SKKN: Ứng dụng hệ thức Viet trong giải toán

 

1. PhÇn më ®Çu.

1. lý do chän ®Ò tµi.

Trong ch­¬ng tr×nh s¸ch gi¸o khoa míi To¸n líp 9 THCS, häc sinh ®­îc lµm quen víi ph­¬ng tr×nh bËc hai: C«ng thøc tÝnh nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai, ®Æc biÖt lµ ®Þnh lý ViÐt vµ øng dông cña nã trong viÖc gi¶i to¸n.

Song qua viÖc gi¶ng d¹y To¸n 9 t¹i tr­êng T.H.C.S  t«i nhËn thÊy c¸c em vËn dông hÖ thøc ViÐt vµo gi¶i to¸n ch­a thËt linh ho¹t, ch­a biÕt khai th¸c vµ sö dông hÖ thøc ViÐt vµo gi¶i nhiÒu lo¹i bµi to¸n, trong khi ®ã hÖ thøc ViÐt cã tÝnh øng dông rÊt réng r·i trong viÖc gi¶i to¸n.

§øng tr­íc vÊn ®Ò ®ã, t«i ®i s©u vµo nghiªn cøu ®Ò tµi: “¸p dông ®Þnh lý ViÐt trong viÖc gi¶i to¸n mét sè bµi to¸n” víi mong muèn gióp cho häc sinh n¾m v÷ng vµ sö dông thµnh th¹o ®Þnh lý ViÐt, ®ång thêi lµm t¨ng kh¶ n¨ng, n¨ng lùc häc to¸n vµ kÝch thÝch høng thó häc tËp cña häc sinh.

 

2. ®èi t­îng vµ ph¹m vi  nghiªn cøu.

Trong ®Ò tµi nµy, t«i chØ ®­a ra nghiªn cøu mét sè øng dông cña ®Þnh lý ViÐt trong viÖc gi¶i mét sè bµi to¸n th­êng gÆp ë cÊp T.H.C.S. Do ®ã chØ ®Ò cËp ®Õn mét sè lo¹i bµi to¸n ®ã lµ:

a) øng dông cña ®Þnh lý ViÐt trong gi¶i to¸n t×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó bµi to¸n tho¶ m·n c¸c yªu cÇu ®Æt ra

b) øng dông cña ®Þnh lý trong gi¶i bµi to¸n lËp ph­¬ng tr×nh bËc hai mét Èn, t×m hÖ sè cña ph­¬ng tr×nh bËc hai mét Èn.

c) øng dông cña ®Þnh lý ViÐt trong gi¶i to¸n chøng minh.

d) ¸p dông ®Þnh lý ViÐt gi¶i ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh.

e) §Þnh lý ViÐt víi bµi to¸n cùc trÞ.

 

3.t×nh h×nh thùc tÕ cña häc sinh líp 9 tr­êng thcs minh nghÜa:

§a sè häc sinh khèi 9 lµ con em c¸c gia ®×nh thuÇn n«ng nªn ngoµi thêi gian häc trªn líp nhiÒu häc sinh lµ lao ®éng chÝnh cña gia ®×nh do ®ã c¸c em giµnh nhiÒu thêi gian cho viÖc gióp gia ®×nh lµm kinh tÕ nªn giµnh rÊt Ýt thêi gian cho viÖc häc.

MÆt kh¸c mét sè häc sinh coi nhÑ, xem th­êng viÖc häc, l­êi häc dÉn ®Õn viÖc hæng kiÕn thøc ë c¸c líp d­íi vµ kh«ng n¾m v÷ng kiÕn thøc trªn líp. NhiÒu häc sinh rÊt h¹n chÕ vÒ kh¶ n¨ng sö dông ng«n ng÷ to¸n häc , kh¶ n¨ng tr×nh bµy mét bµi to¸n .

 

4. nh÷ng viÖc lµm cña b¶n th©n

§Ó gióp häc sinh n¾m v÷ng kiÕn thøc vÒ ph­¬ng tr×nh bËc hai nhÊt lµ viÖc dïng ®Þnh lý viÐt, trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y t«i ®· ®­a mét sè bµi to¸n  viÖc sö dông ®Þnh lý viÐt dÓ gi¶i sÏ dÉn ®Õn kÕt qu¶ nhanh h¬n.

 

 

B. néi dung.

§Þnh lý ViÐt:

NÕu x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (a  0) th×:

 

* HÖ qu¶: (tr­êng hîp ®Æc biÖt)

a) NÕu ph­¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (a  0) cã a + b + c = 0 th× ph­¬ng

tr×nh cã mét nghiÖm lµ: x1 = 1 cßn nghiÖm kia lµ: x2 =

             b) NÕu ph­¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (a  0) cã a - b + c = 0 th× ph­¬ng

tr×nh cã mét nghiÖm lµ: x1 = - 1 cßn nghiÖm kia lµ: x2 =

             * NÕu cã hai sè u vµ v tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:                             

th× u, v lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: x2 – Sx + P = 0.

®iÒu kiÖn ®Ó cã hai sè u, v lµ: S2 – 4P  0.

Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô minh ho¹ cho viÖc øng dông cña ®Þnh lý ViÐt trong gi¶i mét sè d¹ng to¸n.

I. øng dông cña ®Þnh lý viÐt trong gi¶i to¸n t×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó bµi to¸n tho¶ m·n c¸c yªu cÇu ®Æt ra.

1. C¸c vÝ dô:

VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó c¸c nghiÖm x1, x2 cña ph­¬ng tr×nh

mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

Bµi gi¶i:

§iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm (ph©n biÖt hoÆc nghiÖm kÐp):

m  0 ;  ' ≥ 0

' = (m - 2)2 - m(m - 3) = - m + 4

'  0  m  4.

Víi 0  m  4, theo ®Þnh lý ViÐt, c¸c nghiÖm x1; x2 cña ph­¬ng tr×nh cã liªn hÖ:

x1 + x2 = ;   x1.x2 =

Do ®ã: 1 = = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = -

 m2 = 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m

 m2 - 10m + 16 = 0

 m = 2 hoÆc m = 8

Gi¸ trÞ m = 8 kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 0  m   4

VËy víi m = 2 th× = 1

VÝ dô 2: Cho ph­¬ng tr×nh x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, x2 ph©n biÖt tho¶ m·n

Bµi gi¶i:

Ta ph¶i cã:

(1)  ' = m2 - 4m + 4 - m2 - 2m + 3 = - 6m + 7 > 0   m <

(2)  m2 + 2m - 3  0  (m - 1)(m + 3)  0  m  1; m  - 3

(3) 

 Tr­êng hîp: x1 + x2 = 0  x1 = - x2  m = 2 kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (1)

 Tr­êng hîp: 5 - x1.x2 = 0  x1.x2 = 5

Cho ta: m2 + 2m - 3 = 5   (m - 2)(m + 4) = 0

VËy víi m = - 4 ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm x1, x2 ph©n biÖt tho¶ m·n

VÝ dô 3:  Cho ph­¬ng tr×nh: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m lµ tham sè).

a) X¸c ®Þnh m ®Ó c¸c nghiÖm x1; x2 cña ph­¬ng tr×nh tho¶ m·n

x1 + 4x2  = 3

b) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1; x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m

Bµi gi¶i:

a) Ta ph¶i cã:

Tõ (1) vµ (3) tÝnh ®­îc: 

Thay vµo (2) ®­îc    2m2 - 17m + 8=0

Gi¶i ph­¬ng tr×nh 2m2 - 17m + 8 = 0 ®­îc m = 8; m = tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (4).

VËy víi m = 8 hoÆc m =  th× c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh tho¶ m·n x1 + 4x2 = 3.

b) Theo hÖ thøc ViÐt:

x1 + x2 = 2 +

x1 + x2 = 1 -       (*)

Thay = x1 + x2 - 2  vµo (*) ®­îc x1x2 = 1 - 2(x1 + x2 - 2)

VËy x1.x2 = 5 - 2(x1 + x2)

VÝ dô 4: Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hai ph­¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung:

x2 + 2x + m = 0     (1)

x2 + mx + 2 = 0     (2)

Bµi gi¶i:

Gäi x0 lµ nghiÖm chung nµo ®ã cña 2 ph­¬ng tr×nh khi ®ã ta cã

Trõ theo tõng vÕ hai ph­¬ng tr×nh ta ®­îc (m - 2)x0 = m - 2

NÕu m = 2 c¶ hai ph­¬ng tr×nh lµ  x2 + 2x + 2 = 0 v« nghiÖm

NÕu m   2 th× x0  = 1 tõ ®ã m = - 3

Víi m = - 3: (1) lµ x2 + 2x – 3 = 0; cã nghiÖm x1 = 1 vµ x2 = - 3

Vµ (2) lµ x2 - 3x + 2 = 0; cã nghiÖp x3 = 1 vµ x4 = 2

Râ rµng víi m = - 3 th× hai ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm chung x = 1.

2. Bµi tËp:

Bµi 1:  Cho ph­¬ng tr×nh x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0   (1)

T×m gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã (1) cã nghiÖm x1 = 2x2.

Bµi 2: Cho ph­¬ng tr×nh mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0

a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm.

b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu. Khi ®ã trong hai nghiÖm, nghiÖm nµo cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n?

c) X¸c ®Þnh m ®Ó c¸c nghiÖm  x1; x2 cña ph­¬ng tr×nh tho¶ m·n: x1 + 4x2 = 3.

d) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m.

Bµi 3:

a) Víi gi¸ trÞ nµo m th× hai ph­¬ng tr×nh sau cã Ýt nhËt mét nghiÖm chung. T×m nghiÖm chung ®ã?

x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0   (1)

x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0   (2)

b) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó  nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (2) vµ ng­îc l¹i.

 

II. øng dông cña ®Þnh lý viÐt trong bµi to¸n lËp ph­¬ng tr×nh bËc hai mét Èn, t×m hÖ sè cña ph­¬ng tr×nh bËc hai mét Èn sè

1. C¸c vÝ dô:

VÝ dô  1: Cho x1 =   ;       x2 = 

LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm lµ: x1; x2

Ta cã: x1 =      ;        x2 =  =  

Nªn  x1.x2 = . = 

x1 + x2 = + = 

VËy ph­¬ng tr×nh bËc hai cã 2 nghiÖm: x1; x2 lµ x2 - x+ = 0

Hay 2x2 - 2x + 1 = 0

VÝ dô 2: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 + 5x - 1 = 0  (1)

Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh (1), h·y lËp mét ph­¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ luü thõa bËc bèn cña c¸c nghiÖm ph­¬ng tr×nh (1)

C¸ch gi¶i:

Gäi x1; x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho theo hÖ thøc viÐt, ta cã:

x1 + x2 = -5;  x1.x2 = - 1

Gäi y1; y2 lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ph¶i lËp, ta cã:

y1 + y2 =  

y1..y2 =  

Ta cã:   = (x12 + x22)2 - 2x12.x22 = 729 – 2  = 727

= (x1.x2)4 = (- 1)4 = 1

VËy ph­¬ng tr×nh cÇn lËp lµ: y2 - 727y + 1 = 0

VÝ dô 3: T×m c¸c hÖ sè p vµ q cña ph­¬ng tr×nh: x2 + px + q = 0 sao cho hai nghiÖm x1; x2 cña ph­¬ng tr×nh tho¶ m·n hÖ:

C¸c gi¶i:

§iÒu kiÖn  = p2 - 4q  0  (*) ta cã:

x1 + x2 = -p;  x1.x2 = q. Tõ ®iÒu kiÖn:



 

Gi¶i hÖ nµy t×m ®­îc: p = 1; q = - 6 vµ p = - 1; q = - 6

C¶ hai cÆp gi¸ trÞ nµy ®Òu tho¶ m·n (*)

 

2) Bµi tËp:

Bµi 1: LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã 2 nghiÖm lµ + vµ

Bµi 2: LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:

Cã tÝch hai nghiÖm: x1.x2 = 4 vµ  + = 

Bµi 3: X¸c ®Þnh cã sè m, n cña ph­¬ng tr×nh: x2 + mx + n = 0

Sao cho c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµm m vµ n.

Iii. øng dông cña ®Þnh lý viÐt trong gi¶i to¸n chøng minh.

1. C¸c vÝ dô:

VÝ dô 1: Cho a, b lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: x2 + px + 1 = 0 vµ b, c lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x2 + qx + 2 = 0

Chøng minh: (b - a)(b - c) = pq - 6.

H­íng dÉn häc sinh gi¶i. §©y kh«ng ph¶i lµ mét bµi to¸n chøng minh ®¼ng thøc th«ng th­êng, mµ ®©y lµ mét ®¼ng thøc thÓ hiÖn sù liªn quan gi÷a c¸c nghiÖm cña 2 ph­¬ng tr×nh vµ hÖ sè cña c¸c ph­¬ng tr×nh ®ã. V× vËy ®ßi hái chóng ta ph¶i n¾m v÷ng ®Þnh lý ViÐt vµ vËn dông ®Þnh lý ViÐt vµo trong qu¸ tr×nh biÕn ®æi vÕ cña ®¼ng thøc, ®Ó suy ra hai vÕ b»ng nhau.

C¸ch gi¶i:

a,b lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: x2 + px + 1 = 0

b,c lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: x2 + qx + 2 = 0. Theo ®Þnh lý viÐt ta cã:

  vµ

Do ®ã: (b – a)(b – c) = b2 + ac - 3    (1)

pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b2 + ac + 3

Suy ra: pq - 6 = b2 + ac +3 – 6 = b2 + ac - 3   (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra (b - a)(b - c) = pq - 6 (®pcm)

 

VÝdô 2: Cho c¸c sè a,b,c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:

a + b + c = - 2    (1); a2 + b2 + c2 = 2  (2)

Chøng m×nh r»ng mçi sè a, b, c ®Òu thuéc ®o¹n khi biÓu diÔn trªn trôc sè:

C¸ch gi¶i:

B×nh ph­¬ng hai vÕ cña (1) ®­îc:

a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 4

Do (2) nªn: ab + bc + ca = (4 - 2): 2 = 1

 bc = 1 - a(b + c) = 1 - a(- 2 - a) = a2 + 2a + 1

Ta l¹i cã: b + c = - (a + 2), do ®ã b, c lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh:

X2 + (a + 2)X + (a2 + 2a + 1) = 0   (*)

§Ó (*) cã nghiÖm th× ta ph¶i cã:

 = (a+2)2 - 4(a2+2a+1)  0

 a(3a + 4)  0  -  a  0

Chøng minh t­¬ng tù ta ®­îc: -  b  0;  -  c  0

2. Bµi tËp:

Bµi 1: Gäi a, b lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai: x2 + px + 1 = 0. Gäi c, d lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: y2 + qy + 1 = 0

Chøng minh hÖ thøc: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)2

Bµi 2: Chøng minh r»ng khi viÕt sè x = ()200 d­íi d¹ng thËp ph©n, ta ®­îc ch÷ sè liÒn tr­íc dÊu phÈy lµ 1, ch÷ sè liÒn sau dÊu phÈy lµ 9.

        iii. ¸p dông ®Þnh lý viÐt gi¶i ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh.

1. C¸c vÝ dô:

VÝ dô 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh:    =6

H­íng dÉn:

§KX§: {xR  x  - 1}

§Æt:      

TÝnh: u, v, råi tõ ®ã tÝnh x.

Bµi gi¶i:

§KX§: {x  R  x  - 1}

§Æt:(*)    

u, v lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh:  x2 - 5x + 6 = 0

 = 25 – 24 = 1

x1 = = 3

x2 = = 2

u = 3 th× v = 2 hoÆc u = 2 th× v = 3

NÕu:  th× (*) trë thµnh:  x2 - 2x + 3 = 0

' = 1 – 3 = - 2 < 0

Ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm:

NÕu:  th× (*) trë thµnh: x2 - 3x + 2 = 0

Suy ra: x1 = 1; x2 = 2

VËy ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = 1; x2 = 2.

VÝ dô 2: Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh:

a) 

b) 

Bµi gi¶i:

a) x,y lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh:  x2 - 11x +31 = 0

=(-11)2 - 4.1.31 = 121 – 124 = - 3  < 0

Ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm

VËy hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm.

b) §Æt x + y = S vµ xy = P

Ta cã hÖ:

Khi ®ã S vµ P lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: t2 – 7t + 12 = 0.

Gi¶i ph­¬ng tr×nh nµy ®­îc t = 4 vµ t = 3.

+ NÕu S = 4 th× P = 3 khi ®ã x, y lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh:

u2 - 4u + 3 = 0

      u = 1 vµ u = 3

    Suy ra (x = 1; y = 3) vµ (x = 3; y = 1)

+ NÕu S = 3 th× P = 4 khi ®ã x, y lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh:

v2 – 3v + 4 = 0

Ph­¬ng tr×nh nµy v« nghiÖm v×  = 9 - 16 = - 7 < 0

VËy hÖ ®· cho cã hai nghiÖm sè lµ:

(x = 1; y = 3) vµ (x = 3; y =1)

2. Bµi tËp:

Bµi 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: x3 + 9x2 + 18 + 28 = 0

Bµi2: Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh sau:

a)  

b)  

 

 

V. §Þnh lý viÐt víi bµi to¸n cùc trÞ:

1. C¸c vÝ dô:

VÝ dô 1:  Gäi x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh:

x2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0

T×m m ®Ó cã gi¸ trÞ nhá nhÊt

Bµi gi¶i:

XÐt:  = 4m2 - 4m + 1 - 4m + 8 = 4m2 - 8m + 9 = 4(m - 1)2 + 5 > 0

Nªn ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm víi mäi m

Theo ®Þnh lý ViÐt ta cã: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m - 2

 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (2m - 1)2 - 2(m - 2)

=4m2 - 6m + 5 = (2m - )2 + 

DÊu “=” x¶y ra khi m =

VËy Min(x12 + x22) = khi m =

VÝ dô 2:  Gäi x1; x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh:

2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A =x1x2 - 2x1 - 2x2

C¸ch gi¶i:

§Ó ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm th×:

' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5)  0

 - 5   m  - 1 (*)

Khi ®ã theo hÖ thøc ViÐt ta cã: x1 + x2 = - m - 1

x1 .x2 =

Do ®ã: A = 

Ta cã: m2 + 8m + 7 = (m + 1)(m + 7) víi ®iÒu kiÖn (*) th×:

(m + 1)(m + 7)  0.

Suy ra: A = =  

DÊu b»ng x¶y ra khi (m + 4)2 = 0 hay m = - 4

VËy A ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt lµ: khi m = - 4, gi¸ trÞ nµy tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*).

VÝ dô 3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña

A=(x4 + 1) (y4 + 1), biÕt x, y  0; x + y =

 

C¸ch gi¶i:

A = (x4 + 1)(y4 + 1) =  x4 + y4 +  y4x4 + 1

Ta cã: x + y =  x2 + y2 = 10 - 2xy

 x4 + y4 + 2y2x2 = 100 - 40xy + 4x2y2

 x4 + y4  = 100 - 40xy + 2x2y2

§Æt : xy = t th× x4 + y4 = 100 - 40t + 2t2

Do ®ã A = 100 - 40t + 2t2 + t4 + 1 = t4 + 2t2 – 40t + 101

a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt:

A = t4 - 8t2 + 16 + 10t2 - 40t + 40 + 45

    = (t2 - 4)2 + 10(t - 2)2 + 45  45

Min(A) = 45  t = 2, khi ®ã xy = 2; x + y =  nªn x vµ y lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh X2 -  X + 2 = 0.

Tøc lµ x = ; y = hoÆc x = ; y =

b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt:

Ta cã: 0  xy  ==  0  t   (1)

ViÕt A d­íi d¹ng: A = t(t3 + 2t - 40) + 101.

Do (1) nªn t3  ; 2t  5  t3 + 2t - 40   + 5 - 40  < 0 cßn t  0 nªn A  101

Max(A) = 101 khi vµ chØ khi t = 0 tøc lµ x = 0; y = hoÆc x = ; y = 0

2. Bµi tËp:

Bµi 1: Gäi x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh.

x2 + 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0

T×m m ®Ó cã gi¸ trÞ nhá nhÊt.

Bµi 2: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - m + (m - 2)2 = 0

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc

A = x1x2 + 2x1 + 2x2

Bµi 3: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m lµ tham sè). T×m m sao cho 2 nghiÖm x1; x2 cña ph­¬ng tr×nh tho¶ m·n 10x1x2 + ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. T×m gi¸ trÞ ®ã.

C. KÕt luËn.

øng dông cña ®Þnh lý ViÐt trong viÖc gi¶i to¸n lµ mét vÊn ®Ò lín, ®ßi hái ng­êi häc ph¶i cã tÝnh s¸ng t¹o, cã t­ duy tèt vµ kü n¨ng vËn dông lý thuyÕt mét c¸ch linh ho¹t. ChÝnh v× lÏ ®ã, trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, ng­êi gi¸o viªn cÇn chuÈn bÞ chu ®¸o, tØ mØ, râ rµng tõng thÓ lo¹i bµi tËp cô thÓ ®Ó häc sinh hiÓu s©u b¶n chÊt vµ c¸ch vËn dông. X©y dùng cho c¸c em niÒm ®am mª, høng thó trong häc tËp, t«n träng nh÷ng suy nghÜ, ý kiÕn vµ s¸ng t¹o cña c¸c em. CÇn th­êng xuyªn kiÓm tra, ®¸nh gi¸ kÕt qu¶ häc tËp, bæ sung thiÕu sãt kÞp thêi, d¹y s©u, d¹y ch¾c vµ kÕt hîp nhuÇn nhuyÔn, l«gic gi÷a c¸c bµi kh¸c nhau.

Nghiªn cøu ®Ò tµi “øng dông cña ®Þnh lý ViÐt trong viÖc gi¶i to¸n” kh«ng chØ gióp cho häc sinh yªu thÝch häc bé m«n to¸n, mµ cßn lµ c¬ së gióp cho b¶n th©n cã thªm kinh nghiÖm trong gi¶ng d¹y. MÆc dï ®· rÊt cè g¾ng khi thùc hiÖn ®Ò tµi, song kh«ng thÓ tr¸nh khái thiÕu sãt vÒ cÊu tróc, ng«n ng÷ vµ kiÕn thøc khoa häc. V× vËy, t«i mong sù quan t©m cña c¸c ®ång chÝ, ®ång nghiÖp gãp ý kiÕn ch©n thµnh ®Ó ®Ò tµi nµy hoµn thiÖn h¬n.

Xin ch©n thµnh c¶m ¬n!