Tỉ lệ vàng

Để tìm hiểu về “con số thần thánh”, ta thử xem một đoạn trích trong bộ tiểu thuyết nổi tiếng “Mật mã Da Vinci” của Dan Brown

“…

Để tìm hiểu về “con số thần thánh”, ta thử xem một đoạn trích trong bộ tiểu thuyết nổi tiếng “Mật mã Da Vinci” của Dan Brown

“…

Để tìm hiểu về “con số thần thánh”, ta thử xem một đoạn trích trong bộ tiểu thuyết nổi tiếng “Mật mã Da Vinci” của Dan Brown

“…

1,618
Langdon quay mặt về phía đám đông sinh viên dầy hào hứng: “Ai có thể nói cho tôi biết con số này là gì?”.
Một sinh viên chân dài chuyên ngành toán học ngồi ở phía sau giơ tay: “Đó là số PHI”. Cậu ta dài giọng ph-i-i.
“Tốt lắm Stettner”, Langdon nói, “xin giới thiệu PHI với tất cả”.
“Đừng có nhầm lẫn với PI”, Stettner thêm vào rồi cười toét. Như cánh toán học chúng tôi thích nói: “PHI hơn hẳn PI một con H”.
Langdon cười nhưng dường như không ai hiểu câu nói đùa đó.
Stettner buồn thiu.
“Số PHI này”. Langdon tiếp tục, “một-phấy-sáu-một-tám, là một con số vô cùng quan trọng trong nghệ thuật. Ai có lhể nói cho tôi biết tại sao?”.
Stettner cố chứng tỏ mình lần nữa: “Bởi vì nó rất đẹp phải không ạ?”.
Mọi người cười rộ lên.
“Thực ra”, Langdon nói, “Stettner lại một lần nữa nói đúng. Nói tóm lại, PHI được coi là con số đẹp nhất trong vũ trụ”.
Tiếng cười đột ngột dứt hắn, và Stettner đắc chí.
Vừa lắp phim vào máy chiếu Slide, Langdon vừa giải thích rằng số PHI bắt nguồn từ dãy số Fibonacci - một cấp số nổi tiếng không chỉ vì tổng số những số hạng kề nhau sẽ bằng số hạng kế tiếp, mà còn bởi thương số của những số hạng kề nhau có một đặc tính kỳ lạ là đều suýt xoát số l,618 - PHI!
Mặc dù nguồn gốc toán học của số PHI có vẻ như huyền bí, Langdon giải thích, khía cạnh gây sửng sốt thực sự của PHI lại nằm ở vai trò của nó với tư cách là một nhân tố xây dựng mang tính nền tảng trong tự nhiên. Thực vật, động vật, và thậm chí cả con người đều có những thuộc tính về kích thước gắn chặt với tỉ số giữa PHI và 1 tới một dộ chính xác kỳ bí!
“Số PHI có mặt khắp nơi trong tự nhiên”, Langdon vừa nói vừa tắt đèn, “rõ ràng điều đó vượt quá sự trùng hợp, và vì vậy nên người xưa cho rằng con số PHI hần là đã được tiền định bởi Đấng Sáng Thế. Các nhà khoa học buổi ban đầu đã tuyên bố một - phẩy - sáu - một - tám là Tỷ lệ thần thánh”.
“Khoan”, một cô gái ở hàng ghế đầu lên tiếng, “Tôi là sinh viên chuyên khoa sinh học và tôi chưa bao giờ thấy Tỷ lệ thần thánh này trong tự nhiên cả”.
“Chưa à?”, Langdon mỉm cười. “Bạn đã bao giờ nghiên cứu con cái và con đực trong xã hội của loài ong chưa?”.
“Đương nhiên rồi. Sô ong cái luôn nhiều hơn số ong đực”.
“Chính xác. Và bạn có biết rằng nếu bạn chia số ong cái cho số ong đực trong bất cứ một tổ ong nào trên thế giới, bạn luôn được cùng một số thương không?”.
“Thầy đã làm rồi ạ?”.
“Đúng vậy. Số PHI”.
Cô gái há hốc miệng: “Không thể nào?”.
“Hoàn toàn có thể!”. Langdon quặc lại, rồi mỉm cười chiếu một hình vỏ ốc trên slide. “Bạn nhận ra cái này chứ?”.
“Đó là một con ốc anh vũ”, cô sinh viên sinh học nói. “Một loài nhuyễn thể có vỏ cứng, có thể đẩy không khí vào trong vỏ để điều chỉnh độ nổi hay chìm trong nước”.
“Chính xác. Và bạn có thể đoán được tỉ số của mỗi đường kính vòng xoắn này với đường kính vòng xoắn kế tiếp không?”.
Cô gái có vẻ phân vân khi quan sát những vòng tròn đồng tâm trên vỏ xoắn của con ốc anh vũ.
Langdon gật đầu: “PHI. Tỷ lệ thần thánh. Một-phẩy-sáu-một-tám trên một”.
Trông cô gái đầy vẻ kinh ngạc.
Langdon chuyển sang tấm slide tiếp theo - bản chụp cận cảnh một đầu hạt hoa hướng dương: “Hạt hoa hướng dương có những vòng xoáy đối ngược nhau. Bạn có thể đoán được tỉ số giữa đường kính vòng tròn này với đường kính vòng trên kế tiếp không?”.
“Là PHI?” Tất cả đồng thanh.
“Tuyệt”. Bây giờ Langdon chiếu nhanh tất cả các tấm slide các đường trôn ốc trên quả thông, cách sắp xếp lá trên những nhánh cây các vạch trên bụng côn trùng, tất cá đều tuân theo Tỷ lệ thần thánh đến mức kinh ngạc.
“Thật kỳ lạ”, ai đó reo lên.
“Phải”, một người khác nói, “nhưng cái đó có liên quan gì đến nghệ thuật?”.
“Aha”, Langdon reo lên, “rất vui vì bạn đã hỏi điều đó”. Ông chiếu một tấm slide khác - một tấm giấy da vàng nhạt có hình người đàn ông khỏa thân nổi tiếng của Leonardo Da Vinci. Người Vitruvian được đặt tên theo Marcus Vitruvius, kiến trúc sư lỗi lạc người La mã, người đã đánh giá rất cao Tỷ lệ thần thánh trong một cuốn sách của ông mang tên Kiến trúc.
“Không ai hiểu cấu trúc thần thánh của con người hơn Da Vinci. Thực tế Da Vinci đã khai quật các ngôi mộ để đo đạc chính xác tỉ lệ các cấu trúc xương trong cơ thể con người. Ông là người đầu tiên chứng minh rằng cơ thể con người, nói một cách chính xác theo nghĩa đen, được làm bằng các khối mà tỉ lệ giữa chúng luôn luôn là PHI”.
Mọi người trong giảng đường đều nhìn ông với vẻ ngờ vực.
“Không tin tôi phải không?”. Langdon thách thức. “Lần tới các bạn tắm vòi hoa sen, hãy thử đo mình bằng thước dây xem”.
Hai cầu thủ bóng đá cười khúc khích.
“Không chỉ hai bạn vận động viên kia đâu”, Langdon phản ứng lại ngay.
“Mà là tất cả các bạn. Nào các chàng trai, cô gái. Thử nhé. Hãy đo khoảng cách từ đỉnh đầu các bạn cho đến khi chạm đất. Rồi chia nó cho khoảng cách từ rốn các bạn đến mặt đất. Hãy đoán xem con số mà các bạn đạt được”.
“Không phải số PHI!” Một trong hai gã vận động viên thốt lên, không tin.
“Là số PHI”, Langdon đáp lại, “một-phẩy-một-sáu-một-tám.
Cần một ví dụ khác nữa không? Hãy đo khoảng cách từ vai đến các đầu ngón tay, rồi chia nó cho khoảng cách từ khuỷu tay đến các đầu ngón tay. Lại một số PHI nữa. Một ví dụ khác nhé? Hãy chia khoảng cách từ đầu gối đến mặt đất cho khoảng cách từ hông đến mặt đất. Một số PHI nữa. Lòng bàn tay.
Ngón chân cái. Các dốt sống. PHI. PHI. PHI. Các bạn của tôi ơi, mỗi người trong các bạn đều là một minh chứng sống cho Tỷ lệ thần thánh”.
Ngay cả trong bóng tối, Langdon cũng có thể nhìn thấy tất cả bọn họ sững sờ. Ông cảm thấy một sự ấm nóng quen thuộc trong lòng. Đây chính là lý do tại sao ông dạy học.
“Các bạn của tôi như các bạn đã thấy, bên dưới sự hỗn độn của thế giới, vẫn có một trật tự. Khi người xưa phát hiện ra số PHI, họ chắc chắn rằng họ đã tình cờ tìm thấy yếu tố cơ bản mà Chúa Trới dùng để tạo nên thế giới này, và họ tôn thờ tự nhiên vì lí do đó. Và người ta có thể hiểu tại sao trong tự nhiên rõ ràng có bàn tay của Chúa Trời, và cho đến ngày nay vẫn còn tồn tại những tôn giáo vô thần thờ Mẹ Đất. Nhiều người trong chúng ta tôn vinh tự nhiên theo cách mà những tín đồ ngoại giáo vẫn làm, mà thậm chí không biết thế. Ngày mồng một tháng năm là một thí dụ điển hình, ngày lễ tôn vinh mùa xuân... Trái Đất hồi sinh để ban tặng sự hào phóng của mình. Ngay từ buổi sơ khai, người ta đã viết về phép thuật bí ẩn cố hữu nơi Tỷ lệ thần thánh. Con người chỉ đơn giản hoạt động theo những quy luật của tự nhiên, và bởi vì nghệ thuật chính là nỗ lực của con người để bắt chước cho được vẻ đẹp từ bàn tay Đấng Sáng Thế, các bạn có thể tướng tượng rằng chúng ta sẽ được tận mắt thấy rất nhiều bằng chứng về Tỷ lệ thần thánh trong nghệ thuật học kỳ này”.
Hơn một nửa giờ nữa trôi qua, Langdon cho đám sinh viên xem những slide về các tác phẩm nghệ thuật của Michelangelo, Albrecht, Dyrer, Da Vinci và nhiều người khác, để minh chứng sự áp dụng triệt để và đầy chủ ý của mỗi nghệ sĩ đối với Tỷ lệ thần thánh trong bố cục mỗi tác phẩm của mình. Langdon cũng chỉ rõ PHI trong các kích thước kiến trúc của đền Parthenon Hi lạp, của các Kim tự tháp Ai cập, và thậm chí của cả tòa nhà trụ sở của Liên hợp quốc tại New York. PHI cũng xuất hiện trong cấu trúc tổ chức của các bản sonate của Mozart, bản giao hướng số 5 của Beethoven, cũng như các tác phẩm của Bartók, Debussy và Schubert. Số PHI, Langdon nói với sinh viên, thậm chí còn được Stradivarius sử dụng để tính toán vị trí chính xác của những khe hình chữ, khi ông tạo ra những cây đàn viôlông nổi tiếng của mình.
“Để khép lại”. Langdon vừa nói vừa bước về phía chiếc bảng, “chúng ta quay trở về với các biểu tượng”. Ông vẽ năm đường giao nhau, tạo nên một ngôi sao năm cánh: “Đây là một trong những hình ảnh đầy quyền năng nhất mà các bạn sẽ thấy trong học kỳ này. Bình thường nó được biết đến như là một hình sao năm cánh - hay pentacle như lổ tiên ta đã gọi - biểu tượng này được nhiều nền văn hóa coi là linh thiêng và huyền bí. Có ai có thể nói cho tôi biết vì sao lại thế không?”.
Stettner, anh sinh viên khoa toán đó, lại giơ tay: “Bởi vì nếu thầy vẽ một hình sao năm cánh, các đường thẳng sẽ tự chia nó thành những đoạn theo Tỷ lệ thần thánh”.
Langdon gật đầu đầy tự hào với chàng sinh viên: “Rất tốt. Đúng thế, tỉ lệ giữa các đoạn thẳng trong hình sao năm cánh, tât cả đều bằng PHI, khiến cho biểu tượng này trở thành biểu hiện rối hậu của Tỷ lệ thần thánh.
Vì lý do này, hình sao năm cánh luôn luôn là biểu tượng của vẻ đẹp và sự hoàn hảo gắn với các nữ thần và tính nữ linh thiêng”.
Các cô gái trong lớp mỉm cười rạng rỡ.
“Các bạn, xin lưu ý một điểm. Hôm nay chúng ta mới chỉ đụng đến Da Vinci một chút thôi, nhưng rồi chúng ta sẽ còn tiếp xúc với ông nhiều hơn nữa trong học kỳ này. Leonardo là một người say mê những phong cách cổ xưa của các nữ thần, về điều này chúng ta có rất nhiều tài liệu. Ngày mai tôi sẽ cho các bạn xem bức bích họa Bữa ăn tối cuối cùng của ông, đó là một trong những biểu hiện kỳ diệu nhất sự tôn kính dối với tính nữ thiêng liêng mà các bạn sẽ có dịp được chiêm ngưỡng”.
“Thầy đang nói đùa bọn em, phải không ạ?” Ai đó lên tiếng.
“Em nghĩ Bữa ăn tối cuối cùng là về Chúa Jesus?”.
Langdon nháy mắt: “Có những biểu tượng lẩn khuất ở những chỗ mà bạn không thể tướng tượng nổi”

.…”

Vậy Φ (Phi) là gì?

Tỉ lệ vàng

Tỉ lệ vàng ( tiếng Latinh : sectio aurea) là một tỉ lệ xác định giữa 2 số hoặc 2 đại lượng . Nó xấp xỉ khoảng 1,618 : 1 . Độ dài trong tỉ lệ vàng trong lĩnh vực Nghệ thuật , Kiến trúc được coi là một tỷ lệ siêu việt. Nó tạo cho con người một cảm giác đẹp , hài hòa và dễ chịu...

Tỉ lệ này chúng ta còn có thể gặp rất nhiều trong tự nhiên và toán học với tính chất rất thú vị của nó . Nó còn được gọi là phép chia liên tục hoặc là phép chia thần thánh (tiếng Latinh proportio divina ) .

1) Trước hết ta tìm hiểu về định nghĩa và tính chất cơ bản của nó :

Hai số được gọi là có tỉ lệ vàng với nhau khi tỉ lệ giữa số lớn và số bé bằng với tỉ lệ giữa tổng hai số và số lớn . Tỉ lệ này thướng được kí hiệu bằng chữ cái Hy Lạp Φ (Phi). Nếu ta gọi số lớn là a số bé là b thì ta sẽ có định nghĩa sau :

* Phi là một số vô tỉ nên ta không thể định nghĩa nó là kết quả của một phép chia 2 số (ví dụ p/q) và không thể sử dụng nó một cách chính xác tuyệt đối, mà chỉ làm tròn trong một chừng mực nào đó với một mục đích xác định ( Ý nghĩa cơ bản của nó trong tự nhiên , hoặc trong lĩnh vực nghệ thuật ) . Tất nhiên Phi cũng không phải là một số siêu việt ví dụ như π hoặc là e.

*Nếu ta lấy đoạn lớn trừ đi đoạn bé, ta sẽ được một đoạn bé hơn mà tỉ lệ của trung bình cộng 3 đoạn so với nó lại vẫn là Tỉ lệ vàng .

* Nếu một hình chữ nhật có hai cạnh tỉ lệ với nhau theo tỉ lệ vàng , người ta gọi nó là hình chữ nhật vàng. Tương tự như thế người ta gọi một tam giác là tam giác vàng nếu nó có hai cạnh tỉ lệ với nhau theo tỉ lệ vàng .

*Nếu tiếp tục ta sẽ có một góc rất có ý nghĩa sau này đó là Góc vàng Ψ (Psi):

* Ta cũng có thể gặp Tỉ lệ vàng trong dãy số vô hạn của Leonardo da Pisa mà người ta gọi là dãy số Fibonacci : (Số sau bằng tổng hai số liền trước nó)

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233.....

Có người lấy số đầu tiên là số 1 nhưng theo tôi đầu tiên phải là hai số 0 và 1.

Tại sao lại có tỉ lệ vàng trong dãy số Fibonacci ? Thật vậy , nếu dãy số đủ dài ta có thể lấy số liền sau chia cho số đứng trước nó, ta sẽ được tỉ lệ vàng 1,618033988..

2) Hình học

Nguyên nhân của sự yêu thích đối với tỉ lệ vàng có thể là tính bất hợp lý của nó . Điều đó có nghĩa là chính sự bất hợp lý này tạo ra sự khác biệt của nó đối với các tỉ lệ nhỏ của các số nguyên khác (Ví dụ 2/3 hay 3/4 ) , chính là điều mà sự thẩm mỹ cần. Tỉ lệ này đã và đang được dùng để giảm bớt đi sự tròn trịa của các chiều dài sao cho không có một sự đo đạc chính xác về trực quan để kiểm tra.

Các hình chữ nhật dưới đây để so sánh tỉ lệ giữa chiều dài của 2 cạnh (Ở đây là chiều rộng và chiều cao) :

Cùng với các ứng dụng các tỉ lệ này theo chiều từ trái qua phải :

4:3 Tỉ lệ truyền thống của máy thu hình (Cho cả màn màn hình máy vi tính Ví dụ 1024*768 Pixel ) Tỉ lệ này do Thomas Alva Edison năm 1898 đặt ra cho kích thước phim (35mm Film) là 24*18.

√2 : 1 Tỉ lệ 2 cạnh của một tờ giấy A4. Nếu cắt đôi theo chiều ngang ta lại được 2 tờ giấy khác với 2 cạnh theo đúng tỉ lệ này.

3:2 Tỉ lệ Film nhỏ 36mm * 24mm.

Φ : 1 Tỉ lệ vàng (Hay tỉ lệ thần thánh) ở đây đã được tính tương đối khoảng 144*89 pixel với sai số lý thuyết là 5·10-5 .

5:3 Được sử dụng bên cạnh tỉ lệ 1,85:1 cho màn hình chiếu phim ở rạp.

16:9 Tỉ lệ 2 cạnh của vô tuyến màn ảnh rộng.

Cách tạo Tỉ lệ vàng chỉ bằng Thước kẻ và Compa : thực ra có ít nhất 4 cách để tạo tỉ lệ vàng, nhưng ở đây chỉ trình bày một cách đơn giản và được nhiều người sử dụng nhất :

Trên đường thẳng vuông góc với AB dựng điểm C sao cho BC bằng 1 nửa AB.

Đường tròn tâm C bán kính CB cắt AC tại D.

Đường tròn tâm A bán kính AD cắt AB tại S.

ta sẻ có điểm S chia AB theo tỉ lệ thần thánh.

Hình Ngôi Sao

Hình ngôi sao là một biểu tượng kỳ bí có thể gọi là lâu đời nhất của lịch sử. Nó cũng có mối quan hệ với tỉ lệ thần thánh.

Thật vậy ta có thể tìm thấy ở bất kì một cạnh nào của hính ngôi sao , kể cả cạnh lớn hay cạnh bé một cạnh khác, mà 2 cạnh này tỉ lệ với nhau theo tỉ lệ thần thánh.

Ta sẽ chứng minh điều này :

Ta nhận thấy ngay là CD=CC (vì tam giác CDC´ có 2 góc bằng nhau).

Theo tam giác đồng dạng ta cũng có rằng:

Với chú ý là AB =AC + BC, và đổi tên các đoạn bằng nhau, ta sẽ quay lại đúng định nghĩa trên về Tỉ lệ vàng.

Lịch sử

Hippasos (khoảng năm 450 trước công nguyên) là một người trong một tổ chức bí mật gọi là Pythagoreer trong việc nghiên cứu hình ngũ giác đã phát hiện ra rằng tỉ lệ giữa 1 cạnh của ngũ giác và một đường chéo của nó không thể là kết quả của một phép chia giữa 2 số nguyên được. Điểu này như là một điều trái ngược với Pythagoreer , bởi vì họ cho rằng có thể biểu thỉ tất cả mọi thứ dưới dạng các số nguyên. Và mỉa mai thay, Hippasos trong việc nghiên cứu hình sao 5 cánh(Biểu tượng của Pythagoreer ) đã tìm ra số vô tỉ, cũng như là tỉ lệ vàng giữa 2 số. Và cùng với việc công bố kết quả này trái với luật lệ của Pythagoreer nên Hippasos đã bị phạt.

Người đầu tiên có những miêu tả chính xác cụ thể về Tỉ lệ vàng là Euklid (khoảng năm 300 trước công nguyên ) qua việc nghiên cứu các hình đa giác, hình ngũ giác và sao 5 cánh . Các miêu tả của Euklid được dịch là ''proportio habens medium et duo extrema'' mà sau này mọi người quen với cách dịch là '' phép chia theo tỉ lệ trong và tỉ lệ ngoài'' .

Người tiếp nối Euklid sau này trong việc nghiên cứu tỉ lệ vàng là Franziskanermönch Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro (1445 - 1514).Là một giáo viên toán ở Perugia. Ông này gọi tỉ lệ này là tỉ lệ thần thánh và kết luận rằng việc dựng các khối đa diện cần sự giúp đỡ rất lớn của tỉ lệ thần thánh. Ông gọi là ''De Divia Proportione'' và cho ra đời 3 cuốn sách riêng biệt vào năm 1509 . Trong cuốn đầu tiên ông chỉ nêu các vấn đề toán học không có một liên quan gì giữa tỉ lệ thần thánh với nghệ thuật . Trong cuốn thứ hai ông đưa ra một đoạn ngắn về sự liên quan giữa bản viết của một người Rom Vitruv từ thế kỉ 1 trước công nguyên với Kiến trúc. Trong này nói về lấy tỉ lệ người như là một khuôn mẫu. Trong cuốn sách của ông bao gồm cả một nghiên cứu của Leonardo da Vinci về người Vitruv.

Trong bức tranh nổi tiếng này của de Vinci thì tỉ lệ giữa cạnh hình vuông và bán kính của hình tròn chính là tỉ lệ vàng với độ sai lệch là 1,7 %. Độ sai lệch này không được đưa ra trong cuốn sách của ông.

Có một người nữa sau này đã kết hợp ''De Divia Proportione'' và nghiên cứu của Da Vinci để đưa ra mối liên quan giữa tỉ lệ vàng và Nghệ thuật là Adolf Zeising (1854). Ông này bị hoàn toàn thuyết phục, rằng mọi vật thể sống đều tuân theo một qui luật tự nhiên về thẩm mỹ, mà cơ bản ở đây là tuân theo tỉ lệ vàng . Ông đã tìm kiếm và nhận thấy rằng tỉ lệ vàng có ở khắp mọi nơi. Bản viết của ông nhanh chóng đã tạo ra một phấn chấn liên quan đến tỉ lệ vàng. Các nghiên cứu về lịch sử cũng cho rằng trước Zeising thì chưa có một ai tin vào tỉ lệ vàng.

Định nghĩa tỉ lệ vàng được đưa ra vào năm 1835 chỉ vài năm sau đó đã được Martin Ohm (Anh em trai của Georg Simon Ohm với định luật Ohm nổi tiếng ) đưa vào giảng dạy trong một giaó trình toán. Cụm từ sectio aurea cũng được đưa ra trong thời kì này.

Gustav Theodor Fechner nguời sáng lập ra tâm lý học thực hành đã làm một thí nghiệm vào năm 1876 và khẳng định mối liên quan giữa con người và tỉ lệ vàng.Tuy nhiên các kết quả đo về chia các đoạn và Elip lại không chỉ ra điều đó . Nhưng các thí nghiệm mới đây cho rằng các kết quả thời đó đã bị ảnh hưởng nhiều bởi các điều kiện khác nhau. Fechner tìm kiếm xa hơn ở các bức tranh viện bảo tàng ở châu âu và đưa ra kết luận là tỉ lệ theo chiều cao là 4:5 và chiều ngang là 4:3. Điều này rõ ràng là lệch với tỉ lệ vàng.

Vào những năm đầu thế kỉ 20 xuất hiện một bài viết về quan sát tỉ lệ vàng của một người Rumani Matila Costiescu Ghyka . Ông đã kết hợp giữa lí thuyết của Pacioli và nghiên cứu về thẩm mỹ của Zeising và đưa đến kết luận là Tỉ lệ vàng như là một bí ẩn của vũ trụ và từ đó dẫn đến tất cả các ví dụ trong tự nhiên.

CON SỐ VÀNG

Sách giáo khoa Toán 6 có giới thiệu “tỉ số vàng”. Đó là số 1/ 0,618 Nhiều học sinh hỏi “từ đâu có giá trị gần đúng này ?”, “Giá trị chính xác của “con số vàng” là bao nhiêu ?”.Sau đây ta sẽ tìm hiểu vài điều bí mật của “con số vàng”.

1. Người ta thường dùng chữ  (đọc là “phi”) để chỉ “con số vàng”

Bạn hãy chứng minh rằng :

a) Nếu cộng thêm 1 vào  thì ta được bình phương của :

 + 1 = 2

b) Nếu trừ  cho 1 thì ta được số nghịch đảo của  :

 - 1 = 1/

2. Một cách dựng đoạn thẳng có số đo bằng  .