Quan he vuong goc co loi giai.diep

TuyÓn chän mét sè bµi h×nh häc 11 «n thi k× 2

 Câu 1:(2, 5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, đáy tam giác ABC vuông cân tại B và SAbiết SA = a và BC = a

1. Chứng minh:
2. Xác định góc giữa SC và (SAB)
3. Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC)

Câu 2.(2đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA(ABCD). Gọi I là trung điểm của cạnh SC

a) Chứng minh AI  BD

b) (BID)  (ABCD)

c)  Tính diện tích tam giác BID biết SA = AB = a.

Câu 3 (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

1. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, SD. Chứng minh và .

C©u 4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a,

BC = , SA (ABCD)

a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.

b. Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO(ABCD)

c. Tính góc giữa SC và (ABCD).

Gi¶i:

a) Cm các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông

 * V×

nªn c¸c tam gi¸c SAB,SAD vu«ng t¹i A

*XÐt tam gi¸c SBC cã    . vËy tam gi¸c SBC vu«ng t¹i B

* XÐt tam gi¸c SDC cã .vËy tam gi¸c SDC vu«ng t¹i D

b) Ta cã                     

c) V×   SA(ABCD) nªn AC lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña SC xuèng (ABCD)

v©y (SC,(ABCD))=(SC,AC)=SCA.      Tam gi¸c vu«ng SAC cã tanSCA=SA/AC=a/2a=1/2

( AC2=AB2+BC2=a2+3a2=4.a2  nªn  AC=2°)

C©u 5) Cho hìn chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng 1 và các cạnh bên bằng nhau và bằng .

a. Chứng minh (SBD) (SAC)

b. Tính độ dài đường cao của hình chóp.

c. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

Gi¶i:

a)

(Tam gi¸c c©n SBD cã SO lµ trung tuyÕn nªn SO vu«ng gãc víi BD)

b)   vËy SO lµ ®­êng cao cña h×nh chãp

tam gi¸c SOD vu«ng t¹i O cã SO2=SD2-OD2

mµ BD2=BC2+CD2=1+1=2   nªn

vËy cã SO2=SD2-OD2=2-2/4=3/2

vËy

c) V×   SO(ABCD) nªn BO lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña SB xuèng (ABCD

(SB,(ABCD))=(SB,BO)=SBO

cosSBO==           VËy (SB,(ABCD))=600

C©u 6) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tâm tại A, SA = AB = AC = a

SA đáy

a. Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh BC (SAI)

b. Tính SI

c. Tính góc giữa (SBC) và mặt đáy.

C©u 7) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA (ABCD) . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD.

a. Chứng minh BC (SAB), BD (SAC)

b. Chứng minh SC (AHK)

gi¶i:

a)

T­¬ng tù

b) Chứng minh SC (AHK)

* Chứng minh AH SC

( V× )

* Chứng minh AK SC

Tõ §ã

c©u 8) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tâm O và SA = SC, SB = SD.

a. Chứng minh SO (ABCD)

b. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IKSD

Gi¶i:

a) tam gi¸c SAC c©n t¹i S cã trung tuyÕn  AC nªn SO AC

   tam gi¸c SBD c©n t¹i S cã trung tuyÕn  BD nªn SO BD

vËy SO (ABCD)

b) (1)

Mµ   SO (ABCD) nªn SO IK (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra IK (SBD)  nªn IK SD

c©u 9) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, SA = a và SA (ABCD) .

a. Tính khoảng cách từ A đến (SBD).

b. Chứng minh (SBC) (SAB)

c. Tính khoảng cách từ C đến (SBD).

Gi¶i:

a) Tõ A kÎ AH vu«ng gãc víi SO t¹i H  th× H thuéc (SBD)

ta cã

VËY   hay d(A,(SBD))=AH

xÐt tam gi¸c vu«ng  SAO cã    (1)

tÝnh

thay vµo (1) cã .

VËy d(A,(SBD))=AH=

C©u 10 : Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD), tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a. gäi I và K lần lượt là trung điểm của các cạnh CD và DA.

1)    Chứng minh BD  (SAC) và BK  SI

2)    Xác định góc giữa đường thẳng SC và (SAD);

3)    Xác định góc giữa hai đường thẳng AI và SC.

C©u 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D.AB = 3a ; AD = DC = 2a . SA(ABCD) và SA = 4a.

     a) Chứng minh rằng: (SCD) (SAD)                                        

     b) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).        

     c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).            

gi¶i:

a)

b) V×   SA(ABCD) nªn AC lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña SC xuèng (ABCD)

vËy (SC,(ABCD))=(SC,AC)=SCA                  vµ tanSCA=

TÝnh

c) Tõ A kÎ AH vu«ng gãc víi SD t¹i H  th× AH vu«ng gãc víi  (SDC) v×

ta cã   hay d(A,(SCD))=AH

xÐt tam gi¸c vu«ng  SAD cã .

VËy d(A,(SCD))=AH=

c©u 12. Cho hình chóp  S.ABCD  có đáy ABCD là hình vuông  cạnh a , SA vuông góc với đáy , SA = a.

a)    Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.

b)    CMR  (SAC) (SBD) .

c)     Tính góc giữa SC và mp ( SAB ) .

d)    Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD ) .

Gi¶i:

a)

* V×

nªn c¸c tam gi¸c SAB, SAD vu«ng t¹i A

*XÐt tam gi¸c SBC cã     .vËy tam gi¸c SBC vu«ng t¹i B

* XÐt tam gi¸c SDC cã . vËy tam gi¸c SDC vu«ng t¹i D

b)

c) V×   BC(SAB) nªn SB lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña SC xuèng (SAB)

vËy (SC,(SAB))=(SC,SB)=BSC                  vµ tanBSC=        vËy (SC,(SAB))=(SC,SB)=600

d)  ((SBD),(ABCD))=(AO,SO)=AOS                  tanAOS=SA/AO=2

C©u 13 .Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC , đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a , I là trung điểm BC .

a . CMR : ( OAI ) ( ABC ) .

b. CMR : BC  ( AOI ) .

c . Tính góc giữa AB và  mp ( AOI ) .

Gi¶i :

a) Cã tam gi¸c OBC c©n t¹i O nªn OI  BC

mÆt kh¸c

vËy cã     

b)

c) V×   BC(OAI) nªn AI lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña AB xuèng (OAI)

vËy (AB,(AOI))=(AB,AI)=BAI. Trong tam gi¸c vu«ng ABI vu«ng t¹i I cã  sinBAI=BI/AB

Thay vµo cã    sinBAI=BI/AB=     vËy (AB,(AOI))=(AB,AI)=300

C©u 14:Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a,SA (ABCD) vµ SA=2a

a) Chøng minh (SAC) (SBD) ; (SCD) (SAD)

b) TÝnh gãc gi÷a SD vµ (ABCD) ,SB vµ (sad) ;  sb vµ (sac)

c) x¸c ®Þnh vµ tÝnh ®é dµi ®o¹n vu«ng gãc chung cña sd vµ bc ; ad cµ sb   ; sc vµ bd

gi¶i :

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh SA = a và  SA(ABCD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SD.

          a)  Chứng minh BC (SAB), CD (SAD);

           b) Chứng minh (AEF) (SAC);

          c) Tính tan  với  là góc giữa cạnh SC với (ABCD).

c) V×   SA(ABCD) nªn AC lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña SC xuèng (ABCD)

Câu 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA  (ABCD), SA = a.  

        1) (SAB)  (ABCD);       

         2) CD  (SAD);

         3) Tính các góc [SB, (ABCD)]; [(SBD),(ABCD].
         4) Tính các khoảng cách d[SA, BD]; d[BD, SC].

Gi¶i:

a)

b)

c) (SB,(ABCD))=(SB,AB)=SBA=450

d) Cã d(SA,BD)=AO=

e) Tõ O kÎ OH SC th×  do

vËy OH lµ ®­êng vu«ng gãc chung cña SC vµ BD

vËy d(SC,BD)=OH=

CÂU 17:Tứ diện S.ABC có ABC đều cạnh a, SA  (ABC), SA =.Gọi I là trung điểm BC.

a) Cmr (SBC)  (SAI).    b) Tính d[A,(SBC)].

c) Tính d[SA, BC].

Gi¶i:

a)

BC AI v× tam gi¸c ABC ®Òu cã AI lµ trung tuyÕn

b) Tính d[A,(SBC)].

Trong mp (SAI) kÎ AH vu«ng gãc víi SI t¹i H

V×

VËy

Trong tam gi¸c vu«ng SAI cã   (*)

Tam gi¸c vu«ng AIC cã

Thay vµo (*) cã : 

c) AI lµ ®­êng vu«ng gãc chung cña SA vµ BC

MỘT SỐ BÀI HÌNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC

1/ Cho hình chóp S.ABC có AB = , SA = SB = SC =a, SA, SB, SC đôi một vuông góc. Gọi H là trực tâm của .

a. Chứng minh rằng:

b. Chứng minh rằng: .

c. Tính góc giữa SA và mặt phẳng (ABC).

a/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC Ta có  

SB =SC suy ra SN BC, AH BC suy ra BC SA

Tương tự AC SB

Ta có

Tương tự ABSH

b/ Từ câu a Suy ra

c. Tính góc giữa SA và mặt phẳng (ABC).

Ta có suy ra AH là hình chiếu của AS lên (ABC)

Suy ra góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là góc giữa AH và SA

Vậy góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng 

trong đó   là góc sao cho

2/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, , SA = a, .

a. Tính số đo góc của BD và SC.

b. Gọi H là trung điểm của SC. Chứng minh rằng:

c. Tính số đo của góc SB và CD.

a/ Vì ABCD là hình thoi suy ra

AC là hình chiếu của SC lên (ACBD)

Suy ra góc giữa chúng bằng 900

b/ Ta có OH là đường trung bình của tam giác CSA suy ra HO // SA

mà

c/ CD//AB suy ra góc giữa SB và CD là góc giữa SB và AB

bằng 450 vì tam giác SAB là tam giác vuông cân tại A

3/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, , .

a. Chứng minh rằng: .

b. Tính góc giữa SC và (ABCD).

c. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng: .

d. Tính khoảng cách giữa SB và AC.

a/ Vì O là trong điểm của AC và BD; SA= SB =SC = SD Nên

b/ Ta có  suy ra OC là hình chiếu của SC lên (ACBD)

vì suy ra tam giác ACD là tam giác đều suy ra

.Vậy góc giữa SC và (ABCD) bằng 300

c/ Ta có

d/ Gọi H là hình chiếu của O lên SB

Ta có . Đoạn thẳng OH là đoạn

vuông góc chung của AC và SB

Ta có tam giác SOB là tam giác vuông cân tại O suy ra OH =

4/ Cho hình chóp S.ABC có đáy là cân tại A, đường cao AH là đường cao của tam giác ABC và AH= a, góc , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, . Goi K là hình chiếu vuông góc của A lên SH.

a. Chứng minh rằng: .

b. Tính góc giữa hai mặt phẳng: (SBC) và (ABC).

c. Tính khoảng cách giữa SA và BC.

a/  Ta có

HA là đường cao của tg ABC suy ra

K là hình chiếu của A lên SH suy ra

b/

Ta có AH là đoạn vuông góc chung của SA và BC vậy k/c giữa SA và BC bằng a

5/Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc , . Hình chiếu H của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của .

a. Chứng minh rằng: . Tính SH, SC.

b. Gọi là góc của (SBD) và (ABCD). Tính

c. Tính khoảng cách giữa DC và SA.

a/ Vì H là hình chiếu của S lên (BCD) suy ra SH BD

ABCD là hình thoi suy ra ACBD

ABCD là hình thoi cạnh a và góc nên tam giác ABD là

tam giác đều cạnh a.

b/ Ta có

6/ Cho hình chóp S.ABC có đáy là đều cạnh 2a, , SA = a. Gọi I là trung điểm của BC.

a. Chứng minh rằng:

b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)

a/ Ta có (1)

ABC là tam giác đều, I là trung điểm của BC nên AI BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC (SAI)

b/ Gọi H là hình chiếu của A lên (SBC)

Ta có

Xét tam giác vuông SAI có:

c/ Ta có:

7/ Cho hình chóp S.ABC, , đều. Gọi I là hình chiếu của S lên BC, H là hình chiếu của A lên SI và .

a. Chứng minh rằng: .

b. Tính góc giữa hai mặt phẳng: (SBC) và (ABC)

c. Tính khoảng cách giữa SA và BC.

a/ Ta có (1)

ABC là tam giác đều, I là trung điểm của BC nên AI BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC (SAI)

H là hình chiếu của A lên SI nên

b/

Trong đó  là góc sao cho tan = 2

c/ khoảng cách giữa SA và BC là độ dài đoạn AI =

ĐỀ 1

I. Phần chung: (7,0 điểm)

Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau: a)    b)

Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm :  

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau: a)   b)

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, đường cao SO = . Gọi I là trung điểm của SO.

 a) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD).

 b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD).

 c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD.

II. Phần riêng

 1. Theo chương trình Chuẩn

Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình : có ít nhất một nghiệm thuộc 1; 2.

Câu 6a: (2,0 điểm)  a) Cho hàm số . Chứng minh rằng: .