Van dung cao Mu va Loga

CHƯƠNG 02:

BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT

Ở chương này những bài toán vận dụng cao sẽ rơi vào các dạng bài Lãi suất, dạng bài tính số chữ số của một số …

CHỦ ĐỀ 1:

TÍNH SỐ CHỮ SỐ CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN

Sau đây chúng ta cùng nghiên cứu một ứng dụng của Logarit  tron việc tính số các chữ số của một số tự nhiên.

Đầu tiên xin nhắc lại khái niệm thế nào là phần nguyên của một số.

1. Phần nguyên của một số:

Xét số thức A, số nguyên lớn nhất mà không vượt quá A người ta gọi là phần nguyên của A và kí hiệu là [A].

Như vậy dễ thấy .

2. Công thức tính số các chữ số của một số tự nhiên:

Xét số tự nhiên A hiện thời đang biểu diễn dưới dạng mũ hay một dạng nào đó mà ta không đếm được các chữ số của nó. Gỉ sử A có n chữ số thì ta có công thức sau đây: .

Trước khi đi vào chứng minh, tôi muốn nhắc lại cho các bạn cách phân tích một số tự nhiên ra dạng tổng lũy thừa của cơ số 10, ví dụ .

Chứng minh:

Giả sử số tự nhiên A có n chữ số:

Suy ra và

.

Từ hai điều này ta có:

Giữa chỉ có duy nhất một số tự nhiên lớn hơn đó là

Vậy

Sau đây ta cùng sử dụng công thức trên để giải một số bài toán sau:

BÀI TOÁN ÁP DỤNG

Bài 1: Số nguyên tố dạng , trong đó p là một số nguyên tố, được gọi là số nguyên tố Mec-xen. Số được phát hiện năm 1999. Hỏi rằng nếu viết số đó trong hệ thập phân thì có bao nhiêu chữ số?

Trích đề thi thử Chuyên Hưng Yên lần 2.

A. chữ số.   B. 2098961 chữ số.

C. 6972593 chữ số.   D. 6972592 chữ số.

Giải:

Đầu tiên ta cần biết: Số tự nhiên A có n chữ số thì

Ta cần tính có bao nhiêu chữ số, ta thấy rằng và chắc chắn có cùng số chữ số, nó giống như là 213 và 213−1 có cùng 3 chữ số vậy.

Từ lập luậ trên ta đi tính số chữ số của bằng công thức: . Áp dụng công thức ta được:

.

Chọn B.

Bài 2: Người ta qui ước và là giá trị của . Trong các lĩnh vực kỹ thuật, được sử dụng khá nhiều, kể cả máy tính cầm tay hay quang phổ. Hơn nữa, trong toán học người ta sử dụng để tìm số chữ số của một số nguyên dương nào đó. Ví dụ số A có n chữ số thì khi đó với là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng A. Hỏi số có bao nhiêu chữ số?

A. 9999 chữ số.  B. 6666 chữ số.  C. 9966 chữ số. D. 6699 chữ số.

Giải:

Áp dụng công thức để tìm các chữ số của số A.

Ta có:

Vậy B có 6666 chữ số.

Chọn B.

Bài 3: Số nguyên tố dạng , trong đó p là số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Mec-sen (Mersenne Marin, 1588-1648, người Pháp)

+ Ơ-le phát hiện năm 1750.

+ Luy-ca (Lucas Edouard, 1842-1891, người Pháp) phát hiện năm 1876

+ được phát hiện năm 1996.

Hỏi rằng nếu viết ba số đó trong hệ thập phân thì mỗ số có bao nhiêu chữ số?

A.    B.   

C.    D.

Giải:

Giả sử số nguyên tố viết trong hệ thập phân có n chữ số thì   hay vì không chứa thừa số nguyên tố 5 nên ).

Suy ra: hay

Thay , ta được

Suy ra .

Vậy số nguyên tố viết trong hệ thập phân có 10 chữ số.

Làm tương tự ta thấy có 39 chữ số. số có 420921 chữ số.

Chọn A.

Bài 4: Số là một số nguyên tố. Hỏi nếu viết trong hệ thập phân thì số đó có bao nhiêu chữ số?

A. 227831 chữ số.  B. 227832 chữ số. C. 227834 chữ số.  D. 227835 chữ số.

Giải:

Áp dụng công thức để tìm các chữ số của số A.

Vậy số p này có 227832 chữ số. chọn B.

Bài 5: Đầu năm 2016, Curtis Cooper  và các công sự tại nhóm nghiên cứ Đại học Central Mis-souri, Mỹ vừa công bố số nguyên tố lớn nhất tại thời điểm đó. Số nguyên tố này là một dạng số Mersenne, có giá trị bằng . Hỏi có bao nhiêu chữ số?

A. 2233862 chữ số.   B. 22338618 chữ số.

C. 22338617 chữ số.   D. 2233863 chữ số.

Giải:

Áp dụng công thức để tìm các chữ số của số A.

Ta có:

Do đó M có 22338617 chữ số.  

Chọn B.

Bài 6: Nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat là người đầu tiên đưa ra khai niệm số Fermat với n là số nguyên dương không âm. Fermat dự đoán là số nguyên tố, nhưng Euler đã chứng minh được là hợp số. Hãy tìm số chữ số của .

A. 1243 chữ số.  B. 1234 chữ số. C. 2452 chữ số.  D. 2467 chữ số.

Giải:

Ta có: .

Suy ra . Suy ra có 2467 chữ số. Chọn D.

CHỦ ĐỀ 2

CÁC DẠNG BÀI TOÁN LÃI SUẤT

1. Lãi đơn

Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra.

Công thức tính lãi đơn:

Trong đó:

: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn;

: Số tiền gửi ban đầu;

: Số kỳ hạn tính lãi;

: Lãi suất định kỳ, tính theo %.

2. Lãi kép

Là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do tiền gốc đó sinh ra thay đổi theo từng định kỳ.

a. Lãi kép, gửi một lần:

Trong đó:

: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn;

: Số tiền gửi ban đầu;

: Số kỳ hạn tính lãi;

: Lãi suất định kỳ, tính theo %.

b. Lãi kép liên tục:

Trong đó:

: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn;

: Số tiền gửi ban đầu;

: Số kỳ hạn tính lãi;

: Lãi suất định kỳ, tính theo %.

c. Lãi kép, gửi định kỳ.

Trường hợp gửi tiền định kì cuối tháng.

Bài toán 1: Cứ cuối mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép (tháng hoặc năm). Hỏi sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là bao nhiêu?

Người ta chứng minh được số tiền thu được là:

Chứng minh

Vậy sau tháng n ta được số tiền

,

Ta thấy trong ngoặc là tổng số hạng của cấp số nhân có

Ta biết rằng: nên

Bài toán 2: Cứ cuối mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép (tháng hoặc năm). Sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là A triệu. Hỏi số tiền gửi mỗi tháng m là bao nhiêu?

Người ta chứng minh được số tiền cần gửi mỗi tháng là:

Chứng minh:

Áp dụng bài toán 1 ta có số tiền thu được là , mà  đề cho số tiền đó chính là A nên .

Bài toán 3: Cứ cuối mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép (tháng hoặc năm). Sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là A triệu. Hỏi số tháng hoặc năm n là bao nhiêu?

Người ta chứng minh được số tháng thu được đề bài cho là: .

Chứng minh:

Áp dụng bài toán 1 ta có số tiền thu được là , mà  đề cho số tiền đó chính là A nên

Như vậy trong trường hợp một này ta cần nắm vứng công thức Bài toán 1 từ đó có thể dễ dàng biến đổi ra các công thức ở bài toán 2, Bài toán 3.

Trường hợp gửi tiền định kì đầu tháng.

Bài toán 4: Cứ đầu mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép (tháng hoặc năm). Hỏi sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là bao nhiêu?

Người ta chứng minh được số tiền thu được là:

Chứng minh.

Ta xây dựng bảng sau:

Vậy sau tháng n ta được số tiền:

Bài toán 5: Cứ đầu mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép (tháng hoặc năm). Sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là A triệu. Hỏi số tiền gửi mỗi tháng m là bao nhiêu?

Người ta chứng minh được số tiền cần gửi mỗi tháng là:

Chứng minh

Áp dụng bài toán 4. Ta có số tiền thu được là: , mà đề cho số tiền đó là A nên .

Bài toán 6: Cứ đầu mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép (tháng hoặc năm). Sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là A triệu. Hỏi số tháng hoặc năm n là bao nhiêu?

Người ta chứng minh được số tháng thu được đề bài cho là: .

Chứng minh

Áp dụng bài toán 4. Ta có: số tiền thu được là: , mà đề cho số tiền đó là A nên .

.

Như vậy trong trường hợp này ta cần nắm vững công thức bài toán 4 từ đó có thể dễ dàng biến đổi ra các công thức ở bài toán 5, bài toán 6.

Trường hợp vay nợ và trả tiền định kì đầu tháng.

Bài toán 7: Vay ngân hàng A triệu đồng. Cứ đầu mỗi tháng (năm) trả ngân hàng m triệu, lãi suất kép (tháng hoặc năm). Hỏi sau n (tháng hoặc năm) số tiền còn nợ là bao nhiêu?

Người ta chứng minh được số tiền còn nợ là:

Chứng minh.

Ta xây dựng bảng sau:

Vậy sau tháng n ta còn nợ số tiền:

Trường hợp vay nợ và trả định kì cuối tháng.

Bài toán 8: Vay ngân hàng A triệu đồng. Cứ đầu mỗi tháng (năm) trả ngân hàng m triệu, lãi suất kép (tháng hoặc năm). Hỏi sau n (tháng hoặc năn) số tiền còn nợ là bao nhiêu?

Người ta chứng minh được số tiền còn nợ là:

Chứng minh

Ta xây dựng bảng sau:

Vậy sau tháng n ta còn nợ số tiền:

Sau đây cùng tìm hiểu cách áp dụng các lý thuyết vào các bài toán tính tiền lãi, tiền nợ phải trả như thế nào ?

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1:

Một người muốn gửi tiết kiệm ở ngân hàng và hi vọng sau 4 năm có được 850 triệu đồng để mua nhà. Biết rằng lãi suất ngân hàng mỗi tháng trong thời điểm hiện tại là . Hỏi người đó mỗi tháng phải gửi vào ngân hàng tối thiểu bao nhiêu tiền để đủ số tiền mua nhà? (Giả sử số tiền mỗi tháng là như nhau và lãi suất trong 4 năm là không thay đổi)

A. triệu đồng  B. 16,833 triệu đồng.

C. 17,833 triệu đồng.  D. 18,833 triệu đồng.

Giải:

Giả sử người này gửi tiền ở thời điểm t nào đó, kể từ thời điểm này sau 4 năm (48 tháng) ông muốn có số tiền 850 triệu. Như vậy rõ ràng ta có thể coi đây là bài toán gửi tiền định kì đầu tháng.

Áp dụng bài toán 5 ta có số tiền phải gửi mỗi tháng là:

Theo đề: n =48 tháng,

Tiền thu được: 850 triệu đồng. thay vào:

Chọn A.

Bài 2: Trích đề thi HK 1 Chuyên Lương Văn Tụy Ninh Bình.

Một bà mẹ Việt Nam anh hùng được hưởng số tiền là 4 triệu đồng trên một tháng (chuyển vào tài khoản của mẹ ở ngân hàng vào đầu tháng). Từ tháng 1 năm 2016 mẹ không đi rút tiền mà để lại ngân hàng và được tính lãi suất 1% trên một tháng. Đến đầu tháng 12 năm 2016 mẹ rút toàn bộ số tiền (gồm số tiền của tháng 12 và số tiền đã gửi tháng 1). Hỏi khi đó mẹ lĩnh về bao nhiêu tiền ? (kết quả làm tròn theo đơn vị nghìn đồng).

A. 50 triệu 730 nghìn đồng.  B. 50 triệu 740 nghìn đồng.

C. 53 triệu 760 nghìn đồng.   D. 48 triệu 480 nghìn đồng.

Giải:

Ta có tổng số tiền A thu được, nếu ban đầu gửi vào a đồng, từ đầu tháng sau gửi thêm a đồng (không đổi) vào đầu mỗi tháng với lãi suấ r% trong n tháng:

Áp dụng với a = 4 triệu đồng, (từ đầu tháng 2 đến cuối tháng 12)???

. Chọn A.

Bài 3: Trích đề Minh họa 1 năm 2017.

Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12% trên năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách sau: sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng ba tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền m mà ông A phải trả cho ngân hàng là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.

A. (triệu đồng).   B. (triệu đồng).

C. (triệu đồng).   D. (triệu đồng).

Giải:

Lãi suất 12%/năm tương ứng 1%/tháng nên (do vay ngắn hạn)

Số tiền gốc sau 1 tháng là:

Số tiền gốc sau 2 tháng là:

Số tiền gốc sau 3 tháng là:

Do đó: (triệu đồng).

Chọn B.

Bài 4: Ông A muốn sở hữu khoản tiền 20.000.000đ vào ngày 2/3/2012 ở một tài khoản lãi suất năm là 6,05%. Hỏi ông A cần đầu tư bao nhiêu tiền trê tài khoản này vào ngày 2/3/2007 để đạt được mục tiêu đề ra?

A. 14.909.965,25 (đồng).    B. 14.909.965,26 (đồng).

C. 14.909.955,25 (đồng).    D. 14.909.865,25 (đồng).

Giải:

Gọi là lượng vốn cần đầu tư ban đầu, lượng vốn sẽ được đầu tư trong 5 năm nên ta có:

đ.

Chọn A.

Bài 5: Ông Tuấn gửi 9,8 triệu đồng tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi suất hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi theo cách đó thì sau bao nhiêu năm ông Tuấn thu được tổng số tiền 20 triệu đồng (biết rằng lãi suất không thay đổi).

A. 9 năm.  B. 8 năm.  C. 7 năm.  D. 10 năm.

Giải:

Gọi P là số tiền gửi ban đầu. Sau n năm , số tiền thu được là:

Áp dụng với số tiền đề bài cho ta được:

vì n là số tự nhiên nên chọn  n = 9.

Chọn A.

Bài 6: Ông Tuấn gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi hằng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm ông Tuấn thu được gấp đôi số tiền ban đầu:

A. 8.   B. 9.   C. 6.   D. 10.

Giải:

Gọi a là số tiền ba đầu mà người đó gửi vào ngân hàng và n là số năm mà số tiền nhận được tăng gấp đôi.

Theo công thức lãi lép, ta có phương trình:

Vì lãi suất được tính theo năm nên đến cuối năm người đó mới nhận được tiền. Do đó, n= 9.

Chọn B.

Bài 7: Anh A mua nhà trị giá ba trăm triệu đồng theo phương thức trả góp. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất anh A trả 5500000đ và chịu lãi suất số tiền chưa trả là / tháng thì sau bao nhiêu tháng anh A trả hết số tiền trên.

A.   B.   C.   D.

Giải:

Gọi số tiền anh A nợ ban đầu là M, lãi suất hàng tháng là , số tiền hàng tháng anh ta phải trả là a.

Với đề bài này có thể coi là : “người nợ tiền nợ vào đầu tháng”

Người này trả hết nợ, nghĩa là:

Thay số bấn shift Slove sẽ tính được n = 64 với:

M=300.000.000, r = 0,5%, a=5500.000

Chọn A.

Bài 8: Một người được lĩnh lương khởi điểm là 700.000 đ/tháng. Cứ 3 năm anh ta lại được tăng lương thêm &%. Hỏi sau 36 năm làm việc anh ta được lĩnh tất cả bao nhiêu tiền.

A. 450788972.  B. 450788900.  C. 450799972. D. 450678972.

Giải:

Từ năm thứ nhất đến năm thứ 3, anh ta nhận được:

Từ đầu năm thứ 4 đến hết năm thứ 6, anh ta nhận được:

Từ đầu năm thứ 7 đến hết năm thứ 9, anh ta nhận được:

…

Từ đầu năm thứ 34 đến hết năm thứ 36, anh ta nhận được:

Vậy sau 36 năm anh ta nhận được tổng số tiền là:

Chọn A.

Bài 9:

Bà Hoa gửi 100 triệu vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất là 8%/năm. Sau 5 năm bà rút toàn bộ tiền và dùng một nửa để sửa nhà, số tiền còn lại bà tiếp tục đem gửi ngân hàng trong 5 năm với cùng lãi suất. Tính số tiền lãi thu được sau 10 năm.

A. 81,412tr.  B. 115,892tr.   C. 119tr.  D. 78tr.

Giải:

Sau 5 năm bà Hòa rút được tổng số tiền là: triệu