on thi tich phan 12

Phạm Hồng Phong







NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG









Hà Nội – 2012

MỤC LỤC

CHỦ ĐỀ 1. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 3
Loại 1. Khái niệm nguyên hàm 3
Loại 2. Sử dụng các công thức tìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp và tính chất của nguyên hàm 5
Loại 3. Phương pháp đổi biến số 9
Loại 4. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần 10
CHỦ ĐỀ 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 12
Loại 1. Sử dụng các công thức tính tích phân của một số hàm số thường gặp và tính chất của tích phân 12
Loại 2. Phương pháp đổi biến 14
Loại 3. Phương pháp tích phân từng phần 19
CHỦ ĐỀ 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 21
Loại 1. Tính diện tích hình phẳng 21
Loại 2. Tính thể tích vật thể 23















CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Khái niệm nguyên hàm
Tóm tắt lý thuyết
* Định nghĩa: Cho
. Hàm số
được gọi là một nguyên hàm của
trên
nếu
.
Nếu chỉ nói
là nguyên hàm của
(không nói rõ
là tập nào) thì ta hiểu
là nguyên hàm của
trên tập xác định của

* Chú ý: Khi
thì các đẳng thức
và
được hiểu là
và
.
Cho hai hàm số
và
liên tục trên
. Nếu
là nguyên hàm của
trên
thì ta có thể chứng minh được
cũng là nguyên hàm của
trên
.
* Họ nguyên hàm: Giả sử hàm số
là một nguyên hàm nào đó của hàm số
trên
. Khi đó
+) Với mỗi hàng số
, hàm số
cũng là một nguyên hàm của
trên
.
+) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm
của
trên
đều tồn tại hằng số
sao cho
với mọi
.
Từ đó suy ra
,
là họ tất cả các nguyên hàm của
trên
. Họ tất cả các nguyên hàm của
trên
được ký hiệu là
. Như vậy

,
.
Các ví dụ
Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau đây:

.

.

.

Giải
Ta có




.
Ta có




.
Ta có




.
Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau đây:

.

.

.

Giải
Ta có




.
Ta có




.
Ta có




.
Tìm họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

Giải
Ta có

.
Xét hàm

.
Ta tìm
để
là một nguyên hàm của
.
Dễ thấy
với mọi
. Ta còn phải tìm
để


.
Để
có đạo hàm tại
thì trước hết
liên tục tại






.
Với
thì

.
Ta có


.
Từ
,
suy ra


có đạo hàm tại
và
.
Vậy
, với
.
Bài tập
Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau đây:

.

.

.


.

.

.


.

.

.


.



Sử dụng các công thức tìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp và tính chất của nguyên hàm
Tóm tắt lý thuyết
* Công thức tìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

.

.
Hệ quả:
(
),
(
).

,
.

,
,
,
.
* Nguyên hàm của hàm hợp



.
* Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm

.

.
Các ví dụ
Tìm họ nguyên hàm của các hàm sau:

.

.

.

.

.

Giải

.

.

.

.

.
Tìm họ nguyên hàm của các hàm sau:

.

.

.

Giải

.

.

.
Bài tập
Tìm

. ĐS:
.

. ĐS:
.

. ĐS:
.

. ĐS:
.

. ĐS:
.

. ĐS:
.

. ĐS: 
.

. ĐS:
.

. ĐS:
.

. ĐS:
.

. ĐS:
.