ung dung đao ham

MỞ ĐẦU

 

Định nghĩa hàm số và các khái niệm liên quan đến hàm số đã được trình bày ở chương trình sách giáo khoa lớp 10. Nhưng để hiểu rõ các tính chất và các ứng dụng của hàm số thì cần có kiến thức về giải tích mà cụ thể là đạo hàm của hàm số. Kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm được trình bày ở chương trình sách giáo khoa cuối lớp 11 và đầu lớp 12.

Dùng đạo hàm của hàm số giúp chúng ta tìm được GTLN, GTNN , xét được khoảng đồng biến , nghich biến của hàm số và xét được tính lồi lõm của đồ thị hàm số.

Từ các ứng dụng đạo hàm của hàm số giúp chúng ta giải được một số bài toán trong phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức.

Trong bài viết này chúng ta tìm hiểu một số ứng dụng của phương pháp hàm số vào trong giải toán.

 

I- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.

1) Định lí 1: Nếu hàm số  f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì số nghiệm của phương trình f(x) = k trên D không nhiều hơn một và f(x) = f(y)  x = y với mọi x, y  D.

Chứng minh:

a) Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a tức là f(a) = k.

Nếu x > a thì f(x) > f(a) = k suy ra phương trình vô nghiệm.

Nếu x < a thì f(x) < f(a) = k suy ra phương trình vô nghiệm.

b) Nếu x > y thì f(x) > f(y) suy ra phương trình f(x) = f(y) vô nghiệm.

Nếu x < y thì f(x) < f(y) suy ra phương trình f(x) = f(y) vô nghiệm.

2) Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y = g(x) luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên D  thì số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một.

Chứng minh:

Giả sử phương trình f(x) = g(x) có nghiệm x = a tức là f(a) = g(a).

Nếu x > a thì f(x) > f(a) = g(a) > g(x) suy ra phương trình vô nghiệm.

Nếu x < a thì f(x) < f(a) = g(a) < g(x) suy ra phương trình vô nghiệm.

3) Định lí 3: Nếu đồ thị hàm số y = f(x) lồi (lõm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = 0 nếu có nghiệm thì có tối đa 2 nghiệm.

Ví dụ 1: Giải phương trình 3x = 4 - x.

Giải: Tập xác định D= R. Phương trình tương đương với 3x + x - 4 = 0.

Xét hàm số f(x ) = 3x + x - 4 . Hàm số xác định và liên tục trên R

f’(x) = 3x.ln3 + 1 > 0  x R. Vậy hàm số f(x) đồng biến  trên R.

Mặt khác phương trình có một nghiệm x =1. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

Bài tập 1: Giải phương trình:

Bài tập 2: Giải phương trình: .

Ví dụ 2: Giải phương trình :

Giải: Tập xác định D = R. Phương trình đã cho tương đương với

   (*)

Xét hàm số f(t) = .Hàm số xác định và liên tục trên khoảng(0;+ )

f’(t) = > 0 t > 0. Vậy hàm số f(t) đồng biến trên khoảng(0;+ )

Phương trình (*)  f(x2 +x + 3) = f(2x2 + 4x + 5)

 x2 +x + 3 = 2x2 + 4x + 5  x = - 1 v x = - 2.

Bài tập 1: Giải hệ phương trình

Bài tập 2:  Giải hệ phương trình

Bài tập 3:  Giải hệ phương trình

Bài tập 4 : Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 

 

Ví dụ 3: Giải phương trình 3x = 2x + 1

Giải: Tập xác định D = R. Phương trình đã cho tương đương với 3x - 2x - 1 = 0.

Xét hàm số f(x) = 3x -2x - 1, f’(x) = 3xln3 - 2, f’’(x) = 3x (ln3)2 > 0 x  R.

Mặt khác phương trình co hai nghiệm x = 0 và x =1. Vậy phương trình có đúng hai nghiệm x = 0 và x = 1.

Bài tập 1: Giải phương trình: 2009x + 2010x = 4017x + 2

Bài tập 2: Giải phương trình:

Bài tập 3: Giải phương trình:

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình

Giải: Xét hàm số f(t) = t3 + t2 + t - 2. f’(t) = 3t2 + 2t + 1 > 0 t R. Vậy hàm số f(t) đồng biến trên R.

Giả sử x = maxx,y,z  hay x y và x  z  suy ra x = f(y)  f( z) = y và x= f(y)  f(x) = z . Từ đó ta có y  z và y  x. Suy ra f(y)  f(z) hay z  x. Do đó x  y z x từ đó x = y =  z = 1.

Bài tập 1: Giải hệ phương trình

Bài tập 2: Giải hệ phương trình

Bài tập 3: Giải hệ phương trình

Ví dụ 5: Giải bất phương trình 

Giải: Tập xác định D = - 6; 7 . Xét hàm số f(x) = .

Ta có f’(x) =  x  (- 6; 7).

Vậy hàm số f(x) đồng biến trên đoạn - 6; 7

Mặt khác f(3) = 1. Do đó bất phương trình tương đương với f(x)  f(3)  x  3.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = 3; 7

Bài tập 1: Giải bất phương trình

Bài tập 2: Giải bất phương trình 

II - Sử dụng GTLN,GTNN của hàm số để tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm.

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b).

1) Định lý 1: Phương trình f(x) = m có nghiệm thuộc đoạn a;b 

2) Định lý 2: Bất phương trình f(x)  m có nghiệm thuộc đoạn a;b 

3) Định lý 3: Bất phương trình f(x)  m có nghiệm thuộc đoạn a;b 

4) Định lý 4: Bất phương trình f(x)  m  nghiệm đúng với mọi x  a;b 

5) Định lý 5: Bất phương trình f(x)  m  nghiệm đúng với mọi x  a;b  

   Chú ý: Định lý 1,2,3,4,5 dùng để giải các bài toán về phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình, bất phương trình chứa tham số.

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau    

a) Có nghiệm.

b) Có đúng 1 nghiệm.

c) có 2 nghiệm phân biệt.

Giải : Tập xác định D= -7;3, Xét hàm số , ta có , f’(x) = 0  x= - 6 (Loại)  v x = 2.

Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x).

x	-7                               2    3
f’(x)	+                          0            -
f(x)	15         -30                                                  10

a) Phương trình có nghiệm khi   - 30  m  15

b) Phương trình có đúng 1 nghiệm khi - 30  m < 10 hoặc m = 15.

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 10  m < 15.

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình  4(sin4x + cos4x) + (5 - 2m)cos2x + 9 - 3m = 0

a) Có nghiệm.

b) Có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn

Giải : Đặt t = cos2x  với - 1  t  1 . Phương trình trở thành .

Xét hàm số f(t) =

Ta có , f’(t) = 0  t = (Loại)   v  t = . Bảng biến thiên

t	-1                               1/2       1
f’(t)	- 0 +
f(t)	8 18/5                                                                                7/2

a) Phương trình có nghiệm khi  7/2  m 8.

b) Khi x  thì 2x  hay  . Phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn khi phương trình ẩn t có hai nghiệm t thuộc đoạn hay 7/2 < m  18/5

Bài tập 1:  Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực  

Bài tập 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Bài tập 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Bài tập 5: Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt:

Bài tập 6: Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất thuộc đoạn .

Bài tập 7: Tìm  m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt  thuộc đoạn  

Bài tập 8: Tìm m để phương trình   có nghiệm thực.

Bài tập 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Bài tập 10:Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Ví dụ 3:  Tìm m để bất phương trình:   nghiệm đúng x  1

Giải: BPT .

Ta có  x ≠ 0.

Suy ra đồng biến trên khoảng (1; + )  .

YCBT

Bài tập 1: Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị x 

Bài tập 2: Tìm m để bất phương trình nghiệm  đúng

Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình: có nghiệm.

Giải: Chú ý: Nếu tính rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ nhầm lẫn.

Thủ thuật: Đặt

  

Suy ra: và tăng; > 0 và giảm hay và tăng

tăng. Suy ra có nghiệm

Bài tập 1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:

Bài tập 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

Giải: Đặt ta có

và

Khi đó hệ trở thành

 là nghiệm của phương trình bậc hai

Hệ có nghiệm có 2 nghiệm thỏa mãn .

Lập Bảng biến thiên của hàm số với

t			– 2		2		5/2		+
		–				–	0	+
	+		22		2		7/4		+

Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm

 Bài tập 1: Chứng minh rằng  m > 0 hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

Bài tập 2: Tìm m để hệ:   (m là tham số).

có nghiệm thỏa mãn điều kiện

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III - Sử dụng tính đơn điệu, GTLN, GTNN của hàm số để chứng minh bất đẳng thức.

1) Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì f(a) < f(x) < f(b) với mọi x  (a;b)

2) Định lý 2: Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f(a) > f(x) > f(b) với mọi x  (a;b)

3) Định lý 3: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì f(a)  f(x)  f(b) với mọi x  a;b

4) Định lý 4: Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f(a)  f(x)  f(b) với mọi x  a;b

     Chú ý:  Định lí 1,2,3,4 dùng để chứng minh bất đẳng thức bằng cách xét hàm số.

 

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với

Giải: Xét hàm số f(x) = , với

, 

Do đó hàm số f(x) đồng biến trên khoảng . Từ đó f(x)  > f(0)  . đpcm

Bài tập 1: Chứng minh rằng

a) ,  với x ≠ 0.

b) , với x > 0.

c) , với x ≠ 0.

d) , với x > 0.

e) ex  1 + x ,  x R.

f) , với x > 0 và x ≠ e.

g) , với x > 0 và x ≠ e.

h) ,    với .

Bài tập 2: Chứng minh rằng

a) , với .

b) , với .

c) , với x > 0

d) , với .

e) , với x (0;1)

Bài tập 3: Chứng minh rằng:

a) , với x > 0

b) , với x > 0.

c) , với x > 0.
d)  , với x > 0.

Bài tập 4: Chứng minh rằng

a) , với x > 0.

b) , với x > 0.

c) , với x > 0.

d) với

Bài tập 5: Chứng minh rằng:

a) , với .

b) , với .

Ví dụ 2: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình . Tìm m để     đạt GTNN, GTLN

Giải :

    

Bài tập 1:Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình . Tìm m để     đạt GTNN

Bài tập 2: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình . Tìm GTNN của

Ví dụ 3: Tìm GTNN của , với x,y≠ 0.

Giải:

Bài tập 1: Tìm GTNN, GTLN của

Bài tập 2: Tìm GTLN, GTNN của

Bài tập 3: Tìm GTNN, GTLN của , với x,y≠ 0.

Bài tập 4: Tìm GTLN,GTNN của

Ví dụ 4: Cho x, y ≥ 0 thoả mãn x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Giải:

Nếu x = 0 thì từ giả thiết x2 + y2 = 1 ta có y = 1. Suy ra P  = 1.

Nếu x  0 thì đặt y = tx, t ≥ 0 . Từ giả thiết ta có x2 + y2 = 1  x2 + t2x2 = 1  .

Ta có P = .

Xét hàm số f(t) = , f ’(t) =   , f ’(t) = 0  t = 0  v  t = (Loại)

Bảng biến thiên

t	0                                                                                        + 
f ’(t)	+
f(t)	1   -1

Từ bảng biến thiên ta có Min(P) = - 1 đạt được khi t = 0  x = 1; y = 0.

Max(P) = 1 đạt được khi x = 0; y = 1.

Bài tập 1: Cho hai số thực x,y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2 + y2 = 1. Tìm GTNN, GTLN của .

Bài tập 2: Cho hai số thực dương x, y thay đổi và thỏa mãn điều kiện xy  y - 1. Tìm GTNN của biểu thức

Ví dụ 5: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x2 + xy + y2 = 1. Tìm GTLN,GTNN của A = x2 - xy + y2.

Giải:

Bài tập 1: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x2 - xy + y2 = 1. Tìm GTLN,GTNN của A = x4 + y4 - x2y2.

Ví dụ 6: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x2 - xy + y2 = xy(x + y). Tìm GTLN của

Giải:

 

Bài tập 1: Cho x,y dương thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTNN của

Bài tập 2: Cho các số thực không âm x,y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức .

Bài tập 3: Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức

Ví dụ 7: Cho hai số x,y (0;1) thảo mãn x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức

Giải:

Ví dụ 8: Cho . Chứng minh rằng: .

Giải:

Đồ thị với là một đoạn thẳng với 2 giá trị đầu mút và

Do đồ thị là một đoạn thẳng với và ; nên .  Đẳng thức xảy ra  

Bài tập 1: Cho Chứng minh rằng:

Bài tập 2: Chứng minh rằng: .

Ví dụ 9: Cho x,y,z > 0. Tìm giá trị lớn nhất  của biểu thức

Giải :

Áp dụng trình tự các bước sau.

+) , dấu bằng xảy ra khi x = y.

+) Nếu cho A, B > 0, m  n > 0 và A < 2B thì .

+) Nếu cho  m  n > 0, .

+)

+)

+) đặt  . Xét hàm số

Bài tập 1: Cho a,b,c>0 và .Chứng minh                       

 

Ta đã biết tiếp tuyến của hàm số y=f(x) tại mọi điểm bất kì trên khoảng lồi luôn nằm phía trên đồ thị và tiếp tuyến tại mọi điểm trên khoảng lõm luôn nằm phía dưới đồ thị nên ta có nhận xét sau

Nhận xét:Nếu y=ax+b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm

( A không phải là điểm uốn) , khi đó tồn tại một khoảng I chứa điểm x0 sao cho        hoặc .

Ví dụ 10: Cho và. Cmr :

Giải: Bđt cần chứng minh

với 

Ta thấy đẳng thức xảy ra khi.

Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là: y=8x-16

Ta có:  

đpcm

Bài tập 1: Cho a,b,c>0 .Cmr:

Bài tập 2: Cho a,b,c>0. Cmr :

Bài tập 3: Cho . Cmr: