Sáng kiến kinh nghiệm toán thpt

SAÙNG KIEÁN KINH NGHIEÄM

SÖÛ DUÏNG PHÖÔNG PHAÙP

VEÙCTÔ VAØ TOÏA ÑOÄ

GIAÛI MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN SÔ CAÁP THÖÔØNG GAËP



                            Giaùo Vieân: Nguyeãn Ñöùc Naêng

LONG THAØNH, THAÙNG 12 NAÊM 2005

A. ÑAËT VAÁN ÑEÀ:

 Döïa vaøo phöông phaùp toaï ñoä do chính mình phaùt minh Descartes ñaõ saùng laäp ra moân hình hoïc giaûi tích .Qua ñoù cho pheùp chuùng ta nghieân cöùu hình hoïc baèng ngoân ngöõ ñaïi soá thay cho ngoân ngöõ hình hoïc.Vieäc naøy giuùp ta boû ñi thoùi quen tö duy cuï theå, tröïc quan, nhaèm ñaït tôùi ñænh cao cuûa söï khaùi quaùt hoaù vaø tröøu töôïng cuûa toaùn hoïc vaø nhieàu lónh vöïc khaùc.

           Trong daïy vaø hoïc toaùn vieäc löïa choïn coâng cuï phuø hôïp ñeå giaûi caùc baøi toaùn laø vieäc laøm raát caàn thieát, choïn ñöôïc coâng cuï thích hôïp taát nhieân lôøi giaûi seõ toát nhaát. Sau ñaây toâi xin trình baøy vieäc söû duïng“phöông phaùp vectô vaø toaï ñoä” ñeå giaûi moät soá baøi toaùn sô caáp ô’ phoå thoâng.

B. GIAÛI QUYEÁT VAÁN ÑEÀ

PHAÀN I: LYÙ THUYEÁT

I. HEÄ TRUÏC TOAÏ ÑOÄ DESCARTES VUOÂNG GOÙC TRONG MAËT PHAÚNG.

1.                Ñònh nghóa: Trong maët phaúng cho hai ñöôøng thaúng x’ox, y’oy vuoâng goùc vôùi nhau.Treân Ox, Oy laàn löôït choïn caùc veùc tô ñôn vò .Nhö vaäy ta coù moät heä truïc toaï ñoä Descartes vuoâng goùc Oxy.

2. Toaï ñoä cuûa moät ñieåm vaø cuûa moät veùc tô:  Cho ñieåm M trong mp Oxy. Haï MH vuoâng goùc x’Ox vaø MK vuoâng goùc y’Oy. Theo qui taéc hình bình haønh, ta coù:

                  Boä hai (x, y) ñöôïc hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi ñieåm M vaø ñöôïc goïi laø toaï ñoä cuûa                               ñieåm M, kyù hieäu M(x, y).

       Cho treân heä truïc. Khi ñoù toàn taïi duy nhaát moät ñieåm M sao cho . Goïi (x,y) laø toaï ñoä cuûa ñieåm M . Khi ñoù boä hai (x,y) goïi laø toaï ñoä cuûa veùc tô treân heä truïc Oxy vaø kyù hieäu laø = (x,y).

3. Caùc pheùp tính veùc tô :

Cho hai veùc tô vaø k laø moät soá thöïc.

                 Caùc pheùp tính veùc tô nhö pheùp coäng, pheùp tröø, pheùp nhaân moät soá vôùi moät veùctô, tích voâ höôùng hai veùc tô ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:

4. Caùc coâng thöùc veà löôïng :

Cho hai veùc tô vaø goïi laø goùc taïo bôûi hai veùctô ñoù 

khi vaø chæ khi vaø laø hai veùctô cuøng höôùng

Khoaûng caùch töø ñieåm M(x0, y0) ñeán ñöôøng thaúng (D):Ax +By +C = 0 laø :  

1. Phöông trình cuûa ñöôøng thaúng, ñöôøng troøn .

* Phöông trình cuûa ñöôøng thaúng (D) ñi qua ñieåm M(x0, y0) vaø nhaän veùctô laøm veùc tô phaùp tuyeán laø:

A(x – x0) + B(y – y0) = 0

                  * Phöông trình ñöôøng troøn taâm I (a, b) baùn kính R laø: (x – a)2 + (y – b)2 = R 2 

II.HEÄ TRUÏC TOAÏ ÑOÄ DESCARTES VUOÂNG GOÙC TRONG KHOÂNG GIAN.

1. Ñònh nghóa :

Trong khoâng gian cho ba ñöôøng thaúng x’ox, y’oy, z’Oz vuoâng goùc vôùi nhau ñoâi moät. Treân Ox, Oy, Oz laàn löôït choïn caùc veùc tô ñôn vò . Nhö vaäy ta coù moät heä truïc toaï ñoä Descartes vuoâng goùc Oxyz.

2. Toaï ñoä cuûa moät ñieåm vaø cuûa moät veùc tô.

Cho ñieåm M trong kh oâng gian Oxyz. Haï MH vuoâng goùc x’Ox, MK vuoâng goùc y’Oy vaø ML vuoâng goùc z’Oz. Theo qui taéc hình hoäp, ta coù :

Boä ba (x,y,z) ñöôïc hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi ñieåm M vaø ñöôïc goïi laø toaï ñoä cuûa ñieåm M, kyù hieäu M(x,y,z).

  Cho . Khi ñoù toàn taïi duy nhaát moät ñieåm M sao cho . Goïi (x,  y. z) laø toaï ñoä cuûa ñieåm M. Khi ñoù boä ba (x, y, z) goïi laø toaï ñoä cuûa veùc tô treân heä truïc Oxyz vaø kyù hieäu laø = (x,y,z).

3. Caùc pheùp tính veùc tô :

Cho hai veùc tô vaø k laø moät soá thöïc.

Caùc pheùp tính vectô nhö pheùp coäng, pheùp tröø, pheùp nhaân moät soá vôùi moät vectô, tích voâ höôùng, tích coù höôùng hai vectô ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:

1. Caùc coâng thöùc veà löôïng :

Cho hai vectô vaø goïi laø goùc taïo bôûi hai vectô ñoù

khi vaø ch æ khi vaø laø hai vectô cuøng höôùng

Cho (D) laø ñöôøng thaúng ñi qua A vaø coù vectô chæ phöông vaø ñieåm M. Giaû söû ta tính ñöôïc Khi ñoù khoaûng caùch töø ñieåm M ñeán ñöôøng thaúng (D) ñöôïc tính  laø :             

2. Phöông trình cuûa maët phaúng, ñöôøng thaúng vaø maët caàu.

1.    Phöông trình cuûa maët phaúng (P) ñi qua ñieåm M(x0,y0,z0) vaø coù caëp vectô chæ phöông  laø :

2.    Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (D) ñi qua ñieåm M(x0,y0,z0) v aø nhaän vectô laøm vectô chæ phöông laø:

       (t laø tham soá)

3. Phöông trình maët caàu  t aâm I (a, b,c) vaø coù baùn kính R laø :

  (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R 2 

PHAÀN II :       CAÙC BAØI TOAÙN

III. CAÙC BAØI TOAÙN GIAÛI BAÈNG PPTÑ TRONG MAËT PHAÚNG:

1. CAÙC BAØI TOAÙN ÑAÏI SOÁ:

 Baøi 1: Cho 4 soá thöïc x1, x2, x3,  x4.

 chöùng minh raèng (x12 +y12)(x22 +y22)(x1 x2+ y1 y2)2 

Giaûi:

 Treân maët phaúng toaï ñoä xeùt 2 vectô :

 Ta coù   

  vaäy (x12 +y12) (x22 +y22)(x1 x2+ y1 y2)2 

 ñaúng thöùc xaõy ra 

 Baøi 2: Chöùng minh raèng neáu x, y, z > 0 thì

Giaûi

Baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh töông ñöông vôùi:

 Xeùt 3 ñieåm

 (1)  AB + AC > BC

 Ta coù vôùi 3 ñieåm A, B, C  baát kyø  ôû ñaây

 Hai veùctô naøy khoâng theå ngöôïc höôùng (vì hoaønh ñoä cuøng aâm) do ñoù khoâng theå xaõy ra ñaúng thöùc AB + AC > BC.

 Vaäy baát ñaúng thöùc (1) ñöôïc chöùng minh.

     Baøi 3   Giaûi baát phöông trình:

                                                                  Giaûi

             Ñieàu kieän

             Xeùt maët phaúng toaï ñoä Oxy caùc vectô:

             Suy ra baát phöông trình (1) töông ñöông

             Vaäy x=5 laø nghieäm duy nhaát.                                    

Baøi 4

         Chöùng minh raèng:    

Giaûi

  Trong maët phaúng toaï ñoä Oxy, caùc vectô:

Khi ñoù, töø

Baøi 5 Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá:

Giaûi

Trong maët phaúng toaï ñoä xeùt caùc veùctô:

Khi ñoù :   

töø               

<=>

Daáu “=” xaûy ra (chaúng haïn) taïi

Vaäy miny=5

Baøi 6 : T ìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc

Gi aûi

 Ta c où  

 Treân mp toaï ñoä laáy hai ñieåm A(p, q) : B(q,q). Baøi toaùn trôû thaønh: Tìm M(x,0) thuoäc Ox sao cho (MA +MB) ñaït giaù trò nhoû nhaát.

 Xeùt hai tröôøng hôïp:

- Neáu pq <0 thì A hoaëc B truøng O, hoaëc A,B naèm veà hai phía ñoái vôùi O .Khi ñoù (MA + MB) nhoû nhaát M truøng O, töùc laø ñaït ñöôïc khi x = 0

- Neáu pq >0 thì A, B naèm cuøng phía ñoái vôùi O (ñoàng thôøi naèm cuøng phía ñoái vôùi Ox). Laáy A’ ñoái xöùng vôùi A qua Ox ta coù A’(p, -p), ñoàng thôøi :

Ñaúng thöùc xaõy ra A’, M, B thaúng haøng

 ñaït ñöôïc khi x = 2pq/(p+q)

Baøi 7   Giaûi phöông trình:

                                                          Giaûi

             Trong maët phaúng toaï ñoä Oxy xeùt caùc vectô:

           Suy ra phöông trình (1) töông ñöông:

          Vaäy phöông trình (1) coù nghieäm duy nhaát 

Baøi 8:Tìm m ñeå phöông trình sau coù nghieäm

Giaûi

 Ñaët 

 Phöông trình ñaõ cho trôû thaønh

 - Phöông trình (1) bieåu thò 1 ñöôøng thaúng  thay ñoåi song song vôùi ñöôøng phaân giaùc thöù hai, phöông trình (2) bieåu dieãn 1 ñöôøng troøn coù taâm taïi goùc toaï ñoä vaø baùn kính  = 3

    Heä coù nghieäm khi vaø chæ khi ñöôøng thaúng (1) vaø ñöôøng troøn (2) coù ñieåm chung thoaû ñieàu kieän (3).

Vaäy Pt coù nghieäm khi 

Baøi 9: Chöùng minh raèng:

                    (Höôùng daãn)

                     Xeùt hai vectô

Baøi 10: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá :

                                             treân   

                      (Höôùng daãn)

                     Xeùt hai vectô

1. CAÙC BAØI TOAÙN HÌNH HOÏC :

Baøi 1: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, caùc caïnh goùc vuoâng laø bvaø c, M laø moät ñieåm treân caïnh BC sao cho goùc BAM = . Chöùng minh raèng:

   AM =

Giaûi

 Choïn heä truïc toaï ñoä nhö hình veõ Khi ñoù A(0,0) , B(b,0), C(0,c) , M9x,y)

Töø ñònh nghóa: x = AM cos, y = AM sin.

 Neân M(AM cos, AM sin)

Do M thuoäc BC cuøng phöông v ôùi

     Baøi 2: Cho tam giaùc ABC coù ñoä daøi caùc trung tuyeán va ñoä daøi baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp laàn löôït laø

Chöùng minh:

                                                                    (Ñaïi hoïc y döôïc TPHCM naêm2000)

                                                                Giaûi

             Goïi O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giac ABC.Ta coù:

             Do ñoù theo baát ñaúng thöùc Bunhiacopski:

                                              Daáu”=” xaûy ra khi tam giaùc ABC ñeàu.

Baøi 3: (SGK HH 10)

Cho tam giaùc ABC caân taïi A. Goïi H laø trung ñieåm cuûa BC, D laø hình chieáu cuûa H treân AC , M laø trung ñieåm cuûa HD. Chöùng minh AM vuoâng goùc BD.

Giaûi

           Choïn heä truïc toaï ñoä nhö hình veõ

Khi ñoù: H(0,0), A(0,a), B(-c,0), D(x,y)