Chứng minh mệnh đề đúng
Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với n = p.
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với ta được: ...
Bước 3: Với n = k +1, ta cần chứng minh... (dựa vào bước 2)
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n2 , ta có :
(1)
Với n = 2 thì (1) đúng
Giả sử (1) đúng với mọi n = k 2 , tức là :
Ta cần chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1 , tức là :
Thật vậy : áp dụng giả thiết qui nạp , ta có :
Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n2.
Bài 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số biết:
Bài 3: Tính đạo hàm cấp n của hàm số
Ta có : , , ,…,
Bây giờ ta tìm bằng quy nạp. Giả sử
Bài 4: Chứng minh rằng (1)
Với n = 1 thì (1) đúng.
Giả sử (1) đúng với n = k, tức là : (2)
Ta phải chứng minh (BL) đúng với n = k+1, tức là :
Thật vậy : Cộng vào hai vế của (2) một lượng ta sẽ được đpcm.
Bài 5: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số sau :
a/ b/
Bài 6: Chứng minh bất đẳng thức Bec-nu-li : (1)
Với n = 2, (1) đúng.
Giả sử (1) đúng đến n = k , tức là : (2)
Ta phải chứng minh (1) cũng đúng đến n = k + 1, tức là
Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n 2
Bài 7: Chứng minh rằng nếu x > 0 thì
Xét hàm số
Ta phải chứng minh : (1) , ta có
Với n = 1 , đúng.
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, ta có:
(2)
Ta phải chứng minh :
đúng.
Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1 nên cũng đúng với mọi số tự nhiên n.
Bài 8: Chứng minh rằng (1)
Với n =1 , (1) đúng.
Giả sử (1) đúng với , tức là
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1,tức là
Vậy (1) đúng với n = k + 1 , nên (1) cũng đúng với mọi số nguyên dương n.
Bài 9: Chứng minh rằng (1)
Vì vế phải của (1) là một đại lượng biến thiên nhưng vế trái lại là một đại lượng không đổi nên ta không thể chứng minh bằng quy nạp ngay được.
Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo k
Sau đó lấy k = n ta được đpcm.
Bài 10: Chứng minh rằng số tạo bởi chữ số 1 thì chia hết cho
Bài 11: Chứng minh rằng từ số nguyên bất kỳ có thể tìm được số mà tổng của chúng chia hết cho
Bài 12: Chứng minh rằng nếu là số nguyên thì cũng là số nguyên với mọi .
Bài 13: Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình Chứng minh rằng nhận giá trị nguyên và không chia hết cho 13.
Bài 14: Chứng minh rằng với mọi n ta luôn có là số lẻ
Bài 15: Cho hai số dương a, b thỏa a + b = 3. Chứng minh
Bài 16: Chứng minh rằng dãy số : giảm và bị chặn.
Ta dùng quy nạp chứng minh dãy số là giảm.
Ta phải chứng minh : (1)
Khi n = 1 thì (1) đúng.
Giả sử (1) đúng với , tức là
Ta phải chứng minh
Ta có :
Vậy (1) đúng với n = k+1 nên cũng đúng với mọi n thuộc N.
Ta dùng qui nạp để chứng minh dãy đã cho bị chặn dưới. (2)
Khi n = 1 , (2) đúng.
Giả sử (2) đúng với nghĩa là
Ta phải chứng minh
dãy số đã cho bị chặn dưới bởi 1.
Chú ý : Khi gặp dạng toán chứng minh dãy số đơn điệu và bị chặn
nguon VI OLET
