SKKN ĐỊNH LÍ VI_ÉT

1. MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn sáng kiến

Trong những năm trước, khi dạy học sinh giải toán 9, tôi thấy các em rất lúng túng khi vận dụng hệ thức Vi-et để giải bài tập. Các em không biết cách trình bày, không định hướng được các dạng toán nào có thể vận dụng, không hệ thống được các dạng toán và phương pháp giải cho từng dạng bài tập. Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các em học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậc hai. Góp phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển. Đó là lý do tôi chọn nghiên cứu “Vận dụng hệ thức Vi-ét trong Toán học 9”.

 2. Mục tiêu của sáng kiến

Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh THCS. Từ đó các em có thể làm tốt các bài toán bậc hai trong các kỳ thi tuyển.

Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, không chỉ bài toán bậc hai mà cả các dạng toán khác.

3. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:

Nghiên cứu 30 học sinh đang học lớp 9B năm học 2018 – 2019 tại trường THCS xã Hoàng Việt – Văn Lãng – Lạng Sơn.

Nghiên cứu các ứng dụng của hệ thức Vi-ét, trong môn đại số lớp 9, tìm hiểu các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét.

2. CƠ SỞ LÝ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN

1. Cơ sở lý luận

Mục tiêu của giáo dục THCS theo điều 23 Luật giáo dục là “Nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục tiểu học, có trình độ học vấn THCS và những hiểu biết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động”.

2. Cơ sở thực tiễn:

Nội dung chương trình THCS mới được thiết kế theo hướng giảm chương tính lý thuyết hàm luân, tăng tính thực tiễn, thực hành bảo đảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học trên lớp, tăng thời gian tự học và hoạt động ngoại khóa.

Trong chương trình lớp 9, học sinh được học 2 tiết:

- 1 tiết lý thuyết : học sinh được học định lý Vi-ét và ứng dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, lập phương trình bậc hai và tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

- 1 tiết luyện tập: học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết vừa học.

Theo chương trình trên, học sinh được học Định lý Vi-ét nhưng không có nhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm và vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt. Là giáo viên ta cần phải bồi dưỡng và hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần này.

1. NỘI DUNG SÁNG KIẾN

1. Nội dung và những kết quả nghiên cứu của sáng kiến

Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến

+ Về cơ sở vật chất phục vụ cho việc vận dụng hệ thức Vi-ét được đảm bảo, giáo viên được giảng dạy theo đúng chuyên môn nghiệp vụ, có khả năng ứng dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy cũng như tra cứu các tài liệu tham khảo trên Internet.

+ Thư viện nhà trường cần có nhiều tài liệu nghiên cứu, sách nâng cao, sách chuyên đề, sách tham khảo liên quan đến môn Toán 9 để phục vụ cho việc giảng dạy của giáo viên và học tập của học sinh.

Các giải pháp đã áp dụng

1.1. Giải pháp 1: Hệ thống hóa kiến thức cơ bản và cung cấp cho học sinh

 Lí thuyết là vấn đề học sinh ít coi trọng, HS luôn suy nghĩ học toán là chỉ cần biết tính toán là đủ, mà tính toán thì đã có máy tính, vì vậy phần lí thuyết bị sao nhãng, thậm chí bị HS bỏ quên. Chính vì vậy trong giờ học chính khóa cũng như tiết ôn tập phụ đạo trước khi làm bài tập tôi thường cùng HS nhắc lại kiến thức cơ bản cần vận dụng, hướng dẫn HS cách nhớ kiến thức dễ dàng nhất, yêu cầu HS nắm và vận dụng được kiến thức. Để vận dụng được định lí Vi-ét trong các bài tập HS cần nắm được các kiến thức cơ bản sau:

1. Định nghĩa và cách giải phương trình bậc hai một ẩn.

a./ Định nghĩa : Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng

ax2 + bx + c = 0 ( a 0 )

b./ Cách giải .

Nếu b = c = 0 phương trình có nghiệm x = 0.

Nếu c = 0 , b 0 ta có phương trình ax2 + bx = 0 x = 0 hoặc x =

Nếu b = 0 , c 0 ta có phương trình ax2 + c = 0

- Nếu phương trình có nghiệm x =

- Nếu phương trình vô nghiệm.

Nếu b 0 và c 0 ta có công thức nghiệm : = b2 – 4ac (’ = b’2 – ac,

b’ = nếu b chẵn )

- Nếu  < 0 (’ < 0 ) phương trình vô nghiệm .

- Nếu  = 0 (’ = 0 ) phương trình có nghiệm kép (hoặc )

- Nếu  > 0 (’ > 0 ) phương trình có hai nghiệm phân biệt

 ( )

2. Tính nhẩm nghiệm.

a. Nếu  a + b + c = 0  thì phương trình ax + bx + c = 0  ( a 0 ) có các nghiệm số là   .

b. Nếu  a - b + c = 0  thì phương trình ax + bx + c = 0  ( a 0 ) có các nghiệm số là  .

3. Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng

          Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P  thì  u và v là 2 nghiệm của phương trình bậc hai : .

4. Định lí Vi-ét

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0  ( a 0 ) thì

1.2. Giải pháp 2: Phân loại dạng toán, tìm ra phương pháp giải cụ thể cho từng dạng toán vận dụng định lí Vi-ét.

 Để truyền thụ đến HS dễ dàng, giúp HS tránh được sự nhầm lẫn giữa các dạng toán tôi đã phân loại toán vận dụng định lí Vi-ét thành bốn dạng, đưa ra phương pháp giải cho từng dạng và hướng dẫn HS qua ví dụ cụ thể, cho HS tự rèn luyện khắc sâu cách giải qua các bài tập tương tự trong giờ học.

Dạng 1: Loại toán xét dấu nghiệm của phương trình mà không giải phương trình.

Phương pháp:

Dùng định lý Vi-ét ta có thể xét dấu các nghiệm phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) dựa trên kết quả:

* Nếu  phương trình có 2 nghiệm trái dấu x1 < 0 < x2 

* Nếu  phương trình có 2 nghiệm cùng dấu.

* Nếu  phương trình có 2 nghiệm dương 0 < x1  x2

* Nếu  phương trình có 2 nghiệm âm: x1  x2 < 0

Các bài tập ví dụ.

Bài tập 1: Không giải phương trình cho biết dấu các nghiệm ?

a. ;  b. ;  

                                                       Giải

a. Theo hệ thức Vi-ét có  S = ; P =

    Vì P > 0  nên 2 nghiệm x và x cùng dấu; S > 0  nên 2 nghiệm cùng dấu dương

b. Theo hệ thức Viét có   P = nên 2 nghiệm cùng dấu

    S = nên 2 nghiệm cùng dấu âm

Bài tập 2 : Cho phương trình   (1)

Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m0. Nghiệm mang dấu nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?

Giải

Ta có a = 1 > 0 , c = - m< 0  với mọi  m 0

Vì a , c trái dấu nên phương trình  (1) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt. Theo hệ thức  Vi - ét :  P = < 0  . Do đó và trái dấu

S = nên nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn

 Dạng 2: Loại toán tính giá trị biểu thức chứa tổng, tích 2 nghiệm

Phương pháp :

Dựa vào định lí vi-ét để tính tổng và tích của hai nghiệm sau đó thay tổng và tích vừa tìm được vào biểu thức đầu bài để tìm ra kết quả bài toán.

C¸c bµi tập vÝ dô:

Bài tập 1:  Cho phương trình :     

a. Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m

b. Gọi 2 nghiệm là x và x tìm giá trị của m để  đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải:

   a. Ta có a = 1 > 0

    a, c trái dấu nên phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi tham số m

Theo hệ thức Vi ét       P = do đó 2 nghiệm trái dấu

b.  Ta có 

                                     =

Vậy Min   khi  m =

 Bài tập 2: Cho phương trình 

 Tìm giá trị dương của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia

  Giải : Ta có a  = 2  > 0

 Phương trình có 2 nghiệm trái dấu

 Với điều kiện này  giả sử x< 0 ,x > 0 theo đề bài ta có:

 Vì  m > 0 nên ta chọn     m =  ( thoả mãn điều kiện  )

Kết luận: Vậy với m = thì phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng ngịch đảo của nghiệm kia.

 Dạng 3: Loại toán tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Phương pháp :

Ta thiÕt lËp 1 ph­¬ng tr×nh bËc 2 nhËn c¸c sè x1; x2 lµ c¸c nghiÖm dùa trªn c¬ së (§Þnh lý Viet).

NÕu x1 + x2 = S ; x1.x­2 =p th× x1, x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh

 x2 - Sx + P = 0 (S2 - 4P  0)

Bµi tập vÝ dô:

Bài tập 1 : Tìm hai số x, y biết

a. x + y = 11 và xy = 28 ;   

b.  x – y = 5 và xy = 66

                                                          Giải :

 a. Với   x + y = 11 và xy = 28 theo kết quả hệ thức Vi ét x ,y là nghiệm của phương trình   x - 11x + 28 = 0 ; = 121 – 112 = 9 > 0

   Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là

 = 4;    Vậy x = 7 thì  y = 4;        x = 4 thì y = 7

 b. Ta có  

có x , y là nghiệm của phương trình  x - 5x - 66 = 0

  = 25 + 264 = 289 > 0  , = 17

 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là

 Vậy x = 11 thì y = - 6  còn x = - 6 thì y = 11

 Bài tập 2: Tìm hai số x y biết    x + y = 25 và xy = 12

 Giải : Ta có x + y = 25 <=> (x + y ) - 2xy = 25

                                         <=>  (x + y )- 2.12 = 25

                                              (x + y ) = 49  <=> x +y = 7

 *) Trường hợp  x + y =  7 và xy =12

 Ta có  x và y là nghiệm của phương trình    x - 7x +12 = 0

  = 49 – 4.12 = 1

 *) Trường hợp   x + y = - 7 và xy =12

 Ta có  x và y là nghiệm của phương trình    x +7x +12 = 0

 Giải phương trình ta được x = -3 ; x= - 4

các cặp số x, y cần tìm là (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- 4 ; - 3) ; ( -3 ; -4)

 Dạng 4: Loại toán tìm biểu thức liên hệ giữa tổng tích 2 nghiệm không phụ thuộc tham số:  

Phương pháp: Để tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số trong 1 phương trình bậc 2 (Giả sử tham số là m) ta có thể thực hiện theo các bước sau:

- Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 là:

- Áp dụng hệ thức Vi-ét ta được  (*)

 - Khi m từ hệ (*) ta được hệ thức cần tìm (Sử dụng phép thế hoặc cộng)

Bài tập vÝ dô:

Bài tập 3: Cho phương trình   x- ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm

 a. Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức  

 b. Tìm a để tổng các bình phương 2 nghiệm số đạt GTNN ?

Giải 

 a.

 Theo hệ thức Vi ét có

 Vậy 

                  (ĐK  : )

 b. Ta có      (1)

                  (2)

 Trừ  2 vế của (1) cho (2) ta có  , đây là biểu thức liên hệ giữa xvà  x không phụ thuộc vào a.

 1.3. Giải pháp 3: Đưa ra và hướng dẫn HS một số bài tập tương tự

 Bài tập 1.   

 Cho phương trình x - mx +1 = 0  ( m là tham số )

a. Giải phương trình trên khi m = 5

b. Với m = , giả sử phương trình đã cho khi đó có 2 nghiệm là 

   Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức