1. Trang Chủ
  2. Đại số và Giải tích 11
  3. Ôn tập Chương V. Đạo hàm

Ôn tập Chương V. Đạo hàm

ĐẠO HÀM Trăm năm trong cõi người ta Cos đạo hàm đẹp như mơ Đạo hàm lười học khéo là lơ mơ. Trừ sin để bạn ngẩn ngơ một mình. ( cosx)′= − sinx X mà có mũ (en) n Đạo hàm ta hạ mũ n đầu tiên Rồi thì số mũ ở trên Cần cù bù lại thông minh Một chia cos bình là đạo hàm tang. Ta trừ đi 1 ra liền đấy thôi. ꢃ ꢂ ꢈ푡푎ꢀ푥) = 푛 푛−1 푥 )′ = ꢀ. 푥 푐표푠ꢇ푥 ( Đạo hàm căn x bạn ơi Bằng thương đấy nhé bạn thời chớ quên Tử là số 1 còn nguyên Có chăm học mới vẻ van

Thể loại Giáo án bài giảng Đại số và Giải tích 11

Số trang 15

Ngày tạo 3/27/2017 1:21:24 PM +00:00

Loại tệp pdf

Kích thước 1.25 M

Tên tệp dao ham ulf pdf

Download

ĐẠO HÀM  
Trăm năm trong cõi người ta  
Cos đạo hàm đẹp như mơ  
Đạo hàm lười học khéo là lơ mơ.  
Trừ sin để bạn ngẩn ngơ một mình.  
(
cosx)′= − sinx  
X mà có mũ (en) n  
Đạo hàm ta hạ mũ n đầu tiên  
Rồi thì số mũ ở trên  
Cần cù bù lại thông minh  
Một chia cos bình là đạo hàm tang.  
Ta trừ đi 1 ra liền đấy thôi.  
ꢃ
ꢂ
ꢈ푡푎ꢀ푥) =  
푛 푛−1  
푥 )′ = ꢀ. 푥  
푐표푠ꢇ푥  
(
Đạo hàm căn x bạn ơi  
Bằng thương đấy nhé bạn thời chớ quên  
Tử là số 1 còn nguyên  
Có chăm học mới vẻ vang  
Cô tang dẫu khó cũng mang đạo hàm  
Tử trừ 1 nhớ mà làm  
Mẫu 2 căn x viết liền cho nhanh.  
Mẫu sin bình nhé chớ ham chơi bời.  
ꢃ
ꢆꢃ  
ꢂ
ꢂ
ꢈ푐표푡푥) =  
(
√푥 ꢁ =  
푠푖ꢀꢇ푥  
2
√푥  
E mũ x thật lạ đời  
Đạo hàm của tích hai anh  
Ta đạo anh trước, để dành anh sau  
Rồi thêm dấu cộng cho mau  
Đạo hàm của nó, ta thời giữ nguyên.  
ꢉ ꢉ  
푒 )′ = 푒  
(
Giữ nguyên anh trước, anh sau đạo hàm.  
Hàm số mũ ta để yên  
(
uv)′ = u′v + uv′  
Nêpe cơ số chạy liền theo sau.  
ꢉ ꢉ  
푎 )′ = 푎 .lna  
(
Nếu thương, khó mấy cũng cam  
Tử ta đạo hàm nhân mẫu giữ nguyên  
Dấu trừ thì chớ có quên  
Tử nguyên, mẫu đạo đi liền đằng sau  
Bình phương mẫu chạy đi đâu  
Nepe x đạo hàm mau  
Bằng 1 chia x chứ đâu khó gì.  
ꢃ
ꢂ
ꢈ푙ꢀ푥) =  
Ta mang xuống dưới cho mau thuộc bài.  
푥
ꢂ
ꢂ
푢
푢 푣 ꢆ 푣′푢  
ꢄ ꢅ =  
Lôga x có khác chi?  
Nepe cơ số ta thì chớ quên  
푣
푣ꢇ  
ꢃ
Đạo hàm sin thật là tài  
Lại ra là cos có sai bao giờ.  
ꢈlog 푥)′ =  
ꢊ
푥. 푙ꢀ푎  
(
sinx)′ = cosx  
BÀI 1. KHÁI NIỆM VỀ ĐẠO HÀM  
I . ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM.  
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và điểm x  
0
thuộc khoảng đó. Giới hạn hữu hạn của  
f (x)  f (x0 )  
tỉ số  
Khi x  
x0 được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm x0 , kí hiệu là f ’(풙ퟎ)  
x x0  
f (x)  f (x0 )  
f '(x )  lim  
0
xx  
0
x x0  
Nhận xét:  
Nếu đặt x – x = x là số gia của biến số tại điểm x và ∆y = f(x + ∆푥 ) – f(x ) là số gia của hàm  
0
0
0
0
f
x0  x  
f  
x0  
y  
x0 x  
số ứng với ∆푥 tại điểm x thì ta có: f '  
x0  
lim  
lim  
.
0
xx  
x x  
0
0
0 0  
Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x thì f(x) liên tục tại x . Tuy nhiên đều ngc lại chưa chắc  
đúng  
II. ĐẠO HÀM BÊN TRÁI, BÊN PHẢI.  
f (x)  f (x0 )  
o
o
f '(x )  lim  
0
xx  
0
x x0  
f (x)  f (x0 )  
f '(x )  lim  
0
xx  
0
x x0  
Hệ quả: Hàm f(x) có đạo hàm tại x  
0
khi ∃ f '(x )  
,
f '(x ) đồng thời f '(x )  
=
f '(x )  
.
0
0
0
0
III. ĐẠO HÀM TRÊN KHOẢNG, TRÊN ĐOẠN.  
.
.
Hàm số f(x) có đạo hàm trên (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a,b)  
Hàm số f(x) có đạo hàm trên [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a,b) đồng thời  
+
−
tồn tại f ’(푎 ) và f ‘(푏 )  
IV. MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐẠO HÀM VÀ TÍNH LIÊN TỤC.  
Định lí: Nếu hàm f (x) có đạo hàm tại x thì f (x) liên tục tại x0  
0
Chú ý: Một hàm có thể liên tục tại x  
0
nhưng chưa chắc có đạo hàm tại x  
0
. VD: f (x) = |푥| liên tục  
f (x)  f (0)  
f (x)  f (0)  
tại x = 0 nhưng không có đạo hàm vì xlim0  
1, còn lim  
 1  
x0  
x
x
DẠNG 1: Tính SỐ GIA của hàm số.  
I. PHƯƠNG PHÁP.  
.
0
Để tính số gia của hàm số y = f(x) tại điểm x tương ứng với số gia ∆x cho trước ta áp dụng công  
thức: ∆y = f(x + ∆x) – f(x )  
0
0
II.BÀI TẬP.  
2
Bài 1: Tìm số gia của hàm số y  2x 3x 5, tương ứng với sự biến thiên của đối số:  
9
a) Từ 푥 = 1 đến 푥 ꢋ ∆푥 = 2  
b) từ 푥 = 2 đến 푥 ꢋ ∆푥 = ⁄  
0
0
0
0
ꢃꢌ  
y
x
Bài 2: Tính ∆푦 và  
của các hàm số sau theo x và ∆푥:  
2
a) y  3x 5  
b) y  3x  7  
3
c) y  2x  4x 1  
d) y  cos2x  
DẠNG 2: Tính đạo hàm bằng định nghĩa  
I. PHƯƠNG PHÁP.  
f (x)  f (x0 )  
f (x)  f (x0 )  
f (x)  f (x0 )  
f '(x )  lim  
0
xx  
0
x x0  
.
f '(x )  lim  
;
f '(x )  lim  
;
0
0
xx  
xx  
0
x x0  
0
x x0  
0
0
.
Hàm số f(x) có đạo hàm tại x = x  
0
khi f '(x )  f '(x )  
II. BÀI TẬP.  
Bài 1: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của mỗi hàm số sau tại 푥0.  
2
2
a) f (x)  2x  6x 3 tại 푥 = 2  
0
2
e) f (x)  sin x  
tại  
xo   
3
b) f (x)  x  x 2  
tại 푥 = ꢆ2  
0
3
2
f)  
f
x
 x  4x  
tại 푥 = 2  
0
c) f (x)  52x  
tại 푥 = ꢆ2  
0
1
2
   
f x   
xo   
g)  
tại  
2
d) f (x)  x  x 1 tại 푥 = 2  
sin x  
0
Bài 2: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của mỗi hàm số sau tại 푥0.  
3
2
x  2x  7x  4  
x 1  
x 1  
x 1  
f (x)   
a)  
tại 푥 = ꢃ  
0
2
x 3  
2
sin x  
b) f (x)   x  
x 0  
tại 푥 = ꢌ  
0
2
x  x x  0  
2
x  x 1  
f (x)   
c)  
d)  
tại 푥 = ꢆꢃ  
0
x
sin x  cos x khi x  0  
xo   
   
f x   
tại  
2
x 1  
khi x  0  
2
BÀI 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM  
I. CÁC QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM .  
1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hàm số:  
.
.
.
u  v  w '  u' v' w'  
u.v  
' u'v v'u  
k.u  
' k.u'  
u  u 'v v'u  
.
.
'   
2
v  v  
1  v'  
'   
2
v
v   
2
. Đạo hàm của hàm số hợp:  
.
Cho hàm số y = f (u) với u = u (x) khi đó y'  y' .u'  
x
u
x
Đạo hàm  
' 0  
Hàm hợp  
Một số CT tính nhanh ĐH  
C
,
ax b   
cx  d   
ad cb  
cx d  
.
x
' 1  
2
1  
1  
x '   
.x  
u '   
.u .u '  
   
a b  
a c  
b c  
x   
b1 c  
x2 2  
1
1
2
x '   
u '   
.u '  
a1 b  
a1 c  
ax bx  c  
1
1
1
.
   
2
x
2 u  
2
2
a x b x  c  
2
1
1
1   
a x b x  c  
1
1
1
1   
1
1   
   
1
'
   
'   .u'  
2
   
2
x
x
u
u
b c  
2
a.a x  2a.b x   
sin x  
' cos x  
sinu  
' u'.cosu  
2
ax  bx  c  
   
a1x  b1   
1
1
a1 b1  
.
2
a1x b  
1
   
cos x  sin x  
cosu  
 u '.sinu  
u  
1
2
tan x  
tanu  
2
cos x  
cos u  
1
2
u  
cot x  
   
cotu  
   
2
sin x  
sin u  
II. BÀI TẬP.  
. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:  
1
3
2
1
2
3
a) y  x 3x  2x 1  
5
4
3
2
b) y  x  x  x  x  4x  5  
2
3
2
4
3
2
x
1
1
2
4
x
x
c) y   x  x  0,5x  
y   
x  
2
e)  
4
3
4
5
3
3
1
4
3
y 2x  x  2 x 5  
f) y  x  4x  2x  3 x  
d)  
3
2
. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:  
2
a) y   
b) y   
c) y   
x2 3x  
2 x  
d)  
y  x 2x 1 53x  
x5 2x  
1
2x 3  
y  x 1  
1  
e)  
x
x2 1

53x2  
f) y   
2 x 1

4 x 3  
3
. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:  
2
2
x 1  
x  x 1  
y   
y   
a)  
y   
y   
g)  
h)  
x 1  
x 1  
3
2
2
x  4x  5  
b)  
c)  
d)  
2
2
x 5  
x 1  
3x  
3
2
x 1  
y   
y   
2
1
i) y  x 1  
x 1  
5
2
x 3  
2
x 5  
y   
y   
j)  
x2 3x 3  
x  x 1  
y   
y   
2
e)  
f)  
x  x 1  
x 1  
k)  
2
2
x  x 1  
1
x x  
2
1
x x  
4
. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:  
3
2
2
3
a) y  (2x  3x  6x 1)  
2x 1  
x 1  
y   
e)  
2
7
y  x  x  
b)  
1
3
y   
(x  x 1)  
f)  
12x2  
2
5
c) y   
d) y   
4
3
2
2
x x2  
y  x  x 1  
g)  
2
3
2
2
h) y  (x  x 1) (x  x 1)  
5
. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:  
2
a) y  2x 5x  2  
g) y  x  x  x  
2
3
3
b) y  (x  2) x 3  
h) y  x  3x 1  
3
2
1 1 2x  
c)  
y   
2x 1  
i) y  3  
2
x 3  
d) y  1 2x  x  
5
2
2
2
j)  
y  x  x 1  
e) y  x 1  1 x  
x2 1  
y   
f)  
x
6
. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:  
a) y  xcos x  
sin x xcos x  
l) y   
3
sin x   
cos x  
cos x xsin x  
x 1  
y   
b)  
1
m) y  tan  
c) y  sin3  
2
   
2x 1  
n) y  tan3x  cot3x  
d) y  sin 2 x2  
2
1
1
 tan x  
o) y   
2
e) y  sin x  2x  
 tan x  
2
3
2
f) y  2sin 4x 3cos 5x  
p) y  cot x 1  
3
4
4
2
q) y  cos x  sin x  
g) y  2sin 2x  
3
r) y  (sin x  cosx)  
2
2
h) y  sin  
cos x.tan x  
3
3
s) y  sin 2xcos 2x  
sin 2x cos2x  
sin 2x cos2x  
t) y  sin  
cos3x  
i) y   
2
2
2
u) y  sin cos  
cos3x  
j) y  4sin xcos5x.sin 6x  
sin 2x cos2x  
k) y   
2
5
2
x 3   
v) y  cot cos  
sin 2x cos2x  
 x  2    
cosx  
2
   
4
7
. a) Cho hàm số  
f
x
. Tính f '  
0
; f '  
; f ' ; f '   
.
1
 sin x  
2
cos x  
4
3
   
   
b) Cho hàm số y  f  
x
. Chứng minh:  
f
 3 f '  
3  
2
   
1
 sin x  
   
8
. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :  
4
4
6
6
a) y  3 sin x  cos x  2 sin x  cos x  
4
2
4
2
b) y  cos x  
2cos x  3  
 sin x  
2sin x  3  
8
8
6
6
4
c) y  3  
sin x  cos x  
4  
4
cos x  2sin x  
 6sin x  
4
sin x  3cos x 1  
sin x  cos x  3cos x 1  
d) y   
6
6
4
2
2  
3  
x  
2
2
2
e) y  cos x  cos  
 x  cos  
3
x   
 . 1 sin x  
tan  
4 2   
sin x  
f) y   
g) y   
sin x sin2x sin3x sin4x  
cos x cos2x cos3x cos4x  
2   
  
h) y  2  2  2  2cos x , x 0 ;  
  
. Cho hàm số y  xsin x chứng minh :  
9
1
a) xy  2  
y'sin x  
x  
2cos x y  
0  
y'  
b)  
x tan x  
cos x  
4
4
6
6
0. Cho các hàm số :  
f
   
x
 sin x  cos x  
,
g
x
 sin x  cos x . Chứng minh :  
3
f '  2g'  0  
x
x
.
2
2
1
1
1. a) Cho hàm số y  x  1 x . Chứng minh : 2 1 x .y' y  
2
b) Cho hàm số y  cot2x . Chứng minh : y ' 2y  2  0  
2. Giải phương trình y'  0 biết :  
2
a) y  sin 2x  2cos x  
b) y  cos x  sin x  
c) y  3sin 2x  4cos2x 10x  
d) y   
x2  mx  4 . Tìm  
m
m 1 sin2x  2cos x  2mx  
1
3
1
3. Cho hàm số y  x   
2m 1  
để :  
3
a) y'  0 có hai nghiệm phân biệt ;  
b) y' có thể viết được thành bình phương của nhị thức ;  
c) y'  0 , x  
d) y'  0 , x 1; 2  
   
e) y'  0 , x  0  
1
3
2
1
4. Cho hàm số y   mx   
m 1  
x  mx  3. Xác định  
m
để :  
3
a) y'  0 , x  
b) y'  0 có hai nghiệm phân biệt cùng âm ;  
2
1
2
2
c) y'  0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện : x  x  3  
.
2
mx  6x  2  
1
1
5. Cho hàm số y   
. Xác định  
m
để hàm số có y'  0, x  
1 ;  
.
x 2  
3
2
6. Tìm các giá trị của tham số  
dài bằng 1 .  
m
để hàm số: y  x 3x  mx  m có y'  0 trên một đoạn có độ  
4
2
2
1
7. Cho hàm số y  mx  m 9 x 10  
1
 m la tham so  
. Xác định  
m
để hàm số có y'  0 có 3  
nghiệm phân biệt .  
BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN  
I. LÝ THUYẾT:  
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  
C
: y  f  
x
tại  
M
x0 ; y0  
, có phương trình là :  
∆
:
y  y  f '  
x0  
.
x x0  
0
Trong đó: k  f '  
x0  
là hệ số góc của tiếp tuyến.  
   
và ꢈ퐶 ): y  g x  
tiếp xúc nhau tại điểm có hoàng  
Điều kiện cần và đủ để 2 đường ꢈ퐶 ): y  f  
x
1
ꢇ
f (x ) g(x )  
0 0  
có nghiệm x0  
độ x  
0
là hệ phương trình  
f '(x )  g '(x )  
0
0
II. PHƯƠNG PHÁP:  
Dạng 1: Tiếp tuyến tạ
: y  f  
tại  
y  y  f '  
Tiếp tuyến của đồ thị  
C
x
M
x0 ; y0  
, có phương trình là:  
x0  
.
x x0  
0
Dạng 2: Tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ∆ )  
Tiếp tuyến (d) // (∆)  
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ta có : f ' 0  
x  kd (1)  
Giải (1) ta được x0 . Từ đó suy ra y  
Phương trình tiếp tuyến cần lập là y  y  f '  
kd  k  
0
     
x0 . x  x0  
0
Dạng 3: Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ∆ )  
k  
1
kd   
Tiếp tuyến (d) (∆)  
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ta có : f ' 0  
x  kd (1)  
Giải (1) ta được x0 . Từ đó suy ra y  
Phương trình tiếp tuyến cần lập là y  y  f '  
0
     
x0 . x  x0  
0
Dạng 4: Tiếp tuyến qua điểm A cho trước  
Gọi (d) là tiếp tuyến cần tìm và  
M
x0 ; y0  
là tiếp điểm. Ta có: (d): y  y  f '  
x0  
.
x x0  
0
Vì (d) qua A nên y  y  f '  
x0  
.
xA  x0  
()  
A
0
Giải () ta được x0 . Từ đó suy ra y  
0
     
Phương trình tiếp tuyến cần lập là y  y  f ' x0 . x  x0  
0
III. BÀI TẬP:  
2
   
   
Bài 1: Cho hàm số :  
C : y  x  2x  3 . Viết phương trình tiếp với  
C
a) Tại điểm có hoành độ x0  2  
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 4x  y 9  0  
c) Vuông góc với đường thẳng : 2x  4y  2011 0  
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm  
A
1; 0  
3
2
Bài 2: Cho đường cong  
C
: y  f  
x
 x  3x . Viết phương trình tiếp tuyến của  
C
trong các  
trường hợp sau :  
a) Tại điểm M0  
b) Tại điểm thuộc  
c) Tại giao điểm của  
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm  
x 1  
1; 2  
và có hoành độ x0  1  
với trục hoành  
1; 4  
C
   
C
   
A
3
Bài 3: Cho hàm số : y   
C
.
1
x  
a) Viết phương trình tiếp tuyến của  
b) Vết phương trình tiếp tuyến của  
c) Viết phương trình tiếp tuyến của  
d) Viết phương trình tiếp tuyến của  
e) Viết phương trình tiếp tuyến của  
C
tại điểm  
   
M 1; 1  
tại giao điểm của  
C
C
với trục hoành  
C
C
C
tại giao điểm của  
C
với trục tung  
bết tiếp tuyến song song với đường thẳng  
   
d : 4x  y 1 0  
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  
   
 : 4x  y 8  0  
.
3x 1  
   
C : y   
1
Bài 4: Cho đường cong  
a) Viết phương trình tiếp tuyến của  
: x 4y 210  
b) Viết phương trình tiếp tuyến của  
: 2x 2y 9 0  
c) Viết phương trình tiếp tuyến của  
x  
   
C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng  
   
d
C
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  
biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng :  
   
C
x  2y  5  0 một góc 300  
.
Bài 5: Cho hàm số : y  x  3x2  
3
C
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  
C
tại điểm  
I
1; 2  
.
b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị  
C
không đi qua .  
I
3
2
Bài 6: Cho hàm số y  x 3x 9x 5  
C
. Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị , hãy tìm tiếp  
   
C
tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.  
Bài 7: Cho hàm số y  1 x  x2  
C
.Tìm phương trình tiếp tuyến với  
   
C
:
1
a) Tại điểm có hoành độ x0   
2
b) Song song với đường thẳng :  
d
: x 2y 0  
.
x 2  
Bài 8: Cho hàm số y   
   
1
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp  
2
x 3  
tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc  
tọa độ O.  
(
Khối A – 2009) .  
3
2
Bài 9: Cho hàm số y  x 3x  2 C C  
     
. Tìm các điểm thuộc đồ thị mà qua đó kẻ được một và  
chỉ một tiếp tuyến với đồ thị  
C
.
(
Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, 1999)  
là tham số thực .  
3
2
Bài 10: Cho hàm số y  x 3mx   
m1  
x 1  
1
,
m
Tìm các giá trị của  
điểm  
1 ;2  
m
để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ x  1 đi qua  
A
.
(
Dự bị A - 2008)  
1
3
x 1  
Bài 11: Cho hàm số y   
1
. Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến  
2 ; 5  
x 1  
của đồ thị của hàm số (1) tại điểm  
M
.
1
(Dự bị D - 2008)  
3
Bài 12. Cho hàm số y  3x  4  
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  
C
biết tiếp tuyến tạo với  
0
đường thẳng  
d
: 3y  x  6  0 góc 30  
.
3
2
Bài 13. Cho hàm số y  x  3x  9x  5  
C
I
. Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị  
C
, hãy tìm  
tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.  
2
x 1  
x 1  
Bài 14. Cho hàm số y   
C
. Gọi  
       
sao cho tiếp tuyến của  
1; 2 . Tìm điểm M  C C  
tại  
M
vuông góc với đường thẳng IM  
.
(
Dự bị B - 2003)  
2
2
x
Bài 15.(*) Cho hàm số y   
C
. Tìm điểm M   
C
, biết tiếp tuyến của  
C
tại  
M
cắt hai trục tọa  
Khối D - 2007)  
x 1  
1
độ tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng  
.
2
(
x
Bài 16. (*) Cho hàm số : y   
C
. Viết phương trình tiếp tuyến  
của  
C
sao cho  
(Dự bị D  
kẻ được hai tiếp tuyến với  
và hai  
x 1  
đường  
d1  
: x 1 ;  
d2  
: y 1 cắt nhau tạo thành một tam giác cân.  
2
- 2007)  
1
Bài 17. Cho hàm số y  x   
C
. Chứng minh rằng qua điểm  
A
1;1  
x 1  
C
và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.  
1
 4 4   
;
có thể kẻ được mấy tiếp tuyến  
   
3
2
Bài 18.(*) Cho hàm số y  x  2x 3x  
C
. Qua điểm  
A
3
9 3  
đến đồ thị  
C
. Viết phương trình các tiếp tuyến ấy .  
2
x  2x  2  
Bài 19 (*) Cho hàm số y   
(C) . Gọi  
   
I 1; 0  
.Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào  
x 1  
của  
C
đi qua điểm  
I
.
(Dự bị B  
2
- 2005).  
4
2
Bài 20:(*) Cho hàm số y  x  2x 1  
C
   
. Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có  
thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị .  
   
C
BÀI 4. VI PHÂN  
I. LÝ THUYẾT:  
Cho hàm số y  f  
f ' .x là vi phân của hàm số  
Nếu lấy y = x thì ta có dy = dx = 1. x  
x
có đạo hàm tại x. Gọi x là số gia của biến số tại x. Ta gọi tích số  
tại điểm x ứng với số gia x  
x , vì vậy ta thường kí hiệu x = dx , Vậy:  
x
f
x
=
:
df (x)  f '(x).x  
dy  y' .dx  
x
Công thức tính gần đúng nhờ vi phân: f (x  x)  f (x )  f '(x ).x  
0 0 0  
II. PHƯƠNG PHÁP:  
Tính vi phân của hàm số f(x)  
Tính đạo hàm của hàm số  
Suy ra vi phân: dy  y' .dx  
x
III. BÀI TẬP.  
Bài 1. Tìm vi phân của các hàm số sau :  
x2 3x 5  
x 1  
2
x 3  
a) y   
b) y   
d) y   
2
x  5x  5  
2
x 1  
2
32  
c) y  (x  x )  
x
2
1
f) y   
1cos 2x   
cos 2x  
2
3
e) y   
x 1

2x  3x  
4
3
g) y  cot (2x  )  
n(cosx)  cos(sinx)  
sin x  
x
1
3
2
i) y   
k) y  tan x  cot 3x  
.
x
sin x  
2
3
3
sin x  cos x  
Bài 2. Cho hàm số y   
. Chứng minh đẳng thức : y.dy cos2x.dx 0  
1
sin x.cos x  
Bài 3. Tính gần đúng các giá trị sau (lấy 4 chữ số thập phân trong kết quả) :  
0
0
a) 8,99  
b) cos46  
c) tan59 45'  
d) 4,02  
e) tan44 30'  
0
f) 3 7,97  
.
BÀI 5. ĐẠO HÀM CẤP CAO  
I. PHƯƠNG PHÁP:  
.
Dựa theo các định nghĩa sau :  
Đạo hàm cấp 2 : y''   
Đạo hàm cấp 3 : y'''   
y'  
'
y''  
'
(
n)  
(n1)  
y '  
   
Đạo hàm cấp n : y   
Chú ý : Để tìm công thức tính đạo hàm cấp  
n
của một hàm số ta tìm đạo hàm cấp 1 , 2 , 3 … sau  
đó dự đoán công thức tính đạo hàm cấp  
nạp  
n
và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy  
II. BÀI TẬP:  
Bài 1: Tìm đạo hàm các cấp đã chỉ ra của các hàm số sau :  
1
2
d) y  x.cos3x tìm y  
4
3
2
a) y  x  x 5x  4x  7 . Tìm y , y  
4
3
2
e) y  sin 2x tìm y  
;
x 3  
x 4  
. Tìm y , y, y4  
5
5
b) y   
f) y   
2x 1  
tìm  
y
2
c) y  3x  x3 . Tìm y  
x  3x 1  
x 2  
   
4
y
g) y   
tìm  
Bài 2: Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra:  
a) y3y 1 0 khi y  2x  x2  
2
2
2
b) x y 2 x  
   
y
  
1y  
 0 khi y  x.tan x  
c) xy  2  
y'sin x  
 xy"  0 nếu y  xsin x  
2
d) 18 2y 1  
 y" 0 nếu y  cos 3x  
3
3
sin x  cos x  
e) y"y  0 nếu y  1  
sin xcosx  
2
4
2
f) y  2xy  4y   40 nếu y  x 1  
x 3  
2
g) 2y'   
y 1  
y" nếu y   
x 4  
của các hàm số sau :  
Bài 3: Tìm các đạo hàm cấp  
n
4
2
x 1  
x 1  
4
2
x2 5x 3  
a) y   
b) y   
c) y   
d) y   
e) y   
f) y   
x2 3x 1  
x2 3x 5  
x 1  
4
4
g) y  sin x cos x  
h) y 8sin x.cos3x.cos4x  
2
x 1  
x 2  
6
6
i) y  sin x  cos x  
3
j) y  8sin x.sin2x.sin3x  
x2 x 2  
x 2  
2
x  2x 1  
Tính các tổng có chứa tổ hợp  
Phương pháp :  
Trong phần đại số tổ hợp khi áp dụng nhị thức Newton để tính các tổng có chứa các công thức tổ  
hợp đôi khi ta phải biết áp dụng khéo léo việc lấy đạo hàm các cấp của các vế ta sẽ tính được tổng  
cần tính  
Bài tập:  
Bài 1: Tính các tổng sau :  
1
2
3
2
n1  
a) S  C  2C 53C 5 
1
n
n
n
2
n
n2  
3
n
n3  
n
.Cn  
b) S  2.1.C 2  3.2.C 2  
.n  
n 1  
2
2
1
2
2
2
3
n
c) S 1 .C  2 .C 3 .C 
3
n
n
0
1
n
2
n
Cn  
d) S  2C  5C  8C .....  
3n 2  
4
n
n
Bài 2. Rút gọn các tổng sau :  
1
2
n1  
n
n
a) S  C  2C 1)C  nC  
1
n
n
n
0
1
2
n1  
n
n
b) S  C  2C  3C ...  nC  (n 1)C  
2
n
n
n
n
0
n
1
n
2
n
n
Cn  
c) S  2C  5C  8C .....  
3n 2  
3
Bài 3. (*) Rút gọn các tổng sau :  
99  
100  
198  
199  
1   
1   
2   
1   
99  
C  
1   
0
1
100  
a) S 100C  
101C  
200C100  
.
1
100    
100    
100    
   
2  
2   
2   
2
18  
3
20  
17  
20  
20  
b) S  2.1.C 2 3.2.C 2 C  
.
2
20  
2
1
2
2
2009  
2
3
2009  
2
2009  
2009  
c) S 1 .C 2 .C 3 .C  .C  
.
3
2009  
0
1
2
n
2010  
2010  
d) S  3C 5C  7C ..... 4023C  
.
4
n
n
3
n
3
n
A  C  
Bài 4. Cho số nguyên n thỏa mãn đẳng thức  
   
 35, n  3  
. Tính tổng :  
n 1n 2  
2 n  
2
2
2
3
S  2 .C  3 .C   
n .C  
.
n
n
n
(Dự bị B  
1
– 2008) .  
– 2008) .  
Bài 5. Chứng minh rằng với n là số nguyên dương , ta luôn có :  
n
n
n1  
1
n2  
2
1  
n1  
n.2 .C   
n 1  
.2 .C   
n 2  
.2 .C  2n.3  
n
n
n
(
Dự bị D  
1
Bài 6. Tìm số nguyên dương n sao cho :  
1
2
2
3
3
4
2n 2n1  
.2 C  2011  
2n1  
C2  2.2C 3.2 C  4.2 C ...  
2n 1  
n1  
2n1  
2n1  
2n1  
k
(
Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử ) .  
nguon VI OLET
Đại số và Giải tích 11 Hình học 11 Đại số và Giải tích 11 nâng cao Hình học 11 nâng cao