SKKN phương trình lượng giác

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

PHẦN THỨ NHẤT: MỞ ĐẦU

Toán học là môn khoa học tự nhiên gây nhiều hứng thú cho học sinh, là môn học rất quan trọng không thể thiếu trong quá trình học tập của học sinh. Trong các môn học ở trường phổ thông, Toán được xem là môn cơ bản, là nền tảng để các em học sinh học tập và tiếp thu một số môn học khác. Tuy nhiên để học sinh học tập tốt môn Toán thì giáo viên cung cấp đầy đủ lượng kiến thức cơ bản cần thiết cho học sinh, cần đổi mới các phương pháp dạy học, làm cho các em trở nên yêu thích môn Toán hơn, vì có yêu thích nên các em mới dành nhiều thời gian cho việc học toán, từ đó kích thích tính tự học và sáng tạo của học sinh trong việc học toán và giành thời gian hợp lý đảm bảo yêu cầu học tập của học sinh trong thời đại mới.

1.    Lý do chọn đề tài

Toán học 11 tiếp nối chương trình Toán 10 bắt đầu từ phần “Lượng giác”. Việc học phần phương trình lượng giác của lớp 11 gây khó khăn không nhỏ cho học sinh vì học sinh không năm trắc công thức lượng gián nên khả năng vận dụng công thức cực kỳ hạn chế đó là một trong những lí do tôi chọn sáng kiến kinh nghiệm trên

1, Cơ sở lý luận:

- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của ngành giáo dục ở bậc phổ thông trung học.

- Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh hệ phổ thông trung học trong việc học tập bộ môn Đại số và giải tích 11.

- Kinh nghiệm giảng dạy của một số nhà Toán học trình bày trong các tài liệu.

- Cách giải phương trình lượng giác cơ bản và thường gặp đã nêu trong sách giáo khoa lớp 11(cơ bản và nâng cao)

- Chuẩn kiến thức kỹ năng trong chương trình toán 11

2, Cơ sở thực tiễn

- Khả năng vận dụng linh hoạt công thức lượng giác của học sinh còn yếu

- Khả năng nhận dạng phương trình lượng giác của học sinh còn hạn chế

- Những thuận lợi và khó khăn trong quá trình giảng dạy bộ môn Đại só và giải tích và nhất là phần phương trình lượng giác

II. Mục đích nghiên cứu:

-         Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy

-         Nhằm tạo ra tư liệu cho học sinh tự rèn luyện và ôn thi

III. Nhiệm vụ và giới hạn của đề tài nghiên cứu:

1, Nhiệm vụ:  Những nội dung chính của phần phương trình lượng giác:

- Phương trình lượng giác cơ bản:

+ Phương trình: sinx = a    + Phương trình: cosx = a

+ Phương trình: tanx = a    + Phương trình: cotx = a

- Một só phương trình lượng giác thường gặp:

+ Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

+ Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

+ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

- Áp dụng để giải các phương trình lượng giác khác và giới thiệu sơ lược về hệ phương trình lượng giác một ẩn.

2, Yêu cầu:

- Học sinh nắm rõ các công thức biến đổi về lượng giác ở lớp 10 đã học.

+ Công thức cộng.

+ Công thức nhân đôi.

+ Công thức biến đổi tích thành tổng và biến đổi tổng thành tích.

- Nhớ công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

- Biết phân biệt các dạng phương trình lượng giác cơ bản.

- Nắm phương pháp chung để giải các phương trình.

- Biết kết hợp nghiệm.

IV. Đối tượng nghiên cứu:   Học sinh khối 11 bậc phổ thông trung học.

V. Phương pháp nghiên cứu:

- Tham khảo các tài liệu.

Sách giáo khoa 11 cơ bản và nâng cao(Nhà xuất bản giáo dục)

Chuẩn kiến thức kỹ năng(Nhà xuất bản giáo dục)

Sách giáo khoa 11(chỉnh lí hợp nhất năm 2000) (Nhà xuất bản giáo dục)

Giải toán lượng giác 10 đành cho các lớp chuyên(Nhà xuất bản giáo dục)

- Tham gia đầy đủ các lớp học bồi dưỡng do Sở giáo dục tổ chức( Nếu có điều kiện ), các buổi sinh hoạt tổ, nhóm chuyên môn.

VI. Thời gian nghiên cứu:

- Trong quá trình được phân công giảng dạy khối 11 bậc phổ thông trung học.

PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG

A Thực trạng nảy sinh sáng kiến kinh nghiệm

1. Đặc điểm tình hình lớp:

- Trà Cú là một huyện khó khăn, số lượng học sinh dân tôc chiếm tỉ lệ khá cao, nhiều học sinh có hoàn cảnh khó khăn cả về vật chất lẫn tinh thần do đó việc đầu tư về thời gian và sách vở cho học tập còn hạn chế gây ảnh hưởng không nhỏ đến việc nhận thức và phát triên năng lực học toán của các em. Sau khi nhận lớp tôi tìm hiểu và nhận thấy việc nhận thức của các em học sinh không đồng đều về mặt kiến thức cũng như về kĩ năng tính toán, kĩ năng giải toán do đó gây khó khăn nhiều cho giáo viên trong việc lựa chọn phương pháp dạy sao cho phù hợp với từng đối tượng hoc sinh.

a. Kết quả khảo sát đầu năm học

Lớp	Sĩ số	Giỏi		Khá		Trung Bình		Yếu		Kém
		SL	%	SL	%	SL	%	SL	%	SL	%
11A5	30	2	6,7	2	6,7	8	26.7	12	40	6	19.9
11A6	29	2	7	3	10,3	7	24.1	13	44,8	4	13,8

b. Nguyên nhân

* Nguyên nhân khách quan

- Sau ba tháng nghỉ hè kiến thức cũ của học sinh mai một nhiều

- Phân phối chương trình Toán 11 không có tiết ôn tập đầu năm số tiết học Toán giảm nhiều so với chương trình cũ

* Nguyên nhân chủ  quan

- Đa số các em học sinh chưa có đông cơ học tập đúng đắn, chỉ biết trong chờ vào người khác.

- Chưa phát huy được tính tự học, tự rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo trong việc học toán nói riêng và học tập nói chung .

- Chưa có phương pháp học để khắc sâu kiến thức để từ đó vận dụng kiến thức một cách linh hoạt vào việc giải toán, kĩ năng tính toán, kĩ năng giải phương trình lượng giác ...quá yếu.

c. Các giải pháp thực hiện

Muốn đạt được kết quả cao trong việc học toán nhất là chương “Lương giác” đòi hỏi học sinh cần nắm vững  kiến thức từ thấp đến cao, phải học toán thường xuyên liên tục, biết quan sát bài toán và định hướng được phương pháp giải, biết vận dụng và kết nối các chuỗi kiến thức đã học để từ đó tiếp thu dể dàng hơn, thuận lợi hơn trong quá trình giải toán góp phần triệt để đổi mới chương trình bộ môn Toán của trung học phổ thông. Trong yêu cầu đổi mới chương trình và phương pháp giảng dạy Toán ở trường THPT với phương trâm “lấy học sinh làm trung tâm” kết hợp với kết quả khảo sát đầu năm học Trong chuyên đề nay tôi đưa ra giải pháp chính là: hệ thống lại “Các công thức lượng giác liên quan, Công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cư bản và phương pháp giải các phương trình lượng giác thường gặp đồng thời nêu lên hướng mở rộng, nâng cao” đảm bảo cho tính liên tục và tính thực tiễn thuận lợi cho học sinh trong việc học, rèn luyên và ôn tập

B, Các kiến thức có liên quan:

1. Công thức cộng:

 cos(a  b) = cosa cosb + sina sinb   cos(a + b) = cosa cosb  sina sinb      

 sin(a  b) =  sina cosb  cosa sinb     sin(a + b) =  sina cosb + cosa sinb    

                                     

2. Công thức nhân đôi:

 cos2a =  cos2a  sin2a  = 2cos2a  1 = 1  2sin2a  

 sin2a = 2sinacosa        

3. Công thức hạ bậc:

            

4. Công thức biến đổi tích thành tổng:

    

    

5. Công thức biến đổi tổng thành tích:  

     

             

6. Một số cung liên quan đặc biệt

Cung đối:(cos đối)		Cung bù: (sin bù)
Cung phụ:(phụ chéo)		Cung khác : (khác tang)

C, Nội dung: 

I, Phương trình lượng giác cơ bản:

1. Lý thuyết:

a. Phương trình: sin x = a

*/  Khi phương trình trên vô nghiệm

*/  Khi: ta có:   

   Hay:   

Đặc biệt: 

sin x = 0  x = k,                      k  Z

b. Phương trình:  cosx = a

*/  Khi phương trình trên vô nghiệm

*/  Khi: ta có:   cosx = a  x =   + k2,           k  Z

                   Hay:  cosx = a  x =  arccos a + k2, k  Z

Đặc biệt: cosx = 1    x =  k2      , k  Z

cosx = 1   x =  + k2, k  Z

c. Phương trình:    tan x = a = tanα   x =  + k,           k  Z   (Điều kiện: )

                      Hay   tan x = a  x = arctan a + k, k  Z

d. Phương trình:    cot x = a = cot α   x =  + k,           k  Z  (Điều kiện: )

                  Hay cot x = a  x = arccot a + k, k  Z

2. Bài tập áp dụng:

Bài tập1: Giải các phương trình sau:

        

                                         

Chú ý:  Khi giải cần lưu ý khi nào dùng đơn vị Radian, khi nào dùng đơn vị độ, không được dùng cả hai đơn vị đó trong một phương trình .

Bài tập 2: Gải các phương trình sau:

với

với

với       

Chú ý: Với dạng bài 2 sau khi giải phương trình xong cần tìm nghiệm phù hợp với yêu cầu của bài toán

Bài tập 3: Giải các phương trình sau:

                                 

         

Chú ý: Các câu: b, c, d cần biến đổi về cùng hàm số lượng giác ( dùng công thức 2 góc phụ nhau) đồng thời kiểm tra lại với điều kiện câu c (nếu có)

Bài tập 4: Giải các phương trình sau:

                                    

                                                      

Chú ý: Cần chọn phương pháp phù hợp để giải phương trình một cách nhanh nhất

Cụ thể câu a: đưa về phương trình tích

Câu b. d: có thể dùng công thức hạ bậc

Câu c sử dụng công thức lượng giác và cung phụ hoặc công thức cộng

II, Một số phương trình lượng giác thường gặp:

1. Lý thuyết:

a, Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:

Dạng : at + b = 0  (1)

Trong đó a, b là các hằng số (a0), t là một trong các hàm số lượng giác

Cách giải: Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình (1) cho a, ta đưa phương trình về dạng cơ bản.

b, Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

Dạng : at + bt + c = 0

Trong đó a, b, c, là các hằng số (a0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

Cách giải: Giải phương trình bậc hai tìm t từ đó ta tìm được x

c. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

Dạng: asinx + bcosx = c (1)           

Với a, b, c  R;  (a +  b  0)

Cách giải:

Đặt      ta được phương trình:

  

Phương trình trên là phương trình lượng giác cơ bản.

Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là: a2 + b2 ≥ c2

2. Bài tập áp dụng:

Bài tập1: Giải các phương trình sau:

                                                  

                                  

Lưu ý:

-         Nếu cần đặt t = sin x hoặc t = cos x thì có điều kiện

-         Nếu cần đặt t = tan x hoặc t = cot x thì không cần điều kiện của t

-         Tùy vào bài toán cụ thể để có điều kiện thích hợp

Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

    

    

Chú ý:  Tùy từng bài có thể đặt theo lý thuyết nhưng có một số bài lại không nên dập khuôn quá máy móc nên tìm cách giải phù hợp đối với từng loại bài ( cụ thể như câu b, c).

III, Một số phương trình lượng giác khác:

1. Một số phương trình lượng giác giải dựa vào phương trình lượng giác thường gặp

a. Phương trình đối xứng theo sin x và cos x

dạng a(sinxcosx) + bsinxcosx + c = 0  (2)

cách giải: Đặt t = sinxcosx (*)   với

Chú ý:   ta luôn có:      

thay vào pt(2) tìm t sau đó tìm x khi ta giải phương trình (*)

b. Phương trình đẳng cấp bậc hai theo sinx và cosx

Dạng a.sin2x +b.sinx.cosx + c.cos2x = 0  (3)

Cách giải: Để giải được các phương trình trên ta có hai cách thực hiện

Cách 1: Sử dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi rồi đưa về phương trình bậc nhất theo sin x và cos x dạng: asin x + bcos x = c (1)

Cách 2: Ta thực hiện theo 2 bước sau:

Bước 1: Kiểm tra điều kiện: cosx 0 (hay sinx 0)

Bước 2: Chia 2 vế cho cosx (hay sinx) để đưa về phương trình bậc hai đối với tanx ( hay cotx)

Tùy từng bài để có cách giải phù hợp

*. Các bài tập áp dụng

Bài tập 1:Giải các phương trình sau:

  

  

Bài tập 2:  Giải các phương trình sau:

  

  

Bài tập 3: Giải các phương trình sau:

                   (1)               (2)

            (3)        (4)

   (5)                  (6)

Chú ý: Với bài tập a, b, c. d,  f  cần biến đổi về phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác bài tập e là phương trinh đẳng cấp bậc 3 theo sin x và cos x

2. Một số phương trình lượng giác khác

a. Cách giải chung:

+ Dùng các công thức biến đổi về các phương trình đã biết

+ Đưa về phương trình tích.

+ Áp dụng một số tính chất đặc biệt trong biến đổi đại số

+ Áp dụng tính chất: 

+ Áp dụng tính chất: 

+ Áp dụng tính chất: 

b. Ví dụ áp dụng:

Bài tập 1: Giải các phương trình:

a) cosxcos7x = cos3xcos5x                (1)   b) sin2x + sin4x = sin6x         (2)

c)       (3)  d)       (4)

Chú ý: Dùng các công thức biến đổi tích về tổng, tổng về tích, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc và sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác.

Giải:

1) 

            

Câu 2 , 3 giải tương tự

Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

  

  

Giải tương tự như bài tập 1

Bài tập 3: Giải các phương trình sau:

  

Cách giải: Dùng công thức hạ bậc để biến đổi

Bài tâp 4: Giải các phương trình sau:

   

Chú ý: Với dạng bài tập 4 cần phải có điều kiện

Bài tập 5: Giải các phương trình sau:

    

Lưu ý: câu a là dạng của pt bậc nhất theo sin x và cos x

Câu b và c đặt nhân tử chung hoặc đưa về pt bậc 3 theo sin x

IV, Áp dụng vào giải hệ phương trình lượng giác một ẩn:

1. Cách giải:

* Cách 1: Giải từng phương trình trong hệ rồi tìm nghiệm chung của các phương trình đó.

* Cách 2: Giải một phương trình đơn giản nhất của hệ rồi thay nghiệm tìm được vào các phương trình còn lại để tìm nghiệm của hệ.

2. Ví dụ áp dụng:

Bài tập 1: Giải các phương hệ trình sau:

a)    b)   c)

Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

a)          b)  c) 

Tóm lại: các phương trình lượng giác rất đa dạng về cách giải, mỗi cách giải phụ thuộc vào tính vận dụng các công thức lượng giác của học sinh qua chuyên đề đòi hỏi học sinh phải thuộc các công thức lượng giác và vận dụng linh hoạt chúng vào cách giải

D. Bài tập đề nghị: 

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a)   b)

c)      d)

e)    f)

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a)       b)

Bài 3: Giải các phương trình sau
a)   b)
c)

Bài 4: Giải các phương trình sau
a)     b)
c)  d)
e)

Bài 4: Giải các phương trình sau
a)    b)

Bài 5: Giải các phương trình:
a) .   b) .
c)    d)

Bài 6: Giải các phương trình:
a)     c)  
b)    d)

E. Kết quả đạt được   Sau khi áp dụng sáng kiến tôi thu được kết quả cụ thể như sau

Lớp	Sĩ số	Giỏi		Khá		Trung Bình		Yếu		Kém
		SL	%	SL	%	SL	%	SL	%	SL	%
11A5	30	6	20	7	23,3	8	26,7	8	26,7	1	3.3
11A6	29	6	20,7	8	27,6	9	31	5	17,2	1	3,5

PHẦN THỨ  BA: KẾT LUẬN

1. Ý nghĩa của đề tài đố với công tác giảng dạy , học tập.

- Tạo được sự hưng phấn và tự tin hơn cho giáo viên khi lên lớp.

- Tạo được nền tảng vững chắc hơn cho các em học tốt ở các lớp tiếp theo.

- Giúp cho giáo viên nắm vững được tùng đối tượng học sinh để từ đó  lựa chọn được những phương pháp giảng dạy  phù hợp với từng đối tượng học sinh .

2. Khả năng áp dụng: Áp dụng cho toàn khối 11 cơ bản và nâng cao

3.Bài học kinh nghiệm và hướng phát triển.

a. Đối với giáo viên.

+ Nhắc lại các công thức biến đổi đã học ở lớp 10.

+ Nêu các công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

+ Nêu phương pháp chung để giải từng loại bài tập.

+ Sau khi giải phương trình xong cần hướng dẫn học sinh cách kết hợp nghiệm của phương trình.

b. Đối với học sinh.

+ Học sinh phải thật sự nỗ lực, kiên trì vượt khó, phải có óc tư duy sáng tạo để nắm vững đặc thù của từng dạng phương trình và đề ra phương pháp giải cho phù hợp.

+ Phải thường xuyên rèn luyện kĩ năng tính toán, kĩ năng kết hợp nghiệm .

4. Đề xuất, kiến nghị :

Tập Sơn ngày 31 tháng 12 năm 2012

Duyệt của tổ trưởng      Giáo viên

       

 

                                                                                                                  Đinh Văn Thắng

Nguyễn Thanh Lâm