THAM KHẢO BỒI DƯỠNG TOÁN 6

D·y Sè ViÕt theo quy luËt

Bài to¸n 1 : TÝnh c¸c tæng sau

1. A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210
2. B = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + ... + 3100

Gi¶i :

1.  2A = 2 + 22 + 23 + ... + 210 + 211 . Khi ®ã : 2A – A = 211 – 1
2. 3B = 3 + 32 + 33 + ... + 3100 + 3101. Khi ®ã : 3B – B = 2B = 3101 – 1 .

VËy B =

Ta nghÜ tíi bµi to¸n tæng qu¸t lµ  :

TÝnh tæng  S = 1 + a + a2 + a3 + ... + an , a ∈ Z+ , a > 1 vµ   n ∈ Z+

Nh©n 2 vÕ cña S víi a ta cã  aS = a + a2 + a3 + a4 + ... + an + an+1 . Råi trõ cho S ta ®­îc :

aS – S = ( a – 1)S = an+1 – 1 . VËy :  1 + a + a2 + a3 + ... + an  =  .

 

Tõ ®ã ta cã c«ng thøc :   an+1 – 1 = ( a – 1)( 1 + a + a2 + a3 + ... + an) .

Bài tËp ¸p dông : Tính các tổng sau:

 

c)  Chøng minh r»ng :  1414 – 1 chia hÕt cho 3

d)  Chøng minh r»ng :   20092009 – 1 chia hÕt cho 2008

 

Bµi to¸n 2 : TÝnh c¸c tæng sau

1)    A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100

2)    B  = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799

Gi¶i :

1)    A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100 . VÊn ®Ò ®Æt ra lµ nh©n hai vÕ cña A víi sè nµo ®Ó khi trõ cho A th× mét lo¹t c¸c lòy thõa bÞ triÖt tiªu ?.Ta thÊy c¸c sè mò liÒn nhau c¸ch nhau 2 ®¬n vÞ nªn ta nh©n hai vÕ víi 32 , råi trõ cho A ta ®­îc :

    32A =  32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100 + 3102

  A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100

  

 32A – A = 3102 – 1 .  Hay  A( 32 – 1) = 3102 – 1 . VËy  A = ( 3102 – 1): 8

Tõ kÕt qu¶ nµy suy ra 3102 chia hÕt cho 8

   2 ) T­¬ng tù nh­ trªn ta nh©n hai vÕ cña B víi 72 råi trõ cho B , ta ®­îc :

 

  72B = 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799 + 7101

B  = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799

 

  72B – B = 7101 – 7 , hay B( 72 – 1) = 7101 – 7 . VËy  B = ( 7101 – 7) : 48

T­¬ng tù nh­ trªn ta còng suy ra  7101 – 7 chia hÕt cho 48 ; 7100- 1 chia hÕt cho 48

Bµi tËp ¸p dông : TÝnh c¸c tæng sau :

 A = 2 + 23 + 25 + 27 + 29 + ... + 22009

 B = 1 + 22 + 24 + 26 + 28 + 210 + ... + 2200

 C = 5 + 53 + 55 + 57 + 59 + ... + 5101

 D = 13 + 133 + 135 + 137 + 139 + ... + 1399

Tổng quát : Tính *

 b) , với ()

 c) , với ()

Bµi tËp kh¸c :  Chøng minh r»ng :

1. A = 2 + 22 + 23 + 24 + …+ 260 chia hÕt cho 21 vµ 15
2. B  =  1 + 3 + 32 + 33 + 34+ … + 311 chia hÕt cho 52
3. C  =  5 + 52 + 53 + 54 + …+ 512  chia hÕt cho 30 vµ 31

 

Bài toán 3 : Tính tổng  A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10

Lời giải 1 :

Nhận xét : Khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng là 1. Nhân 2 vế của A với 3 lần khoảng cách này ta được :

3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)

   = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8)

    = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11

   = 9.10.11 = 990.

A = 990/3 = 330

Ta chú ý tới đáp số  990 = 9.10.11, trong đó 9.10 là số hạng cuối cùng của A và 11 là số tự nhiên kề sau của 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp. Ta cã kết quả tæng qu¸t sau :

  A = 1.2 + 2.3 +  … + (n - 1).n = (n - 1).n.(n + 1)/3

Lời giải khác :

Lời giải 2 :

3.A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)

= 3.(0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)

= [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3

= 3.(1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2) = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).2.3

= (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 990 = 9.10.11

Ta chưa biết cách tính tổng bình phương các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1, nhưng liên hệ với lời giải 1, ta có :

(12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 9.10.11, hay

(12 + 32 + 52 + 72 + 92) = 9.10.11/6

Ta có kÕt qu¶ tổng quát :

P = 12 + 32 + 52 + 72 + … + (2n + 1)2 = (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)/6

Bài tËp vËn dông : Tính c¸c tổng sau :

1. P = 12 + 32 + 52 + 72 + ... + 992 
2. Q = 112 + 132 + 152 + … + 20092.
3. M = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + .... + 99.100

Bài toán 3 : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10

                            C = A + 10.11. Tính giá trị của C.

Gi¶i :

       Theo cách tính A của bài toán 2, ta được kết quả là : C = 10.11.12/3

       Theo c¸ch giải 2 của bài toán 2, ta l¹i cã :

C = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 + 10.11

    = (1.2 + 2.3) + (3.4 + 4.5) + (5.6 + 6.7) + (7.8 + 8.9) + (9.10 + 10.11)

    = 2( 1 + 3) + 4( 3 + 5) + 6( 5 + 7) + 8 ( 7 + 9) + 10( 9 + 11)

    = 2.4 + 4.8 + 6.12 + 8.16 + 10.20 = 2.2.2 + 2.4.4 + 2.6.6 + 2.8.8 + 2.10.10

    = 2.22 + 2.42 + 2.62 + 2.82 + 2.102 = 2.( 22 + 42 + 62 + 82 + 102)

VËy C = 2.(22 + 42 + 62 + 82 + 102) = 10.11.12/3 .Tõ ®ã ta cã :

 22 + 42 + 62 + 82 + 102 = 10.11.12/6

Ta lại có kết quả tổng quát lµ :

22 + 42 + 62 + …+ (2n)2 = 2n.(2n + 1).(2n + 2)/6

Bài tËp ¸p dông :

1. Tính tổng : 202 + 222 + … + 482 + 502.
2. Cho n thuộc N*. Tính tổng :

n2 + (n + 2)2 + (n + 4)2 + … + (n + 100)2.

Hướng dẫn giải : Xét hai trường hợp n chẵn và n lẻ .Bài toán có một kết quả duy nhất, không phụ thuộc vào tính chẵn lẻ của n.

3.TÝnh tæng   A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + …+ 999.1000

Bài toán 4 : Chứng minh rằng :

12 + 22 + 32 + … + n2 = n.(n + 1)(2n + 1)/6

Lời giải 1 :

Xét trường hợp n chẵn :

12 + 22 + 32 + … + n2 = (12 + 32 + 52 + … + (n – 1)2) + (22 + 42 + 62 + … + n2)

= [(n – 1).n.(n + 1) + n.(n + 1).(n + 2)]/6

= n.(n + 1).(n -1 + n + 2)/6 = n.(n + 1).(2n + 1)/6

Tương tự với trường hợp n lẻ, ta có

12 + 22 + 32 + … + n2 = (12 + 32 + 52 + … + n 2) + (22 + 42 + 62 + … + (n – 1)2)

=  n(n + 1)(n + 2)/6 + (n – 1)n(n + 1)/6

= n(n + 1)(n + 2 + n – 1)/6

= n(n + 1)( 2n + 1) /6 ( ®pcm)

Lêi gi¶i 2 :

S = 1² + 2² + 3² + 4² +…+ n²

S = 1.1 + 2.2 + 3.3 +4.4 + … + n.n  = 1.(2-1) + 2(3-1) + 3(4-1) + 4(5-1) + …n[(n+1)-1]

   = 1.2 – 1+ 2.3 – 2 + 3.4 – 3 + 4.5 – 4 +…+ n(n + 1 ) – n 

   =  1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + …+ n( n + 1 ) – ( 1 + 2 + 3 +4 + … + n )

   =     -   = n( n + 1 ). ) = n( n + 1)

Vậy  S =

VËy ta cã c«ng thøc tÝnh tæng cña d·y sè chÝnh ph­¬ng b¾t ®Çu tõ 1 lµ :

 

 12 + 22 + 32 + … + n2 = n.(n + 1)(2n + 1)/6

 

Bài tËp ¸p dông : Tính giá trị cña c¸c biÓu thøc sau:

 N  = 1 + 22 + 32 + 42 + 52 + …+ 992

 A = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + ... + 10000

B = - 12 + 22 – 32 + 42 - … - 192 + 202.

Gîi ý:

Tách B = (22 + 42 + … + 202) – (12 + 32 + …+ 192) ; tính tổng các số trong mỗi ngoặc đơn rồi tìm kết quả của bài toán.

Bµi to¸n 5 . TÝnh : A = 1.3  +  3.5  +  5.7  + … +  97.99

Gi¶i

Nhận xét : Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 2 , nhân hai vế của A với 3 lần khoảng cách này ta được :

6A = 1.3.6  +  3.5.6  +  5.7.6  +  … +  97.99.6

    = 1.3.(5  +  1)  +  3.5.(7 - 1)  +  5.7(9 - 3)  + … +  97.99(101  -  95)

     = 1.3.5  +  1.3  +  3.5.7  -  1.3.5  +  5.7.9  -  3.5.7  + …  +  97.99.101  -  95.97.99

     = 1.3.5  +  3  +  3.5.7  -  1.3.5  +  5.7.9  -  3.5.7  + … +  97.99.101  -  95.97.99

      = 3  +  97.99.101

  = 161 651

 Trong bµi to¸n 2 ta nh©n A víi 3. Trong bµi to¸n 5 ta nh©n A víi 6 Ta cã thÓ nhËn thÊy ®Ó lµm xuÊt hiÖn c¸c h¹ng tö ®èi nhau ta nh©n A víi 3 lÇn kho¶ng c¸ch k gi÷a 2 thõa sè trong mçi h¹ng tö.

 

Bài toán 6 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10.

Lời giải :

Trở lại bài toán 2. mỗi hạng tử của tổng A có hai thừa số thì ta nhân A với 3 lần khoảng cách giữa hai thừa số đó. Häc tËp c¸ch ®ã , trong bài này ta nhân hai vế của A với 4 lần khoảng cách đó vì ở đây mỗi hạng tử có 3 thừa số .Ta giải được bài toán nh­ sau :

A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10

4A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4

4A = [1.2.3.(4 – 0) + 2.3.4.(5 – 1) + … + 8.9.10.(11 – 7)]

4A = (1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5 + … + 7.8.9.10 – 7.8.9.10 + 8.9.10.11) 4A = 8.9.10.11 = 1980.

Tõ ®ã ta có kết quả tổng quát

 

A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + (n – 1).n.(n + 1).= (n -1).n.(n + 1)(n + 2)/4

 

Bµi tËp ¸p dông : TÝnh c¸c tæng sau :

 A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+  99.100.101

 

Bµi to¸n 7 : TÝnh : A = 1.3.5  +  3.5.7  + … +  5.7.9  + … +  95.97.99

Gi¶i :

8A = 1.3.5.8  +  3.5.7.8  +  5.7.9.8  + … +  95.97.99.8

= 1.3.5(7 + 1)  +  3.5.7(9 - 1)  +  5.7.9(11 - 3)  + … +  95.97.99(101 - 93)

= 1.3.5.7 + 15  +  3.5.7.9  -  1.3.5.7  +  5.7.9.11 -  3.5.7.9  + …  +  95.97.99.101 - 93.95.97.99

 = 15 + 95.97.99.101

  = 11 517 600

Trong bµi 6 ta nh©n A víi 4 (bèn lÇn kho¶ng c¸ch). Trong bµi 7 ta nh©n A víi 8 (bèn lÇn kho¶ng c¸ch) v× mçi h¹ng tö cña A còng cã 3 thõa sè.

 

Bµi to¸n 8 :   TÝnh     A = 1.2  +  3.4  +  5.6  + … +  99.100

Gi¶i

A = 2  +  ( 2+ 1).4  +  ( 4 +  1)6  + … +  (98  + 1).100

    = 2  +  2.4 + 4  +  4.6 + 6 + … +  98.100  +  100

    = (2.4 +  4.6 + … +  98.100 )  +  (2  +  4  +  6  +  8  + … +  100)

    = 98.100.102 : 6 + 102.50:2

    = 166600 + 2550

    = 169150

 C¸ch kh¸c :

A = 1.(3  -  1)  +  3(5  -  1)  +  5(7  -  1)  + … +  99(101  -  1)

    = 1.3  -  1  +  3.5  -  3  +  5.7  -  5  + … +  99.101  -  99

    = (1.3  +  3.5  +  5.7  + … +  99.101)  -  (1  +  3  +  5  +  7  + … +  99)

    =  171650 – 2500

    = 169150

Trong bµi to¸n nµy  ta kh«ng nh©n A víi mét sè mµ t¸ch ngay mét thõa sè trong mçi sè h¹ng lµm xuÊt hiÖn c¸c d·y sè mµ ta ®· biÕt c¸ch tÝnh hoÆc dÔ dµng tÝnh ®­îc.

Bµi tËp áp dụng

1. TÝnh   A = 1.2.3  + 3.4.5  + 5.6.7 + … +  99.99.100

Gi¶i :

  A = 1.3.( 5 – 3) + 3.5.( 7 – 3) + 5.7.( 9 - 3) + … + 99.101.( 103 – 3)

   = ( 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9  + … +  99.101.103 )  – ( 1.3.3 + 3.5.3 + … + 99.101.3 )

   = ( 15 + 99.101.103.105): 8 – 3( 1.3 + 3.5 + 5.7 +… + 99.101)

   = 13517400 – 3.171650

   =  13002450

2. TÝnh  A = 1.22 + 2.32 + 3.42 + … + 99.1002 

Gi¶i :

A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + … + 99.100.(101 - 1)

   = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + … + 99.100.101 - 99.100

    = (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100)

    = 25497450 – 333300

    = 25164150

Bµi tËp ¸p dông :

1. TÝnh A = 12 + 42 + 72 + …. +1002.
2. TÝnh  B = 1.32  +  3.52  +  5.72  + … +  97.992.
3. TÝnh     A = 1.99 + 2.98 + 3.97 + … + 49.51+ 50.50
4. TÝnh     B = 1.3 + 5.7 + 9.11 + … +  97.101   
5. TÝnh    C =  1.3.5 – 3.5.7 + 5.7.9 – 7.9.11 + … - 97.99.101
6. TÝnh    D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + … + 49.51
7. TÝnh    E = 1.33 + 3.53 + 5.73 + … + 49.513
8. TÝnh    F = 1.992 + 2.982 + 3.972 + … + 49.512

 

Bµi to¸n 9 :   TÝnh tæng  S = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ +… + n³

Lêi gi¶i :

Trước hết ta chứng minh một kêt quả sau đây :   với n là số tự nhiên thì ta có

n2 – n = (n – 1)(n + 1) . Thật vậy : n2 – n = n( n2 – 1) = n( n2 – n + n – 1) =

n(n2 – n) + ( n – 1) = nn(n – 1) + ( n – 1) = (n – 1)n( n + 1) đpcm

¸p dông kÕt qu¶ trªn ®Ó tÝnh S

Ta có   S = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ +… + n³

S = 13 – 1 + 23 – 2 + 33 – 3 + 43 – 4 + 53 – 5 +…+ n3 – n  + ( 1 + 2 + 3 +  …+ n )

S = 0 + 2( 22 – 1 ) + 3( 32 – 1 ) + 4( 42 – 1 ) + …+ n( n2 – 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + …+ n )

S = 0 + 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + …+ (n – 1 )n( n + 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + … + n )

            S = =

= n( n + 1). = n( n + 1 ).

 Nhận xét  V×  = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n , nªn ta cã kÕt qu¶ rÊt quan träng sau ®©y :

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ +… + n³ = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n )²

 

Bµi to¸n 10 :  TÝnh c¸c tæng sau :

  a ) A = 9 + 99 + 999 + 9999 + ...+

 b ) B = 1 + 11 + 111 + 1111 + ... +

 c ) C = 4 + 44 + 444 + 4444 + ... +

Gi¶i :

a)              A = 9 + 99 + 999 + 9999 + ...+

    =  101 – 1 + 102 – 1 + 103 – 1 + ... + 1010 – 1 = 101 + 102 + 103 + ... + 1010 – 10

    = ( 101+ 102 + 103+ 104 + ... + 1010 )  – 10 = 0 – 10 = 00

b)                 B = 1 + 11 + 111 + 1111 + ... +

        9B = 9.(1 + 11 + 111 + 1111 + ... + ) = 9 + 99 + 999 + ... +

 

        9B = 00 ( Theo kÕt qu¶ cña c©u a)

VËy  B = 00 / 9

c)   C = 4 + 44 + 444 + 4444 + ... + = 4(1 + 11 + 111 + 1111 + ... + )

     9C = 9.4.( 1 + 11 + 111 + 1111 + ... + )

 = 4.( 9 + 99 + 999 + 9999 + ...+ ) = 4.00 = 00

 VËy  C = 00 / 9

Bµi tËp ¸p dông :

 

TÝnh c¸c tæng sau :

A = 2 + 22 + 222 + 2222 + ... +

B = 3 + 33 + 333 + 3333 + ... +

C = 5 + 55 + 555 + 5555 + ... +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bµi to¸n 1. TÝnh  A = 1.2  +  2.3  +  3.4  +  …  +  99.100

§Ó tÝnh A ta biÕn ®æi A ®Ó xuÊt hiÖn c¸c h¹ng tö ®èi nhau. Muèn vËy ta cÇn t¸ch mét thõa sè trong mçi h¹ng tö thµnh mét hiÖu : a = b  -  c

Gi¶i:

3A = 1.2.3  +  2.3.3  +  3.4.3  +  … +  99.100.3

       = 1.2.3  +  2.3.(4  -  1)  +  3.4.(5  -  2)  +  …  +  99.100. (101  -  98)

       = 1.2.3  +  2.3.4  -  1.2.3  +  3.4.5 - 2.3.4  + … +  99.100.101 -  98.99.100

                 = 99.100.101

        A = 33.100.101 = 333 300

2) Mét sè d·y sè dÔ dµng tÝnh ®­îc

1  +  2  + 3  +  … +  n

a  +  (a  +  k)  +  (a  +  2k)  +  … +  (a +  nk) k lµ h»ng sè

II) Khai th¸c bµi to¸n 1

Trong bµi to¸n 1 . C¸c thõa sè trong mçi h¹ng tö h¬n kÐm nhau 1 hay c¸ch nhau 1 ®¬n vÞ. Thay ®æi kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c thõa sè trong mçi h¹ng tö ta cã bµi to¸n 2.

Bµi to¸n 2 . TÝnh :A = 1.3  +  3.5  +  5.7  + … +  97.99

Gi¶i

6A = 1.3.6  +  3.5.6  +  5.7.6  +  … +  97.99.6

      = 1.3.(5  +  1)  +  3.5.(7 - 1)  +  5.7(9 - 3)  + … +  97.99(101  -  95)

                = 1.3.5  +  1.3  +  3.5.7  -  1.3.5  +  5.7.9  -  3.5.7  + …

                     +  97.99.101  -  95.97.99

                = 1.3.5  +  3  +  3.5.7  -  1.3.5  +  5.7.9  -  3.5.7  + …

                    +  97.99.101  -  95.97.99

      = 3  +  97.99.101

          = 161 651

                    Trong bµi to¸n 1 ta nh©n A víi 3 (a = 3) . Trong bµi to¸n 2 ta nh©n A víi 6 (a  = 6). Ta cã thÓ nhËn thÊy ®Ó lµm xuÊt hiÖn c¸c h¹ng tö ®èi nhau ta nh©n A víi 3 lÇn kho¶ng c¸ch gi÷a 2 thõa sè trong mçi h¹ng tö.

3k n(n  +  k) = n(n  +  k)(r  +  2k)  -  (n  -  k) n (n  +  k)

Thay ®æi sè c¸c thõa sè trong tÝch ta cã bµi to¸n 3

Bµi to¸n 3 :       TÝnh A = 1.2.3  + 2.3.4  + … +  98.99.100

Gi¶i :

4A = 1.2.3.4  +  2.3.4.4  +  3.4.5.4  + … +  98.99.100.4

                = 1.2.3.4  +  2.3.4(5  -  1)  +  3.4.5(6  -  2)  + … +  98.99.100(101  -  97)

                 = 1.2.3.4  +  2.3.4.5  -  1.2.3.4  +  3.4.5.6  -  2.3.4.5  + …

                       +  98.99.100.101  -  97.98.99.100

                 = 98.99.100.101

  A = 98.99.25.101

            = 24 497 550

Thay ®æi kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c thõa sè trong mçi h¹ng tö ë bµi 3 ta cã bµi to¸n:

Bµi to¸n 4 : TÝnh :

                               A = 1.3.5  +  3.5.7  + … +  5.7.9  + … +  95.97.99

Gi¶i :

8A = 1.3.5.8  +  3.5.7.8  +  5.7.9.8  + … +  95.97.99.8

                = 1.3.5(7 + 1)  +  3.5.7(9 - 1)  +  5.7.9(11 - 3)  + … +  95.97.99(101 - 93)

                = 1.3.5.7 + 15  +  3.5.7.9  -  1.3.5.7  +  5.7.9.11 -  3.5.7.9  + …

                     +  95.97.99.101 - 93.95.97.99

                = 15 + 95.97.99.101

    

                = 11 517 600

Trong bµi 3 ta nh©n A víi 4 (bèn lÇn kho¶ng c¸ch). Trong bµi 4 ta nh©n A víi 8 (bèn lÇn kho¶ng c¸ch). Nh­ vËy ®Ó gi¶i bµi to¸n d¹ng ta nh©n víi 4k (4 lÇn kho¶ng c¸ch) sau ®ã t¸ch

       4kn(n  +  k)(n  +  2k) = n(n  +  k)(n  +  2k)(n  +  3k)  -  (n  -  k)(n  +  k)n(n  +  2k)

Thay ®æi sù kÕ tiÕp lÆp l¹i ë c¸c thõa sè trong bµi to¸n 1 ta cã bµi to¸n:

Bµi to¸n 5 : TÝnh

                                    A = 1.2  +  3.4  +  5.6  + … +  99.100

Gi¶i

A = 2  +  ( 2+ 1).4  +  ( 4 +  1)6  + … +  (98  + 1).100

    = 3  +  2.4 + 4  +  4.6 + 6 + … +  98.100  +  100

    = (2.4 +  4.6 + … +  98.100 )  +  (2  +  4  +  6  +  8  + … +  100)

    = 98.100.102 : 6 + 102.50:2

    = 166600 + 2550

    = 169150

  C¸ch kh¸c

A = 1.(3  -  1)  +  3(5  -  1)  +  5(7  -  1)  + … +  99(101  -  1)

    = 1.3  -  1  +  3.5  -  3  +  5.7  -  5  + … +  99.101  -  99

    = (1.3  +  3.5  +  5.7  + … +  99.101)  -  (1  +  3  +  5  +  7  + … +  99)

    =  171650 – 2500

    = 169150

Trong bµi to¸n nµy ta kh«ng nh©n A víi mét sè h¹ng mµ t¸ch ngay mét thõa sè trong tÝch lµm xuÊt hiÖn c¸c d·y sè mµ ta ®· biÕt c¸ch tÝnh hoÆc dÔ dµng tÝnh ®­îc. Lµm t­¬ng tù víi c¸c bµi to¸n:

Bµi to¸n 6 : TÝnh

                                     A = 12 +  22 +  32 +  42 + … +  1002

Gi¶i :

A = 1  +  2(1  +  1)  +  3(2  +  1)  +  4(3  +  1)  + … +  100(99  +  1)

    = 1  +  1.2  +  2  +  2.3  +  3  +  3.4  +  4  + … +  99.100  +  100

    = (1.2  +  2.3  +  3.4  + … +  99.100)  +  ( 1  +  2  +  3  + … +  100)

    = 333300 + 5050

    = 338350

Thay ®æi kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c c¬ sè trong bµi 6 ta cã bµi to¸n:

Bµi to¸n 7: TÝnh

                               A = 12 +  32 +  52 + … +  992

Gi¶i :

A= 1  +  3(2  +  1)  +  5(2  +  3)  +  7(2  +  5)  +  …  +  99(2  +  97)

   = 1  +  2.3  +  1.3  +  2.5  +  3.5  +  2.7  +  5.7  + … +  2.99  +  97.99

             = 1  +  2(3  +  5  +  7  + … +  99)  +  (1.3 + 3.5 + 5.7  + … +  97.99)

              = 1 + 4998 + 161651

              = 166650

     Trong bµi to¸n 5 vµ 7 cã thÓ sö dông : (n - a) ((n  +  a) = n2 - a2

n2 = (n - a)(n + a)  +  a2

a lµ kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c c¬ sè

         Bµi to¸n 8   TÝnh

                                           A = 1.2.3  + 3.4.5  + 5.6.7 + … +  99.99.100

         Gi¶i :

       A = 1.3.( 5 – 3) + 3.5.( 7 – 3) + 5.7.( 9 -3) + … + 99.101.( 103 – 3)

           = ( 1.3.5  +  3.5.7  + … +  5.7.9  + … +  99.101.103 )

               – ( 1.3.3 + 3.5.3 + … + 99.101.3 )

            = ( 15 + 99.101.103.105): 8 – 3( 1.3 + 3.5 + 5.7 +… + 99.101)

            = 13517400 – 3.171650

            =  13002450

          Thay ®æi sè mò cña bµi to¸n 7 ta cã bµi to¸n:

Bµi to¸n 9 : TÝnh

                                A = 13  +  23  +  33  +  … +  1003

    Gi¶i

Sö dông : (n - 1)n(n + 1) = n3 - n

    n3 = n  +  (n - 1)n(n + 1)

A = 1 + 2 + 1.2.3 + 3 + 2.3.4 + … + 100 + 99.100.101

         = (1 + 2 + 3 + … + 100) + (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101)

        = 5050 + 101989800 = 101994850

Thay ®æi kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c c¬ sè ë bµi to¸n 8 ta cã bµi to¸n .

Bµi to¸n 10: TÝnh

                                A = 13 + 33 + 53 + … + 993

Gi¶i : Sö dông (n - 2)n(n + 2) = n3 - 4n

n3 = (n - 2)n(n + 2) + 4n

A = 1 + 1.3.5 + 4.3 + 3.5.7 + 4.5 + … + 97.99.101 + 4.99

        = 1 + (1.3.5 + 3.5.7 + … + 97.99.101) + 4(3 + 5 + 7 + … + 99)

         = 1 + 12487503 + 9996 = 12497500

Víi kho¶ng c¸ch lµ a ta t¸ch : (n - a)n(n + a) = n3 - a2n.

ë bµi to¸n 8, 9 ta cã thÓ lµm nh­ bµi to¸n 6, 7.

Thay ®æi sè mò cña mét thõa sè trong bµi to¸n 1 ta cã:

Bµi to¸n 11: TÝnh

A = 1.22 + 2.32 + 3.42 + … + 99.1002

 

Gi¶i :

A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + … + 99.100.(101 - 1)

   = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + … + 99.100.101 - 99.100

   = (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100)

   = 25497450 – 333300

   = 25164150

Víi c¸ch khai th¸c nh­ trªn ta cã thÓ khai th¸c, ph¸t triÓn c¸c bµi to¸n trªn thµnh rÊt nhiÒu bµi to¸n hay mµ trong qu¸ tr×nh gi¶i ®ßi hái häc sinh ph¶i cã sù linh ho¹t, s¸ng t¹o.

Trong c¸c bµi to¸n trªn ta cã thÓ thay ®æi sè h¹ng cuèi cïng cña d·y b»ng sè h¹ng tæng qu¸t theo quy luËt cña d·y.

*VËn dông c¸ch gi¶i trªn h·y gi¶i c¸c bµi to¸n sau:

                     1. TÝnh     A = 1.99 + 2.98 + 3.97 + … + 49.51+ 50.50

                    2. TÝnh     B = 1.3 +5.7+9.11+ …+ 97.101   

                    3  TÝnh    C =  1.3.5 – 3.5.7 + 5.7.9 – 7.9.11 + … - 97.99.101

4. TÝnh    D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + … + 49.51

5. TÝnh    E = 1.33 + 3.53 + 5.73 + … + 49.513

6. TÝnh    F = 1.992 + 2.982 + 3.972 + … + 49.512

 

 

 

 

 

 

mét sè ph­¬ng ph¸p tÝnh tæng

I > Ph­¬ng ph¸p dù ®o¸n vµ quy n¹p :

   Trong mét sè tr­êng hîp khi gÆp bµi to¸n tÝnh tæng h÷u h¹n

Sn = a1 + a2 + .... an  (1)

B»ng c¸ch nµo ®ã ta biÕt ®­îc kÕt qu¶ (dù ®o¸n , hoÆc bµi to¸n chøng minh khi ®· cho biÕt kÕt qu¶). Th× ta nªn sö dông ph­¬ng ph¸p nµy vµ hÇu nh­ thÕ nµo còng chøng minh ®­îc .

 VÝ dô 1 : TÝnh tæng    Sn =1+3+5 +... + (2n -1 )

Thö trùc tiÕp ta thÊy : S1 = 1                 

                                   S2 = 1 + 3 =22

                                   S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32

                                    ...      ...             ...

Ta dù ®o¸n Sn = n2

Víi n = 1;2;3 ta thÊy kÕt qu¶ ®óng

gi¶ sö víi n= k ( k 1) ta cã   Sk = k 2    (2)

ta cÇn ph¶i chøng minh Sk + 1 = ( k +1 ) 2 ( 3)

ThËt vËy céng 2 vÕ cña ( 2) víi 2k +1  ta cã

1+3+5 +... + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1)

v× k2 + ( 2k +1) = ( k +1) 2 nªn ta cã (3) tøc lµ Sk+1  = ( k +1) 2

theo nguyªn lý quy n¹p bµi to¸n ®­îc chøng minh

vËy Sn = 1+3=5 + ... + ( 2n -1) = n2

T­¬ng tù ta cã thÓ chøng minh c¸c kÕt qu¶ sau ®©y b»ng ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc .

1, 1 + 2+3 + .... + n =

2, 12 + 2 2 + ..... + n 2 =

3, 13+23 + ..... + n3 =

4, 15 + 25 + .... + n5 = .n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – 1 )

II > Ph­¬ng ph¸p khö liªn tiÕp :

Gi¶ sö ta cÇn tÝnh tæng (1) mµ ta cã thÓ biÓu diÔn ai , i = 1,2,3...,n  , qua hiÖu hai sè h¹ng liªn tiÕp cña 1 d·y sè kh¸c , chÝnh x¸c h¬n , gi¶ sö : a1 =  b1  -  b2

                              a2 =  b2   - b3

           .... .... .....

          an = bn – bn+ 1

khi ®ã ta cã ngay :

                Sn  = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + ......  + ( bn – bn + 1 )

                      =  b1 – bn + 1

VÝ dô 2 : tÝnh tæng :

    S =

Ta cã :       ,           ,          

Do ®ã :

S =

• D¹ng tæng qu¸t

                Sn =   ( n >  1 )

                   = 1-

VÝ dô 3 : tÝnh tæng

         Sn =

Ta cã Sn =

        Sn =  

        Sn =

VÝ dô 4 : tÝnh tæng

  Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n!  ( n! = 1.2.3 ....n )

Ta cã : 1! = 2! -1!

           2.2! = 3 ! -2!

           3.3! = 4! -3!

   ..... ..... .....

            n.n! = (n + 1) –n!

VËy Sn = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +...... + ( n+1) ! – n!

           = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1

VÝ dô 5 : tÝnh tæng

Sn =

Ta cã :       i = 1 ; 2 ; 3; ....; n

Do ®ã      Sn = ( 1-

                   = 1-

III > Ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh víi Èn lµ tæng cÇn tÝnh:

VÝ dô 6 : TÝnh tæng

          S = 1+2+22 +....... + 2100  ( 4)

ta viÕt l¹i S nh­ sau :

          S = 1+2 (1+2+22 +....... + 299 )

         S  = 1+2 ( 1 +2+22+ ...... + 299 + 2 100  - 2100 )

  => S= 1+2 ( S -2 100 )     ( 5)

Tõ (5) suy ra S = 1+ 2S -2101

     S = 2101-1

VÝ dô 7 : tÝnh tæng

         Sn  = 1+ p + p 2 + p3 + ..... + pn ( p1)

Ta viÕt l¹i Sn d­íi d¹ng sau :

Sn = 1+p ( 1+p+p2 +.... + pn-1 )

Sn = 1 + p ( 1+p +p2 +..... + p n-1 + p n –p n )

     Sn = 1+p ( Sn –pn )

     Sn = 1 +p.Sn –p n+1

     Sn ( p -1 ) = pn+1 -1

     Sn =

VÝ dô 8 : TÝnh tæng

Sn = 1+ 2p +3p 2 + .... + ( n+1 ) pn , ( p 1)

Ta cã :   p.Sn  = p + 2p 2 + 3p3 + ..... + ( n+ 1) p n +1

       = 2p –p +3p 2 –p2 + 4p3–p3 + ...... + (n+1) pn - pn + (n+1)pn –pn + ( n+1) pn+1

= ( 2p + 3p2 +4p3 + ...... +(n+1) pn ) – ( p +p + p + .... pn ) + ( n+1) pn+1

= ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ ....... + ( n+1) pn ) – ( 1 + p+ p2 + .... + p n) + ( n +1 ) pn+1

p.Sn=Sn- ( theo VD 7 )

L¹i cã (p-1)Sn = (n+1)pn+1  -

     Sn =

IV > Ph­¬ng ph¸p tÝnh qua c¸c tæng ®· biÕt

• C¸c kÝ hiÖu :
• C¸c tÝnh chÊt :

      1,

     2, 

VÝ dô 9 : TÝnh tæng :

Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ......... + n( n+1)

Ta cã :  Sn =

V× :

      (Theo I )

cho nªn : Sn =

VÝ dô 10 : TÝnh tæng :

Sn =1.2+2.5+3.8+.......+n(3n-1)

ta cã : Sn =

               =

Theo (I) ta cã :

Sn =

VÝ dô 11 . TÝnh tæng

Sn = 13+ +23 +53 +... + (2n +1 )3

 ta cã :

Sn = [( 13 +2 3 +33 +43 +....+(2n+1)3 ] –[23+43 +63 +....+(2n)3]

    = [13+23 +33 +43 + ..... + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 +......+ n3 )

Sn =     ( theo (I) – 3 )

=( n+1) 2(2n+1) 2 – 2n2 (n+1)2

= (n +1 )2 (2n2 +4n +1)

V/ VËn dông trùc tiÕp c«ng thøc tÝnh tæng c¸c sè h¹ng cña d·y sè c¸ch ®Òu ( Häc sinh líp 6 )

• C¬ së lý thuyÕt :

+ ®Ó ®Õm sè h¹ng cña 1 d·y sè mµ 2 sè h¹ng liªn tiÕp cña d·y c¸ch nhau cïng 1 sè ®¬n vÞ , ta dïng c«ng thøc:

   Sè sè h¹ng = ( sè cuèi – sè ®Çu 0 : ( kho¶ng c¸ch ) + 1

+ §Ó tÝnh tæng c¸c sè h¹ng cña mét d·y sè mµ 2 sè h¹ng liªn tiÕp c¸ch nhau cïng 1 sè ®¬n vÞ , ta dïng c«ng thøc:

          Tæng = ( sè ®Çu – sè cuèi ) .( sè sè h¹ng ) :2

VÝ dô 12 :

TÝnh tæng A = 19 +20 +21 +.... + 132

Sè sè h¹ng cña A lµ : ( 132 – 19 ) : 1 +1 = 114 ( sè h¹ng )m

                         A = 114 ( 132 +19 ) : 2 = 8607

VÝ dô 13 : TÝnh tæng

B = 1 +5 +9 +.......+ 2005 +2009

sè sè h¹ng cña B lµ ( 2009 – 1 ) : 4 + 1 = 503

                          B = ( 2009 +1 ) .503 :2 = 505515

VI / V©n dông 1 sè c«ng thøc chøng minh ®­îc vµo lµm to¸n

VÝ dô  14 : Chøng minh r»ng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 )

Tõ ®ã tÝnh tæng S = 1..2+2.3 + 3.4 +...... + n (n + 1)

Chøng minh : c¸ch 1 : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1)

                                          = k( k+1)

           = k (k+1) .3

          = 3k(k+1)

C¸ch 2 : Ta cã k ( k +1) = k(k+1).  

       =   *

     3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1)

=> 1.2 =

        

S =

VÝ dô 15 : Chøng minh r»ng :

                 k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2)

tõ ®ã  tÝnh tæng S = 1.2 .3 + 2.3 .4 +3.4.5 +.... + n(n+1) (n+2)

Chøng minh : VT = k( k+1) (k+2)

   = k( k+1) ( k +2 ) .4

Rót ra : k(k+1) (k+2) =

¸p dông : 1.2.3 =

                2.3.4 =

                ..........................................................

                n(n+1) (n+2) =

Céng vÕ víi vÕ ta ®­îc S =

* Bµi tËp ®Ò nghÞ :

TÝnh c¸c tæng sau

1, B = 2+ 6 +10 + 14 + ..... + 202

2, a, A = 1+2 +22 +23 +.....+ 26.2 + 2 6 3 

    b, S = 5 + 52 + 53 + ..... + 5 99  + 5100

        c, C = 7 + 10 + 13 + .... + 76

3, D = 49 +64 + 81+ .... + 169

4, S = 1.4 + 2 .5 + 3.6 + 4.7 +.... + n( n +3 ) ,       n = 1,2,3 ,....

5, S =

6, S =

7, A =

8, M =

9, Sn =

10, Sn =

11, Sn =

12, M = 9 + 99 + 999  +...... + 99..... .....9

           50 ch÷ sè 9                             

13, Cho:    S1 = 1+2                          S3 = 6+7+8+9

                  S2 = 3+4+5                     S4 = 10 +11 +12 +13 + 14

    TÝnh S100  =?

    Trong qu¸ tr×nh båi d­ìng häc sinh giái , t«i ®· kÕt hîp c¸c d¹ng to¸n cã liªn quan ®Õn d¹ng tÝnh tæng ®Ó rÌn luyÖn cho c¸c em , ch¼ng h¹n d¹ng to¸n t×m x :

14,  a, (x+1) + (x+2) + (x+3) +...... + ( x+100 ) = 5070

       b, 1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x =  820

       c, 1 +

Hay c¸c bµi to¸n chøng minh sù chia hÕt liªn quan

15, Chøng minh : a,   A = 4+ 22 +23 +24 +..... + 220 lµ luü thõa cña 2

                             b,   B =2 + 22 + 2 3 + ...... + 2 60 3 ; 7; 15

                             c,  C = 3 + 33 +35 + ....+ 31991 13 ;  41

                            d,  D = 119 + 118 +117 +......+ 11 +1    5