TU LIEU

TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8

                       * * * * *

• Bµi 1:

Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®­êng cao AH. Trªn tia HC lÊy HD = HA. ®­êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E.

a)     Chøng minh AE = AB.

b)    Gäi M lµ trung ®iÓm cuña BE. TÝnh gãc AHM.

Giaûi

a)     KÎ EF AH. Ta cã:                                

       = 900 , = 900 , = 900

    Tø gi¸c EFHD lµ HCN

    EF = AH

XÐt AHB vµ EFA cã:

EF = AH

=> AHB = EFA ( g.c.g)

=> AB = AE

    b)  Nèi MA, MH, MD.

          XÐt AMH vµ DMH cã:

    AH = HD (gt)

    MH c¹nh chung

    DM = AM = ( trung tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn)

       => AMH = DMH (c.c.c)

       =>

       => = 450

   * Bµi 2:

 Cho tam gi¸c ABC cã chu vi b»ng 18. Trong ®ã BC lµ c¹nh lín nhÊt. ®­êng ph©n gi¸c gãc B c¾t AC ë M sao cho . ®­êng ph©n gi¸c gãc C c¾t AB ë N sao cho . TÝnh c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC.

      Gi¶i

   Ta cã:

   BM lµ ph©n gi¸c =>         

    AB = (1)

CN lµ ph©n gi¸c =>

    AC = (2)

Mµ : AB + BC + AC = 18 (3)

Tõ (1), (2) vµ (3) => + BC + = 18

    BC = 8 ; AB = 4; AC = 6

• Bµi 3:

Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:

a)     x2 + 6x + 5

b)    x4 + 2007x2 + 2006x + 2007.

c)     (x + 1).(x + 2).(x + 3).(x + 4) + 1.

• Bµi 4:

Cho biÓu thøc: A =   (x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ )

a)     Rót gän A.

b)    TÝnh gi¸ trÞ cña A víi x = 6022.

c)     T×m x ®Ó A < 0.

d)    T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn.

Gi¶i

a)     §KX§:  x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠

A =

  b) Thay x = 6022 vµo A ta cã:

     A = = 2007

  c) A nhËn gi¸ trÞ nguyªn khi x nguyªn vµ x – 1 chia hÕt cho 3. Ta cã:

      x – 1 = 3k => x = 3k + 1 (víi k nguyªn)

   VËy víi x = 3k + 1 (k nguyªn) th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn.

• Bµi 5:

Gi¶i ph­¬ng tr×nh:  

      Gi¶i.



 (123 – x)

 123 – x = 0 V×

 x = 123

VËy nghiÖm cña p.t lµ x = 123

• Bµi 6:

Cho tam gi¸c ®Òu ABC, gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx, My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn l­ît t¹i D vµ E. CM:

a)     BD.CE =

b)    DM, EM lÇn l­ît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED.

c)     Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®æi.

Gi¶i

a)     Trong BDM ta coù:

   Vì = 600 neân ta coù:

   =>

  BMD ~ CEM (g.g)   (1)

   => => BD.CE = BM.CM

  Vì : BM = CM = => BD.CE =

b)    Töø (1) => maø BM = CM neân ta coù:

=>

= 600

             => BMD ~ MED (c.g.c)

            =>

             => DM lµ ph©n gi¸c

    CM t­¬ng tù ta cã: EM lµ ph©n gi¸c

c)     Keû MH AB; MI DE; MK AC

    vu«ng DHM = vu«ng DIM  ( CH- GN)

    DH = DI

     vu«ng MEI = vu«ng MEK (CH – GN)

    EI = EK

  CVADE = AD + DI + IE + AE

              = AD + DH + EK + AE

              = AH + AK

Mµ: vu«ng AHM = vu«ng AKM (CH – GN)

    AH = AK

    CVADE = 2AH  ( kh«ng ®æi)

• Bµi 7:

Cho x + = a. TÝnh:

a)     x2 +

b)    x3 +

c)     x4 +

d)    x5 +

Gi¶i

a)     x2 + = = a2 – 2

a)     x3 + =

       =

       = a(a2 – 2 – 1) = a(a2 – 3)

b)    x4 + = (x2)2 + = - 2

             = (a2 – 2)2 – 2 = a4 – 4a2 – 4 – 2 = a4 – 4a2 + 2

c)     x5 + =

                   =

          =

                   = a

                   = a(a4 – 4a2 + 2 – a2 + 2 + 1)

                   = a(a4 – 5a2 + 5) = a5 – 5a3 + 5

• Bµi 8:

Gi¶i ph­¬ng t×nh b»ng c¸ch ®Æt Èn phô:

     3

§Æt y = => x2 + = = y2 – 2

Ta cã ph­¬ng tr×nh:

    3(y2 – 2) – 13y + 16 = 0

 3(y2 – 2) – 13y + 16 = 0

 3y2 – 6 – 13y + 16 = 0

 3y2 – 13y + 10 = 0

 3y2 – 10y – 3y + 10 = 0

 3y(y – 1) – 10(y – 1) = 0

 (y – 1)(3y – 10) = 0

 y = 1 vµ y =

* y = 1  x + = 1

             => x2 – x + 1 = 0

             > 0    x

VËy p.t VN.

*y =  x +

               3x2 – 10x + 3 = 0

               (3x – 1)(x – 3) = 0

P.t cã 2 nghiÖm lµ x = vµ x = 3.

  * Bµi 9:

 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (dïng pp thªm bít cïng 1 h¹ng tö)

a)     a4 + 4b4 = a4 + 4a2b2 – 4a2b2 + 4b4

                   = (a2)2 + 2.2a2b2 + 4b2 – 4a2b2

   = (a2 + 2b2)2 – (2ab)2

  = (a2 + 2b2 – 2ab)(a2 + 2b2 + 2ab)

b)    a4 + a2 + 1 = a4 + a2 + a2 – a2 + 1

     = (a2)2 + 2a2 + 1 – a2

     = (a2 + 1)2 – a2

     = (a2 – a + 1)(a2 + a + 1)

• Bµi 10:

Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (dïng pp ®Æt  biÕn phô)

a)     Q = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12

  §Æt: Y = x2 + x + 1  ta cã:

    Q = Y(Y + 1) – 12

        = Y2 + Y – 12

        = Y2 – 3Y + 4Y – 12

       = (Y – 3)(Y + 4)

Trë vÒ biÕn x ta ®­îc:

    Q = (x2 + x + 1 – 3)(x2 + x + 1 + 4)

        = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5)

       = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 5)

b)    P = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24

        = (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) – 24

        = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 24

        = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 4 + 2) – 24

§Ætt  Y = x2 + 5x + 4  ta ®­îc:

     P = Y(Y + 2) – 24

        = Y2 + 2Y – 24

        = Y2 + 6Y – 4Y – 24

        = (Y + 6)(Y – 4)

Trë vÒ biÕn x ta ®­îc:

     P = (x2 + 5x + 4 + 6)(x2 + 5x + 4 – 4)

      P = (x2 + 5x + 10)(x2 + 5x )

         = x(x + 5)(x2 + 5x + 10)

   *Bµi 11:

 Ph©n tÝch®a thøc thµnh nh©n tö (dïng pp phèi hîp nhiÒu pp)

a)     x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + 1

       = (x10 + x8 + x6) + x4 + x2 + 1)

     = x6(x4 + x2 + 1) + (x4 + x2 + 1)

      = (x4 + x2 + 1)(x6 + 1)

      = (x4 + x3 – x3 + x2 + x2 – x2 + x – x + 1)[(x2)3 + 13]

     = [(x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1)][(x2)3 + 1]

     = [(x2 + x + 1)(x2 – x + 1)][(x2 + 1)(x4 – x2 + 1)]

b)    a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc

  = ab2 + ac2 + bc2 + ba2 + (ca2 + cb2 + 2abc)

  = ab(b + a) + c2(a + b) + c(a2 + b2 + 2ab)

= (a + b)[(ab + c2) + c(a + b)]

  = (a + b)(ab + c2 + ac + bc)

= (a + b)(b + c)(c + a)

*Bµi 12:

Cho tø gi¸c ABCD cã AD = BC. Gäi M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB, CD. Tia MN c¾t tia AD t¹i E vµ c¾tt tia BC t¹i F. CM: .

      Gi¶i.

Gäi I lµ trung ®iÓm cña BD, ta cã:              

      BF // IN =>

      AE // MI =>

XÐt MNI cã:

IM = IN (2 ®tb)

=> MNI c©n t¹i I

=>

=>

   * BAØI 27:

 Cho hình vuoâng ABCD. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, BC. Caùc ñoaïn thaúng caét nhau taïi I. CM: IA = AD.

     Giaûi

   Töø A keû AP DN caét DC taïi K, caét DN taïi I.

    Xeùt MCB vaø NDC coù:                                            

       DC = BC

       NC = BM

       = 900

=> MCB = NDC (c.g.c)

  =>    Maø: = 900

   => = 900 => MC DN

    Ta laïi coù:

              AK DN => AK // MC

     Xeùt ADK vaø CBM coù:

            AD = BC

           = 900

     => ADK = CBM (g.c.g)

     => DK = BM

      Maø M laø trung ñieåm cuûa AB => K laø trung ñieåm cuûa CD

    DP = IP ( PK laø ñöôøng TB DIC)

    DAI caân taïi A

    AD = AI

*BAØI 28:

 Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, ñöôøng cao AH chia caïnh huyeàn thaønh 2 ñoaïn coù ñoä daøi  9 cm vaø 16 cm. Tính chu vi tam giaùc ABC.

      Giaûi

 Xeùt ABH vaø CBA coù:

   chung                                                           

           AÂ = = 900

     => ABH  ~ CBA (g.g)

    => 

     => AB2 = CB.BH

           = 25. 9 = 225

    AB = 15 (cm)

Aùp duïng ÑL Pitago trong vuoâng ABC ta coù:

 AC2 = BC2 – AB2

        = 252 – 152 = 625 – 225 = 400

    AC = 20 (cm)

Chu vi ABC:

AB + AC + BC = 15 + 20 + 25 = 60 (cm)

• BAØI 29:

Giaûi phöông trình:

           3x4 – 13x3 + 16x2 – 13x + 3 = 0

    Giaûi

Chia 2 veá cho x2 ta coù:

3x2 – 13x + 16 = 0

       3 + 16 = 0

        Ñaët:  x + = y  => x2 + = y2 – 2

    3(y2 – 2) – 13y + 16 = 0

 (y – 1)(3y – 10) = 0    

* y = 1 => x + = 1       PT naøy VN.

   Vì: x2 – x + 1 = > 0

• y = => (3x – 1)(x – 3) = 0  

Vaäy p.t ñaõ cho coù 2 nghieäm laø x = vaø x = 3.    

*BAØI 30:  Chöùng minh raèng:

 a)     (vôùi a, b > 0)

 b)    (vôùi a, b, c > 0)

 c) (a2 + b2)c + (b2 + c2)a + (c2 + a2)b ≥ 6abc   (vôùi a, b, c > 0)

            Giaûi

c)Ta coù:  (a – b)2 ≥ 0  => a2 + b2 ≥ 2ab

                      (a2 + b2)c ≥ 2abc

Töông töï ta coù:

                     (b2 + c2)a ≥ 2abc

          (c2 + a2)b ≥ 2abc

    (a2 + b2)c + (b2 + c2)a + (c2 + a2)b ≥ 6abc

Xaûy ra ñaúng thöùc  a = b = c

a)     Ta coù:

(a - b)2 ≥ 0  <=> a2 + b2 -2ab ≥ 0

                     a2 + b2 ≥ 2ab

                    

    

b)    Ta coù:

VT =

      =

Theo KQ caâu a, ta coù:

    VT ≥ 6

  *BAØI 31:      Giaûi baát phöông trình sau:

  < 0

 < 0

 < 0

  < 0

    ÑKXÑ : x ≠ 0 ; x ≠ -5

• Neáu x > 0 thì x(x + 5) > 0  > 0

Vaäy BPT voâ nghieäm.

• Neáu -5 < x < 0 thì x(x + 5) < 0  < 0

Vaäy BPT coù nghieäm laø -5 < x < 0

*Neáu x < - 5 thì x(x + 5) > 0   > 0

Vaäy BPT voâ nghieäm.

Vaäy BPT ñaõ cho coù nghieäm -5 < x < 0

*BAØI 32:    Giaûi phöông trình:

                    = 9

1)Neáu x < -1 thì x – 4 < 0 vaø x + 1 < 0 => = -x + 4 vaø = -x – 1

     P.t trôû thaønh: -x + 4 – x – 1 = 9   (ÑK: x < -1)

    <=> x = -3 (TMÑK)

    2) Neáu -1 ≤ x ≤ 4 thì x – 4 ≤ 0 vaø x + 1 ≥ 0 => = -x + 4 vaø = x + 1

     P.t trôû thaønh:  -x + 4 + x + 1 = 9 (ÑK: -1 ≤ x ≤ 4)

     0x = 4 VN

    3) Neáu x > 4 thì x – 4 > 0 vaø x + 1 > 0 => = x – 4 vaø = x + 1

    P.t trôû thaønh:  x – 4 + x + 1 = 9  (ÑK: x > 4)

     x = 6 (TMÑK)

        Vaäy p.t ñaõ cho coù taäp nghieäm laø S =

• BAØI 33: Ruùt goïn caùc bieåu thöùc:  (n laø soá nguyeân döông)

a)     A =

Ta coù:

Do ñoù:

       2A =

             = 1 -

    A =

b)    B =

Keát quaû:   B =

   *BAØI 34:

 Giaûi vaø bieän luaän phöông trình:

                     m(x + 3) – 2(m + 1) = 3m – 4x

     mx + 3m – 2m – 2 = 3m - 4x

     (m + 4)x = 2(m + 1)

Bieän luaän:

-         Neáu m + 4 ≠ 0  m ≠ -4 ta coù: x =

-         Neáu m + 4 = 0  m = -4  p.t trôû thaønh: 0x = -6  VN

-         Khoâng coù giaù trò naøo cuûa m ñeå p.t coù VSN.

* BAØI 35:

Cho A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 – a4 – b4 – c4

a)     Phaân tích A thaønh nhaân töû.

b)    CMR: Neáu a, b, c laø 3 caïnh cuûa tam giaùc thì A > 0.

Giaûi

a)     A = 4a2b2 – (a4 + 2a2b2 + b4 + c4 – 2b2c2 – 2a2c2 )

         = (2ab)2 – (a2 + b2 – c2 )2

         = (2ab + a2 + b2 – c2 )(2ab – a2 – b2 + c2 )

        = [(a + b)2 – c2][-(a – b)2 + c2 ]

     A = (a + b + c)(a + b – c)(c + a – b)(c – a + b)

b) Neáu a, b, c laø caùc caïnh cuûa tam giaùc thì:

   a + b + c > 0  ; a + b – c > 0  ;  c + a – b > 0  ; c – a + b > 0

=> A > 0

* BAØI 36:

   Tính giaù trò cuûa ña thöùc:

a)     P(x) = x7 – 80x6 + 80x5 – 80x4 +……….+ 80x + 15  taïi x = 79

b) Q(x) = x14 -10x13 + 10x12 – 10x11 +………..+ 10x2 – 10x + 10   taïi x = 9

      Giaûi

a)     Ta coù:

P(x) = x7 – 79x6 – x6 + 79x5 + x5 – 79x4 – x4 +………..+79x + x + 15

       = x6(x – 79) – x5(x – 79) + x4(x – 79)- ………….. –x(x – 79) + x + 15

Thay x = 79 vaøo ta coù:

P(79) = 94

b)    Ta coù:

Q(x) = x14 – 9x13 – x13 + 9x12 + x12 – 9x11 - ………….. + 9x2 + x2 – 9x – x + 10

        = x13(x – 9) – x12(x – 9) + x11(x – 9) - …………. + x(x – 9) – x + 10

Thay x = 9 vaøo ta coù:

Q(9) = 1

• BAØI 37:

    Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, trung tuyeán AM. Keû MD AB ; ME AC.

a)     CM : DE = AM.

b)    CM: ADE ~ ABC.

Giaûi

a)     Ta coù:

      AÂ = 900 (gt)                                        

      = 900 ( MD AB)

      = 900 ( ME AC)

    Töù giaùc ADME laø HCN.

    DE = AM  (2 ñöôøng cheùo HCN)

b)    Ta coù MB = MC (gt)

            MD //  AC (2 caïnh ñoái HCN)

    D laø trung ñieåm cuûa AB.

CM töông töï ta coù:

    E laø trung ñieåm cuûa AC.

=> DE laø ñöôøng TB cuûa ABC.

=> DE // BC

=> ADE ~ ABC

  * BAØI 38:

 Cho tam giaùc ABC coù AB = AC = 9cm. Tia phaân giaùc goùc B caét ñöôøng cao AH ôû I. Bieát . Tính chu vi tam giaùc ABC.

      Giaûi

Ta coù: BI laø phaân giaùc .

Aùp duïng t/c ñöôøng phaân giaùc trong ABH ta coù:            

=>

=>  BH = 6 cm

Ta laïi coù:

ABC caân taïi A coù AH laø ñöôøng cao neân cuõng laø trung tuyeán.

    BC = 2BH = 2.6 = 12 cm

Chu vi ABC = 9 + 9 + 12 = 30 cm

  *BAØI 39:

 Tìm caùc giaù trò nguyeân cuûa x ñeå giaù trò cuûa phaân thöùc sau cuõng laø soá nguyeân.

   A =

          ÑKXÑ: x ≠ -2

  Ta coù:   A = (3x – 10) +

 A nguyeân  nguyeân  3 (x + 2)  x + 2 Ö (3)

    x + 2 = ± 1 ; ± 3

 * x + 2 = 1   x = -1 (TMÑK)

 * x + 2 = -1  x = -3 (TMÑK)

 * x + 2 = 3   x = 1  (TMÑK)

 * x + 2 = -3  x = -5  (TMÑK)

 Vaäy vôùi x { -5 ; -3 ; -1 ; 1 } thì A coù giaù trò nguyeân.

  * BAØI 40:

Cho x 0. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc:

  A =

Tìm x ñeå A coù GTNN.

      Giaûi

Ta coù:

 A =

      =

      = 2001 +

Vì :   (x – 1)2 ≥ 0 vaø x2 > 0