tinh nhanh

20.TÍNH NHANH

Bài 1:
        Tính nhanh
999999999:81-123456789:10+11111111,1         (9 chữ số 9 và 9 chữ số 1)

 Giải

999999999:81-123456789:10+11111111,1
= 12345679    –    12345678,9 + 11111111,1       

= 0,1 + 11111111,1

= 11111111,2                                  

Bài 2:

 Giải

a).

2/9 + 6/27 + 8/36 + 12/54 + 16/72 + 18/81 =

2/9 x 6 = 4/3

b).

(1-2/5)x(1-2/7)x(1-2/9)x……x(1-2/99)=

3 x 5 x 7 x ……… x 97     =     3/99

5 x 7 x 9 x ……….x 99

c).

Gọi A= 1/2+1/4+1/8+1/16+…+1/1024

Nhân A với 2:

Ax2 = 1+1/2+1/4+1/8+……..+1/512

Ax2 – A = 1+1/2+1/4+1/8+……..+1/512 – (1/2+1/4+1/8+1/16+…+1/512+1/1024)

A = 1 – 1/1024 = 1023/1024

Cách 2:

(1-1/2)+(1/2-1/4)+………+(1/512-1/1024) =

1 – 1/1024 = 1023/1024

Bài 3:

Tính tổng: 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 +.............+ 99x100

 Giải

Gọi biểu thức trên là A, ta có :

A = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + ...+ 99x100

A x 3 = 1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3 + 4x5x3 + ... + 99x100x3

A x 3 = 1x2x3 + 2x3x(4-1) + 3x4x(5-2) + 4x5x(6-3) + ... + 99x100x(101-98)

A x 3 = 1x2x3 + 2x3x4 - 1x2x3 + 3x4x5 - 2x3x4 + 4x5x6 - 3x4x5 + ... + 99x100x101 - 98x99x100.

A x 3 = 99x100x101

A = 99x100x101 : 3

A = 333300

Bài 3b:

  Tính:      1x3 +2x4+3x5+ 4x6+......+ 99x101

  Giải

1x3 +2x4 + 3x5 + 4x6 + ... + 99x101 =

(2-1)(2+1) + (3-1)(3+1) + (4-1)(4+1) + (5-1)(5+1) + ...+ (100-1)(100+1) =

(2x2 -1) + (3x3 – 1) + (4x4 – 1) + (5x5 – 1) + … + (100x100 – 1) =

2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + … + 100x100 – 99 =  (1)

Mà:

2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + … + 100x100  =

2x(3-1) + 3x(4-1) + 4x(5-1) + 5x(6-1) + …. + 100x(101-1) =

2x3-2 + 3x4-3 + 4x5-4 + 5x6-5 + … + 100x101-100 =

2x3 + 3x4 + 4x5 + 5x6 + … + 100x101 – (2+3+4+5+…+100) =  (2)

Ta lại xét :

2x3 + 3x4 + 4x5 + 5x6 + … + 100x101  =

[2x3x(4-1) + 3x4x(5-2) + 4x5x(6-3) + … + 100x101x(102-99)] : 3 =

(2x3x4 – 1x2x3 + 3x4x5 – 2x3x4 + 4x5x6 – 3x4x5 + … + 100x101x102 – 99x100x101) : 3 =  

(100x101x102 – 1x2x3) : 3 = 343 398

Thay kết quả 343 398 vào (2) ta được :

343 398 – (2+100) x 99 : 2 = 338 349

Thay kết quả 348 447 vào (1) ta được :

338 349 – 99 = 338 250

Bài 4:

        Tính nhanh.

        8/9 x 15/16 x 24/25 x...x 2499/2500

 Giải

8/9 x 15/16 x 24/25 x...x 2499/2500

= (2x4)/(3x3) x (3x5)/(4x4) x (4x6) / (5x5) x ... x (49x51) / 50x50)

= 2x4x3x5x4x6x...x49x51 / 3x3x4x4x5x5x...x50x50 (giản ước tử và mẫu)

= (2x51) / (3x50)

= 17/25

Bài 5:

        Tính nhanh:

        A = 1/1x2x3 + 1/2x3x4 + 1/3x4x5 + ... + 1/98x99x100

 Giải

1/1x2x3= ½ x(1/(1x2) – 1/(2x3)   

1/2x3x4= ½ x(1/(2x3) – 1/(3x4)

1/3x4x5= ½ x(1/(3x4) – 1/(4x5)   

……………………………

1/98x99x100= ½ (1/(98x99) – 1/(99x100)

A = ½ x (1/1x2 – 1/2x3 + 1/2x3 – 1/3x4 + 1/3x4 – 1/4x5  + …….. + 1/98x99 – 1/99x100)

A = ½ x (1/1x2 – 1/99x100) =1/2 x ( ½ - 1/9900)

    = ½ x (4950/9900 – 1/9900) =1/2 x 4949/9900

A = 4949/19800

Hoặc :

Nhân A với 2 ta được:

A = 2/1x2x3 + 2/2x3x4 + 2/3x4x5 + ... + 2/98x99x100

   = (1/1x2 – 1/2x3) + (1/2x3 – 1/3x4) + (1/3x4 – 1/4x5)  + …….. + (1/98x99 – 1/99x100)
   = 1/1x2 – 1/99x100 = 1/2 – 1/9900 = 9898/19800
Vậy:
A = 1/1x2x3 + 1/2x3x4 + 1/3x4x5 + ... + 1/98x99x100
   = 9898/19800 : 2

A = 4949/19800

Bài 6:
        Tính: A=1x2x3 + 2x3x4 +…+ 100x101x102
 Giải

A=1x2x3 + 2x3x4 +…+ 100x101x102
Nhân A với 4 ta được:
A x 4 = 1x2x3x4 + 2x3x4x 4 + 3x4x5x4 +…+100x101x102x4
A x 4 = 1x2x3x4 + 2x3x4x(5-1) + 3x4x5x(6-2) + ... + 100x101x102x(103 - 99)
A x 4 = 1x2x3x4 + 2x3x4x5 - 1x2x3x4 + 3x4x5x6 - 2x3x4x5 + ... + 100x101x102x103 - 99x100x1001x102
Sau khi cộng - trừ giản ước ta có : A x 4 = 100x101x102x103
A = 100 x101x102x103 : 4 = 26527650

Bài 7:
Tính nhanh: 11 x 34 – ( 34 + 6 x 34 + 102)

Tính nhanh:
11x34-(34+6x34+102) = 11x34 – [34x(1+6+3)] =  11x34 – 10x34 = 34

Bài 8:
Tính nhanh:         2x3+3x4+4x5+5x6+....+29x30

            Giải

Gọi biểu thức trên là A, ta có :

A = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + ...+ 29x30

A x 3 = 1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3 + 4x5x3 + ... + 29x30x3

A x 3 = 1x2x3 + 2x3x(4-1) + 3x4x(5-2) + 4x5x(6-3) + ... + 29x30x(31-28)

A x 3 = 1x2x3 + 2x3x4 - 1x2x3 + 3x4x5 - 2x3x4 + 4x5x6 - 3x4x5 + ... + 29x30x31 – 28x29x30.

A x 3 = 29x30x31

A = 29x30x31 : 3

A = 8990

Bài 9:

So sánh A và B biết:

A= 163% X 167%                           B= 165% X 165%

 Giải

Nhân A và B với 10000

A x 10000 = 163 x 167 = 165 x 163 + 165 + 161 = 165 x 164 + 161

B x 10000 = 165 x 165 = 165 x 164 + 165

Do 161 < 165 nên    A x 10000 < B x 10000

Hay:     A < B

Bài 10:

        Tính tổng :  A = 1 + 4 + 9 + 16 + .....+ 100       (A= 1x1 + 2x2 + 3x3 + … + 10x10)

 Giải

A = 1 + 4 + 9 + 16 + ….. + 100

A = 1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + …… + 10x10

A = 1x(2-1) + 2x(3-1) + 3x(4-1) + …. + 10x(11-1)

A = 1x2 – 1 + 2x3 – 2 + 3x4 – 3 + …… + 10x11 – 10

A = (1x2 + 2x3 + 3x4 + ….. + 10x11) – (1+2+3+ … + 10)

A = (10x11x12) : 3 – (1+2+3+ …. +10)

A = 440 – 55

A = 385

Bài 11: (Giống bài 10)

        Tính nhanh:  B = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + .............. + 100 x 100

 Giải

B = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + .............. + 100 x 100

    = 1 x (2 - 1) + 2 x (3 - 1) + 3 x (4 - 1) + .................. + 100 x (101 – 1)

    = 1 x 2 – 1 + 2 x 3 – 2 + 3 x 4 – 3 + ..................... + 100 x 101 – 100

    = (1 x 2 + 2 x 3 + ............ + 100 x 101) – (1 + 2 + 3 + ................ + 100)

    = (100 x 101 x 102) : 3 - (101 x 100 : 2) 

    = 343400 – 5050

B = 338350

Bài 12:

        Tính tổng :  A = 4 + 16 + 36 + 64 +.....+ 10000

 Giải

A:4 = 1 + 4 + 9 + 16 + ….. + 2500

A:4 = 1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + …… + 50x50

A:4 = 1x(2-1) + 2x(3-1) + 3x(4-1) + …. + 50x(51-1)

A:4 = 1x2 – 1 + 2x3 – 2 + 3x4 – 3 + …… + 50x51 – 50

A:4 = (1x2 + 2x3 + 3x4 + ….. + 50x51) – (1+2+3+ … + 50)

A:4 = (50x51x52) : 3 – (1+2+3+ …. +50)

A:4 = 46 852 – 1275 = 45 577

A = 45 577 x 4

A = 182 380

Bài 13:

        Tính M = 1 + 9 + 25 + 49 +...+ 9801

 Giải

Cộng 2 vế với: 4+16+36+….+10000

M + (4+16+36+….+10000) = 1+4+9+16+25+….+9801+10000

    = 1x1 + 2x2 + 3x3 + …….. + 100x100

    = 1 x (2 - 1) + 2 x (3 - 1) + 3 x (4 - 1) + .................. + 100 x (101 – 1)

    = 1 x 2 – 1 + 2 x 3 – 2 + 3 x 4 – 3 + ..................... + 100 x 101 – 100

    = (1 x 2 + 2 x 3 + ............ + 100 x 101) – (1 + 2 + 3 + ................ + 100)

    = (100 x 101 x 102) : 3 - (101 x 100 : 2) 

    = 343400 – 5050

    = 338350

M + (4+16+36+….+10000) = 338350

Ta thầy : 4+16+36+….+10000

    = 4x(1 + 4 + 9 + …….. + 2500)

    = 4x(1x1 + 2x2 + 3x3 + …….. + 50x50)

    = 4x(1 x (2 - 1) + 2 x (3 - 1) + 3 x (4 - 1) + .................. + 50 x (51 – 1))

    = 4x(1 x 2 – 1 + 2 x 3 – 2 + 3 x 4 – 3 + ..................... + 50 x 51 – 50 )

    = 4x[(1 x 2 + 2 x 3 + ............ + 50 x 51) – (1 + 2 + 3 + ................ + 50)]

    = 4x[(50 x 51 x 52) : 3 - (50 x 51 : 2)] 

    = 171700

Vậy:  M + 171700 = 338350

M = 338350 – 171700

M = 166 650

Bài 14:

        Tính nhanh:    (1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100) / (1/1x2 + 1/3x4 + .......... + 1/99x100)

 Giải

Xét mẫu số:   1/(2x3) + 1/(3x4) + …… + 1/(99x100)

       = 1/1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + ......... + 1/99 – 1/100

       = (1 + 1/3 + ............ + 1/99) – (1/2 + 1/4 + .......... + 1/100)

       = (1 + 1/3 + ............ + 1/99)+(1/2+1/4+1/6+….+1/100) – (1/2+1/4+1/6+ .......... + 1/100)x2

       = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..... + 1/99 + 1/100) – (1 + 1/2  + 1/3 + ....... +1/50 )

       = 1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100            (Đơn giản số trừ)

Vậy:  (1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100) / (1/1x2 + 1/3x4 + .......... + 1/99x100)   = (1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100) / (1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100) = 1

Bài 14b:

A =  1/ 51 + 1/ 52 + 1/ 53 +...+ 1 /100   . Chứng minh :  7 /12  

1/51 ; 1/52 ; 1/53 ; …. ; 1/74  đều lớn hơn 1/75

=>  1/51 + 1/52 + … + 1/75 > 25/75 = 4/12

1/76 ; 1/77 ; 1/78 ; … ;1/99 đều lớn hơn 1/100

=>   1/76 + 1/77 + … + 1/100 > 25/100 = 3/12

=>   1/51 + 1/52 + … + 1/100 > 4/12 + 3/12 = 7/12

Và

1/51 ; 1/52 ; 1/53 ; …. ; 1/75  đều bé hơn 1/50

=>  1/51 + 1/52 + … + 1/75 < 25/50 = 6/12

1/76 ; 1/77 ; 1/78 + … ;1/99 đều bé hơn 1/75

=>   1/75 + 1/76 + 1/77 + … + 1/100 < 25/75 = 4/12

=>   1/51 + 1/52 + … + 1/100 < 6/12 + 4/12 = 5/6

Vậy:     7/12 < A < 5/6

Bài 15:

        Tính nhanh:   1/(1 x2) + 1/ (2 x 3) + 1/ (3 x 4) + ................. + 1/ (2013 x 2014)

 Giải

Ta thấy:

1/(1x2) = 1 – 1/2

1/(2x3) = 1/2 – 1/3

1/(3x4) = 1/3 – 1/4

……………

Nên:   1/1 x2 + 1/ 2 x 3 + 1/ 3 x 4 + ................. + 1/ 2013 x 2014 =

1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + ........................ + 1/2013 – 1/2014 =

1 – 1/2014 = 2013/2014

Bài 16

        Tính A=  1/1x2x3 + 1/2x3x4 + 1/3x4x5 + ... + 1/2013x2014x2015

 Giải

Nhân 2 vế với 2:

Ax2 = 2/1x2x3 + 2/2x3x4 + 2/3x4x5 + ... + 2/2013x2014x2015

        = 1/1x2-1/2x3 +1/2x3 - 1/3x4 + 1/3x4 -1/4x5 + ...+1/2013x2014 - 1/2014x2015

        = 1/1x2 - 1/2014x2015 =  4056194 / 8116420

A = 4056194 / 8116420 : 2

A = 2028097 / 8116420

Mở rộng: Mẫu số có tích 4 số tự nhiên liên tiếp như trường hợp sau ta 2 vế với 3. Chú ý là: 3 = 4-1 = 5-2 = 6-2 = ………
A = 1/1x2x3x4 + 1/ 2x3x4x5 + 1/3x4x5x6 + … + 1/27x28x29x30

A x 3 = 3/1x2x3x4 + 3/2x3x4x5 + 3/3x4x5x6 + .......... + 3/27x28x29x30

A x 3 = 1/1x2x3 - 1/2x3x4 + 1/2x3x4 - 1/3x4x5 + 1/3x4x5 - 1/4x5x6 + ........+ 1/27x28x29 - 1/28x29x30

A x 3 = 1/1x2x3 - 1/28x29x30 = 1/6 - 1/24360 = 146154 / 146160

A = 48718 / 146160

Bài 17:

        Tính:  S = 1x2-2x3+3x4-4x5+5x6-6x7+...-1998x1999+1999x2000
 Giải

S = 1x2-2x3+3x4-4x5+5x6-6x7+...-1998x1999+1999x2000
S = 1x2 +(3x4-2x3)+(5x6-4x5)+(7x8-6x7)+……..+(1999x2000 – 1998x1999)
  = 2 + 3x(4-2) + 5x(6-4) + 7x(8-6) + ……… + 1999 x (2000-1998)
   = 2 + 3x2 + 5x2 + 7x2 + ……… + 1999x2
   = 2 x (1+3+5+7+…..+ 1999)
S = 2 x 1000000 = 2 000 000

Bài 18:

        Tính nhanh

                8/9 x15/16 x24/25 x 35/36 x ........x 99/100

 Giải

Ta thấy:

8/9 = (2x4)/(3x3)  ;  15/16 = (3x5)/(4x4)  ;  24/25 = (4x6)/(5x5) ; …. ; 99/100 = (9x11)/(10x10)

Nên có thể viết lại :

(2x4x3x5x4x6 x5x7x6x8x7x9x8x10x9x11) / (3x3x4x4x5x5x6x6x7x7x8x8x9x9x10x10)

 (2 x 11) / (3 x 10) = 22/30 = 11/15

Bài 19:

    Tính nhanh:

        1x4+2x5+3x6+...+99x102

 Giải

1x4+2x5+3x6+...+99x102 = 1x (2+2) + 2x(3+2) + 3x(4+2) + …. + 99x(100+2) =

(1x2+2x3+3x4+ …+99x100) + (2+4+6+…+198) =

Ta thấy: 1x2+2x3+3x4+…+99x100 nhân với 3 thì được

1x2x3+2x3x(4-1)+3x4x(5-2)+…+99x100x(101-98) =

1x2x3+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+….+99x100x101-98x99x100 =

99x100x101 = 999900

Vậy :  1x2+2x3+3x4+…+99x100 = 999900 : 3 = 333300

Còn 2+4+6+…+198 có (198-2) :2+1= 99 (số hạng)

Tổng bằng :  (198+2)x99 :2 = 9900

Kết quả :

1x4+2x5+3x6+...+99x102 = 333 300 + 9 900 = 343 200

Bài 20:

    Tính nhanh

        A = 1 + 2 + 4 + 8 + ..................... + 4096 + 8192

 Giải

Cách 1:

A x 2 = 2 + 4 + 8 + ....................... + 16384

A x 2 – A = 16384 – 1 = 16383

Vậy A = 16383

Cách 2:

Ta thấy: Tổng 3 số hạng đầu là:

1 + 2 + 4 = 3 + 4

Tổng 4 số hạng đầu là:

1 + 2 + 4 + 8 = 7 + 8

Tổng 5 số hạng đầu là:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 15 + 16

Theo quy luật đó ta sẽ tính được kết quả của tổng trên là:

A = 1 + 2 + 4 + 8 + ..................... + 4096 + 8192 = 8191 + 8192 = 16383

Vậy A = 16383

Cách 3:

Nhận xét từ TỔNG 3 số hạng đầu về sau ta được:

1+2+4              = 3+4

1+2+4+8         = 7+8

1+2+4+8+16   = 15+16

………………………

Vậy A = (8192-1)+8192 = 16383

PHẦN BỔ SUNG

Bài 21:

  Tính tổng: 

5/27 + 5/(27x2) + 1/(6x3) + 1/(3x9) + 5/(3x63) + 5/(63x4) + 5/(4x81) + 1/81

 Giải

S = 5/27 + 5/(27x2) + 1/(6x3) + 1/(3x9) + 5/(3x63) + 5/(63x4) + 5/(4x81) + 1/81

S = 5/27 + 5/54 + 1/18 + 1/27 + 5/189 + 5/252 + 5/324 + 1/81

S = 5/27 + 5/54 + 5/90 + 5/135 + 5/189 + 5/252 + 5/324 + 5/405

S = 5/(9x3) + 5/(9x6) + 5/(9x10) + 5/(9x15) + 5/(9x21) + 5/(9x28) + 5/(9x36) + 5/(9x45)

S = 10/(9x6) + 10/(9x12) + 10/(9x20) + 10/(9x30) + 10/(9x42) + 10/(9x56) + 10/(9x72) + 10/(9x90)

S = 10/9 x (1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90)

S = 10/9 x (1/2x3 + 1/3x4 + 1/4x5 + 1/5x6 + 1/6x7 + 1/7x8 + 1/8x9 + 1/9x10)

S = 10/9 x (1/2 -13 + 1/3-1/4 + 1/4-1/55 + 1/5-1/6 + 1/6-1/7 + 1/7-1/8 + 1/8-1/9 + 1/9-1/10)

S = 10/9 x (1/2 - 1/10) = 10/9 x 4/10

S = 4/9

Bài 22:

Tính A=

  Giải

A =

Bài 23:

Tìm A biết:

(1-1/3)x(1-1/6)x(1-1/10)x(1-1/15)x....x(1-1/780)xA=1

 Giải

(1-1/3) x (1-1/6) x (1-1/10) x (1-1/15)x ...x (1-1/780) =
2/3x 5/6x x 9/10 x...x 779/780 =
4/6 x 10/12 x 18/20 x ...x 1558/1560 =
4x10 x 18 x...x 1558/6x 12 x 20 x ...x 1560 =
(1x4)x(2x5)x(3x6)x ... (37x40)x (38 x 41) / (2x3)x(3x4)x(4x5)x … x(39x40) =
Giản ước ta còn
41/3x39 = 41/117
Ta được:
41/117 x A = 1
A = 1 : 41/117
A = 117/41

Bài 24:

Tính:    

 Giải

=

=

=

=

=

= =

Bài 25:

Tính nhanh.

A = 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + 1/21 + 1/28 + 1/36 + 1/45

 Giải

Nhân A với 1/2. Ta được:

A/2 = 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90

       = 1/(2x3) + 1/(3x4) + … + 1/(9x10)

       = 1/2 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + …+ 1/9 – 1/10

       = 1/2 – 1/10 = 4/10

A   = 4/10 x 2 = 4/5

Bài 26:

Tính nhanh :  A =

 Giải

Ta có thể viết lại :

A =

A =

A x 12 =

A x 12 =

A x 12 = =

A =

Bài 27:

So sánh A và B. Biết:

A  = 1 x 2 + 2 x 4 + 3 x 6 + 4 x 8 +5 x 10 / 3 x 4 + 6 x 8 + 9 x 12 + 12 x 16 + 15 x 20          

B = 11111 / 66665 

 Giải

A = 1x2 + 1x2x2x2 + 1x2x3x3 + 1x2x4x4 + 1x2x5x5  / 3x4 + 3x4x2x2 + 3x4x3x3 + 3x4x4x4 + 3x4x5x5

A = 1x2 x (4+9+16+25) / 3x4 x (4+9+16+25) = 1/6

A = 11111/66666

Vậy

A < B

Bài 28:

Tính:       6+16+30+48+...+19600+19998

 Giải

B = 6 + 16 + 30 + 48 +...+ 19600 + 19998

Chia cả 2 vế cho 2 ta được

B/2 = 3 + 8 + 15 + 24 +  ......... + 98000+ 9999

B/2= 1x3+2x4+3x5+4x6+…….+98x100+99x101

B/2= 100/6.[(100-1)x(2x100+1)] = 328350

Suy ra: B =328350x2=656700

Bài 29:

Tính: 1+ 3 + 6 +10 +...+4851+4950

 Giải

C=1+ 3 + 6 +10 +...+4851+4950

Nhân cả 2 vế với 2 ta được

           2xC= 1x2 + 2x3 + 2x6 +2x10 + ……… 2x4851+2x4950

            2xC=2+6+12+20+…………..+9702+9900

2xC = 1.2+2.3+3.4+...+99.100 = 333300

 Suy ra:       A= 333300:2 = 166650

Bài 30:

Tính: D = 2 + 5 + 9 + 14 + ....+ 4949 + 5049

 Giải

Nhân cả 2 vế với 2 ta được

2xD=1x4+    2x5+ 3x6+   4x7+……..+98x101+99x102

2xD = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+...+99(100+2)

2xD = 1x2+1x2+2x3+2x2+3x4+3x2+...+99x100+99x2

2xD= (1x2+2x3+3x4+...+99x100)+2(1+2+3+...+99)

2xD =           333300       +                      9900        =      343200

 Suy ra :   D= 343200 :2 =171600

Bài 31:

Tính:    S = 2 + 2x2 + 2x2x2 + 2x2x2x2 + 2x2x2x2x2

  Giải

Sx2 = 2x2 + 2x2x2 + 2x2x2x2 + 2x2x2x2x2 + 2x2x2x2x2x2

Sx2 – S = (2x2 + 2x2x2 + 2x2x2x2 + 2x2x2x2x2 + 2x2x2x2x2x2) – (2 + 2x2 + 2x2x2 + 2x2x2x2 + 2x2x2x2x2)

S = 2x2x2x2x2x2 – 2

Bài 32:

Chứng minh rằng với n là số tự nhiên, n>1 thì:

3/(9x14)+3/(14x19)+....+3/[(5n-1)x(5n +4)] <1/15

 Giải

Đặt A = 3/(9x14)+3/(14x19)+....+3/[(5n-1)x(5n +4)]

Nhân A với 5/3 ta được:

5/3A = 5/(9x14)+5/(14x19)+....+5/[(5n-1)x(5n +4)]

5/3A = 1/9 – 1/(5n+4)

A = 3/5 x [1/9 – 1/(5n+4)]

Với n > 1 thì  [1/9 – 1/(5n+4)] < 1/9

Mà    3/5 x 1/9 = 1/15

Suy ra:   A = 3/5 x [1/9 – 1/(5n+4)] < 1/15

Hay:    3/(9x14)+3/(14x19)+....+3/[(5n-1)x(5n +4)] <1/15

Bài 33:

Cho A = 2/3^2 +2/5^2+2/7^2 +.....+2/2007^2. Chứng minh A <1003/2008

 Giải

Ta thấy

2/(3x3) < 2/(2x4)  = 1/2 – 1/4

2/(5x5) < 2/(4x6) = 1/4 – 1/6

2/(7x7) < 2/(6x8) = 1/6 – 1/8

………

2/(2007x2007) < 2/(2006x2008) = 1/2006 – 1/12008

Nên:

A = 2/3^2 +2/5^2+2/7^2 +.....+2/2007^2 < 2/(2x4) + 2/(4x6) + …. + 2/(2006x2008) <

1/2 – 1/4 + 1/4 – 1/6 + 1/6 – 1/8 + … + 1/2006 – 1/2008 =

1/2 – 1/2008 = 1003/2008

Vậy:  A < 1003/2008