñoà thò              

Caùch giaûi

       B1. Ta coù :

       B2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ ta coù theå suy ra ñoà thò (C1) nhö sau:

• Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) naèm phía treân truïc Ox                   ( do (1) )
• Laáy ñoái xöùng qua Ox phaàn ñoà thò (C) naèm phía döôùi truïc Ox   ( do (2) )
• Boû phaàn ñoà thò (C) naèm phía döôùi truïc Ox ta seõ ñöôïc (C1)

Minh hoïa

Daïng 2:   Töø ñoà thò             ( ñaây laø haøm soá chaün , ñoà thị ñoái xöùng qua truïc tung)

Caùch giaûi

B1. Ta coù :

      B2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ ta coù theå suy ra ñoà thò (C2) nhö sau:

• Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) naèm phía beân phaûi truïc Oy             ( do (1) )
• Laáy ñoái xöùng qua Oy phaàn ñoà thò (C) naèm phía beân phaûi truïc Oy  

                                                                 ( do  do tính chaát haøm chaün )

• Boû phaàn ñoà thò (C) naèm phía beân traùi truïc Oy (neáu coù) ta seõ ñöôï (C2)

 Minh hoïa:

Daïng 3:        Töø ñoà thò                        (coù theå boû daïng naøy)

Caùch giaûi

      B1. Ta coù :

       B2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ ta coù theå suy ra ñoà thò (C3) nhö sau:

• Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) naèm phía treân truïc Ox                   ( do (1) )
• Laáy ñoái xöùng qua Ox phaàn ñoà thò (C) naèm phía treân truïc Ox   ( do (2) )
• Boû phaàn ñoà thò (C) naèm phía döôùi truïc Ox ta seõ ñöôïc (C3)

 Minh hoïa:

BAØI TAÄP REØN LUYEÄN

Baøi 1:  Cho haøm soá :    (1)

 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá (1)

 2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ, haõy suy ra ñoà thò caùc haøm soá sau:

                          b)                        c)

Baøi 2: Cho haøm soá :    (1)

 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá (1)

 2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ, haõy suy ra ñoà thò caùc haøm soá sau:

             b)          c)         d)          e) 

2.BAØI TOAÙN 2 :                          SÖÏ TÖÔNG GIAO CUÛA HAI ÑOÀ THÒ

   Baøi toaùn toång quaùt:

                  Trong mp(Oxy) . Haõy xeùt söï töông giao cuûa ñoà thò hai haøm soá :

     (C1) vaø (C2) khoâng coù ñieåm chung             (C1) vaø (C2) caét nhau              (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau

 Phöông phaùp chung:

            *  Thieát laäp phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ñoà thò hai haøm soá ñaõ cho:

                                f(x) = g(x)          (1)

  *  Khaûo saùt nghieäm soá cuûa phöông trình (1) . Soá nghieäm cuûa phöông trình (1)

         chính laø soá giao ñieåm cuûa hai ñoà thò (C1) vaø (C2).

 Ghi nhôù:              Soá nghieäm cuûa pt (1)  =  soá giao ñieåm cuûa hai ñoà thò (C1) vaø (C2).

Chuù yù 1 :

  * (1) voâ nghieäm                 (C1) vaø (C2) khoâng coù ñieåm ñieåm chung

  * (1) coù n  nghieäm             (C1) vaø (C2) coù n ñieåm chung

Chuù yù 2 :

  * Nghieäm x0 cuûa phöông trình (1) chính laø hoaønh ñoä ñieåm chung cuûa (C1) vaø (C2).

     Khi ñoù tung ñoä ñieåm chung laø y0 = f(x0) hoaëc y0 = g(x0).

AÙp duïng:

Bài 1: Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng cong (C): vaø ñöôøng thaúng

Bài 2: Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa hai ñöôøng cong (C): vaø

Baøi 3: Cho hàm số . Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng luôn cắt đồ thị

            hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.

Baøi 4: Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng cắt đồ thị

            hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.

Baøi 5:  Cho haøm soá    (1)

 Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät.

Baøi 6:  Cho haøm soá    (1)

 Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät.

Bài 7:  Cho haøm soá    (1)

 Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä döông.

Bài 8:  Cho haøm soá    (1)

 Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä döông.

Bài 9:  Cho haøm soá    (1)

 Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä lôùn hôn 1.

Baøi 10:  Cho haøm soá (1)

 Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 4 ñieåm phaân bieät.

Baøi 11: Cho haøm soá (1)

 Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 4 ñieåm phaân bieät sao cho caùc caùc hoaønh

           ñoä giao ñieåm naøy laäp thaønh moät caáp soá coäng .

Bài 12: Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) của hàm số tại bốn điểm phân

             biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.

Bài 13: Tìm các giá trị của m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt

             A,B sao cho  (CTNC)

Bài 14: Tìm các giá trị của m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm

             phân biệt A,B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung. (CTNC)

Bài 15: Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) của hàm số tại hai điểm phân biệt A,

            B sao cho A, B đối xứng nhau qua điểm

Bài 16: Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) của hàm số tại hai điểm phân biệt A,

             B sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất. (CTNC)

Bài 17: Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) của hàm số tại hai điểm phân biệt

             A, B sao cho (CTNC)

b. Ñieàu kieän tieáp xuùc cuûa ñoà thò hai haøm soá : (CTNC)

    Ñònh lyù :

   (C1) tieáp xuùc vôùi (C1)  heä :coù nghieäm

AÙp duïng:

Bài 1:  Cho   vaø . Chöùng minh raèng (P) vaø (C) tieáp xuùc nhau

Bài 2:  Tìm k để đường thẳng tiếp xúc với đường cong

Bài 3:  Tìm k để đường thẳng tiếp xúc với đường cong

Bài 4:  Tìm k để đường thẳng tiếp xúc với đường cong

Bài 5:  Viết phương trình đường thẳng d qua A(0;-5) và tiếp xúc với đường cong

BAØI TAÄP REØN LUYEÄN

Baøi 1:  Cho haøm soá  (C)

 Goïi (d) laø ñöôøngthaúng ñi qua ñieåm M(0;-1) vaø coù heä soá goùc baèng k. Tìm k ñeå ñöôøng thaúng (d) caét

 (C) taïi ba ñieåm phaân bieät.

Baøi 2: Cho haøm soá (1)

 Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 4 ñieåm phaân bieät.

Baøi 3:  Cho haøm soá     (1)

 Tìm m ñeå ñöôøng thaúng (d): y = mx+2-2m caét ñoà thò haøm soá (1) taïi hai ñieåm phaân bieät (CTNC)

Baøi 4:  Cho haøm soá     (1)

 Tìm m ñeå ñöôøng thaúng (d): y = m(x-3)+1 caét ñoà thò haøm soá (1) taïi hai ñieåm phaân bieät (CTNC)

Baøi 5: Cho hàm số (1)

 Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B sao cho (CTNC)

Baøi 6: Cho haøm soá    (1)

Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taò hai ñieåm phaân bieät vaø hai ñieåm ñoù coù hoaønh ñoä

            döông . (CTNC)

Baøi 7:  Cho haøm soá     (1)

  Ñònh m ñeå ñöôøng thaúng y = m caét ñoà thò haøm soá (1) taïi hai ñieåm phaân bieät A, B sao cho

            . (CTNC)

Baøi 8:  Cho haøm soá (1)

             Tìm m ñeå ñöôøng thaúng y=m caét ñoà thò haøm soá (1) taïi hai ñieåm A,B sao cho AB=1 (CTNC)

Bài 9: Cho hàm số (C) và đường thẳng (d):. Xác định m để (d) cắt (C) tại hai

             điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng . (CTNC)

3.BAØI TOAÙN 3:                            TIEÁP TUYEÁN VÔÙI ÑÖÔØNG CONG

 a. Daïng 1:

                Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C):y = f(x) taïi ñieåm  

 Phöông phaùp:

            Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) taïi M(x0;y0) coù daïng:

                                y - y0 = k ( x - x0 )

                                     Trong ñoù : x0 : hoaønh ñoä tieáp ñieåm

            y0: tung ñoä tieáp ñieåm vaø y0=f(x0)

                                             k : heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vaø ñöôïc tính bôûi coâng thöùc : k = f'(x0)

AÙp duïng:

Ví duï: Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá taïi ñieåm uoán cuûa noù

`b. Daïng 2:

    Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C): y=f(x) bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc k cho tröôùc

Phöông phaùp: Ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau

 Böôùc 1:  Goïi laø tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán vôùi (C)

 Böôùc 2:  Tìm x0 baèng caùch giaûi phöông trình : , töø ñoù suy ra =?

 Böôùc 3:  Thay caùc yeáu toá tìm ñöôïc vaøo pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta seõ ñöôïc pttt caàn tìm.

Chuù yù : Ñoái vôùi daïng 2 ngöôøi ta coù theå cho heä soá goùc k döôùi daïng giaùn tieáp nhö : tieáp tuyeán song song, tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi moät ñöôøng thaúng cho tröôùc .

Khi ñoù ta caàn phaûi söû duïng caùc kieán thöùc sau:

 Ñònh lyù 1: Neáu ñöôøng thaúng () coù phöông trình daïng : y= ax+b thì heä soá goùc cuûa () laø:

 Ñònh lyù 2: Neáu ñöôøng thaúng () ñi qua hai ñieåm thì heä soá

                              goùc cuûa () laø :

 Ñònh lyù 3: Trong mp(Oxy) cho hai ñöôøng thaúng . Khi ñoù:

AÙp duïng:

Bài 1 :   Cho ñöôøng cong (C):

   Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán song song vôùi ñöôøng thaúng (d): y = 4x+2.

Bài 2 :   Cho ñöôøng cong (C):

   Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng

c. Daïng 3:

                 Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C): y=f(x) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(xA;yA)

Phöông phaùp: Ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau

Böôùc 1: Vieát phöông trình ñöôøng thaúng () qua A vaø coù heä soá

                                      goùc laø k bôûi coâng thöùc:

                                                      (*)

                        Böôùc 2: Ñònh k ñeå () tieáp xuùc vôùi (C). Ta coù:

                       Böôùc 3: Giaûi heä (1) tìm k. Thay k tìm ñöôïc vaøo (*) ta seõ ñöôïc pttt caàn tìm.

AÙp duïng:

Bài 1 :     Cho ñöôøng cong (C):

                Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(0;-1)

Bài 2 :     Cho ñöôøng cong (C):

     Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(-2;0).

BAØI TAÄP REØN LUYEÄN

Baøi 1:  Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C)  cuûa haøm soá taïi ñieåm uoán vaø

             chöùng minh raèng laø tieáp tuyeán cuûa (C) coù heä soá goùc nhoû nhaát

Baøi 2:   Cho ñöôøng cong (C):

   Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng

Baøi 3:   Cho haøm soá    (C)

              Tìm treân ñoà thò (C) caùc ñieåm maø tieáp tuyeán taïi ñoù vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng

Baøi 4:   Cho ñöôøng cong (C):

   Tìm caùc ñieåm treân (C) maø tieáp tuyeán vôùi (C) taïi ñoù vuoâng goùc vôùi tieäm caän xieân cuûa (C).

Baøi 5:     Cho haøm soá   (C)

             Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò (C) maø tieáp tuyeán taïi moãi ñieåm aáy vôùi ñoà thò (C) vuoâng goùc vôùi ñöôøng

               thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu cuûa (C).   (CTNC)

Baøi 6:   Cho haøm soá   (Cm)

              Goïi M laø ñieåm thuoäc (Cm) coù hoaønh ñoä  baèng -1 . Tìm m ñeå tieáp tuyeán cuûa (Cm) taïi ñieåm M song

              song vôùi ñöôøng thaúng 5x-y=0

Baøi 7:   Cho ñöôøng cong (C):

             Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm  M(2;-7)

Bài 8:   Cho hàm số (1) . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ

             bằng 1 cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B sao cho diện tích cùa tam giác OAB

             bằng .

Bài 9:  Cho hàm số . Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số, biết tiếp tuyến của (C) tại M

            cắt các trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng .

Bài 10:  Cho hàm số (1). Viết phương trình tiếp tuyến d của (C)  sao cho d và hai tiệm cận của (C)

             cắt nhau tạo thành một tam giác cân.

4.BAØI TOAÙN 4:   BIEÄN LUAÄN SOÁ NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH BAÈNG ÑOÀ THÒ

Cô sôû cuûa phöông phaùp:

                                                           Xeùt phöông trình f(x) = g(x)  (1)

       Nghieäm x0 cuûa phöông trình (1) chính laø hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C1):y=f(x) vaø (C2):y=g(x)

Daïng 1 :   Baèng ñoà thò haõy bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình  :        f(x) = m  (*)

Phöông phaùp:

 Böôùc 1: Xem (*) laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa hai ñoà thò:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                

 Böôùc 2: Veõ (C) vaø () leân cuøng moät heä truïc toïa ñoä

 Böôùc 3:  Bieän luaän theo m soá giao ñieåm cuûa () vaø (C)

                           Töø ñoù suy ra soá nghieäm cuûa phöông trình (*)

           Minh hoïa: