ÔN QUỐC GIA 2020

Chuyên đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

A – LÝ THUYẾT

I) Các bước khảo sát hàm số tổng quát:

+ B1: Tính tập xác định.

+ B2: Sự biến thiên.

•                  Tính y’.
•                  Giải phương trình y’=0
•                  Tính giới hạn, tiệm cận (nếu có)
•                  Lập bảng biến thiên
•                  Kết luận sự đồng biến, nghịch biến,cực trị (nếu có)

+B3: Vẽ đồ thị: Xác định một số điểm đặc biệt (giao với Ox, Oy, …)

II) Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

1) VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG (C): y = f(x).

Phương trình tiếp tuyến  của ( C ) tại M(x0 ; y0) :      y – y0 = f’(x0)(x – x0)

a/ Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của ( C )  tại M()

Phương pháp :  Áp dụng công thức y – y0 = f’(x0)( x – x0 )

•                  Nếu chưa cho y0 thì tính y0 = f(x0)
•                  Nếu chưa cho x0 thì x0 là nghiệm của phương trình  f(x) = y0

b/ Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến  có hệ số góc k cho trước

Phương pháp : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc k

. Giải phương trình tính x0

Phương trình tiếp tuyến   y – y0 = k( x – x0 )

Lưu ý :  Cho (d) : y = a.x + b nếu :

•      (d1) song song với (d) thì (d1) có hệ số góc k = a
•      (d2) vuông góc với (d) thì (d1) có hệ số góc k =    hay  a.k =  – 1

c/ Dạng 3 : Lập phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A()

Phương pháp

Cách 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm.Tính y0 = f(x0) và f’(x0) theo x0 . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:

y – y0 = f’(x0)( x – x0 )  (1)  Vẽ tiếp tuyến đi qua A nên   y1 – y0 = f’(x0)( x 1 – x0) giải phương trình  tính x0 thay vào (1).

Cách 2 : Gọi (d) là đường thẳng đi qua A có hệ số góc k . Ta có

(d) : y – y1 = k( x – x1 )  (1) là tiếp tuyến  của (C)    có nghiệm

Thế k từ (1) vào (2) giải tính x thế vào (1) tính k và thay vào phương trình (1)            

Ví dụ   Lập phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x3 – 3x + 2 biết rằng tiếp tuyến đi qua A(2 ; –4 )

Cách 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm . Ta có y0 = x03 – 3x0 +2 và

f’(x0) = 3x02 – 3  Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là

y – (x03 – 3x0 + 2) = (3x02 – 3)( x – x0)    (1)

Vỡ tiếp tuyến đi qua A(2)– 4)   nên   – 4 = (3x02 – 3).2 – 2x03 + 2

•                  x0 = 0 phương trình tiếp tuyến là y =  – 3x + 2
•                  x0 = 3 phương trình tiếp tuyến là  y = 24x – 52

Cách 2 : Gọi (d) là đường thẳng qua A và có hệ số góc k

Phương trình  (d) : y = k(x – 2) – 4 . (d) là tiếp tuyến của (C)

  có nghiệm

Từ (1) và (2) ta có  x3 – 3x + 2 = (3x2 – 3) (x – 2) – 4

•                  x = 0 . Phương trình tiếp tuyến  là y =  – 3x  + 2
•                  x  = 3 phương trình tiếp tuyến  là  y = 24x – 52

2) SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

   Bài toán tổng quát: Hãy xét sự tương giao của hai hàm số :(một trong hai đồ thị là đường thẳng)

Phương pháp:

+ Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số đã cho: f(x) = g(x) (1)

+ Khảo sát số nghiệm của phương trình (1) . Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2).

3) BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH DỰA VÀO ĐỒ THỊ

a/ Dạng 1 : Dựa vào đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình  :f(x) = m  (*)

Phương pháp:

 Bước 1: Xem (*) là phương trình hoành độ giao của hai đồ thị:                            

 Bước 2: Vẽ (C) và () lên cùng một hệ trục tọa độ.

 Bước 3:  Biện luận theo m số nghiệm của () và (C).Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình (*)

           Minh họa:

b/ Dạng 2: Dựa vào đồ thị hãy biện luận  theo m số nghiệm của phương trình: f(x) = g(m)  (* *) (tt dạng 1)

III) Một số bài toán ứng dụng đạo hàm

1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a,b).

a)Nếu f’(x)>0 ;x(a,b)  y=f(x) đồng biến trên (a,b).

b) Nếu f’(x)<0 ;x(a,b) y=f(x)  nghịch biến trên (a,b).

Trong giả thiết nếu ta thay (a;b) bằng [a;b) [a;b] hay(a;b] thì phải bổ sung thêm hàm số liên tục trên [a;b) [a;b] hay(a;b].

Định lí vẫn cũn đúng nếu dấu bằng chỉ xóy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a,b).

Bài tập:

Bài 1: Cho hàm số .

 a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.

b) Xác định m để hàm số nghịch biến trên tập xác định.

Bài 2: Cho hàm số . Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.

Bài 3: Tính m để hàm số sau:

a) Đồng biến trên tập xác định.

b) Ngịch biến trên tập xác định.

2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU:

Định lý1: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm tại x0(a,b) và đạt cực trị tại điểm đó thì f’(x0) = 0.

Định lý 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b) chứa điểm xo và có đạo hàm trên các khoảng (a;xo) và (xo;b) khi đó

     a) Nếu f’(x0) > 0 Với mọi x(a ; x0); f’(x) < 0 Với mọi x(x0; b) thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0.

      b) Nếu f’(x0) < 0 Với mọi x(a ; x0); f’(x) > 0 Với mọi x(x0; b) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0.

Định lý 3. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp một trên (a;b) chứa điểm x0,  f’(x0) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại  xo .

a) Nếu f”(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0.

b) Nếu f”(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.

Bài tập:

Bài 1: Cho hàm số . Tính m để hàm số có 3 cực trị số cực trị của hàm số.

Bài 2: Cho hàm số .  Xác định m để hàm số có cực trị.

Bài 3: Định m để hàm số đạt cực tiểu tại x=1.

3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

a) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D

  Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu:

     (ký hiệu M=maxf(x)  )

  Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu:

     (ký hiệu m=minf(x)  )

b)  Cách tính GTLN-GTNN trên (a,b)

 + Lập bảng biến thiờn của hàm số trên (a,b)

 + Dựa vào bảng biến thiờn suy ra GTNN -GTLN

c) Cách tính GTLN-GTNN trên [a,b].

 + Tính mặt điểm tới hạn x1,x2, ..., xn của f(x) trên [a,b].

 + Tính f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b).

 + Tính số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong mặt số trên

d) Bài tập:

Tính GTLN và GTNN của hàm số y=f(x) liên tục trện đoạn [a; b]

Tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:

Bài 1: trên

Bài 2: trên

Bài 3: trên

Bài 4:

Bài 5:

Bài 6: trên đoạn

Bài 7:

Bài 8:

Bài 9:

Bài 10:

Bài 11: y = x2.ex  trên [-3;2]

Bài 12: ,

Bài 13: y = trên đoạn [1 ; e2 ]

Bài 14: y = trên đoạn [ 1; e ].

Bài 15: trên đoạn[-1,3].

4. TIỆM CẬN

1)Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = x0 (x0 là nghiệm của mẫu số) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa món:

2)Tiệm cận ngang: Đường thẳng y=x0 là tiệm cân ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu: hoặc
B – BÀI TẬP

1) Hàm bậc ba:

Bài 1: ( 3 điểm )   Cho hàm số  y = x3 – 3x2 + 1

1.      Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đă cho.
2.      Biện luận theo m số nghiệm của phương tŕnh x3 – 3x2 + m = 0.

Bài 2: ( 3,0 điểm )  Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m – 2 (m là tham số)

    1.    Tính m để hàm số có cực đại và cực tiểu

    2.    Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.

Bài 3: (3,0 điểm).  Cho hàm số  có đồ thị (C).

     1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).

     2. Dùng đồ thị (C) định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt .

Bài 4: (3 điểm)

1.      Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 – 3x2 + 4.
2.      Tính điều kiện của tham số m để đồ thị (Cm): y = x3 – 3x2 – m  cắt trục hoành Ox tại ba điểm phân biệt.

Bài 5: (3 điểm ): Cho hàm số y = ( C ).

     1.  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.

     2.  Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại tâm đối xứng của đồ thị.

Bài 6: ( 3,0 điểm)  Cho hàm số có đồ thị   (C).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
3. Dựa vào đồ thị (C), định m để phương trình có ba nghiệm phân biệt.

Bài 7: (3.0 điểm) Cho hàm số, gọi đồ thị của hàm số là (C).

     1.  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

     2.  Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình .

Bài 8: ( 3,0 điểm ) Cho hàn số y = x3 + 3x2 + 1.

     1.  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

     2. Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: x3 + 3x2 + 1 =

Bài 9 ( 3 điểm): Cho hàm số :

1.   Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đă cho.
2.   Dựa vào đồ thị hàm số trên, biện luận theo m số nghiệm phương tŕnh:

Bài 10: (3.0 điểm )  Cho hàm số  có đồ thị (C)

     1. Khảo sát sự biến thiên  và vẽ đồ thị (C).

     2. Dùng đồ thị (C), xác định k để phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt.

2) Hàm hữu tỷ:

Bài 1 : (3,0 điểm) . Cho hàm số , có đồ thị là (C)

1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng -2.

Bài 2: (3 điểm) Cho hàm số , có đồ thị (C).

1.      Khảo sỏt sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2.      Tính tất cả mặt giỏ trị của tham số m để đường thẳng d: y = mx + 2 cắt đồ thị (C) của hàm số đó cho tại hai điểm phân biệt.

Bài 3: (3,0 điểm)Cho hàm số (C) .

    1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số.

    2. Tính phương trình tiếp tuyến Với (C) tại điểm M thuộc (C) và có hoành độ xo­= 1

Bài 4: ( 3.0 điểm)  Cho hàm số   ( C )

1.       Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
2.       Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) Với trục tung.

Bài 5 .(3 điểm). Cho hàm số có đồ thị là (C) 

1.      Khảo sỏt hàm số và vẽ (C)
2.      Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) Với trục hoành.

Bài 6: ( 3 điểm) Cho hàm số có đồ thị là (C)

1.      Khảo sỏt hàm số (1)
2.      Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(3;1).

Bài 7:  ( 3,0 điểm ) Cho hàm số  có đồ thị (C)

1. Khảo sát sự biến thiên  và vẽ đồ thị (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến Với đồ thị (C) tại điểm M(2;5) . 

Bài 8: (3,0 điểm)

1.      Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2.      Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.

3) Hàm trùng phương:

Bài 1: (3,0 điểm) Cho hàm số

1. Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình:

Bài 2: ( 3,0 điểm) Cho hàm số y = x4 – 2x2 +3, có đồ thị là ( C ).

1. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến Với ( C ) tại giao của ( C ) Với trục Oy.

Bài 3: (3.0 điểm) Cho hàm số

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thịhàm số trên.
2. Dựa vào đồ thị tính m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.                            

Bài 4: (3,0 điểm):

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến Với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C).

Bài 5: ( 3 điểm )  Cho hàm số y =

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2. Tìm m để Phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Bài 6: ( 3 điểm ) Cho hàm số y = (1)

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1

Bài 7: ( 3 điểm )  Cho hàm số y = (1)

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để hàm số có 3 cực trị.

Bài 8:  (3,0 điểm) Cho hàm số  có đồ thị (C)

1. Khảo sát sự biến thiên  và vẽ đồ thị (C).
2. Dùng đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 

Bài 9: (3 điểm) Cho haứm soỏ y = x4 – 2x2 + 1 coự ủoà thũ (C).

1. Khaỷo saựt sửù bieỏn thieõn vaứ veừ ủoà thũ (C) cuỷa haứm soỏ.
2. Duứng ủoà thũ (C), bieọn luaọn theo m soỏ nghieọm cuỷa pt :  x4 – 2x2 + 1 -  m = 0.

Chuyên đề 2:

  MŨ VÀ LOGARIT

1) Các công thức:

Một số định lý quan trọng:

5) Đạo hàm của hàm số lũy thừa, mũ, lôgarit.

6)  PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNGTRÌNH MŨ– LOGARIT

I. PHƯƠNG TRÌNH  MŨ

1. Dạng: (Đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa)

hoặc

1). (0,2)x-1 = 1  2).   3).  4).

5).    6).         7)  3x.2x+1 = 7

8)     9) 5x+1 + 6. 5x – 3. 5x-1 = 52  

10) 2. 3x+1 – 6. 3x-1 – 3x = 9    11)  4x + 4x-2 – 4x+1 = 3x – 3x-2 – 3x+1

2. Đặt ẩn phụ 

Loại1:

1)  4x + 2x+1 – 8 = 0              2)  4x+1 – 6. 2x+1 + 8 = 0      3)  34x+8 – 4. 32x+5 + 27 = 0  

4)       5)    6)  

Loại 2:

1)  31+x + 31-x = 10    2)  5x-1 + 53 – x = 26   3)

Loại 3:

1)  9x + 6x = 2. 4x    2)  4x – 2. 52x = 10x    3)  32x+4 + 45. 6x – 9.22x+2 = 0  

4)  25x + 10x = 22x+1   5)  

II. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT.

1. Giải các phương trình.

1) log2x(x + 1) = 1   2)  log2x + log2(x + 1) = 1  3) log(x2 – 6x + 7) = log(x – 3)        

4) log2(3 – x) + log2(1 – x) = 3    6)  log2(2x+2 – 5) = 2x        7)

2.Đặt ẩn phụ :

1)   3)                         4)   5)      

6)     7)

III. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT.

1.  Giải các bất phương trình.

1)     2) 27x <     3)      4)   5) 3x – 3-x+2 + 8 > 0  

2.  Giải các bất phương trình.

7)   8)  9)  

Trích một số đề thi tốt nghiệp:

1. TN – 2006 (PB) Giải PT:
2. TN – 2007 (PB) Giải PT:
3. TN – 2008 (PB) Giải PT:
4. TN THPT – 2009 Giải PT:
5. GDTX – 2009 Giải PT:
6. TN_2010 Giải phương trình: .
7. GDTX_2010 Giải phương trình:

Chuyên đề 3:

  NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN

A. NGUYÊN HÀM:

1).   Nguyờn hàm của những hàm số cần nhớ  :

B. TÍCH PHÂN :

1).   Định nghĩa: 

2).   Tính chất:

a. TC1:    

b. TC2: 

c. TC3:  

d. TC4: 

C. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:

1).   Công thức tổng quát: Với t = u(x).

Chú ý : Thường  đặt t  là căn, mũ, mẫu.

•         Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kốm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có luỹ thừa cao nhất.
•         Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số.
•         Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t là phần bên trong dấu căn thức.
•         Nếu tích phân chứa thì đặt .
•         Nếu tích phân chứa thì đặt .
•         Nếu tích phân chứa thì đặt .
•         Nếu tích phân chứa thì đặt .
•         Nếu tích phân chứa thì đặt .
•         Nếu tích phân chứa thì đặt .
•         Nếu tích phân chứa thì đặt .
•         Nếu tích phân chứa thì đặt .

D. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN:

1).   CÔNG THỨC TỔNG QUÁT:      HAY    (1)

2).   Các bước thực hiện:

• Bước 1:  
• Bước 2:  Thế vào công thức (1).
• Bước 3:  Tính và suy nghĩ tìm cách tính tiếp