Số nguyên tố - hợp số

chuyên đề Số NGUYÊN Tố - HợP số
a- lý THUYếT
i- Kiến thức cơ bản:
1. Ước và bội:
Nếu thì a la bội của b và b là ước của a.
2. Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, có 2 ước là một và chính nó.
3. Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn 2 ước.
(để chứng minh một số tự nhiên a > 1 là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và a).
4. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích của các thừa số nguyên tố. (đặc biệt = 2n.5n), ví dụ: 1000 = 23. 53
II- Nâng cao:
1. Cách xác định số lượng các ước của một số:
Nếu số M phân tích ra thừa số nguyên tố M = ax. by.... cz thì số lượng các ước của M là: (x + 1) (y + 1) ... (z + 1)
2. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chưa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn. Từ đó suy ra:
- Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 22.
- Số chính phương chia hết cho 23 thì phải chia hết cho 24.
- Số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 32.
- Số chính phương chia hết cho 33 thì phải chia hết cho 34.
- Số chính phương chia hết cho 5 thì phải chia hết cho 52.
3. Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố:
Néu tích a.b chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p. Đặc biệt nếu an chia hết cho p thì a chia hết cho p.
III- chú ý:
- Số 0 và số 1 không là số nguyên tố cũng không là hợp số. Các số nguyên tố nhỏ hơn 10 là: 2, 3, 5, 7.
- Số nguyên tố nhỏ nhất là 2, hai là số nguyên tố chẵn duy nhất.
- Để kết luận một số a > 1 là một số nguyên tố, ta chỉ cần chứng tỏ rằng nó không chia hết cho mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a, tức là p2 < a.
- Số nguyên tố ( 2 và 3 đều có dạng: 6n + 1 với n (N*
B- Các dạng bài tập:
Dạng 1: Toán tìm số nguyên tố
Dạng 2: Chứng minh một số là số nguyên tố hay hợp số.
I- Bài tập vận dụng dạng 1:
Ví dụ 1: Tìm số nguyên tố p, sao cho p + 2 và p + 4 cũng là số nguyên tố.
Bài làm:
Số p có một trong 3 dạng: 3k; 3k + 1; 3k + 2 với (k (N*)
- Nếu p = 3k thì p = 3 (vì p là số nguyên tố), khi đó p + 2 = 5, p + 4 = 7 đều là các số nguyên tố.
- Nếu p = 3k + 1 thì p +2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và > 3 nên p + 2 là hợp số (trái với giả thiết).
- Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 và > 3 nên p + 4 là hợp số (trái với giả thiết).
Ví dụ 2 (Bài 4.2):
Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư là r, r là hợp số. Tìm r
Bài làm:
Ta có p = 42k + r = 2.3.7.k + r (k , r (N, 0 < r < 42)
Vì p là số nguyên tố nên r không chia cho hết 2, 3, 7. Các hợp số < 42 và không chia hết