Hà Việt Chương Tiểu học A Phú Lâm – Phú Tân - An Giang
25.Toán KHÓ
Bài 1: Tổng của các tích 2 số tự nhiên liên tiếp
Tính tích S = 1x2 + 2x3 + 3x4 + ……………… + 11x12 + 12x13
Giải
Cách 1:
S = 1x2 + 2x3 + 3x4 + ……………… + 11x12 + 12x13
3S=1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3+ ………. + 11x12x3 + 12x13x3
Ta lấy K = 1x2x3 +2x3x4 + 3x4x5 + …… + 11x12x13 + 12x13x14
- 3S = 1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3+ ……… + 11x12x3 + 12x13x3
------------------------------------------------------------------------------------
K – 3S = 0 + 2x3x1 + 3x4x2 + …… .. + 11x12x10 + 12x13x11
K – 3S = K – 12x13x14
Từ đó suy ra: 3S = 12x13x14
S = 4x13x14 = 728
Cách 2:
S x 3 = 1x2x3 + 2x3x(4-1) + 3x4x(5-2) + …. + 11x12x(13-10) + 12x13x(14-11)
S x 3 = 1x2x3 + 2x3x4 – 2x3x1 + 3x4x5 – 3x4x2 + …..+ 11x12x13 – 11x12x10 +12x13x14 – 12x13x11
S x 3 = 12 x 13 x14
S = 4 x 13 x 14
S = 728
Bài 2: Tổng các phân số
Cho A= 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64
Giải
Cách 1:
Cách 2:
Hà Việt Chương Tiểu học A Phú Lâm – Phú Tân - An Giang
Bài 3: Tổng các phân số
Cho A= 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42
Giải
Bài 4: Tổng các phân số
Cho A= 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + ... + 1/n . Biết A= 49/50 . Tìm n.
Giải
Hà Việt Chương Tiểu học A Phú Lâm – Phú Tân - An Giang
Bài 5:
Bài 6:
Tính A = 2008+2007/2+2006/3+2005/4+...+2/2007+1/2008
1/2 + 1/3 + 1/4 +…………..+ 1/2008 + 1/2009
Ta có tử số bằng: 2008+2007/2+2006/3+2005/4+…..+2/2007+1/2008
(Phân tích 2008 thành 2008 con số 1 rồi đưa vào các nhóm)
= (1 + 2007/2) + (1 + 2006/3) + (1 + 2005/4) +... + (1 + 2/2007) + ( 1 + 1/2008) + (1)
= 2009/2 + 2009/3 + 2009//4 + ……. + 2009/2007 + 2009/2008 + 2009/2009
= 2009 x (1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/2007 + 1/2008 + 1/2009)
Mẫu số: 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/2007 + 1/2008 + 1/2009
Vậy
Hà Việt Chương Tiểu học A Phú Lâm – Phú Tân - An Giang
A = 2009
Bài 7
Bài 8:
Hà Việt Chương Tiểu học A Phú Lâm – Phú Tân - An Giang
Bài 9:
Cho A = 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 +1/6 +.................+ 1/16 + 1/17
Chứng minh rằng A không phải là số tự nhiên.
Giải
Ta có:
A = (1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5) + (1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + 1/10 + 1/11) +
(1/12 + 1/13 + 1/14) + (1/15 + 1/16 + 1/17) <
(1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5) + 3(1/6) + 3(1/9) + 3(1/12) + 3(1/15) =
2(1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5) < 2(1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/4) = 3
Mặt khác
A = (1/2 + 1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12) +
(1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16) + 1/17 >
(1/2 + 1/3 + 1/4) + 4(1/8) + 4(1/12) + 4(1/16) =
2(1/2 + 1/3 + 1/4) > 2(1/2 + 1/4 + 1/4) = 2 => 2 < A < 3
Vậy A không là số tự nhiên
Bài 10:
Tính: A=1x2x3+2x3x4+…+100x101x102
A = 1x2x3 + 2x3x4 +…+ 100x101x102
Nhân A với 4 ta có :
A x 4 = 1x2x3x4 + 2x3x4x 4 + 3x4x5x4 +…+100x101x102x4
A x 4 = 1x2x3x4 + 2x3x4x(5-1) + 3x4x5x(6-2) + ... + 100x101x102x(103 - 99)
A x 4 = 1x2x3x4 + 2x3x4x5 - 1x2x3x4 + 3x4x5x6 - 2x3x4x5 + ... + 100x101x102x103 - 99x100x1001x102
Sau khi cộng - trừ giản ước ta có : A x 4 = 100x101x102x103
A = 100 x101x102x103 : 4 = 26527650
Bài 11:
Cho một số tự nhiên có 2014 chữ số. Biết rằng với hai chữ số liên tiếp theo thứ tự đã viết thì tạo thành số có hai chữ số chia hết cho 17 hoặc chia hết cho 23. Nếu chữ số cuối cùng của số đó là chữ số 1 thì chữ số đầu tiên là chữ số nào?
Ta suy luận dần thế này:
Chữ số cuối cùng là 1 thì chữ số liền trước phải là 5 để 51 chia hết cho 17 (51:17=3) ………51
Trước chữ số 5 phải là 8 để có 85:17=5 ……….851
Trước chữ số 8 phải là 6 để có 68:17=4 ……….6851
Trước chữ số 6 phải là 4 để có 46:23=2 ……….46851
Trước chữ số 4 phải là 3 để có 34:17=2 ……….346851
Trước chữ số 3 phải là 2 để có 23:23=1 ……….2346851
Trước chữ số 2 phải là 9 để có 92:23=4 ……….92346851
Trước chữ số 9 phải là 6 để có 69:23=3 ……….692346851
…………..
Tiếp tục: ………….
Hà Việt Chương Tiểu học A Phú Lâm – Phú Tân - An Giang
92346 92346 92346 851
Ta thấy quy luật lập nhiều lần lại 5 chữ số: 9;2;3;4;6 cuối cùng là 851.
Bỏ 3 chữ số cuối cùng (851) thì còn lại: 2014-3=2011 (chữ số)
Chia nhóm 5 thì được: 2011 : 5 = 402 (nhóm 5) dư 1.
Chữ số cuối cùng trong nhóm 5 là chữ số 6.
Vậy chữ số đầu tiên trong dạy là 6
(6 92346 92346 92346 …………. 92346 92346 851)
Bài 12:
Tính tổng : A=38/25 + 9/10 - 11/15 + 13/21 - 15/28 + 17/36 - ................+197/4851-199/4950
Từ: 9/10 - 11/15 + 13/21 - 15/28 + 17/36 – 19/45... + 197/4851 - 199/4950
Ta có thể viết lại: (9/10 - 11/15) + (13/21 - 15/28) + 17/36 – 19/45... + (197/4851 - 199/4950)
Ta thấy :
(9/10 - 11/15) = 1/6 = 1/(2x3) = 1/2 – 1/3
(13/21 – 15/28) = 1/12 = 1/(3x4) = 1/3 – 1/4
(17/36 – 19/45) = 1/20 = 1/(4x5) = 1/4 – 1/5
………………..
(197/4851 – 199/4950) = 1/2450 = 1/(49x50) = 1/49 – 1/50
Ta được:
9/10 - 11/15 + 13/21 - 15/28 + 17/36 – 19/45... + 197/4851 - 199/4950 =
1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+ …. + 1/49-1/50 = 1/2 – 1/50 = 24/50
Vậy :
A = 38/25 + 24/50 = 2
A = 2
Bài 13:
Cho dãy số: 4/3;9/8;16/15;25/24;36/35;....Hãy tìm số hạng thứ 98 và tính tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy số.
Giải
Hà Việt Chương Tiểu học A Phú Lâm – Phú Tân - An Giang
Bài 14:
Trong một giải bóng đá có k đội tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt (2 đội bất kì thi đấu với nhau một trận).Đội thắng được 3 điểm. Đội hòa được 1 điểm và đội thua không được điểm nào. Kết thúc giải, người ta nhận thấy rằng số trận thắng-thua gấp đôi số trận hòa và tổng số điểm các đội là 176. Hãy tìm k ?
Trận thắng 3 điểm, trận hòa 2 điểm (vì mỗi đội được 1 điểm).
số trận thắng-thua gấp đôi số trận hòa
Tổng số điểm là 176 điểm.
Tỉ số điểm cho trận thắng-thua và hòa là: (3x2) / (2x1) = 3/1
Tổng số phần bằng nhau:
1 + 3 = 4 (phần)
Số điểm cho các đội hòa là:
176 : 4 = 44 (điểm)
Số trận hòa là:
44 : 2 = 22 (trận)
Số điểm cho các trận thắng thua là :
176 – 44 = 132 (điểm)
Số trận thắng thua là :
132 : 3 = 44 (trận)
Tổng số các trận đấu là :
22 + 44 = 66 (trận)
Do k là số đội nên số trận đấu sẽ là :
k x (k-1) : 2
Ta được :
k x (k-1) : 2 = 66
k x (k-1) = 66x2 = 132
Do k và (k-1) là 2 số tự nhiên liên tiếp và 132 = 12 x 11
nên k = 12 (Hay có 12 đội thi đấu.)
Hà Việt Chương Tiểu học A Phú Lâm – Phú Tân - An Giang
Bài 15:
Tinh: A = 9+99+999+....+9.....9(co 50 chu so 9)
Ta thấy:
9 = 10 - 1
99 = 100 - 1
999 = 1000 - 1
....
99...99 = 100...00 - 1 (50 chữ số 0)
Suy ra:
9 + 99 + 999 + 9999 + 99........99 (50 chữ số 9)
= (10 - 1) + (100 - 1) + ... + (100...00 - 1)
= (10 + 100 + ... + 100...00) - (1 + 1 + 1 + ...+ 1) (50 chữ số 1 cộng với nhau)
= 111....10 - 50 (50 chữ số 1)
= 111....1160 (48 chữ số 1)
Bài 16:
Cho A = 671 x 999…997 + 2013 (thừa số 999…997 có tất cả 99 chữ số 9)
Tính tổng các chữ số của A.
A = 671 x 99…997 + 2015 ( thừa số 99…997 có 99 chữ số 9)
= 671 x 100..00 – 671 x 3 + 2015 ( số 100..00 có 100 chữ số 0 )
= 67100…00 – 2013 + 2015
= 67100…00 + 2
= 67100..02
Vậy tổng các chữ số của A là: 6 + 7 + 1 + 2 = 16
Đáp số: 16
Bài 17:
Tinh: A = 9+99+999+....+9.....9 (co 50 chu so 9)
Ta thấy:
9 = 10 - 1
99 = 100 - 1
999 = 1000 - 1
....
99...99 = 100...00 - 1 (50 chữ số 0)
Suy ra:
9 + 99 + 999 + 9999 + 99........99 (50 chữ số 9)
= (10 - 1) + (100 - 1) + ... + (100...00 - 1)
= (10 + 100 + ... + 100...00) - (1 + 1 + 1 + ...+ 1) (50 chữ số 1 cộng với nhau)
= 111....10 - 50 (50 chữ số 1)
= 111....1060 (48 chữ số 1)
Bài 17b:
Tính: A=5+55+555+.......+55...55(co 50 chu so 5)
A = 5/9 x (9+99+999+…+99…99) (có 50 chữ số 9)
=5/9 x (10-1 + 100-1 + 1000-1 +…+ 100..00-1)
Hà Việt Chương Tiểu học A Phú Lâm – Phú Tân - An Giang
=5/9 x (10+100+1000+…+100..00 – 50)
=5/9 x (111..110 – 50) (111…110 có 50 chữ số 1)
= 5/9 x 111…060 (có 48 chữ số 5)
= 555…55300/9 (có 48 chữ số 5)
Công thức tổng quát:
A = a+aa+aaa+…+aa…aa (có n chữ số a)
nguon VI OLET
