tai lieu giai toan bang may tinh cáio

PhÇn I: C¸c bµi to¸n vÒ ®a thøc

1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:

Bµi 1: Cho ®a thøc P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - 1

           TÝnh P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P()

H.DÉn:

- LËp c«ng thøc P(x)

- TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc t¹i c¸c ®iÓm: dïng chøc n¨ng

- KÕt qu¶:      P(1,25)      =                           ; P(4,327)  =

                     P(-5,1289) =                           ; P()      =

Bµi 2: TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:

P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9      t¹i x = 0,53241

Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10         t¹i x = -2,1345

H.DÉn:

- ¸p dông h»ng ®¼ng thøc: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b +...+ abn-2 + bn-1). Ta cã:

P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 =

Tõ ®ã tÝnh P(0,53241) =

T­¬ng tù:

Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10 = x2(1 + x + x2 + x3 +...+ x8) =

Tõ ®ã tÝnh Q(-2,1345) =

Bµi 3: Cho ®a thøc P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. BiÕt P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9;  P(4) = 16; P(5) = 25. TÝnh P(6); P(7); P(8); P(9) = ?

H.DÉn:

B­íc 1: §Æt Q(x) = P(x) + H(x) sao cho:

+ BËc H(x) nhá h¬n bËc cña P(x)

+ BËc cña H(x) nhá h¬n sè gi¸ trÞ ®· biÕt cña P(x), trongbµi bËc H(x) nhá h¬n 5, nghÜa lµ:

Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e

B­íc 2: T×m a1, b1, c1, d1, e1 ®Ó Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tøc lµ:

 a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1

VËy ta cã: Q(x) = P(x) - x2

V× x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5 lµ nghiÖm cña Q(x), mµ bËc cña Q(x) b»ng 5 cã hÖ sè cña x5 b»ng 1 nªn: Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)

 P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2.

Tõ ®ã tÝnh ®­îc:  P(6) =           ; P(7) =             ; P(8) =              ; P(9) =  

Bµi 4: Cho ®a thøc P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. BiÕt P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9;      P(4) = 11. TÝnh P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ?

H.DÉn:

- Gi¶i t­¬ng tù bµi 3, ta cã: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3). Tõ ®ã tÝnh ®­îc:  P(5) =            ; P(6) =          ; P(7) =             ; P(8) =             ; P(9) =     

Bµi 5: Cho ®a thøc P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. BiÕt P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6;      P(4) = 10. TÝnh

H.DÉn:

- Gi¶i t­¬ng tù bµi 4, ta cã: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + . Tõ ®ã tÝnh ®­îc:

Bµi 6: Cho ®a thøc f(x) bËc 3 víi hÖ sè cña x3 lµ k, k  Z tho¶ m·n:

f(1999) = 2000; f(2000) = 2001

Chøng minh r»ng: f(2001) - f(1998) lµ hîp sè.

H.DÉn:

* T×m ®a thøc phô: ®Æt g(x) = f(x) + (ax + b). T×m a, b ®Ó g(1999) = g(2000) = 0

                 g(x) = f(x) - x - 1

* TÝnh gi¸ trÞ cña f(x):

- Do bËc cña f(x) lµ 3 nªn bËc cña g(x) lµ 3 vµ g(x) chia hÕt cho:

                (x - 1999), (x - 2000) nªn: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0)

            f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x + 1.

Tõ ®ã tÝnh ®­îc: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) lµ hîp sè.

Bµi 7: Cho ®a thøc f(x) bËc 4, hÖ sè cña bËc cao nhÊt lµ 1 vµ tho¶ m·n:

f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27. TÝnh gi¸ trÞ A = f(-2) + 7f(6) = ?

H.DÉn:

- §Æt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c. T×m a, b, c sao cho g(1) = g(3) = g(5) = 0             a, b, c lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh:

     b»ng MTBT ta gi¶i ®­îc:

 g(x) = f(x) - x2 - 2

      - V× f(x) bËc 4 nªn g(x) còng cã bËc lµ 4 vµ g(x) chia hÕt cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), do vËy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0)  f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) + x2 + 2.

Ta tÝnh ®­îc: A = f(-2) + 7f(6) =

Bµi 8: Cho ®a thøc f(x) bËc 3. BiÕt f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1.

T×m f(10) = ?    (§Ò thi HSG CHDC §øc)

 H.DÉn:

- Gi¶ sö f(x) cã d¹ng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. V× f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1 nªn:

lÊy 3 ph­¬ng tr×nh cuèi lÇn l­ît trõ cho ph­¬ng tr×nh ®Çu vµ gi¶i hÖ gåm 3 ph­¬ng tr×nh Èn a, b, c trªn MTBT cho ta kÕt qu¶:

 

Bµi 9: Cho ®a thøc f(x) bËc 3 biÕt r»ng khi chia f(x) cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) ®Òu ®­îc d­ lµ 6 vµ f(-1) = -18. TÝnh f(2005) = ?

H.DÉn:

- Tõ gi¶ thiÕt, ta cã: f(1) = f(2) = f(3) = 6 vµ cã f(-1) = -18

- Gi¶i t­¬ng tù nh­ bµi 8, ta cã f(x) = x3 - 6x2 + 11x

Tõ ®ã tÝnh ®­îc f(2005) =

Bµi 10: Cho ®a thøc

a) TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

b) Chøng minh r»ng P(x) nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn

Gi¶i:

a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 th× (tÝnh trªn m¸y) P(x) = 0

b) Do 630 = 2.5.7.9 vµ x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 lµ nghiÖm cña ®a thøc P(x) nªn

V× gi÷a 9 sã nguyªn liªn tiÕp lu«n t×m ®­îc c¸c sè chia hÕt cho 2, 5, 7, 9 nªn víi mäi x nguyªn th× tÝch: chia hÕt cho 2.5.7.9 (tÝch cña c¸c sè nguyªn tè cïng nhau). Chøng tá P(x) lµ sè nguyªn víi mäi x nguyªn.

Bµi 11: Cho hµm sè . H·y tÝnh c¸c tæng sau:

H.DÉn:

* Víi hµm sè f(x) ®· cho tr­íc hÕt ta chøng minh bæ ®Ò sau:

                           NÕu a + b = 1 th× f(a) + f(b) = 1

* ¸p dông bæ ®Ò trªn, ta cã: 

a)

b) Ta cã . Do ®ã:

2. T×m th­¬ng vµ d­ trong phÐp chia hai ®a thøc:

Bµi to¸n 1: T×m d­ trong phÐp chia ®a thøc P(x) cho (ax + b)

C¸ch gi¶i:

            - Ta ph©n tÝch: P(x) = (ax + b)Q(x) + r    r =

Bµi 12: T×m d­ trong phÐp chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - 6 cho (2x - 5)

Gi¶i:

- Ta cã: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r    r =

TÝnh trªn m¸y ta ®­îc: r = =

Bµi to¸n 2: T×m th­¬ng vµ d­ trong phÐp chia ®a thøc P(x) cho (x + a)

C¸ch gi¶i:

- Dïng l­îc ®å Hoocner ®Ó t×m th­¬ng vµ d­ trong phÐp chia ®a thøc P(x) cho (x + a)

Bµi 13: T×m th­¬ng vµ d­ trong phÐp chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 cho (x + 5)

H.DÉn:   - Sö dông l­îc ®å Hoocner, ta cã:

* TÝnh trªn m¸y tÝnh c¸c gi¸ trÞ trªn nh­ sau:

5

1 0           (-5) :        ghi ra giÊy    -5

   2    (23) :        ghi ra giÊy     23

     3         (-118) :     ghi ra giÊy   -118

       0        (590) :      ghi ra giÊy     590

       0        (-2950) :    ghi ra giÊy   -2950

       1        (14751) :   ghi ra giÊy   14751

        1       (-73756) : ghi ra giÊy   -73756

x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 = (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) - 73756

Bµi to¸n 3: T×m th­¬ng vµ d­ trong phÐp chia ®a thøc P(x) cho (ax +b)

C¸ch gi¶i:

- §Ó t×m d­: ta gi¶i nh­ bµi to¸n 1

- §Ó t×m hÖ sè cña ®a thøc th­¬ng: dïng l­îc ®å Hoocner ®Ó t×m th­¬ng trong phÐp chia ®a thøc P(x) cho (x +) sau ®ã nh©n vµo th­¬ng ®ã víi ta ®­îc ®a thøc th­¬ng cÇn t×m.

Bµi 14: T×m th­¬ng vµ d­ trong phÐp chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 cho (2x - 1)

Gi¶i:

- Thùc hiÖn phÐp chia P(x) cho , ta ®­îc:

P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 = .  Tõ ®ã ta ph©n tÝch:

P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 = 2...

                                       = (2x - 1).

Bµi 15: T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®a thøc P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + 5 + m chia hÕt cho    Q(x) = 3x +2

H.DÉn:

- Ph©n tÝch P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P1(x) + m. Khi ®ã:

P(x) chia hÕt cho Q(x) = 3x + 2 khi vµ chØ khi:  P1(x) + m = (3x + 2).H(x)

Ta cã:

TÝnh trªn m¸y gi¸ trÞ cña ®a thøc P1(x) t¹i ta ®­îc m =

Bµi 16: Cho hai ®a thøc P(x) = 3x2 - 4x + 5 + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7 + n. T×m m, n ®Ó hai ®a thøc trªn cã nghiÖm chung

H.DÉn:

lµ nghiÖm cña P(x) th× m = , víi P1(x) = 3x2 - 4x + 5

lµ nghiÖm cña Q(x) th× n = , víi Q1(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7.

TÝnh trªn m¸y ta ®­îc: m = =                    ;n = =

Bµi 17: Cho hai ®a thøc P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m; Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n.

a) T×m m, n ®Ó P(x), Q(x) chia hÕt cho (x - 2)

b) XÐt ®a thøc R(x) = P(x) - Q(x). Víi gi¸ trÞ m, n võa t×m chøng tá r»ng ®a thøc R(x) chØ cã duy nhÊt mét nghiÖm.

H.DÉn:

a) Gi¶i t­¬ng tù bµi 16, ta cã: m =          ;n =

b) P(x) (x - 2) vµ Q(x) (x - 2)  R(x) (x - 2)

Ta l¹i cã: R(x) = x3 - x2 + x - 6 = (x - 2)(x2 + x + 3), v× x2 + x + 3 > 0 víi mäi x nªn R(x) chØ cã mét nghiÖm x = 2.

Bµi 18: Chia x8 cho x + 0,5 ®­îc th­¬ng q1(x) d­ r1. Chia q1(x) cho x + 0,5 ®­îc th­¬ng q2(x) d­ r2. T×m r2 ?

H.DÉn:

- Ta ph©n tÝch:     x8 = (x + 0,5).q1(x) + r1

                        q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2

- Dïng l­îc ®å Hoocner, ta tÝnh ®­îc hÖ sè cña c¸c ®a thøc q1(x), q2(x) vµ c¸c sè d­ r1, r2:

VËy:

PhÇn II: C¸c bµi to¸n vÒ D·y sè

M¸y tÝnh ®iÖn tö Casio fx - 570 MS cã nhiÒu ®Æc ®iÓm ­u viÖt h¬n c¸c MTBT kh¸c. Sö dông MT§T Casio fx - 570 MS lËp tr×nh tÝnh c¸c sè h¹ng cña mét d·y sè lµ mét vÝ dô. NÕu biÕt c¸ch sö dông ®óng, hîp lý mét quy tr×nh bÊm phÝm sÏ cho kÕt qu¶ nhanh, chÝnh x¸c. Ngoµi viÖc MTBT gióp cho viÖc gi¶m ®¸ng kÓ thêi gian tÝnh to¸n trong mét giê häc mµ tõ kÕt qu¶ tÝnh to¸n ®ã ta cã thÓ dù ®o¸n, ­íc ®o¸n vÒ c¸c tÝnh chÊt cña d·y sè      (tÝnh ®¬n ®iÖu, bÞ chÆn...), dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè, tÝnh héi tô, giíi h¹n cña d·y...tõ ®ã gióp cho viÖc ph¸t hiÖn, t×m kiÕm c¸ch gi¶i bµi to¸n mét c¸ch s¸ng t¹o. ViÖc biÕt c¸ch lËp ra quy tr×nh ®Ó tÝnh c¸c sè h¹ng cña d·y sè cßn h×nh thµnh cho häc sinh nh÷ng kü n¨ng, t­ duy thuËt to¸n rÊt gÇn víi lËp tr×nh trong tin häc.

Sau ®©y lµ mét sè quy tr×nh tÝnh sè h¹ng cña mét sè d¹ng d·y sè th­êng gÆp trong ch­¬ng tr×nh, trong ngo¹i kho¸ vµ thi gi¶i To¸n b»ng MTBT:

I/ LËp quy tr×nh tÝnh sè h¹ng cña d·y sè:

1) D·y sè cho bëi c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t:

                                                                          trong ®ã f(n) lµ biÓu thøc cña

                                                                                       n cho tr­íc.

C¸ch lËp quy tr×nh:

- Ghi gi¸ trÞ n = 1 vµo « nhí :                  1

- LËp c«ng thøc tÝnh f(A) vµ g¸n gi¸ trÞ « nhí  1

- LÆp dÊu b»ng:      ... ...

Gi¶i thÝch:

1             : ghi gi¸ trÞ n = 1 vµo « nhí          

1  : tÝnh un = f(n) t¹i gi¸ trÞ (khi bÊm dÊu b»ng thø lÇn nhÊt) vµ thùc hiÖn  g¸n gi¸ trÞ « nhí thªm 1 ®¬n vÞ:1 (khi bÊm  dÊu b»ng lÇn thø hai).

* C«ng thøc ®­îc lÆp l¹i mçi khi Ên dÊu

VÝ dô 1: TÝnh 10 sè h¹ng ®Çu cña d·y sè (un) cho bëi:

Gi¶i:

- Ta lËp quy tr×nh tÝnh un nh­ sau:

1

1 5 1 5 2   1   5 2 1

- LÆp l¹i phÝm:  ... ...

Ta ®­îc kÕt qu¶:   u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21,

u9 = 34, u10 = 55.

2) D·y sè cho bëi hÖ thøc truy håi d¹ng:

                                                                          trong ®ã f(un) lµ biÓu thøc cña

                                                                                      un cho tr­íc.

C¸ch lËp quy tr×nh:

- NhËp gi¸ trÞ cña sè h¹ng u1:   a

- NhËp biÓu thøc cña un+1 = f(un) : ( trong biÓu thøc cña un+1 chç nµo cã un ta nhËp b»ng )

- LÆp dÊu b»ng: 

Gi¶i thÝch:

- Khi bÊm:   a mµn h×nh hiÖn u1 = a vµ l­u kÕt qu¶ nµy

- Khi nhËp biÓu thøc f(un) bëi phÝm , bÊm dÊu lÇn thø nhÊt m¸y sÏ thùc hiÖn tÝnh u2 = f(u1) vµ l¹i l­u kÕt qu¶ nµy.

- TiÕp tôc bÊm dÊu ta lÇn l­ît ®­îc c¸c sè h¹ng cña d·y sè u3, u4...

VÝ dô 1: T×m 20 sè h¹ng ®Çu cña d·y sè (un) cho bëi:

Gi¶i:

- LËp quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh c¸c sè h¹ng cña d·y sè nh­ sau:

1    (u1)

2 1      (u2)

...

- Ta ®­îc c¸c gi¸ trÞ gÇn ®óng víi 9 ch÷ sè thËp ph©n sau dÊu ph¶y:

u1 = 1                               u8 = 1,414215686

u2 = 1,5                            u9 = 1,414213198

u3 = 1,4                            u10 = 1,414213625

u4 = 1,416666667            u11 = 1,414213552

u5 = 1,413793103            u12 = 1,414213564

u6 = 1,414285714            u13 = 1,414213562

u7 = 1,414201183            u14 =...= u20 = 1,414213562

VÝ dô 2: Cho d·y sè ®­îc x¸c ®Þnh bëi:

T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt ®Ó un lµ sè nguyªn.

Gi¶i:

- LËp quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh c¸c sè h¹ng cña d·y sè nh­ sau:

3    (u1)

   3      (u2)

   (u4 = 3)

VËy n = 4 lµ sè tù nhiªn nhá nhÊt ®Ó u4 = 3 lµ sè nguyªn.

3) D·y sè cho bëi hÖ thøc truy håi d¹ng:

C¸ch lËp quy tr×nh:

* C¸ch 1:

                BÊm phÝm:  b A B a C

                Vµ lÆp l¹i d·y phÝm:

                      A B C

                      A   B C

 Gi¶i thÝch: Sau khi thùc hiÖn

           b A B a C

trong « nhí lµ u2 = b, m¸y tÝnh tæng u3 := Ab + Ba + C = Au2 + Bu1 + C vµ ®Èy vµo trong « nhí , trªn mµn h×nh lµ: u3 : = Au2 + Bu1 + C

Sau khi thùc hiÖn: A B C   m¸y tÝnh tæng u4 := Au3 + Bu2 + C vµ ®­a vµo « nhí . Nh­ vËy khi ®ã ta cã u4 trªn mµn h×nh vµ trong « nhí   (trong « nhí vÉn lµ u3).

Sau khi thùc hiÖn: A B C   m¸y tÝnh tæng u5 := Au4 + Bu3 + C vµ ®­a vµo « nhí . Nh­ vËy khi ®ã ta cã u5 trªn mµn h×nh vµ trong « nhí    (trong « nhí   vÉn lµ u4).

TiÕp tôc vßng lÆp ta ®­îc d·y sè un+2 = Aun+1­ + Bun + C

*NhËn xÐt: Trong c¸ch lËp quy tr×nh trªn, ta cã thÓ sö dông chøc n¨ng ®Ó lËp l¹i d·y lÆp bëi quy tr×nh sau (gi¶m ®­îc 10 lÇn bÊm phÝm mçi khi t×m mét sè h¹ng cña d·y sè), thùc hiÖn quy tr×nh sau:

BÊm phÝm:   b A B a C

                                 A B C

                                 A   B C

LÆp dÊu b»ng: ... ...

* C¸ch 2: Sö dông c¸ch lËp c«ng thøc

BÊm phÝm:      a