PhÇn I /  c¨n thøc bËc 2.

I/§Þnh nghÜa – TÝnh chÊt:

1. C¨n bËc hai sè häc :

* §N:    C¨n bËc 2 sè häc cña 1 sè a kh«ng ©m lµ sè x sao cho  x2 = a.

- Sè d­¬ng a cã ®óng 2 CBH lµ 2 sè ®èi nhau : vµ - .

- Sè 0 cã ®óng 1 CBH , chÝnh lµ 0 : = 0.

* Chó ý : Víi a 0  ta cã x =   x 0 vµ x2 = a

* §Þnh lÝ : Víi a , b 0  ta cã  a < b  <

2. C¨n thøc bËc 2:

 - Víi A lµ 1 biÓu thøc ®¹i sè , ta gäi lµ c¨n thøc bËc 2 cña A , cßn A lµ biÓu thøc

lÊy c¨n hay biÓu thøc d­íi dÊu c¨n.

 - §KX§ cña A lµ  A 0  .

3. H»ng ®¼ng thøc :    - Víi ta cã .

* 

*  Chó ý : nÕu A 0.

4.  C¨n bËc 3:       C¨n bËc 3 cña 1 sè lµ sè x sao cho  x3 = a . 

. Mçi sè a cã duy nhÊt 1 c¨n bËc 3 lµ .

. §KX§  cña lµ .

*  Chó ý :  C¨n bËc 3 cña 1 sè d­¬ng  ( hay 1 sè ©m ) lµ 1 sè d­¬ng ( hay 1 sè ©m )

II/ C¸c phÐp biÕn ®æi c¨n bËc hai :

1.    ( A; B 0 ). 2.      ( B 0 ). 3.         ( A 0 ; B > 0 ). 4.

5. . 6. a,     b,      c,

III/ Mét sè  tÝnh chÊt më réng vÒ c¨n thøc :

1. Víi A; B 0  ta cã  :  A = B

                                        A < B  

2.   0 < A < 1 A < < 1  

3.   A  > 1   1 < < A

4.    ;     xn = a  ( n ch½n)

5.    xn = a  ( n lÎ ).

6.

7.                 

8.                  

9. 

10. ( m; n N;   m; n 2 )

11.   ( k 0 ).

12.

 

*  . DÊu “  = ” x¶y ra khi a = 0 hoÆc b = 0

* . DÊu “  = ” x¶y ra khi a = b  hoÆc b = 0

*    DÊu “  = ” x¶y ra khi a = b 

*   ( a > 0 ; b > 0 )

*   DÊu “  = ” x¶y ra khi a b 0

*   DÊu “  = ” x¶y ra khi a b 0 HoÆc a b 0.

* + Víi n lµ sè tù nhiªn :  +

    +

Chó ý :  -  Mäi sè thùc a ®Òu cã c¨n bËc lÎ.

- Sè ©m kh«ng cã c¨n bËc ch½n.

* C«ng thøc c¨n phøc t¹p :

* ,

Trong ®ã a, b lµ nghiÖm cña PT : t2 – Mt + N = 0

      Hay  a+ b = M ,  ab = N.

*  ( Víi A; B > 0 ; A2 > B )

* Chó ý: NÕu hÖ sè cña 2 ta lµm xuÊt hiÖn hÖ sè 2 ë ®ã.

IV/ Mét sè bµi to¸n vÒ c¨n bËc 2:

1/ Bµi to¸n 1: Thùc hiÖn phÐp tÝnh :

• D¹ng tÝnh 1 : Thùc hiÖn tÝnh khai c¨n bËc 2 nhê ph©n tÝch  2ab trong H§T( a + b )2 :

Khi gÆp c¨n thøc d¹ng  P = ta cã thÓ nghÜ  ®Õn viÖc ph©n tÝch  E vÒ d¹ng

E= 2.a.b  vµ ph©n tÝch M = a2 + b2  --> kq.

• D¹ng tÝnh 2 : Th.hiÖn tÝnh khai c¨n bËc 2 nhê xhiÖn b×nh ph­¬ng khi dïng H§T  a2 -  b2

Trong 1 tÝch , nÕu xuÊt hiÖn thõa sè cã d¹ng M -  ( HoÆc M + ) th× ta cã thÓ lµ xuÊt hiÖn  thõa sè d¹ng  M + ( HoÆc M - ).

• D¹ng tÝnh 3 : TÝnh GTBT  T,tr­íc hÕt  tÝnh T2 råi xÐt dÊu cña T ®Ó cã k qu¶ cña biÓu thøcT.
• D¹ng tÝnh 4: Khi gÆp mÉu cña biÓu thøc chøa c¨n ta nghÜ ®Õn viÖc trôc c¨n thøc ë mÉu HoÆc quy ®ång mÉu HoÆc ®­a thõa sè vµo trong c¨n , ra ngoµi c¨n råi nhãm.
• D¹ng tÝnh 5 : BiÓu diÔn luü thõa bËc cao qua luü thõa bËc 1.

VD : TÝnh GTBT: E = 2x5 + x3 – 3x2 + x - 1   víi  x = 1 -

 G : V×  x = 1 - nªn ta cã  :

  *   x2 = (1 - )2 = 3 - 2 = 1 + 2(1 - ) = 1 + 2x

   *   x3 = x2x =...= x + 2x2 = = x + 2(1 + 2x ) = 5x + 2

  *   x5 = x3x2 = ...= 9x +2 + 10x2 = 9x + 2 + 10( 1 + 2x ) = 29x + 12

 --> E = 2(29x + 12) + 5x + 2 -3(1 + 2x) + x – 1 = 58x + 22 = ...

      E = 80 - 58./

2. Bµi to¸n 2 : Chøng minh ®¼ng thøc A = B:

 C1 : Dùa vµo ®Þnh nghÜa: A = B A – B = 0.

  - LËp hiÖu sè  A – B   --> biÕn ®æi A – B  --> Chøng tá A – B = 0 --> KLuËn.

 C2: BiÕn ®æi trùc tiÕp : BiÕn ®æi tõ vÕ phøc t¹p vÒ vÕ ®¬n gi¶n: A --> B HoÆc B --> A.

 C3 : BiÕn ®æi song song 2 vÕ cña ®¼ng thøc ®· cho.

 C4 : Víi bµi to¸n chøng minh cã §K ta cã thÓ :

  - Dïng c¸c §K ®Ó biÕn ®æi sao cho  --> cã mèi liªn hÖ víi biÓu thøc ®· cho.

  - HoÆc: NiÕn ®æi biÓu thøc ®· cho sao cho -->  cã mèi liªn hÖ víi §K.

 C5 : Dïng PP quy n¹p  nÕu ®¼ng thøc ®· cho phô thuéc vµo sè nguyªn  n  .

 C6 : Dïng biÓu thøc phô :

  - §Æt  y =A , y ph¶i tho¶ m·n §K (*) nµo ®ã.

  - B×nh ph­¬ng 2 vÕ ta cã :  y2 = A2 = A1 = ... =  B2

  - Suy ra  y = B hoÆc  y = - B .

  - §èi chiÕu víi §K (*)  suy ra B.    --> KL.

 3. Bµi to¸n 3: Rót gän biÓu thøc :

* C¸c b­íc thùc hiÖn:

- Quy ®ång mÉu  ( Ph©n tÝch nh©n tö  NÕu cã – NÕu cÇn )

- §­a bít thõa sè ra ngoµi dÊu c¨n HoÆc vµo trong dÊu c¨n  ( NÕu cÇn )

- Trôc c¨n thøc ë mÉu ( NÕu cã )

- Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh : Luü thõa , khai c¨n , nh©n,chia , ...

- Céng trõ c¸c sè h¹ng ®ång d¹ng.

4. Bµi to¸n 4: Gi¶i PT chøa c¨n thøc.  ( Xem C§ PT V« TØ ). 

------------------------------------------------@@@----------------------------------------------

 

 

 

 

 

 

 

PhÇn II /  Hµm  sè  bËc  nhÊt: y = ax + b  ( a 0 )

Hµm   sè :    y =   ( a 0 )

Hµm sè  bËc hai : y = ax2   ;   y = ax2 + bx + c   ( a 0 ).

 

A/ Hµm  sè -  §å thÞ hµm sè bËc nhÊt.

I/  §Þnh nghÜa – TÝnh chÊt cña hµm sè bËc nhÊt :

1. §Þnh nghÜa hµm sè:

NÕu ®¹i l­îng y phô thuéc vµo ®¹i l­îng x thay ®æi sao cho víi mçi gi¸ trÞ cña x

ta lu«n x¸c ®Þnh ®­îc chØ 1 gi¸ trÞ  t­¬ng øng cña y th× y ®­îc gäi lµ hµm sè cña x

vµ x ®­îc gäi lµ biÕn sè.

2. §Þnh nghÜa hµm sè bËc nhÊt:

Hµm sè bËc nhÊt lµ hµm sè ®­îc cho bëi c«ng thøc  y = ax hay  y = ax + b,

 trong ®ã a, b R, a 0.

3. TÝnh chÊt :

-   HSè bËc nhÊt x¸c ®Þnh víi xR  .

-   Trªn tËp hîp sè thùc R , hµm sè bËc nhÊt ®ång biÕn khi a > 0, nghÞch biÕn khi a < 0.

II/ §å thÞ hµm sè  y = ax vµ  y = ax + b.

 

1.  §å thÞ hµm sè  y = ax  (a0) lµ 1 ®­êng th¼ng ®i qua gèc to¹ ®é.

 

* C¸ch vÏ :

- T×m thªm 1 ®iÓm  M(x0 , y0 )  b»ng c¸ch cho x = x0  y0 = ax0

- Dùng ®iÓm M trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é.

- VÏ ®­êng th¼ng ®i qua  M(x0 , y0 )  vµ O( 0;0 ).

 

2. §å thÞ hµm sè  y = ax + b lµ ®­êng th¼ng song song víi ®­êng th¼ng y = ax ; c¾t trôc tung

   t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng b ( nÕu b 0 ).

* C¸ch vÏ 1 :

- X¸c ®Þnh 2 ®iÓm A, B bÊt k× cña ®å thÞ:

 . Cho x = 1 y = a + b, ta cã A(1; a + b)

 . Cho x = - 1 y = - a + b, ta cã B(1; - a + b)        

- Dùng 2 ®iÓm A , B trªn Oxy.

- VÏ ®­êng th¼ng AB ta ®­îc ®å thÞ hs.

* C¸ch vÏ 2 :

- X¸c ®Þnh giao ®iÓm cña ®å thÞ víi 2 trôc to¹ ®é:

 .  Cho x = 0 y =  b ,    ta cã   A( 0; b)

 . Cho y = 0 x = - b/ a , ta cã  B(-b/ a ; 0 )

-   Dùng 2 ®iÓm A , B trªn Oxy.

- VÏ ®­êng th¼ng AB ta ®­îc ®å thÞ hs.

III/ HÖ sè gãc cña ®­êng th¼ng y = ax  vµ y = ax + b

	§­êng th¼ng y = ax (d )	§­êng th¼ng y = ax + b  (d)
Gãc hîp bëi ®­êng th¼ng víi tia Ox	Gãc t¹o bëi ®gt  (d)vµ tia Ox ®ã lµ gãc hîp bëi tia Ox vµ nöa ®gt n»m trong nöa mf bê lµ trôc hoµnh vµ chøa tia Oy.
		Gãc t¹o bëi ®gt  (d) vµ tia Ox ®ã lµ gãc hîp bëi tia Ax vµ AB  trong ®ã AB lµ phÇn ®gt (d) n»m trong nöa mf bê lµ trôc hoµnh vµ chøa tia Oy.
HÖ sè gãc a cña ®­êng th¼ng	. a > 0 nhän. a cµng lín th× cµng lín (< 90o). . a < 0 tï. a cµng lín th× cµng lín (<180o).	. a > 0 nhän. a cµng lín th× cµng lín (< 90o). . a < 0 tï. a cµng lín th× cµng lín (<180o).

B/ Hµm sè  bËc hai - §å  thÞ  hµm  sè  bËc  hai.

 

I/  §Þnh nghÜa – TÝnh chÊt cña hµm sè bËc hai :

1. §Þnh nghÜa:

 Hµm sè bËc 2 lµ hµm sè ®­îc cho bëi c«ng thøc y = ax2 (a 0), trong ®ã a,bR, a 0.

2. TÝnh chÊt:

  - NÕu  a > 0 th×  hµm sè nghÞch biÕn khi x < 0 , hµm sè ®ång biÕn khi  x > 0.

  - NÕu  a < 0 th×  hµm sè nghÞch biÕn khi x > 0 , hµm sè ®ång biÕn khi  x < 0.

 ( Hµm sè §ång biÕn khi a vµ x cïng dÊu ; NghÞch biÕn khi a vµ x tr¸i dÊu )

 

• NhËn xÐt :

-         NÕu a > 0 th× y > 0 víi ;  Khi x = 0 th× y = 0 lµ GTNN cña hµm sè .

-         NÕu a < 0 th× y < 0 víi ;  Khi x = 0 th× y = 0 lµ GTLN cña hµm sè .

II/ §å thÞ hµm sè  y = ax2 (a 0).

* TÝnh chÊt cña ®å thÞ:

- §å thÞ cña hµm sè y = ax2 (a 0) lµ 1 Parabol ®i qua gèc to¹ ®é O , nhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng, O lµ ®Ønh cña Parabol.

- NÕu a > 0 th× ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh, O lµ ®iÓm thÊp nhÊt cña ®å thÞ.

B/ Hµm sè  bËc hai - §å  thÞ  hµm  sè  bËc  hai.

 

I/  §Þnh nghÜa – TÝnh chÊt cña hµm sè bËc hai :

2. §Þnh nghÜa:

Hµm sè bËc 2 lµ hµm sè ®­îc cho bëi c«ng thøc y = ax2 (a 0), trong ®ã a,bR, a 0.

2. TÝnh chÊt:

  - NÕu  a > 0 th×  hµm sè nghÞch biÕn khi x < 0 , hµm sè ®ång biÕn khi  x > 0.

  - NÕu  a < 0 th×  hµm sè nghÞch biÕn khi x > 0 , hµm sè ®ång biÕn khi  x < 0.

 ( Hµm sè §ång biÕn khi a vµ x cïng dÊu ; NghÞch biÕn khi a vµ x tr¸i dÊu )

 

• NhËn xÐt :

-         NÕu a > 0 th× y > 0 víi ;  Khi x = 0 th× y = 0 lµ GTNN cña hµm sè .

-         NÕu a < 0 th× y < 0 víi ;  Khi x = 0 th× y = 0 lµ GTLN cña hµm sè .

II/ §å thÞ hµm sè  y = ax2 (a 0).

* TÝnh chÊt cña ®å thÞ:

- §å thÞ cña hµm sè y = ax2 (a 0) lµ 1 Parabol ®i qua gèc to¹ ®é O , nhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng, O lµ ®Ønh cña Parabol.

- NÕu a > 0 th× ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh, O lµ ®iÓm thÊp nhÊt cña ®å thÞ.

   y = ax2( a > 0 )                                    y = ax2  ( a < 0 )

     * C¸ch vÏ : - LËp b¶ng gi¸ trÞ t­¬ng cña x vµ y:

x	x,2	x,1	0	x1	x2
y	y,2	y,1	0	y1	y2

   ( Chó ý: x1 vµ x,1 ®èi nhau ;  y1 vµ y,1 ®èi nhau)

             -  BiÓu diÔn c¸c ®iÓm cã to¹ ®é (xi ; yi ).

             -  VÏ ®­êng cong (P) ®i qua  O( 0; 0 ) vµ c¸c ®iÓm  (xi ; yi ).

III/ Më réng:

1/  Hµm sè

§å thÞ cña hµm sè  y = a/ x ( a 0 ) lµ ®­êng cong Hypebol gåm 2 nh¸nh.

y = a/ x  ( a > 0)                        y = a/ x  ( a < 0 )

2/ Hµm sè  y = / x /

§å thÞ cña hµm sè cã dÊu GTT§ bËc nhÊt lµ 1 h×nh bao gåm c¸c tia hoÆc c¸c tia vµ

           ®o¹n th¼ng liªn tiÕp nhau.

VD : y = / x /                          

3/  Hµm sè   y = ax2 + bx + c   ( a 0 ):

a/ XÐt hµm sè  y = ax2 + bx + c   ( a 0 ):

 Ta cã

 §Æt  ;  ta cã  y = a( x – x0)2 + y0.

-         Nh­ vËy ®Ó vÏ Parabol (P) ta tÞnh tiÕn theo tr hoµnh x0 ®¬n vÞ råi tÞnh tiÕn theo tr tung y0 ®¬n vÞ.  Cô thÓ:

. §Ønh  (P)  lµ ®iÓm  D(; )

. Giao ®iÓm cña (P) víi trôc tung lµ C(0; c)

. §iÓm thø 2 cña (P) cã tung ®é b»ng c lµ C,( -b/a ; c ), ®iÓm nµy ®èi xøng víi C qua ®­êng th¼ng x = -b/2a

.Giao ®iÓm cña (P) víi trôc hoµnh ( nÕu cã) , hoµnh ®é c¸c ®iÓm nµy lµ nghiÖm cña PT   ax2 + bx + c = 0.

b/ NhËn xÐt :

    - Hµm sè  y = f(x) =  ax2 + bx + c  (a 0).

  . NÕu  a > 0 Th× Min f(x) = víi   x0 =

    . NÕu  a < 0 Th× Max f(x) = víi   x0 =

-         Trong 1sè tr. hîp, x kh«ng nhËn gi¸ trÞ thuéc R mµ chØ thuéc 1 tËp con cña R . Ch¼ng h¹n, x hoÆc n»m ngoµi kho¶ng .

-         Trong tr­êng hîp x0 = kh«ng thuéc kho¶ng ®ang xÐt cña x ta còng t×m ®­îc GTLN , GTNN cña f(x) c¨n cø vµo ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) vµ xÐt c¸c gi¸ trÞ f() ; f()./.

 

C/ Mét  sè d¹ng bµi  to¸n liªn  quan  ®Õn  hµm  sè .

 

Bµi to¸n1. LËp PT ®­êng th¼ng y = ax + b tho¶ m·n ®.kiÖn cho tr­íc (Tøc lµ t×m a, b).

1/ LËp PT ®­êng th¼ng (d) ®i qua A(xA , yA ) vµ cã hÖ sè gãc b»ng k:

-         B1: X¸c ®Þnh a: Theo ®Ò bµi ta cã a = k.

-         B2: X¸c ®Þnh b : §­êng th¼ng ®i qua A nªn ta cã   yA = kxA + b  b

-         KL: Thay a, b t×m ®­îc vµo c«ng thøc ta ®­îc PT cÇn t×m.

2/ LËp PT ®­êng th¼ng (d) ®i qua A(xA , yA )  vµ B(xB , yB )

-         B1: §­êng th¼ng (d) ®i qua A(xA , yA )  vµ B(xB , yB ) nªn ta cã :    a ; b.

3/ LËp PT ®­êng th¼ng (d) ®i qua A(xA , yA )  vµ cã tung ®é gèc lµ h:

-         B1: X¸c ®Þnh b: Theo ®Ò bµi ta cã b = h.

-         B2: X¸c ®Þnh a : §­êng th¼ng ®i qua A nªn ta cã   yA = kxA + h          a

4/ LËp PT ®­êng th¼ng (d) ®i qua A(xA , yA ) vµ // trôc hoµnh Ox (HoÆc trôc tung Oy)

 - §­êng th¼ng song song víi trôc hoµnh th×  x = xA   y = b = yA

 ( NÕu ®gt // trôc tung Oy  th× y = yA x = xA  = b )

5/ LËp PT ®­êng th¼ng (d) ®i qua A(xA , yA ) vµ vu«ng gãc víi ®gt d, cã PT  y = a,x + b,

-                      §­êng th¼ng d d, nªn a.a, = - 1 .Tõ ®ã suy ra a.

-                      Thay to¹ ®é cña A vµo PT trªn suy ra b.

6/ LËp PT ®­êng th¼ng (d) // (d,) : y = a,x + b,  vµ ®i qua A(xA , yA ) .

Khi b b, : -  X¸c ®Þnh a: Theo ®Ò bµi ta cã a = a, .

        -  X¸c ®Þnh b : §­êng th¼ng ®i qua A nªn ta cã   yA = a, xA + b    b.

     -  KL: Thay a, b t×m ®­îc vµo c«ng thøc ta ®­îc PT cÇn t×m.

7/ LËp PT ®­êng th¼ng (d) c¾t trôc Ox t¹i A(xA , 0 )  vµ c¾t trôc Oy t¹i  B( 0, yB ).

-         B1: X¸c ®Þnh b: (d) c¾t Oy t¹i  B( 0, yB ) nªn  b = yB

-         B2: X¸c ®Þnh a : (d) c¾t Ox t¹i A(xA , 0 )    nªn  a =  b/ xA

8/  LËp PT ®­êng th¼ng (d) cã hÖ sè gãc b»ng k  vµ tiÕp xóc víi ®­êng cong (P): y = f(x).

-         B1: X¸c ®Þnh a : Theo ®Ò bµi ta cã a = k .  PT cã d¹ng y = kx + b (*)

-         B2: X¸c ®Þnh b : PT hoµnh ®é ®iÓm chung cña (d)  vµ (P) lµ  f(x) = kx + b.

 V×  (d) tiÕp xóc víi (P) nªn PT (*) cã nghiÖm kÐp  ( = 0)            b. 

9/ LËp PT ®­êng th¼ng (d) ®i qua A(xA , yA )  vµ tiÕp xóc víi ®­êng cong (P): y = f(x).

-  PT  hoµnh ®é ®iÓm chung cña  (d) vµ (P ) lµ  f(x) = ax + b. (*)

-  §­êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi  (P) PT (*) cã nghiÖm kÐp .

 Tõ §K nµy ta t×m ®­îc 1 hÖ thøc liªn hÖ  gi÷a a  vµ  b . Ta ®­îc (**)

-   §­êng th¼ng (d) ®i qua A nªn ta cã   yA = axA + b          (***)

- Tõ (**) vµ (***) suy  ra a vµ  b.

10/  LËp PT ®gt (d) cã hÖ sè gãc b»ng k  vµ c¾t ®cong (P): y = f(x) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt.

-  Theo ®Ò bµi ta cã a = k .  PT cã d¹ng y = kx + b

-         PT hoµnh ®é giao ®iÓm cña (d)  vµ (P) lµ  f(x) = kx + b.(*)

-  §­êng th¼ng (d) c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt khi  PT (*) cã > 0     b. 

11/ LËp PT ®gt (d) cã hÖ sè gãc b»ng k  vµ c¾t ®cong (P): y = f(x) t¹i A cã hoµnh ®é xA:

-  Theo ®Ò bµi ta cã a = k .  PT cã d¹ng y = kx + b

-         PT hoµnh ®é ®iÓm chung cña (d)  vµ (P) lµ  f(x) = kx + b.(*)

-         §­êng th¼ng (d) c¾t (P) t¹i ®iÓm A cã hoµnh ®é xA  khi xA lµ nghiÖm cña PT (*).

  Khi ®ã ta cã   f(xA ) = kxA + b   b. 

* Chó ý :

      1. Bµi to¸n lËp PT ®­êng cong  y = ax2 ®i qua ®iÓm  A(xA, yA ) tøc lµ x¸c ®Þnh hÖ sè a.

 Gi¶i t­¬ng tù bµi to¸n lËp PT ®gt.

      2.  Hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®­êng cong y = ax2 (P) vµ ®gt y = mx+ n (d)  lµ nghiÖm

cña PT ax2 = mx +n  (1)

-                NÕu PT (1) v« nghiÖm th× (d) kh«ng giao víi (P)

-                NÕu PT (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt th× (d) c¾t  (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt.

-                NÕu PT (1) cã nghiÖm kÐp  th× (d) tiÕp xóc víi (P).

3. Bµi to¸n víi hµm sè y = ax2 + bx + c gi¶i t­¬ng tù bµi to¸n  víi hµm sè y = ax2

( Theo c¸c bµi to¸n 1 --> 5 )

4. Khi vÏ ®å thÞ hµm sè  y = ax + b trong ®ã a, b lµ sè v« tØ  a = , b = ta cÇn sö dông ®Þnh lÝ Pitago trong  tam gi¸c vu«ng.

Bµi to¸n 2 .X¸c ®Þnh vÞ trÝ t­¬ng ®èi gi÷a: §­êng th¼ng-®­êng th¼ng; §­êng th¼ng – Parbol.

1. X¸c ®inh vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña 2 ®­êng th¼ng y = ax + b (d)   vµ  y = a,x + b, (d,)

*  d // d,  a = a,  vµ b b, * d  d,  a a,

* d  d,  a = a,  vµ b = b, * d d,  a.a, = 1

2. X¸c ®inh vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña ®­êng th¼ng y = ax + b (d)   vµ  y = ax2 (P)

PT hoµnh ®é giao ®iÓm chung nÕu cã cña (d) vµ (P) lµ  ax + b = ax2 (1)

 *  (d) (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt PT(1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt   ( > 0 )

 *  (d) vµ (P)  chØ cã 1 ®iÓm chung PT (1) cã  nghiÖm kÐp   ( 0 )

 *  (d) vµ (P)  kh«ng cã  ®iÓm chung PT (1) v«  nghiÖm    ( < 0 ).

Bµi to¸n 3. Bµi to¸n chøng minh:

a. Chøng minh ®­êng th¼ng (d) lu«n ®i qua 1 ®iÓm cè ®Þnh.

- Gäi C(x0 , y0 ) lµ ®iÓm cè ®Þnh cña ®­êng th¼ng (d)

- §K cÇn vµ ®ñ ®Ó ®­êng th¼ng lu«n ®i qua  C(x0 , y0 ) víi mäi tham sè m lµ : Am = B

   ( BiÕn ®æi PT ®gt  khi  C(x0,y0) (d)  )

    Trong ®ã :    A lµ biÓu thøc chøa x0, y0 hoÆc x0 hoÆc y0 .

    B lµ biÓu thøc chøa x0 hoÆc y0 hoÆc x0 ; y0 .

- GPT  A = 0 ; B = 0  víi tham sè  m  x0 ; y0   C(x0; y0 )  .

VD: CMR  ®­êng th¼ng (d) cã PT y = mx + lu«n ®i qua 1 ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m?

G: Gäi C(x0; y0 )   lµ ®iÓm cè ®Þnh cña (d) C (d) víi mäi m

Ta cã  y0 = mx0     +   2y0 - 1= 2mx0 , víi mäi m 2y0 - 1= 2x0 m, víi mäi m 2y0 – 1 = 0 vµ 2x0 = 0 x0 = 0 ; y0 = 0.

VËy  (d) lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh C( 0; ) .

b. Chøng minh (d) lu«n tiÕp xóc (hoÆc kh«ng c¾t hoÆc c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm p.biÖt) :

         §­êng th¼ng (d) lu«n tiÕp xóc ( kh«ng c¾t hoÆc c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm p.biÖt)

PT h®é g®iÓm ax + b = ax2 cã N0 kÐp ( hoÆc v« nghiÖm hoÆc cã 2  nghiÖm ph©n biÖt).

VD: CMR  víi mäi m th× ®gt (d) cã PT  y = mx +  vµ (P)  y = x2 lu«n c¾t nhau t¹i 2

      ®iÓm ph©n biÖt ?

G :  PT hoµnh ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (P) lµ   mx +  = x2 ...x2 – 2mx – 1 = 0

       cã , = m2 + 1 > 0 víi mäi m.

 VËy  víi mäi m (d) lu«n c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt.

Bµi to¸n 4.  X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm 2 ®­êng th¼ng trªn cïng 1 hÖ trôc to¹ ®é.

 Gi¶ sö ®iÓm M(x0 , y0 ) lµ giao ®iÓm 2 ®­êng th¼ng (d) : y = ax + b  vµ  y = a,x + b, (d, )

 B1: T×m hoµnh ®é giao ®iÓm x0 tho¶ m·n nghiÖm ®óng PT   ax + b = a,x + b, .

 B2: T×m  tung  ®é giao ®iÓm y0 b»ng c¸ch thay x0 vµo 1 trong 2 hµm sè ®· cho.

Bµi to¸n 5.  X¸c ®Þnh ®iÓm M( xM, yM ) cho tr­íc cã thuéc ®å thÞ cña HSè cho hay kh«ng.

• C¸ch gi¶i : §å thÞ cña hµm sè ®i qua M  khi to¹ ®é  cña M tho¶ m·n nghiÖm ®óng PT cña (d) : M (d) yM = f(xM)

     Do ®ã tÝnh  f(xM) :  NÕu  f(xM) = yM Th× (d) ®i qua  M

NÕu  f(xM) yM Th× (d)  kh«ng ®i qua  M

 

--------------------------------------------------@@@------------------------------------------------

 

 

PhÇn III / HÖ ph­¬ng tr×nh

 

1)Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

- Định nghĩa :

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax+by =c và a’x+b’y=c’.

Khi đó ta có hệ  hai phương trình bậc nhất hai ẩn    (I)

- Nếu hai phương trình có nghiệm chung (x0;y0) thì nó được gọi là nghiệm của hệ (I)

- Nếu hai phương trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm.

2)Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm

 - Nếu (d) cắt (d’) hệ có nghiệm duy nhất

 - Nếu (d) song song với (d’) thì hệ vô nghiệm.

 - Nếu (d) trùng (d’) thì hệ vô số nghiệm

3)Hệ phương trình tương đương:

Hai  HPT được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm

4) Một số PP giải HPT:

 * Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

+ Từ 1 PT của hệ đã cho ta b.diễn1 ẩn kia rồi thế vào PT thứ 2 để được 1 PT mới

(chỉ có1 ẩn)

+ Dùng PT mới ấy thay thế cho một trong hai PT của hệ (và giữ nguyên PT kia )

* Giải hệ phương trình bằng  phương pháp cộng đại số.

+ Nhân 2 vế của mỗi PT với 1 số thích hợp (nếu cần ) sao cho các hệ số của 1 ẩn nào đó bằng nhau hoặc đối nhau.

+ Dùng quy tắc cộng đại số để được hệ mới trong đó có 1 PT bậc nhất 1 ẩn.

+ Giải PT 1 ẩn rồi suy ra nghiệm của hệ.

* Giải hệ phương trỡnh bằng PP đặt ẩn phụ.

* Giải hệ phương trỡnh bằng PP dựng đồ thị

Số nghiệm của hệ là số giao điểm của 2 đường thẳng (d) và (d’)

 

5/ Biện luận và  Giải hệ phương trình :

B1. Dùng PP cộng hoặc thế đưa hệ về dạng  Mx = N  (*)

B2. Xét các trường hợp:

+  Nếu M0 thì (*) trở thành x = thay vào y ở 1 trong 2 PT của hệ ta tìm được y.      Do đó hệ có nghiệm duy nhất (x;y).

+ Nếu M = 0 thì:  +(*) vô nghiệm khi N 0,Do đó hệ vô nghiệm.

   + (*) có vô số nghiệm khi N = 0.

        Nghiệm TQ Hoặc x;y   Hoặc  x = 0;  Hoặc y = 0

B3. Kết Luận

 

6) Một số bài toán về hệ có chứa tham số:

Xác định các giá trị của tham số thoả mãn ĐK cho trước

1/ Nghiệm  thoả mãn các ĐK về số nghiệm :

Có nghiệm duy nhất- Vô số nghiệm -  Vô nghiệm.

PP: Nếu 

PP:   Nếu  ab’ – ba’ 0 Hay  thì (**) có nghiệm duy nhất.

Nếu   Hoặc    thì (**)  có vô số nghiệm.

Nếu   Hoặc   thì  (**) vô số nghiệm.

2/ Nghiệm thoả mãn hệ đẳng thức, bất đẳng thức  liên hệ giữa các giá trị của nghiệm.

 + B1: Tìm ĐK để hệ có nghiệm.

 + B2: Tìm nghiệm của hệ( bằng PP cộng hoặc thế )

 + B3: Cho nghiệm thoả mãn đẳng thức, bất đẳng thức giữa các giá trị của nghiệm từ đó tìm được giá trị của tham số.

 + B4: KL: Xét giá trị của tham số tìm được so với ĐK có nghiệm và trả lời.

3/ Nghiệm của hệ là số nguyên.

 + B1: Tìm ĐK để hệ có nghiệm.

 + B2: Tìm nghiệm của hệ( bằng PP cộng hoặc thế )

  + B3: Xét các giá trị của nghiệm thoả mãn là số nguyên

 + B4: KL: Xét giá trị của tham số tìm được so với ĐK có nghiệm và trả lời.

4/ Tìm GTLN – GTNN của biểu thức giữa các giá trị của nghiệm.

 + B1: Tìm ĐK để hệ có nghiệm.

 + B2: Tìm nghiệm của hệ( bằng PP cộng hoặc thế )

  + B3: Xét các giá trị của biểu thức giữa các giá trị của nghiệm.

 + B4: KL: Xét giá trị của tham số tìm được so với ĐK có nghiệm và trả lời.

 

--------------------------------------------------@@@------------------------------------------------

PhÇn IV / ph­¬ng tr×nh bËc 2: ax2 + bx + c = 0 ( a 0 )(1)

 

1. C«ng thøc nghiÖm cña PT bËc 2:

-  NÕu < 0 Th× PT  v« nghiÖm. -  NÕu = 0 Th× PT cã N0 kÐp: x1= x2 = -  NÕu > 0 Th× PT cã 2 N0 ph©n biÖt :

-  NÕu < 0 Th× PT  v« nghiÖm. -  NÕu = 0 Th× PT cã N0 kÐp: x1= x2 = -  NÕu > 0 Th× PT cã 2 N0 ph©n biÖt :

• NhËn xÐt :

*NÕu a + b + c = 0  th× :   *NÕu a - b + c = 0  th× :

* NÕu   c = 0        th× :      *NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña (1)    th×  ax2 + bx + c = a( x – x1)(x – x2)

2. HÖ thøc Vi-Et:

*ThuËn : Ph­¬ng tr×nh bËc2 NÕu cã nghiÖm Th× : 

*§¶o:   NÕu 2 sè  x1, x2 tho¶ m·n   ( Víi S2 – 4P 0)

Th× x1 ,x2 lµ 2 nghiÖm  cña PT   x2 - Sx + P = 0

 

II/ Mét sè bµi to¸n liªn quan ®Õn PT bËc 2:

Bµi to¸n 1: BiÖn luËn theo m sù cã nghiÖm cña PT B2

-         XÐt hÖ sè a. Cã thÓ cã 2 tr­êng hîp x¶y ra:

*Tr­êng hîp a = 0 víi 1 vµi gi¸ trÞ nµo ®ã cña m

Gi¶ sö a = 0 m = m0  ta cã (1) trë thµnh pt  b1:  bx + c = 0   (2)

-NÕu b0 ( víi m = m0 ), pt (2) cã 1 nghiÖm lµ (còng lµ nghiÖm cña(1))

          -NÕu b = 0  vµ  c =0 ( víi m = m0 ), pt (2) v« ®Þnh pt (1) v« nghiÖm. 

          -NÕu b = 0  vµ  c 0 ( víi m = m0 ), pt (2) v« ®Þnh pt (1) nghiÖm

          *Tr­êng hîp a 0:

- NÕu > 0 :  pt (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt :

- NÕu = 0 :  pt (1) cã 2 nghiÖm kÐp : x1  = x2 =

- NÕu < 0 :  pt (1) v« nghiÖm / R .

-         KÕt luËn : Tãm t¾t phÇn biÖn luËn trªn.

Bµi to¸n 2: §iÒu kiÖn cã nghiÖm cña  PT bËc 2.

2.a, PT cã  nghiÖm: C1,  a= 0 , b 0

C2, HoÆc  a 0 , 0.

C3, T×m sè sao cho a.f() < 0

C4, T×m 2 sè ,   sao cho  f().f() < 0

TËp hîp c¸c gi¸ trÞ m ph¶i t×m lµ tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m tho¶ a) hoÆc b)

2.b, PTcã 2 nghiÖm ph©n biÖt:        hoÆc     a.c < 0

2.c, PT cã 1 nghiÖm:         HoÆc  

Bµi to¸n 3: DÊu cña nghiÖm sè cña PT bËc 2  (T×m §K cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) t/m·n)

3.a,  Cã 2 nghiÖm cïng dÊu : 3.b, Cã 2 nghiÖm d­¬ng:       ( HoÆc cã Ýt nhÊt 1N0 kh«ng ©m ) 3.c, Cã 2 nghiÖm ©m :                                HoÆc

3.d, Cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu :                                    HoÆc      a.f(0) < 0   3.e, Cã 1 nghiÖm ©m, 1 nghiÖm kh«ng ©m :                         3.g, Cã Ýt nhÊt 1nghiÖm 0 : .

Bµi to¸n 4: T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó PT (1) cã 1 nghiÖm x1 t×m nghiÖm kia

a, T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó PT  cã 1 nghiÖm x1 t×m nghiÖm kia:

• T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x= x1 cho tr­íc cã hai c¸ch lµm

+) C¸ch 1:- LËp ®iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh bËc 2 ®· cho cã 2 nghiÖm:  (*)

                 - Thay x = x1 vµo ph­¬ng tr×nh ®· cho ,t×m ®­îc gi¸ trÞ cña tham sè

- §èi chiÕu gi¸ trÞ võa t×m ®­îc cña tham sè víi ®iÒu kiÖn(*) ®Ó kÕt luËn

+) C¸ch 2: - Thay  x = x1 vµo ph­¬ng tr×nh ®· cho, t×m ®­îc gi¸ trÞ cña tham sè

           - Sau ®ã thay gi¸ trÞ t×m ®­îc cña tham sè vµo PT vµ gpt HoÆcTÝnh x2 nhê Vi-et  x2 = S – x1

Chó ý : NÕu sau khi thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo PT ®· cho  mµ PT bËc hai nµy cã < 0 th× kÕt luËn kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña tham sè ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 cho tr­íc.

 

b,  T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó PT (1) cã  nghiÖm nµy b»ng k lÇn nghiÖm kia:

- B1: §iÒu kiÖn PT cã nghiÖm   

 - B2: NghiÖm nµy b»ng k lÇn nghiÖm kia nªn:

    (x1 – kx2). (x2 – kx1) = 0.

-B3 : BiÕn ®æi ®¼ng thøc trªn vÒ tæng ; tÝch sau ®ã dïng ®Þnh lÝ Vi-et.

Bµi to¸n 5: T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó Pt (1) cã 2 nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n hÖ thøc :

          (C¸c hÖ thøc lµ biÓu thøc ®èi xøng ( HoÆc kh«ng ®èi xøng ) gi÷a c¸c nghiÖm)

1, Ph­¬ng ph¸p chung:

B1:   -  §iÒu kiÖn PT cã nghiÖm    (*)

- TÝnh gi¸ trÞ cña S , P theo m : Víi ®k (*) pt cã 2 nghiÖm t/m  :  

   B2: BiÕn ®æi hÖ thøc ®· cho sao cho cã d¹ng chøa  S vµ P.

( HoÆc rót x1 hay x2 tõ ®k ®Ò bµi –nÕu bthøc cho kh«ng ®èi xøng).

B3: Thay c¸c gi¸ trÞ cña  S , P tÝnh ®­îc ë B1 ta tÝnh ®­îc m.

B4: Chän c¸c gi¸ trÞ cña m t/m ®k (*).

2, C¸c hÖ thøc ®èi xøng th­êng  g¨p vµ c¸ch biÕn ®æi::

*) x12+ x22  = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = m *) (x1 – x2)2 = (x­1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p = n *) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp = k *) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 *) = k

*) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 = h *) = = m *) = = n

(C¸c gi¸ trÞ cña tham sè rót ra tõ ®iÒu kiÖn cho tr­íc ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) )

Bµi to¸n 6:LËp PT BËc hai.

A/ Bµi to¸n ThiÕt lËp PT bËc 2 nhê hÖ thøc Vi-et :

1,C¬ së ®Ó thiÕt lËp PT B2 lµ nhê hÖ thøc Vi-et:

NÕu   Th×  x1,x2 lµ 2 nghiÖm cña PT  X2 - S X+ P = 0,Víi= S2 – 4SP0

2 ,  Ph­¬ng ph¸p :   G/sö  PT B2 cÇn t×m cã d¹ng   X2 - S X + P = 0 (1) mµ c¸c nghiÖm cña (1) t/m ®k cho tr­íc lµ 1 biÓu thøc (*) liªn hÖ gi÷a nghiÖm cña (1) víi nghiÖm cña PT B2 cho tr­íc ax2 + bx + c = o  (2), ta lµm nh­ sau:

- Tõ PT  (2)  ta tÝnh ®­îc S vµ P  (3)

- BiÕn ®æi bthøc (*) liªn hÖ gi÷a N0 cña (1) víi nghiÖm cña PT (2) råi thay gi¸ trÞ cña S,P ë (3) vµo ta tÝnh ®­îc hÖ sè cña X trong PT cÇn t×m.

B/ Bµi to¸n lËp PT bËc 2 nhê sù t­¬ng giao gi÷a ®å thÞ cña hµm sè bËc 1, bËc 2

vµ trôc to¹ ®é (Hay x¸c ®Þnh parabol  y =ax2 + bx + c  (P) ):

( Xem phÇn hµm sè)

Bµi to¸n 7: Quan hÖ nghiÖm cña 2 PT B2 : a1 x2 + b1 x + c1 = 0  ( a1 0 )    (1) 

a2 x2 + b2 x + c2 = 0  ( a2 0 )    (2)

7.a :X¸c ®Þnh c¸c tham sè ®Ó  2PT cã nghiÖm chung

• §K cÇn : Gi¶ sö 2 pt cã nghiÖm chung x0 , khi ®ã ta cã hÖ :

Tõ hÖ ta x¸c ®Þnh ®­îc tham sè.

• §K ®ñ : Thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®­îc ë trªn vµo 2 pt cho ®Ó t×m nghiÖm chung./.

7.b :§Þnh c¸c t/ sè ®Ó  2PT cã nghiÖm sao cho 1 nghiÖm cña PT1 = k lÇn 1 nghiÖm cña PT2.

B1: Gäi x0 lµ 1 nghÖm cña (2) th× kx0 ( k 0 ) lµ 1 nghiÖm cña (1).

Khi ®ã , x0 lµ nghiÖm cña hÖ: 

B2: Gi¶i hÖ trªn t×m x0 . Suy ra m.

B3: LÊy gi¸ trÞ cña m thÕ vµo (1)  vµ (2) ®Ó kiÓm tra.

7.c:  Bµi to¸n më réng :

1, Cho 2 pt b2 cã 1 nghiÖm chung  :

-  Chøng minh ®¼ng thøc , b®t gi÷a c¸c hÖ sè,  ....

-  NghiÖm cßn l¹i cña 2 pt cho lµ nghiÖm cña pt thø 3.

-  2 nghiÖm cßn l¹i cña 2 pt lµ 2 nghiÖm h÷u tØ ph©n biÖt.

2, Cho 2 pt b2 cã 1 nghiÖm chung: T×m GTLN _ GTNN cña biÓu thøc cho.

Bµi to¸n 8: TÝnh GTLN _ GTNN cña biÓu thøc ®èi xøng gi÷a c¸c nghiÖm cña PT B2

( Më réng víi HPT ®èi xøng )

 -  §iÒu kiÖn PT cã nghiÖm    (*)

( Víi hÖ PT bËc nh©t 2 Èn: x, y lµ nghiÖm cña PT  X 2+ SX+P=0.Tøc lµ §K tån  t¹i x,y lµX 0 )

-  §­a biÓu thøc vÒ d¹ng biÓu thøc cã chøa c¸c §T§XCB

-  XÐt miÒn gi¸ trÞ cña biÓu thøc ta t×m ®­îc GTLN – GTNN cña bthøc.

(Dïng §K cã nghiÖm cña PTB2,T/C B§T, Cosi, Bunhiacopki ...)

Bµi to¸n 9: TÝnh GT cña biÓu thøc ®èi xøng gi÷a c¸c nghiÖm cña PT mµ kh«ng GPT.

-  §iÒu kiÖn PT cã nghiÖm    (*)

- Sö dông hÖ thøc Vi-et : S , P. (*)

- BiÕn ®æi BT ®· cho vÒ d¹ng §T§XCB.

- Thay gi¸ trÞ ë (*) vµo  ta t×m ®­îc GTBT.

Bµi to¸n 10: VÒ nghiÖmnguyªn – nghiÖm h÷u tØ cña  PT B2. 

a/ T×m nghiÖm nguyªn cña PT:

b/ T×m nghiÖm h÷u tØ cña PT : ( Sö dông nghiÖm cña ®a thøc)

-  NghiÖm nguyªn cña ®a thøc nÕu cã ph¶i lµ  ¦(c).

-  NÕu a lµ nghiÖm nguyªn cña f(x) vµ f(1), f(-1) 0 Th×  f(1)/ (a - 1)vµ f(-1)/(a + 1) Z. 

-  §thøc cã hÖ sè Z ,N0 h.tØ (nÕu cã) p¶i cã d¹ng p/q trong ®ã p ¦(c),q ¦(a).

c/ T×m m ®Ó PT cã nghiÖm h÷u tØ: 

- XÐt a = 0. PT trë thµnh PT B1, ta ®­îc nghiÖm h÷u tØ.

- XÐt  a 0 .TÝnh . PT cã nghiÖm h÷u tØ khi  lµ sè chÝnh ph­¬ng.

Bµi to¸n 11: T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm PT mµ kh«ng phô thuéc tham sè m:

- §iÒu kiÖn ®Ó PT cã nghiÖm :   a 0 ; 0

- LËp  S vµ P ( Phô thuéc theo m).

- Khö  m ®Ó lËp 1 hÖ thøc gi÷a P vµ S: B»ng c¸c phÐp b®æi (Ch¼ng h¹n S – 2P  hay 2S + P,...)

- Thay S  = x1 + x2 vµ P = x1.x2ta ®­îc hÖ thøc cÇn t×m.

• Chó ý:NÕu S hay P lµ h»ng sè  th× ta cã ngay hÖ thøc cÇn t×m.

Bµi to¸n 12 : So s¸nh sè nghiÖm cña PT B2 víi 1 sè thùc , cho tr­íc

( ¸p dông ®Þnh lÝ ®¶o vÒ tam thøc bËc 2 )

Tam thøc bËc 2   f(x) =  ax2 + bx + c   ( a 0 ) , (1)   lµ sè thùc

*f(x) < 0,   a < 0    (1) cã nghiÖm víi x ( x1 < x2 ) :     > 0

*f(x)  > 0 ,  a > 0    * HoÆc ( 1 ) cã nghiÖm víi mäi x R    < 0

 * HoÆc ( 1 ) cã nghiÖm víi mäi x     = 0

*f(x)  > 0 ,  a < 0      (1) v« nghiÖm víi x    > 0

*f(x) < 0 ,   a > 0      (1) cã nghiÖm víi x   > 0  ( x1 < x < x2 )

12.a,  §K ®Ó , n»m trong  kho¶ng 2 nghiÖm :  x1 <   < x2 :  a.f() < 0 .

12.b , §K ®Ó  n»m ngoµi  kho¶ng 2 nghiÖm :

* x1< x2 <

*< x1 < x2

* < x1 < x2 <

12.c,  §K ®Ó  , n»m ngoµi  kho¶ng 2 nghiÖm :

< x1 < x2 <    

 

12. d,  §K ®Ó f cã 2 nghiÖm trong ®ã c¸c nghiÖm xen kÏ víi vµ :

* < x1 << x2

*  x1 < < x2 <

12.e , §K ®Ó f cã 2 nghiÖm mµ 1 trong 2 nghiÖm b»ng :    a.f() = 0

 

--------------------------------------------------@@@------------------------------------------------

 

PhÇn V / gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp pT – Hpt.

 

I/ Phương pháp chung :

Bước 1: Lập PT -HPT         

* Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

* Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượngđã biết

* Lập  PT - Hệ phương trình

Bước 2: Giải PT - HPT

Bước 3: Kiểm tra xem nghiệm tìm được  có thoả mãn điều kiện của ẩn hay không( Loại bỏ giá trị không thích hợp) rồi kết luận và trả lời.

II/ Một số chú ý.

Khi lập các PT ta thường phải vận dụng các kiến thức về các tương quan tỉ lệ,đặc biệt là tương quan tỉ lệ thuận – tỉ lệ nghịch( Các quy tắc tam suất). Cụ thể:

1- Sự liên hệ giữa  các đại lượng trong toán chuyển động: S = v.t

2- Sự liên hệ giữa  số và chữ số: ;với a,b,cN;

3- Sự liên hệ giữa lượng riêng (d);K.lượng  (m);Thể tích (V) trong  vật lý

4- Sự liên hệ giữa số tiền phải trả (P). Số đơn vị mua (x), giá tiền mỗi đơn vị hàng hóa (y):

P = xy

5-  Sự liên hệ giữa khối lượng công việc,thời gian hoàn thành, số người, năng suất lao động của mỗi người,,hoặc khối lượng nước và công suất của các vòi nước,…

; 

+ Sau khi chọn ẩn và đặt ĐK ta cần lưu ý biểu thị đầy đủ các đại lượng bài toán ra và dựa vào sự tương quan giữa các đại lượng lập PT,HPT.

 

--------------------------------------------------@@@------------------------------------------------