PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾt
Dạng toán 1: Phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương trình:
* Nếu: Phương trình vô nghiệm
* Nếu:
().
Chú ý : * Nếu thỏa mãn thì ta viết .
*Các trường hợp đặc biệt:
1.
2
3.
2. Phương trình:
* Nếu: phương trình vô nghiệm
* Nếu:
().
Chú ý : * Nếu thỏa mãn thì ta viết .
* Các trường hợp đặc biệt:
1.
2.
3.
3. Phương trình :
Với
.
Chú ý : * Nếu thỏa mãn thì ta viết .
* Các trường hợp đặc biệt:
1.
2.
3.
4. Phương trình:
Với
.
Chú ý : * Nếu thỏa mãn thì ta viết .
* Các trường hợp đặc biệt:
1.
2.
3.
Ghi chú:
* *
*
*
Dạng 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Là phương trình có dạng: ; với và .
Cách giải: Chia hai vế cho và đặt
. (2).
Chú ý:
(1) có nghiệm có nghiệm.
.
Dạng 3. Phương trình bậc hai chứa một hàm số lượng giác
Là phương trình có dạng :
Cách giải: Đặt ta có phương trình :
Giải phương trình này ta tìm được , từ đó tìm được
Khi đặt , ta co điều kiện:
Dạng 4. Phương trình đẳng cấp
Là phương trình có dạng trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là .
Dạng 5. Phương trình đối xứng (phản đối xứng) đối với sinx và cosx
Là phương trình có dạng: (3)
Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ
Thay và (5) ta được phương trình bậc hai theo t.
Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng (3’)
Để giải phương trình này ta cũng đặt
Thay vào (3’) ta có được phương trình bậc hai theo t.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Vấn đề 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản
Các ví dụ
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
1. 2.
3. 4.
Lời giải:
1. Phương trình
, .
2. Phương trình
.
3. Phương trình
.
4. Phương trình
.
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
1. 2.
3. 4.
5.
6. 7.
Lời giải:
1. Phương trình
2. Ta có
Nên phương trình đã cho tương đương với
.
3. Phương trình
4. Phương trình
hoặc
5. Phương trình
.
6. Áp dụng công thức hạ bậc, ta có:
Phương trình
.
7. Phương trình
.
Nhận xét:
* Ở ta có thể sử dụng công thức nhân ba, thay và chuyển về phương trình trùng phương đối với hàm số lượng giác .
* Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ đầu, chuyển phương trình đã cho về phương trình chỉ chứa cosx và đặt
Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tích thành tổng .
Ví dụ 3 Giải các phương trình sau:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7.
Lời giải:
1. Phương trình .
2. Phương trình
.
3. Ta có phương trình vô nghiệm.
4. Phương trình
, .
5. Phương trình
.
6. Phương trình
, .
7. Phương trình
.
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
1. 2.
Lời giải:
1. Phương trình
nguon VI OLET
