TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
Trong chủ đề này, chúng tôi xin giới thiệu một chuyên đề hình học lớp 10 nữa, đó là phép nhân vô hướng của hai vecto. Phép nhân này cho kết quả là một số, số đó gọi là tích vô hướng của hai vecto. Để có thể xác định tính vô hướng của hai vecto ta cần đến khái niệm giá trị lượng giác của một góc bất kì với là mở rộng của khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn đã biết ở lớp 9.
§1. Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ đến
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa
Với mỗi góc ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho . Tung độ của điểm M là sin của góc , kí hiệu là
Hoành độ của điểm M là côsin của góc , kí hiệu .
Giả sử điểm M có tọa độ . Khi đó
Khi , tỉ số được gọi là tang của góc , kí hiệu .
Khi , tỉ số được gọi là cotang của góc , kí hiệu .
Các số được gọi là các giá trị lượng giác của góc .
Nhận xét: Với định nghĩa này, ta thấy:
+ Góc bất kì từ đến có sin thuộc đoạn .
+ Góc bất kì từ đến có cosin thuộc đoạn .
+ Với :
+ Với :
2. Các hệ thức lượng giác cơ bản
1. . 4.
2. . 5.
3. . 6.
3.Tính chất
a) Hai góc phụ nhau
1. . 4.
2. . 5.
b) Hai góc bù nhau
1. . 4.
2. . 5.
4. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Giá trị lượng giác
0
1
1
0
0
1
||
||
1
0
Ghi nhớ:
Cách 1: Quy tắc bàn tay trái.
- Bước 1: Ghi các góc đặc biệt lên các ngón tay như hình vẽ (lòng bàn tay hứng vào trong).
Tính giá trị lượng giác của góc nào, ta quặp ngón tay đó lại như hình vẽ.
- Bước 2:
Cách 2: Đánh số vị trí cho các góc lần lượt theo thứ tự là 0, 1, 2, 3, 3.
Chú ý: Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác.
Chẳng hạn:
5. Góc giữa hai vectơ
a) Định nghĩa
Cho hai vectơ và đều khác vectơ . Từ một điểm O bất kì ta vẽ và . Góc với số đo từ đến được gọi là góc giữa hai vectơ và . Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ và và . Nếu thì ta nói rằng và vuông góc với nhau, kí hiệu là hoặc
Lời giải
b) Nhận xét:
Từ định nghĩa ta có .
+ khi và chỉ khi và cùng hướng.
+ khi và chỉ khi và ngược hướng.
B. Các dạng toán điển hình
Xác định tọa độ của điểm M
Với dạng toán này, học sinh cần nắm vững định nghĩa..
Ví dụ 1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là một điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho (như hình vẽ). Tọa độ của điểm M là:
A. B.
C. D.
Lời giải
Vì hoành độ của điểm M là , tung độ của điểm M là nên tọa độ của điểm M là .
Đáp án C.
Ví dụ 2:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là một điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho (như hình vẽ). Hoành độ của điểm M là:
A. B. C. D.
Phân tích:Dựa vào ví dụ 1, hoành độ điểm M là .Dùng máy tính cầm tay ta suy ra kết quả là đáp án A. Ta sẽ chuẩn xác lời giải bằng 2 cách sau:
Lời giải
Cách 1: (Dùng hình học)
Xét tam iacs ABC cân tại A, . Khi đó .
Dựng phân giác CD. Suy ra tam giác ACD cân tại D, tam giác BCD cân tại C.
Do đó:
nguon VI OLET
