§2. Giới hạn của hàm số:
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1. Định nghĩa
Giới hạm cụa hàm số f(x) tại điểm x0 kí hiệu
Định nghĩa 1: (SGK)
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lý 1: Nếu và (L, M ( R) thì:
Định lý 2: Giả sử . Khi đó:
Nếu f(x) ( 0 (x ( J thì L ( 0 và
3. Giới hạn một bên
Định nghĩa 2: (SGK)
Định lí 2. khi và chỉ khi =
, , , ,
II. Gới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
1. Gới hạn vô cực
Kí hiệu
2. Một vài giới hạn đặc biệt
Chú ý:
a) nếu k là nguyên dương
b) nếu k là số lẻ
c) nếu k là số chẵn
3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
Dấu của g(x)
L
Tuỳ ý
0
L>0
0
+
-
L<0
+
-
Phương pháp làm bài tập (Các bài đơn giản)
1. Giới hạn tại một điểm. Tính
TH1: Nếu ta thay x = x0 vào biểu thức mà ta được giá trị thực là L, thì ta nói = L
TH2: Nếu ta thay x = x0 vào biểu thức mà khi đó gặp dạng tức là tử = 0 mà mẫu cũng = 0. Khi đó
Nếu tử và mẫu là hai đa thức không chứa căn, ta chia tử và mẫu cho (x = x0) hoặc (x – x0)2
Nếu tử hoặc mẫu hoăc cả hai có chứa căn thức thì ta nhân chúng cho biểu thức liên hợp
Ví dụ:
a) = . Vậy
b) có dạng nên ta chia tử và mẫu của biểu thức cho (x – 1) được
c) có dạng nên ta nhân tử và mẫu của biểu thức cho ta được
=
2. Gới hạn một bên của hàm số
Khi gặp dạng tính . Biết f(x) =
Bài tập:
1. Tìm các giới hạn sau:
2. Tìm các giới hạn sau:
3. Tìm các giới hạn sau:
4. Cho hàm số . Tìm các giới hạn sau (nếu có)
Bài tập áp dụng:
1. Tìm các giới hạn sau:
2. Tìm các giới hạn sau:
3. Tính
4. Tìm các giới hạn sau:
5. Chứng minh rằng:
6. Tìm các giới hạn sau:
§5. Giới hạn một bên:
Giới hạn bên trái của x0 kí hiệu , Giới hạn bên phải của x0 kí hiệu .
Định nghĩa 1: ( ( dãy (xn), xn ( (x0, b), limxn = x0 thì limf(xn) = L.
Định nghĩa 3: ( ( dãy (xn), xn ( (a, x0,), limxn = x0 thì limf(xn) = L.
* Nhận xét:
Giới hạn vô cực:
* Các định nghĩa được nêu tương tự.
* Nhận xét trên vẫn đúng cho giới hạn vô cực.
Bài tập áp dụng:
1. Tìm các giới hạn sau:
2. Tìm các giới hạn sau:
3. Cho hàm số . Tìm các giới hạn sau (nếu có)
4. Cho thấu kính hội tụ có các tiêu điểm F, F’ với FF’ = 2f. Gọi d, d’ lần lượt là khoảng cách từ vật, từ ảnh tới thấu kính.
a) Thiết lập hàm số ((d).
b) Tìm và giải thích ý nghĩa.
5. Tìm các giới hạn sau:
6. Ta gọi phần nguyên của số thực x là một số nguyên không vượt quá x và ký hiệu là [x]. Hãy vẽ đồ thị hàm số y = [x] và tìm các giới hạn sau đây (nếu có).
§6. Vài quy tắc tìm giới hạn vô
nguon VI OLET
