Mot so bai toan so hoc

BAØI TAÄP

Baøi 1: Xeùt tích goàm 11 thöøa soá: T = ( 5a + 2006b)( 6a + 2005b)(7a + 2004b) …(15a + 1996b); vôùi a, b laø nhöõng soá nguyeân. CMR neáu T chia heát cho 2001 thì T cuõng chia heát cho 201111.

Baøi 2: Tính toång goàm 2006 soá haïng:

 S = + + + … +

Baøi 3: Tìm soá nguyeân toá p sao cho sao cho 20052005 – p2006 chia heát cho 2005 + p.

Baøi 4: Tính S = +

Baøi 5: Tìm n nguyeân döông thoaû maõn: =

Baøi 6: Tìm taát caû caùc soá nguyeân toá P coù daïng P = nn + 1, trong ñoù n laø moät soá nguyeân döông, bieát raèng P coù khoâng nhieàu hôn 19 chöõ soá.

Baøi 7: Tìm taát caû caùc soá töï nhieân maø khi gaïch boû ñi moät chöõ soá thì soá ñoù giaûm ñi 31 laàn.

Baøi 8: Tìm 3 chöõ soá haøng ñôn vò, haøng chuïc, haøng traêm cuûa soá: A =

Baøi 9: Cho 10 soá nguyeân döông 1, 2, …, 10 saép xeáp 10 soá ñoù moät caùch tuyø yù thaønh moät haøng. Coäng moãi soá vôùi soá thöù töï cuûa noù trong trong haøng, ta ñöôïc 10 toång. CMR trong möôøi toång ñoù toàn taïi ít nhaát 2 toång coù chöõ soá taän cuøng gioáng nhau.

Baøi 10: Tìm taát caû caùc soá coù 5 chöõ soá sao cho: =

Baøi 11: Cho soá nguyeân toá p. Bieát raèng coù soá töï nhieân n sao cho trong caùch vieát thaäp phaân cuûa soá pn coù ñuùng 20 chöõ soá. Chöùng minh trong 20 chöõ soá naøy coù 3 chöõ soá gioáng nhau.

Baøi 12: Chop soá töï nhieân n > 1 vaø n + 2ø soá nguyeân döông a1, a2, …, an+2 thoaû maõn ñieàu kieän:

  1 a1 a2 … an+2 3n

Chöùng minh raèng luoân toàn taïi hai soá ai, aj (1 j < i n + 2) sao cho: n < ai – aj < 2n

Baøi 13: Cho ña thöùc P0(x) = x3 + 22x2 – 6x + 15. Vôùi n Z+ ta coù Pn(x) = Pn-1(x – n).

  Tính heä soá cuûa x trong P21(x)

Baøi 14: Trong taäp hôïp N* xeùt caùc soá: P = 1.2.3 … (n – 1)n vaø S = 1 + 2 + 3 + … + (n – 1) + n. Haõy tìm caùc soá n (n 3) sao cho P chia heát cho S.

Baøi 15: Cho 2 soá töï nhieân a vaø b. Chöùng minh raèng neáu a2 + b2 chia heát cho 3 thì a vaø b cuøng chia heát cho 3.

Baøi 16: Tìm 2 soá töï nhieân a, b thoaû maõn a – b =

Baøi 17: Vôùi moãi soá nguyeân döông n, ñaët Pn = 1.2.3…n (tích cuûa caùc soá töï nhieân lieân tieáp ñeán n). Chöùng minh:              a/ 1 + 1.P1 + 2.P2 + … + nPn = Pn+1

  b/ + + … + < 1

Baøi 18: Tìm caùc soá nguyeân döông n sao cho: x = 2n + 2003 vaø y = 3n + 2005 laø nhöõng soá chính phöông.

Baøi 19: Chöùng minh raèng neáu a, b, c laø 3 soá thoaû maõn: a + b + c = 2003 vaø thì moät trong 3 soá a, b, c phaûi coù moät soá baèng 2003.

Baøi 20: Cho phaân soá: A = . Hoûi coù bao nhieâu soá töï nhieân thoaû maõn 1 n 2004 sao cho A laø phaân soá chöa toái giaûn.

Baøi 21: Cho bieåu thöùc P = . Chöùng minh raèng vôùi n laø moät soá töï nhieân thì bieåu thöùc ruùt goïn cuûa P luoân laø  moät phaân soá toái giaûn.

Baøi 22: Cho P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc vôùi a, b, c laø caùc soá nguyeân. Chöùng minh raèng: Neáu a + b + c chia heát cho 4 thì P chia heát cho 4.

Baøi 23: Goïi S(n) laø toång taát caû caùc öôùc leû lôùn nhaát cuûa caùc soá töï nhieân 1, 2, 3, …, 2n (n 0). Chöùng minh raèng S(n) =

Baøi 24: Cho 4 soá döông a, b, c, d. Ñaët:  x = 2a + b – 2  y = 2b + c – 2

       z = 2c + d – 2  t = 2d + a – 2

Chöùng minh raèng trong 4 soá x, y, z, t coù ít nhaát 2 soá döông.

Baøi 25: Tìm taát caû caùc soá nguyeân döông n sao cho soá T = 2n + 3n + 4n laø bình phöông cuøa moät soá nguyeân.

Baøi 26: Coù bao nhieâu phaân soá toái giaûn lôùn hôn 1 (m, n laø caùc soá nguyeân döông) thoaû maõn m.n= 13860.

Baøi 27: Cho a, b laø 2 soá nguyeân. Chöùng minh: neáu a chia 13 dö 2 vaø b chia 13 dö 3 thì a2 + b2 chia heát cho 13.

Baøi 28: Xaùc ñònh n ñeå A = laø soá töï nhieân

Baøi 29: Tính toång S(n) = + + … +

Baøi 30: Ruùt goïn bieåu thöùc: A = 75(41993 + 41992 + … + 42 + 5) + 25

Baøi 31: Tìm caùc soá nguyeân döông n ñeå n1988 + n1987 + 1 laø soá nguyeân toá.

Baøi 32: Tìm soá coù 2 chöõ soá maø bình phöông cuûa noù baèng laäp phöông cuûa toång caùc chöõ soá cuûa noù.

Baøi 33: Cho a, b, c, d laø caùc soá nguyeân döông thoaû maõn ñieàu kieän a2 – b2 = c2 – d2. Chöùng minh: S = a + b + c + d laø hôïp soá.

Baøi 34: Tìm ÖCLN cuûa A = 263 – 1 vaø B = 277 – 1

Baøi 35: Tìm soá coù 4 chöõ soá , bieát raèng neáu ñem soá aáy nhaân vôùi 2 roài tröø ñi 1004 thì keát quaû nhaän ñöôïc laø soá coù 4 chöõ soá vieát bôûi caùc chöõ soá nhö soá ban ñaàu nhöng theo thöù töï ngöôïc laïi.

Baøi 36: cho 3 soá a, b, c ñoâi moät khaùc nhau htoaû maõn: . Chöùng minh raèng trong 3 soá a, b, c phaûi coù moät soá aâm vaø moät soá döông

Baøi 37: Toång moät soá töï nhieân vaø caùc chöõ soá cuûa noù baèng 2359. Tìm soá töï nhieân ñoù.

Baøi 38: Chöùng minh raèng hai soá: A = 2n + 1 vaø B = laø hai soá nguyeân toá cuøng nhau vôùi moïi soá töï nhieân n.

Baøi 39: Cho caùc soá: a1, a2, …, an maø giaù trò cuûa noù hoaëc baèng 1 hoaëc baèng -1. Chöùng minh raèng: Neáu a1a2 + a2a3 + … + ana1 = 0 thì n chia heát cho 4 (n laø soá nguyeân döông)

Baøi 40: Tìm caùc soá nguyeân döông coù 2 chöõ soá, bieát soá ñoù laø boäi cuûa tích 2 chöõ soá cuûa chính soá ñoù.

Baøi 41: Tìm soá töï nhieân N nhoû nhaát thoaû caû 2 tính chaát sau:

 a/ Chöõ soá cuoái cuøng baèng 6

 b/ Neáu boû chöõ soá 6 cuoái aáy vaø theâm chöõ soá 6 vaøo tröôùc caùc chöõ soá coøn laïi thì soá môùi nhaän ñöôïc gaáp 4 laàn soá ban ñaàu.

Baøi 42: Moät giaûi boùng ñaù theo luaät sau:

 + Moãi ñoäi ñeàu thi ñaáu vôùi taát caû caùc ñoäi khaùc, hai ñoïi chæ thi ñaáu vôùi nhau 1 laàn (Noùi goïn: thi ñaáu 1 voøng)

 + Trong moãi traän ñaáu: ñoäi thaéng ñöôïc 2 ñieåm, ñoäi thua ñöôïc 0 ñieåm, neáu hoaø nhau moãi ñoäi ñöôïc 1 ñieåm

 Giaûi keát thuùc vôùi keát quaû laø: moãi ñoäi ñaït ñöôïc moät soá ñieåm khaùc nhau vaø ñoäi ñöùng cuoái ñaõ thaéng caû 3 ñoäi ñöùng ñaàu (thöù töï xeáp haïng theo ñieåm)

 Chöùng minh raèng soá ñoäi boùng cuûa giaûi khoâng theå laø 12 ñoäi.

BAØI GIAÛI

Baøi 1: Caùc thöøa soá cuûa T ñeàu coù daïng: na + (2011 – n)b = 2011b + n(a – b) vôùi n = 5, 6, …,15 (*)

 Neáu T chia heát cho soá nguyeân 2011 thì toàn taïi ít nhaát moät thöøa soá cuûa T chia heát cho 2011, ñoù laø ma + (2011 – m)b = 2011b + m(a – b) vôùi m thoaû maõn 5 m 15

 Töø ñoù suy ra m(a – b) chia heát cho 2011 maø 5 m 15 neân a – b chia heát cho 2011. suy ra caùc soá n(a – b), öùng n = 5, 6, …, 15 ñeàu chia heát cho 11, do ñoù theo (*) taát caû 11 thöøa soá cuûa T ñeàu chia heát cho 2011.

 Vaäy neáu T chia heát cho 2011 thì T cuõng chia heát cho 2011 thì T cuõng chia heát cho 201111

Baøi 2: Tröôùc heát ta tính bieåu thöùc daïng toång quaùt vôùi a N:

  = = 3a + 1

 Laàn löôït thay a töø 1 ñeán 2006 ta ñöôïc:

 S = 3(1 + 2 + 3 + … + 2006) + 2006 = 3.2007.1003 + 2006 = 6041069

Baøi 3: Ta coù 20052005 – p2006 = (20052005 + p2005) – (p2005 + p2006)                (1)

 Vì 20052005 + p2005 = (2005 + p)(20052004 – p.20052003 + p2.20052002 - … + p2004) chia heát cho 2005 + p neân töø (1), ta coù:

 (20052005 – p2006) 2005 + p <=> (p2005 + p2006) 2005 + p <=> p2005(1 + p) 2005 + p  (2)

 Ta xeùt 2 tröôøng hôïp:

1/ p laø öôùc nguyeân toá cuûa 2005 töùc laø p = 5 hay p = 401

 Neáu p = 5 thì p2005(1 + p) = 6.52005 khoâng chia heát cho 4 vaø do ñoù khoâng chia heát cho 2005 + p = 3000.

 Neáu p = 401 thì p2005(1 + p) = 402.4012005 chia heát cho 2005 + p = 2406 = 6.401. do ñoù p = 401 thoaû maõn baøi toaùn.

2/ Neáu p 5 vaø p 401 thì (p, 5) = 1 vaø (p, 401) = 1

  => (p2005, 2005 + p) = 1 vaø 1 + p < 2005 + p neân (2) khoâng theå thoaû maõn.

 Vaäy chæ coù moät soá nguyeân toá thoaû maõn thoaû maõn baøi toaùn laø p = 401.

Baøi 4: HD söû duïng vôùi k 1 ta tính ñöôïc S =

Baøi 5: Ta coù 1 + = … = vôùi k N, k 1

 Cho k caùc giaø trò 1; 2; 3; … ; n thí baøi toaùn trôû thaønh:

  = <=> =

 <=> 2001n + 2001 = 2000n + 4000 <=> n = 1999

Baøi 6: Soá 2020 = 220.1020 coù nhieàu hôn 20 chöõ soá maø P = 2n + 1 coù ít hôn 20 chöõ soá neân n < 20

 + Neáu n = 1 thì P = 2, thoaû maõn

 + Neáu n = 2 thì P = 5 thoaû maõn

 + Neáu n > 2 thì P > 5, hôn nöõa P laïi laø soá leû, do ñoù n laø soá chaün.

 _ n khoâng theå  coù öôùc nguyeân döông leû > 1,Thaät vaäy giaû söû n = (2k + 1)k (k N*; k > 1), khi ñoù nn + 1 = (nk)2k+1 + 1 = (nk + 1)Q vôùi Q > 1; suy ra nn + 1 (P); (P) taäp hôïp caùc soá nguyeân toá.

 Vaäy n chæ nhaän moät trong caùc giaù trò 4, 8, 16.

 + Vôùi n = 4 thì P = 257 laø soá nguyeân toá

 + Vôùi n = 8 thì P = 88 + 1 = 16777218, khoâng laø soá nguyeân toá.

 + Vôùi n = 16 thì P = 1616 + 1 = 264 + 1 = 10246.16 + 1 coù nhieàu hôn 19 chöõ soá.

 Vaäy n chæ coù theå laø 1; 2; 4.

Baøi 7: + Giaû söû soá gaïch ñi laø chöõ soá haøng ñôn vò, ta coù: = 31x; vôùi x N

 <=> 10x + c = 31x <=> 21x = c (1)

 Do 0 c 9, vì theá neáu x 1 thì veá traùi cuûa  (1) 21, coøn veá phaûi cuûa (1) 9, Voâ lí!

 + Giaû söû soá gaïch ñi laø chöõ soá haøng chuïc, ta coù: = 31; vôùi x N

 <=> 21x + 3c = b   (2)

 Laäp luaän töông töï nhö treân neáu x 1 thì veá traùi cuûa (2) lôùn hôn veá phaûi cuûa (2), Voâ lí; Suy ra x = 0. Khi ñoù b = 3c. Maët khaùc 31 neân coù caùc soá 31; 62, 93.

 + Xeùt tröôøng hôïp chöõ soá gaïch ñi laø soá haøng traêm, ta coù: = 31.; vôùi x N

 <=> 210x + 3. = 10a.

 Laäp luaän töông töï nhö caùc tröôøng hôïp treân ta coù x = 0. Khi ñoù ta coù: 10 = 3, suy ra 3.10; maø (3; 10) = 1 neân 10. Suy ra c = 0, do ñoù a = 3b, vì theá a = {3; 6; 9}

 Ta ñöôïc caùc soá: 310 = 31.10; 620 = 31.20; 930 = 31.30

 + Tieáp tuïc laäp luaän nhö treân, ta tìm ñöôïc caùc soá coù daïng: 31.10k; 62.10k; 93.10k;

                                             vôùi k = 0; 1; 2; … ; n

Baøi 8: Ta coù 62001 = (5 + 1)2001 1(mod5). Ñaët 62001 = 5k + 1  (k N)

 A = 265k+1 = 26.265k = 26.(11881376)k = 26.(11881375 + 1)k

 Do (11881375 + 1)k = (95051.125 + + 1)k 1(mod125). Suy ra A = 26(mod125).

 Vaäy A = 125m + 26 (m N)

 Maët khaùc A  = = . 26 Suy ra A 8> Vaäy A = 8n (n N)

 Suy ra 125m + 26 = 8n <=> 125m = 8(n – 4) + 6; Suy ra 125m = 8p +6 (p N). Töø ñoù ta coù m laø soá chaün vaø 125m chia cho 8 dö 6

 m chia cho 8 coù caùc soá dö laø: 0, 2, 4, 6 neân 125m chia cho 8 coù caùc soá dö töông öùng laø: 0, 2, 4, 6.

 Vaäy  m chia 8 coù soá dö laø 6 suy ra m = 8q + 6 (q N).

 Vaäy A = 125(8q + 6) + 26 = 1000q + 776, neân A chia cho 1000 dö 776, do ñoù coù 3 chöõ soá taän cuøng laø 776

Baøi 9: Goïi 10 soá nguyeân döông ñoù laø a1, a2, …, a10. Möôøi toång laäp theo yeâu caàu ñeà baøi laø:

b1 = a1 + 1; b2 = a2­ + 2, …, b10 = a10 + 10 (b1, b2, …, b10 N*)

 Suy ra b1 + b2 + … + b10 = (1 + 2 + … + 10)2 = 210 laø moät soá chaün. Do ñoù trong caùc soá bi (i=1, 2, …, 10) soá caùc soá leû laø moät soá chaün.

 + Neáu coù nhieàu hôn 5 soá leû thì do caùc soá leû chæ coù theå taän cuøng bôûi moät trong caùc chöõ soá 1, 3, 5, 7, 9 neân coù ít nhaát coù 2 soá leû coù chöõ soá taän cuøng goáng nhau.

 + Neáu coù ít hôn 5 soá leû thì seõ coù nhieàu hôn 5 soá chaün. Maø caùc soá chaün chæ coù theå coù soá taän cuøng laø: 0, 2, 4, 6, 8 neân coù ít nhaát coù 2 soá chaün coù chöõ soá taän cuøng goáng nhau.

Baøi 10: = (a, b, c, d, e N, 1 a 9; 0 b, c, d, e 9)

 <=>  = ()3 <=> 1000 + = ()3

 Ñaët x = (10 x 99), y = (y N, 0 y 999. Ta coù: 1000x + y = x3  (*)

 Do y 0 neân töø (*) suy ra x3 1000x <=> x(x2 – 1000) 0

 Maø x > 0 neân x2 1000, do ñoù x > 31

 Laïi do: y < 1000 neân töø (*) ta laïi coù x3 < 1000x + 1000 <=> x3 – 1000x < 1000

         <=> x(x2 – 1000) < 1000

 Neáu x 33 thì x2 1089 neân x2 – 1000 89 suy ra x(x2 – 1000) > 1000, maâu thuaãn vôùi x(x2 – 1000) < 1000. Vaäy x < 33.

 Toùm laïi 31< x < 33 maø x N neân x = 32. Khi ñoù töø (*) ta coù: y = 323 – 1000.32 = 768

 Thöû laïi = 32. Vaäy soá phaûi tìm laø 32768.

Baøi 11: Do p laø soá nguyeân toá vaø p > 3 neân p khoâng chia heát cho 3 (*)

  pn coù 20 chöõ soá. Caùc chöõ soá chæ coù theå laø 0, 1, 2, …, 9 goàm 10 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau.

 Neáu khoâng coù nhieàu hôn 2 chöõ soá gioáng nhau thì moãi chöõ soá phaøi coù maët ñuùng 2 laàn trong caùch vieát soá pn. Nhö vaäy toång caùc chöõ soá cuûa pn laø: 2(0 + 1 + 2 + … + 9) = 90 neân pn3, do ñoù pn3, maâu thuaãn vôùi (*). Vaäy coù ít nhaát 3 chöõ soá gioáng nhau.

Baøi 12: chia chöõ soá ñaõ cho thaønh 3 taäp hôïp:

 A = {1; 2; …; n}, B = {n+1, n+2, …, 2n-1}; C = {2n; 2n+1; …; 3n}.

     trong ñoù1 a1 a2 … an+2 3n

 Ñaët k = 3n – an+2 suy ra k N vaø 0 k 2n – 2 (vì 3n – (n + 2) = 2n – 2)

 Ñaët b1 = a1 + k; b2 = a2 + k, …, bn = an + k. Ta coù 1 b1 b2 … bn+2 3n

 + Neáu coù ít nhaát moät soá bj B thì n < bj < 2n, suy ra:

   <=>

 Suy ra n < (an+2 + k) + k) < 2n => n , an+2– aj < 2n (vôùi j = 1, 2, …, n + 1)

 + Neáu B = thì caùc soá b1, b2, …, bn+1 thuoäc moät trong hai taäp hôïp A hoaëc C.

  Ta xeùt caùc caëp soá (1; 2n), (2; 2n + 1), (3; 2n + 2), …, (n, 2n – 1)

  Soá haïng toång quaùt cuûa caùc soá trong moät caëp (k; 2n + k – 1) vôùi1 k n, neân hieäu cuûa chuùng baèng 2n – 1

 + Vì coù khoâng quaù n soá bj thuoäc A (do A coù n phaàn töû), coù khoâng quaù n soá bi C – {3n}. Maø coù (n + 1) soá bi neân coù ít nhaát moät caëp soá nhö treân.

 Ñaët bi = 2n + i – 1, bj = I, suy ra bi – bj = 2n – 1; maø n < 2n – 1 < 2n. Suy ra n < bi – bj < 2n. Do ñoù n < (ai + k) – (aj + k) < 2n, neân n < ai – aj < 2n.

Baøi 13:  Theo ñeà baøi ta coù: P1(x) = P0(x – 1) = P0

 P2(x) = P1(x – 2) = P0(x – 3) = P0

 P3(x) = P2(x – 3) = P0(x – 6) = P0

 Giaû söû Pk(x) = P0 vôùi k N, k 1

 Ta chöùng minh raèng: Pk+1(x) = P0.

 Thaät vaäy: Pk+1(x) = Pk+1(x – (k + 1)) = P0 = P0.

 Theo nguyeân lyù qui naïp toaùn hoïc ta suy ra: Pn(x) = P0 vôùi moïi n N*. Do ñoù:

 P21(x) = P0 = P0(x – 231) = (x – 231)2 + 22(x – 231)2 – 6(x – 231) + 15 =

  = x3 – 3x2.231 + 3x.2312 – 2313 + 22x2 – 44.231x + 22.2312 – 6x + 6.231 + 5

 Heä soá cuûa x laø 3.2312– 44.231 – 6 = 149913.

Baøi 14: Ta coù P = 1.2.3 … (n – 1)n = n! vaø S = 1 + 2 + 3 + … + (n – 1) + n =

 P S <=> n!2 n(n – 1) <=> (n – 1)!2 (n – 1)

 Thöû vôùi n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta thaáy baøi toaùn ñuùng vôùi n = 1, 3, 5 khoâng ñuùng vôùi n = 2, 4, 6

 Xeùt n > 6

 Neáu (n + 1) laø soá nguyeân toá thì vôùi moïi k n – 1 ,(k;n + 1) =1 thì  (n – 1)!2 khoâng chia heát (n + 1) neân (n + 1) laø hôïp soá, n + 1 = a.b (a,b N,a,b > 1) .

 Do 2(n – 1) - (n + 1) = n – 3 >0 vôùi moïi n 7 neân 2(n – 1) >(n + 1), suy ra 1

 *Neáu ab thì a, b ñeàu coù maët trong  (n – 1)! suy ra (n – 1)! (n + 1).

 * Neáu a = b thì n + 1 = a

 *Neáu a > thì a > maø -(n +1) = . Vôùi n >6 thì n(n – 6) > 3 neân > 0 vì theá a> n + 1 maâu thuaãn vôøi (*) .

 Vaäy khi a =b thì a , do ñoù a vaø 2a coù maët trong tích 1.2.3… (n – 1), suy ra (n – 1)!2a=> (n – 2)!a = (n + 1).

Toùm laïi khi (n + 1) laø hôïp soá thì n! (1 + 2 + 3 + … + (n – 1) + n) khi n > 6.Keát hôïp caùc tröôøng hôïp treân ta ñöôïc:

 Vôùi n = 1 hoaëc n +1 laø hôïp soá > 2 thì P S

Baøi 15: Giaû söû, maø 3 laø soá nguyeân toá neân a2 khoâng chia heát cho 3; nhöng (a2 + b2) 3 neân b2 khoâng chia heát cho 3, do ñoù b khoâng chia heát cho 3.

 Vì a khoâng chia heát cho 3 neân a = 3k + 1 hoaëc a = 3k – 1 (kZ). Khi ñoù a2 = 9k2 + 6k + 1 hoaëc a2 = 9k2 – 6k + 1. Nhö vaäy a2 chia cho dö 1

 Cuõng vì b khoâng chia heát cho 3 neân laäp luaän töông töï ta coù b2 chia cho 3 dö 1. Do ñoù a2 + b2 chia 3 dö 2, traùi vôùi giaû thieát (a2 + b2) 3

 Vaäy a 3, do ñoù a2 3 maø (a2 + b2) 3 neân b2 3 suy ra b3. Nghóa laø a, b cuøng chia heát cho 3.

Baøi 16: Do a, bN neân a – bZ. Maø = a – b suy ra a – b 0, do ñoù a – bN.

 Ñaët m = a – b = (mN; b0). Ta coù:  

 Töø (1) vaø (2) suy ra  m + b = mb <=> (m – 1)(b – 1) = 1. Do ñoù m – 1 vaø b – 1 laø öôùc cuûa 1 neân ta tìm ñöôïc b = 0 vaø b = 2

 Do b0 neân b = 2, suy ra m – 1 = 1 <=> m = 2. Khi ñoù a = m + b = 4

 Vaäy a = 4, b = 2

Baøi 17: a/ Vôùi n = 1, ta coù 1 + 1.P1 = 1 + 1 = 2 = 2! = P2

 Giaû söû baøi toaùn ñuùng vôùi n = k (k = 1, 2, …) töùc laø: 1 + 1.P1 + 2.P2 + … + k.Pk = Pk+1    (1)

 Coäng 2 veá cuûa (1) vôùi (k + 1)Pk+1, ta coù:

    1 + 1.P1 + 2.P2 + … + k.Pk + (k + 1)Pk+1= Pk+1 +  (k + 1)Pk+1= Pk+1(1 + k + 1) = Pk+1(k + 2) = Pk+2

 Do ñoù baøi toaùn ñuùng vôùi n = k + 1. vaäy baøi toaùn ñuùng vôùi moïi n laø soá nguyeân döông.

 b/ Ta coù: = - = -    (k = 1, 2, …, n)

   + + … + = + + … + = 1 – < 1

Baøi 18: Giaû söû x = 2n + 2003 vaø y = 3n + 2005 laø nhöõng soá chính phöông.

 Ñaët  2n + 2003 = k2     (1) vaø 3n + 2005 = m2  (2) (k, m N).

 Tröø theo töøng veá cuûa (1) vaø (2) ñöôïc: n + 2 = m2 – k2

 Khöû n töø (1) vaø (2) suy ra: 3k2 – 2m2 = 1999 (3)

 Töø (1) suy ra k laø soá leû. Ñaët k = 2a + 1 (a Z). Khi ñoù: (3) <=> 3(2a – 1)2 – 2m2 = 1999

 <=> 2m2 = 12a2 + 12a – 1996 <=> m2 = 6a2 + 6a – 998 <=> m2 = 6a(a + 1) – 1000 + 2 (4)

 Vì a(a + 1) 2 neân 6a(a + 1) 4, 1000 4, vì theá töø (4) suy ra m2 chia 4 dö 2, Voâ lyù. 

 Vaäy khoâng toàn taïi caùc soá nguyeân döông n thoaû maõn baøi toaùn.

Baøi 19: Ñieàu kieän a, b, c 0. Töø  baøi toaùn ta coù:

 Suy ra (bc + ac + bc)(a + b + c) – abc = 0

 <=> (a + b)(b + c)(c + a) = 0 <=> a + b = 0 hay b + c = 0 hay c + a = 0

 +Neáu a + b = 0 thì c = 2003

 + Neáu b + c = 0 thì a = 2003

 + Neáu a + c = 0 thì b = 2003

 Vaäy 1 trong 3 soá a, b, c baèng 2003

Baøi 20: Goïi d laø öôùc cuûa n2 + 4 vaø n + 5, thì:

  =>

 Do ñoù [(n + 5)2 – (n2 + 4)] d, suy ra (10n + 21) d hay 10(n + 5) – 29 d; maø 10(n + 5)d vì theá 29 d

 Ñeå A chöa toái giaûn thì d > 1 maø d laø öôùc cuûa 29 neân d = 29. Do ñoù n + 5 = 29k (k N*), suy ra n = 29k – 5.

 Vì 1 n 2004 neân 1 29k – 5 2004 => 6 29k 2009. Töø ñoù k = 1, 2, 3, …, 69. Vaäy coù 69 soá nguyeân döông thoaû maõn ñeà baøi.

Baøi 21: P = = = vôùi moïi n N

 Goïi d laø UCLN cuûa n2 + n – 1 vaø n2 + n + 1 thì (n2 + n – 1) d vaø (n2 + n + 1) d; suy ra:

[(n2 + n – 1) + (n2 + n + 1)] d hay 2 d. Do ñoù d = 1 hay d = 2

 Maët khaùc n2 + n + 1 = n(n + 1) + 1 laø moät soá leû neân d 2, suy ra d = 1. Vaäy P laø phaân soá toái giaûn.

Baøi 22: Vì (a + b + c) 4 neân a + b + c = 4k (k Z). Ta coù:

 P = (a + b + c – c)(a + b + c – a) (a + b + c – b) – abc = (4k – c)(4k – a)(4k – b) – abc =

 = 64k3 – 16k2c – 16k2a + 4kac – 16k2b + 4kbc + 4kab – abc – abc

 = 4k(16k2 – 4kc – 4ka + ac – 4kb + bc + ab) – 2abc = 4km – 2abc (m Z).

  Trong ñoù m =  16k2 – 4kc – 4ka + ac – 4kb + bc + ab

        Vì (a + b + c) 4 neân trong 3 soá a, b, c phaûi coù ít nhaát moät soá chaün, do ñoù abc 2 => 2abc 4

 Vaäy P 4

Baøi 23: Vôùi caùc soá leû: 1, 3, 5, 7, …, 2n – 1 thì öôùc leû lôn nhaát cuûa chuùng chính laø baûn thaân soá ñoù.

 Vôùi caùc soá chaün: 2 = 2.1; 4 = 2.2; 6 = 2.3; …; 2n = 2. 2n-1. Neân toång caùc öôùc leû lôùn nhaát cuûa caùc soá chaün 2; 4; 6; …; 2n chính laø toång toång caùc öôùc leû lôùn nhaát cuûa caùc soá 1, 2, 3, 4; …; 2n-1 = S(n–1).

 Vaäy S(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) + S(n–1). Ta chöùng minh S(n) = (1)

 Vôùi k soá leû: 1; 3; 5; …; 2k – 1, ta luoân coù: 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k2  (2)

 (2) luoân ñuùng vôùi k = 1; Giaû söû k ñuùng vôùi k = m, töùc laø: 1 + 3 + 5 + … + (2m – 1) = m2 =>

=> 1 + 3 + 5 + … + (2m – 1) + (2m + 1) = m2 + 2m + 1 = (m + 1)2 => (2) ñuùng vôùi k = m + 1. Vaäy (2) ñuùng vôùi moïi k N* => S(n) = + S(n – 1) = 4n-1 + S(n – 1)              (3)

 Xeùt coâng thöùc (1). Vôùi n = 1 luoân ñuùng, vôùi n = 2 luoân ñuùng

 Giaû söû (1) ñuùng vôùi n = k. Ta chöùng minh (1) ñuùng vôùi n = k + 1. Thaät vaäy S(k) =

  Theo (3) S(k + 1) = 4k + S(k) = 4k + = = = .

 Vaäy (1) ñuùng vôùi n = k + 1 => (1) ñuùng vôùi moïi n

Baøi 24: Ta coù (x + z) = a + c + (a + b – 2) + (c + d – 2) =

  = (a + c) + ( –)2 + ( –)2 > 0, suy ra x + z  > 0

 Töông töï: y + t = (b + d) + ( –)2 + ( –)2 > 0 => y + t > 0

 Do x + z > 0 neân trong 2 soá x, z coù ít nhaát moät soá döông; vaø y + t > 0 neân trong 2 soá y, t coù ít nhaát 1 soá döông. Vaäy trong 4 soá x, y, z, t phaûi coù ít nhaát 2 soá döông

Baøi 25: + Vôùi n = 1, ta coù T = 2 + 3 + 4 = 9 = 32 laø moät soá chính phöông.

 + Vôùi n = 2, ta coù T = 2 + 9 + 16 = 29 khoâng phaûi laø soá chính phöông.

 + Vôùi n 3, ta coù T = 2n + 3n + 4n laø soá leû, suy ra T laø soá chính phöông leû, do ñoù ;

T 1(mod4)

 Do n 3 neân 2n 0(mod4); 4n 0(mod4); suy ra 3n 1(mod4).

  Maø 3n = (4 – 1)n (-1)n(mod4); suy ra n laø soá chaün.

 Ñaët n = 2k (k Z). Khi ñoù: T = 4k + 9k + 16k = (3 + 1)k + 9k + (15 + 1)k 2(mod3).

 Nhöng moät soá chính phöông khoâng chia heát cho 3 seõ coù daïng (3m + 1)2 vaø (3m – 1)2 (k Z), khi chia cho 3 chæ coù soá dö laø 1. Vaäy T khoâng theå laø soá chính phöông khi n 3

 Keát luaän: n = 1.

Baøi 26: m.n = 13860 = 22.32.5.7.11 trong ñoù caùc soá 2, 3, 5, 7, 11 ñoâi moät nguyeân toá cuøng nhau.

  laø phaân soá toái giaûn vaø > 1 neân (m; n) = 1 naø m > n

 + Ñaët a = 22; b = 5; c = 7; d = 32; e = 11 thì a < b < c < d < e

  * Vôùi n laø moät trong 5 soá treân ta coù 5 soá.

  * Vôùi n laø tích cuûa 2 trong 5 soá treân, ta coù n {ab; ac; ad; ae; bc; bd; be; cd; ce; de} coù 10 phaân soá thoaû maõn laø phaân soá toái giaûn vaø > 1

 + Neáu n chöùa thöøa soá 2 thì phaûi chöùa 22, ñaõ chöùa thöøa soá 3 thì phaûi chöùa 32. Maø a.b.c = 4.5.7 > 9.11 = d.e vôùi a < b < c < d < e.

 Do vaäy neán n laø tích cuûa 3 trong 5 soá treân thì n > m, khoâng thoaû maõn ñeà baøi; n caøng khoâng theå laø tích cuûa 4 trong 5 soá noùi treân.

 Vaäy cuøng vôùi phaân soá , coù 16 phaân soá caàn tìm. 

Baøi 27: HD Töø ñieàu kieän ta coù: a2 + b2 = (13x + 2)2 + (13y + 3)2 = 13(13x2 + 4x + 13y2 + 4y + 1) chia heát cho 13.

Baøi 28: A = laø soá töï nhieân => (5n – 11) (4n – 13) => 4(5n – 11) (4n – 13)

=> (20n – 44) (4n – 13) => [5(4n – 13) – 21] (4n – 13) => 21 (4n – 13) => 4n – 13 Ö(21)

  Maø 4n – 13 = 4(n – 3) – 1 chia 4 dö -1 (hay 3)

 Do ñoù 4n – 13 {– 1; 3; 7; – 21} <=> 4n {12; 16; 20; – 8} <=> n {3; 4; 5; – 2}

 Thay vaøo A ta choïn ñöôïc n = 4 hoaëc n = 5 thì A laø soá nguyeân.